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Universidad T´ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Inform´atica - Casa Central

ILI-280 Estad´ıstica Computacional Pauta Certamen 2 8 de Octubre de 2010 Profesor: Carlos Valle 1. (25 puntos) Se realiz´o un estudio de los efectos del tabaquismo sobre los patrones de sue˜ no. La medida que se observa es el tiempo en minutos, que se tarda en conciliar el sue˜ no. Los datos fueron: :

No de Personas Media Desv. Est´andar

Fumadores 40 43.7 16.93

No Fumadores 14 30.32 7.13

¿Fumar influye en el tiempo para conciliar el sue˜ no? Concluya calculando medias por estratos y total, varianza inter, intra y total. Soluci´ on: Promedio Total: X = 40∗43,7+14∗30,32 = 40,231 54 Varianza fumadores: Vf = 16,932 = 286,625 y varianza no fumadores Vnf = 7,132 = 50,837 Por lo tanto, Vintra = 40∗286,625+14∗50,837 = 225,495 54 2

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= 481,32+1375,192 = 25,467 Vinter = 40∗(43,7−40,231) +14∗(30,32−40,231) 54 54 VT otal = 225,495 + 25,467 = 250,962 La varianza inter estrato alcanza un 10.1 % de la varianza total, por lo tanto no existe gran diferencia en el comportamiento de ambos estratos. Sumado a que el promedio de tiempo en conciliar el sue˜ no es significativamente mayor para los fumadores, podemos concluir que existe influencia. 2. (25 puntos) Existe una probabilidad de 50-50 de que la reina tenga el gen de la hemofilia. Si ella es portadora, entonces cada pr´ıncipe tiene una probabilidad de 50-50 de tener hemofilia de forma independiente. Si la reina no es portadora, el pr´ıncipe no tienen la enfermedad. Supongamos que la reina ha tenido tres pr´ıncipes sin la enfermedad, ¿Cu´al es la probabilidad de que la la reina sea portadora? Soluci´ on: Consideremos los eventos RP: la reina es portadora. P (RP ) = 0,5 y PE: pr´ıncipe enfermo. P (P E|RP ) = 0,5 (P E1 P E2 P E3 |RP )P (RP ) 0,5∗0,53 1 P (RP |P E1 P E2 P E3 ) = P (P E P E P EP|RP = 0,5∗0,5 3 +0,5∗1 = 9 )P (RP )+P (P E P E P E |RP )P (RP ) 1

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3. Las llamadas de servicio llegan en promedio 2.7 llamadas por minuto a un centro de mantenimiento de acuerdo a una distribuci´on de Poisson. Encuentre la probabilidad de que a) No lleguen m´as de cuatro llamadas (9 puntos) ∑4 −2,7 x P (X ≤ 4) = x=0 e x!2,7 = 0,863 b) Lleguen menos de 2 llamadas (8 puntos) ∑1 −2,7 x P (X ≤ 1) = x=0 e x!2,7 = 0,249 c) Lleguen m´as de 10 llamadas en un per´ıodo de 5 minutos (8 puntos) ∑10 −13,5 x λt = 13,5. Por lo tanto, P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − x=0 e x!13,5 = 1 − 0,297 = 0,703 4. (25 puntos) Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad f (x) = kx + 1/2 para todo x ∈ [−1; 1]

a) Determinar los valores de k para los cuales f (x) es ciertamente una funci´on de densidad (10 puntos). b) Calcular la esperanza, la moda y la mediana de X (10 puntos). c) ¿Para qu´e valores de k se minimiza la varianza de X? (5 puntos). Soluci´ on: a) f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [−1; 1]: Si k > 0, f (x) es creciente, por lo tanto, debe cumplirse que f (−1) = −k + 1/2 ≥ 0, es decir, k ≤ 1/2. Si k < 0, f (x) es decreciente, luego, f (1) = k + 1/2 ≥ 0 ∫1 Se verifica que −1 f (x)δx = 1, para todo k Por lo tanto, k ∈ [−1/2; 1/2] ∫1 ∫1 b) E[X] = −1 xf (x)δx = −1 (xk + x/2)δx = 2k axi3 para calcular la moda, debemos tener en cuanta el m´ mo de f (x), esto depender´a del valor de k: Si k > 0, entonces la moda de la variable X es 1 Si k = 0, la moda es cualquier punto en el intervalo [−1; 1] Si k < 0, la moda es -1 2 ∫1 La mediana es un valor Me tal que Me (xk + x/2)δx = 0,5 k2 + 12 − k Me − Me 2 2 = √ 2 Luego, Me = (−1 + 1 + 4k )/2k, para k ̸= 0 Si k = 0, entonces Me = 0 ∫1 ∫1 c) E[X 2 ] = −1 x2 f (x)δx = −1 (x2 k + x2 /2)δx = 13 ( )2 , esto se minimiza cuando k = 0. V [X] = E[X 2 ] − (E[X])2 = 31 − 2k 3

CAVV/LATEX 2ε 2

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