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Asignatura: Probabilidad I

Carrera: Licenciatura en matemáticas

Alumno: Raúl Ibáñez Couoh Matrícula: ES172001745 Docente: Paula García Leija Unidad 3. Modelos discretos de probabilidad Actividad 2. Lectura teórica Actividad 1. Foro 19/05/2019, Zihuatanejo, Guerrero, México.

3.1. Variable aleatoria discreta Esperanza de una variable aleatoria discreta Recurso: Esperanza de una V. A. Discreta. Comparto la siguiente información obtenida de (Lipschutz, 1991), ya que me parece de gran relevancia como maneja el concepto de variable aleatoria finita en lugar de variable aleatoria discreta, esto puede ser muy útil al momento de revisar distintas fuentes de información y encontrar que es el mismo concepto para variable aleatoria discreta tanto para variable aleatoria finita. Sea X una variable aleatoria de un espacio muestral S con el conjunto imagen finito; a saber, 𝑋𝑋(𝑆𝑆) = {𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 }. Convertimos X(S) en un espacio de probabilidad definiendo la probabilidad de xi como 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) que escribimos f(xi). Esta función f de X(S), o sea, definida como f(xi)=P(X=xi), se le llama la función de distribución o probabilidad de X y se expresa generalmente en forma de tabla: x1 x2 f(x1) f(x2) La distribución f satisface las condiciones

… …

xn f(xn)

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) ≥ 0

�

𝑛𝑛

𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 ) = 1

𝑖𝑖=1

Ahora si X es una variable aleatoria con la distribución anterior, entonces la media o esperanza (o: valor esperado) de X, denotada por E(X) o 𝜇𝜇, o simplemente E o 𝜇𝜇 se define como: 𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 𝑥𝑥1 𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ) + 𝑥𝑥2 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 ) + ⋯ + 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑛𝑛 ) = �

𝑛𝑛

𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖 )

𝑖𝑖=1

Esto es, E(X) es el promedio ponderado de los valores posibles de X, cada valor ponderado por su probabilidad. Varianza de una variable aleatoria discreta Recurso: Varianza de una V.A. discreta La media o valor esperado de una variable aleatoria X es de especial importancia en estadística porque describe en dónde se centra la distribución de probabilidad. Sin embargo, la media por sí misma no ofrece una descripción adecuada de la forma de la distribución. También se necesita clasificar la variabilidad en la distribución. Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y la media 𝜇𝜇𝑥𝑥 ; la varianza de la variable X viene dada por: 𝜎𝜎𝑥𝑥2 = 𝐸𝐸((𝑋𝑋 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 )2 ) = �(𝑥𝑥 − 𝜇𝜇𝑥𝑥 )2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)

Si la variable X es discreta” (RIVERO, 2013 ).

𝑥𝑥

3.2. Modelos discretos de Probabilidad Modelo de Poisson Acorde a (Canavos, 1988): Sea X una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobe el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad: 𝑒𝑒 −𝜆𝜆 𝜆𝜆𝑥𝑥 𝑝𝑝(𝑥𝑥; 𝜆𝜆) = { 𝑥𝑥! 𝑥𝑥 = 0,1,2, … ; 𝜆𝜆 > 0, 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣. 0

Modelo hipergeométrico

Acorde (Canavos, 1988)

Sea N el número total de objetos en una población finita, de manera tal que k de éstos es de un tipo y N-k de otros. Si se selecciona una muestra aleatoria de la población constituida por n objetos de la probabilidad de que x sea de un tipo exactamente y n-x sea del otro, está dada por la función de probabilidad hipergeométrica: 𝑘𝑘 𝑁𝑁 − 𝑘𝑘 � �� � 𝑥𝑥 𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0, ! ,2,3, … , 𝑛𝑛; 𝑥𝑥 ≤ 𝑘𝑘, 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 ≤ 𝑁𝑁 − 𝑘𝑘; 𝑁𝑁, 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝(𝑥𝑥; 𝑛𝑛; 𝑘𝑘) = { 𝑁𝑁 � � 𝑛𝑛 0 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣.

Bibliografía Canavos, G. C. (1988). Probabilidad y Estadística Aplicaciones y métodos. México: Mc Graw Hill. Hill, M. R. (2009). Estadística. México: Mc Graw Hill. Lipschutz, S. (1991). Probabilidad. México: Mc Graw Hill. Martínez Bencardino, C. (2012). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones. R., M. (1976). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. Spiegel, M. (2007). Álgebra Superior. México: McGRAW-HILL. TRIOLA, M. F. (2009). Estadística. México: Pearson Educación.