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Asignatura: Probabilidad I

Carrera: Licenciatura en matemáticas

Alumno: Raúl Ibáñez Couoh Matrícula: ES172001745 Docente: Paula García Leija Unidad 4. Variable aleatoria continua

Actividad 2. Lectura teórica

24/05/2019, Zihuatanejo, Guerrero, México.

Introducción La tabla temática que se muestra a continuación es el conjunto de información obtenida a partir de diversos libros de Probabilidad y estadística. La unidad trata acerca de variable aleatoria continua, por lo tanto, los conceptos mostrados son parte del fundamento teórico del plan de estudios de la materia Probabilidad I acorde a la unidad 4. Debemos de tener en cuenta que no todas las variables aleatorias son discretas. Las variables aleatorias continuas surgen en muchos problemas aplicados entorno a distintas ramas de las matemáticas. Las definiciones y propiedades básicas de variables aleatorias continuas y algunas de sus distribuciones de probabilidad es el desarrollo de nuestra tabla temática. Sin lugar a duda tener presente y correctamente formado el concepto de variable aleatoria normal y su distribución es indispensable para el matemático ya que es la más importante y útil en la probabilidad y estadística. Recordemos que una variable aleatoria (va) discreta es una cuyos valores posibles constituyen un conjunto finito, o bien, se pueden listar en una secuencia infinita (una lista en la que hay un primer elemento, un segundo elemento, etc.). Una variable aleatoria cuyo conjunto de valores posibles es un intervalo completo de números, no es discreta.

Tabla temática Tema

Subtema

Definición de variable aleatoria continua.

Ejemplos

Acorde a (Devore, 2005): Si en el estudio de la ecología de un lago, se hacen, mediciones profundas en lugares elegidos al azar, Se dice que una variable aleatoria X es continua si su conjunto de entonces, X= profundidad en algún lugar es una va continua. Aquí a es la profundidad mínima en la región valores posibles es un intervalo completo de números: es decir, si que está siendo muestreada, y B es la profundidad máxima. para alguna A 0)si la fdp de X es: 𝜆𝜆𝑒𝑒 −𝜆𝜆𝜆𝜆 𝑥𝑥 ≥ 0 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝜆𝜆) = � 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐

∞ 1 3 𝐸𝐸(𝑋𝑋)2 = � 𝑥𝑥 2 ∗ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑥𝑥 2 ∗ (1 − 𝑥𝑥 2 )𝑑𝑑𝑑𝑑 2 −∞ 0 1 3 = � (𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 4 )𝑑𝑑𝑑𝑑 0 2 1 3 2 19 𝑉𝑉(𝑋𝑋) = − � � = = 0.059 5 8 320

Supóngase que ocurre un evento en que una variable aleatoria toma valores de un intervalo finito, de manera que éstos se encuentran distribuidos igualmente sobre el intervalo. Esto es, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor en cada subintervalo de igual longitud es la misma. Se dice entonces que la variable aleatoria se encuentra distribuida uniformemente sobre el intervalo. Suponga que en un "teléfono de emergencia para suicidios" que da servicio las 24 horas, se reciben llamadas según un proceso de Poisson con tasa alfa=0.5 llamadas por día. Entonces el número de días X entre llamadas sucesivas tiene una distribución exponencial con valor de parámetro 0.5 de modo que la probabilidad de que transcurran más de dos días entre llamadas es: 𝑃𝑃(𝑋𝑋 > 2) = 1 − 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≤ 2) = 1 − 𝐹𝐹(2; 0.5) = 𝑒𝑒 −0.5∗2 = 0.368 El tiempo esperado entre llamadas sucesivas es 1/0.5= 2 días.

Se dice que una va X tiene una distribución normal con parámetros Sea X una variable aleatoria que representa la inteligencia medida por medio de pruebas Ci. Si X es N(100,10) obtener las probabilidades de que X sea mayor que 100, menor que 85. 𝜇𝜇 y 𝜎𝜎(𝑜𝑜 𝜇𝜇 𝑦𝑦 𝜎𝜎 2 ), donde −∞ < 𝜇𝜇 < ∞ y 0 < 𝜎𝜎,si la fpd de X es: 85 − 100 (𝑥𝑥−𝜇𝜇 2 ) 1 𝑃𝑃(𝑋𝑋 < 85) = 𝑃𝑃 �𝑍𝑍 < � = 𝑃𝑃(𝑍𝑍 < −1.5) − 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥; 𝜇𝜇, 𝜎𝜎) = 𝑒𝑒 2𝜎𝜎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 − ∞ < 𝑥𝑥 < ∞ 10 √2𝜋𝜋𝜎𝜎 = 𝐹𝐹𝑍𝑍 (−1.5; 0.1) = 0.0668

Ejemplo 8.1 La resistencia al rompimiento (en newtons) de una tela sintética, denotada por X, se distribuye La distribución normal con valores de parámetro 𝜇𝜇 = 0y 𝜎𝜎 = 1 se en N(800, 144). El comprador de la tela requiere que ésta tenga una resistencia de por lo menos 772 N . llama distribución normal estándar. Una variable aleatoria que Se selecciona al azar y se prueba una muestra de tela. Para encontrar P(X ≥ 772), calculamos primero 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 772 − 800 tiene una distribución normal estándar se llama variable normal 𝑃𝑃(𝑋𝑋 < 772) = 𝑃𝑃 � < � estándar y se denota mediante Z. La fdp de Z es 𝜎𝜎 12 2 1 (−𝑧𝑧 ) = 𝑃𝑃(𝑍𝑍 < −2.33) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝑒𝑒 2 − ∞ < 𝑧𝑧 < ∞ = 𝜙𝜙(−2.33) = 0.1 √2𝜋𝜋 Por lo tanto, la probabilidad deseada. 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥ 772), es igual a .99.

Conclusiones Debido a que los conceptos y ejemplos que giran entorno a la distribución normal son de los más importantes dentro de la probabilidad y estadística, me parece necesario añadir lo siguiente: La distribuci6n normal se estudió primero en el siglo XVIII cuando se observó que los patrones en los errores en las mediciones seguían una distribución simétrica en forma de campana. DeMoivre la presentó primero en forma matemática en 1733 al derivarla como una forma límite de la distribución binomial. Laplace también tuvo conocimiento de ella en fecha no posterior a1775. Debido a un error en la historia, se le ha atribuido a Gauss, cuya primera referencia publicada con respecto a la misma apareci6 en 1809, y el termino distribución guussiana se emplea con frecuencia. Durante los siglos XVIII y XIX se hicieron varios intentos para establecer esta distribuci6n como la ley de probabilidad básica para todas las variables continuas aleatorias; de tal modo, se aplicó el nombre de normal. La distribución normal, la normal estándar relacionada, y la log-normal son univariadas, en tanto que la normal bivariada presenta la densidad conjunta de dos variables aleatorias normales relacionadas. La distribuci6n normal forma la base sobre la cual descansa una gran cantidad del trabajo en la inferencia estadística. La amplia aplicaci6n de la distribuci6n normal la hace particularmente importante.

Bibliografía Canavos, G. C. (1988). Probabilidad y Estadística Aplicaciones y métodos. México: Mc Graw Hill. Hill, M. R. (2009). Estadística. México: Mc Graw Hill. Lipschutz, S. (1991). Probabilidad. México: Mc Graw Hill. Martínez Bencardino, C. (2012). Estadística y muestreo. Bogotá: Ecoe Ediciones. R., M. (1976). Probabilidad y Estadística. México: Mc Graw Hill. TRIOLA, M. F. (2009). Estadística. México: Pearson Educación.