• Author / Uploaded
• Ath Bam

Citation preview

UnADM UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO

Asignatura:

Probabilidad

.

Unidad 3 Actividad 2.

ALUMNO

.

Linares Ojeda Arturo David.

Matricula: ES1611312069

Actividad 2.

Tema

Subtema

Variable aleatoria discreta

Definición de variable aleatoria discreta

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta

Función de distribución de una variable aleatoria discreta Independencia de variables aleatorias Esperanza de una variable aleatoria discreta Varianza de una variable aleatoria discreta

Modelos discretos de probabilidad

Modelo Bernoulli Modelo binomial Modelo hipergeométrico Modelo de Poisson

Variable aleatoria discreta

Definición de variable aleatoria discreta Se le puede denominar variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, puede ser 4 ó 5 ó 6 individuos, pero nunca 5,75 ó 5,87. En pocas palabras Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores.

Otros ejemplos: Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae

en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc. Sea X una variable aleatoria asociada con un experimento aleatorio. Si el resultado de un experimento es a, entonces decimos que en esta prueba la variable aleatoria X ha tomado el valor a, o que hemos observado el valor X = a. Una variable aleatoria tiene las siguientes propiedades: 1. La variable aleatoria X es un evento que se define en el espacio muestral S del experimento y sus valores son números reales. 2. Sea a cualquier número real y sea I cualquier intervalo de S. Entonces el conjunto de todos los valores para los que X = a tiene una probabilidad bien definida y lo mismo se cumple para todos los valores de X que están en I. Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta Si 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,..............𝑥𝑛 son los valores de x y 𝑝1 , 𝑝2 , 𝑝3 ,...........𝑝𝑛 las probabilidades de los sucesos correspondientes a los valores de x se llama función de probabilidad o distribución de probabilidades de la variable x al conjunto de los pares (xi, pi) {(𝑥1 , 𝑝1 ), (𝑥2 , 𝑝2 ), (𝑥3 , 𝑝3 ), .......... (𝑥𝑛 , 𝑛𝑛 )} formados por los valores de x y sus probabilidades correspondientes. Si el conjunto de valores de x tiene n elementos: S pi = 1 Y si es infinito numerable:

La función de probabilidad P(x) de la variable aleatoria x es la función que asigna a cada valor xi de la variable su correspondiente probabilidad pi Ejemplo: La v.a. “número de caras en el lanzamiento de tres monedas” tiene la siguiente función de probabilidad:

Función de distribución de una variable aleatoria discreta. Básicamente Una distribución de probabilidades para una variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente de todos los resultados numéricos posibles para esa variable aleatoria tal que una probabilidad específica de ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los posibles resultados, donde las ponderaciones son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados. Sea X una v.a. cuyos valores suponemos ordenados de menor a mayor. Se llama función de distribución de la variable X a la función que asocia a cada valor de la v.a. la probabilidad acumulada hasta ese valor, es decir, F(x) = p(X ≤ x) Ejemplo: Calcular la función de distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado. x x 1 y que p tome valores entre 0 y 1. La función de probabilidad viene dada por la expresión:

Ejemplo: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura: 1¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? 2¿Y cómo máximo 2? ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas? B(4, 0.2) p = 0 .8 q = 0.2

¿Y cómo máximo 2?

Modelo hipergeométrico La distribución hipergeométrica es una distribución discreta que modela el número de eventos en una muestra de tamaño fijo cuando usted conoce el número total de elementos en la población de la cual proviene la muestra. Cada elemento de la muestra tiene dos resultados posibles (o es un evento o un no evento). Las muestras no tienen reemplazo, por lo que cada elemento de la muestra es diferente. Cuando se elige un elemento de la población, no se puede volver a elegir. Por lo tanto, la probabilidad de que un elemento en particular sea seleccionado aumenta con cada ensayo, suponiendo que aún no ha sido seleccionado. La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:

Donde:

Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.

Modelo de Poisson Esta distribución es una de las más importantes distribuciones de variable discreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de obtener un éxito es muy pequeña. Se dice que una variable aleatoria X sigue la distribución de Poisson si su función de densidad viene dada por:

Propiedades del modelo de Poisson 1) Esperanza: E(X) = λ. 2) Varianza: V(X) = λ. En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden. 3) La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros: X1 ~ P(λ = λ1) y X2 ~ P(λ = λ2) y definimos Z = X1 + X2, entonces, Z ~ P(λ = λ1 + λ2) Ejemplo: Un entomólogo examina una planta de algodón y cuenta el número de huevecillos de un insecto por planta. De estudios anteriores se sabe que bajo las condiciones del experimento el número de huevecillos por planta puede representarse por una distribución de Poisson con 𝜆= 0.9. Si se selecciona una planta al azar, calcular la probabilidad de que se encuentren cuando mucho 3 huevecillos.

Solución. Las probabilidades de que el entomólogo encuentre 0, 1, 2, 3, huevecillos por planta son:

Con los cálculos anteriores podemos ver que:

Bibliografía. Devore, Jay L; Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias; 7a Ed; CENGAGE Learning; México 2008. https://www.uv.es/ceaces/base/modelos%20de%20probabilidad/poisson.htm http://www.ugr.es/~eues/webgrupo/Docencia/MonteroAlonso/estadisticaII/tema3.pdf http://halweb.uc3m.es/esp/Personal/personas/amalonso/esp/Tema3soluciones.pdf Reproducción. https://www.youtube.com/watch?v=hmAfNpD7Eps