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Asignatura: Topología general

Carrera: Licenciatura en matemáticas

Alumno: Raúl Ibáñez Couoh

Matrícula: ES172001745 Docente: Gladys Bañuelos Rodríguez

Unidad 3. Conexidad por trayectorias y compacidad Actividad 1. Conexidad por trayectorias Tarea 29/10/2020, Chilpancingo, Guerrero, México.

Un espacio A se dice conexo si no existen B, C conjuntos abiertos distintos de los vacíos, y ajenos cuya unión sea A, prueba lo siguiente a) Dada una sucesión de conjuntos conexos 𝑨𝒏 , entonces su unión ⋃𝒏 𝑨𝒏 es un conjunto conexo. Demostración: Siendo (𝑋, 𝑑) un espacio métrico y 𝒜 una familia de conjuntos conexos en 𝑋 para el cual, cada par de conjuntos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝒜 existe: {𝐴0 , 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 }; 𝐴𝑛 ∈ 𝒜 Para los cuales se satisface las condiciones: 𝐴0 = 𝐴 𝐴𝑛 = 𝐵 Y 𝐴𝑖 ∩ 𝐴𝑖+1 ≠ ∅ Para el cual: 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑛 − 1; ∀𝑖 ∈ ℕ Entonces demostraremos por reducción al absurdo, que: ⋃𝐴 𝐴∈𝒜

Es conexo. Supongamos que la unión es un conjunto disconexo, entonces existen los conjuntos 𝑈 y 𝑉 los cuales nos son vacíos y son conjuntos disjuntos abiertos, para los cuales se cumple que: ⋃𝐴=𝑈∪𝑉 𝐴∈𝒜

Entonces: ⋃ 𝐴𝑛 ⊆ 𝑈 ∪ 𝑉 𝑛

Si cada 𝐴 es conexo, por lo tanto, es un subconjunto de 𝑈 o un conjunto de 𝑉. Si asumimos que: 𝐴⊆𝑈

Para algún 𝐴. Tomando a 𝐵 ∈ 𝒜 y una sucesión: 𝐴𝑖 , … , 𝐴 𝑛 Como condiciones. Mediante inducción 𝐴𝑖 ⊆ 𝑈; ∀𝑖 ∈ ℤ+ . Entonces: 𝐴𝑖+1 ∩ 𝐴𝑖 ⊆ 𝑈 ≠ ∅ Con lo cual 𝐴𝑖+1 interseca al conjunto 𝑈 y por conectividad es un subconjunto de 𝑈. Entonces, para 𝐵 = 𝐴𝑛 ⊆ 𝑈 Siendo 𝐵 arbitrario: ⋃𝐴⊆𝑈 𝐴∈𝒜

Y 𝑉∩⋃𝐴=∅ 𝐴∈𝒜

Por último, ⋃𝑛 𝐴𝑛 ⊆ 𝑈 ∪ 𝑉 es conexo. ∎ b) Sea 𝑨𝜶 una colección de conjuntos conexos, si A es un subespacio conexo, tal que para todo 𝜶 se tiene que A∩ 𝑨𝜶 ≠ ∅, entonces la unión de A y todos los conjuntos de la colección 𝑨 ∪ (⋃𝑨𝜶 ) forman un conjunto conexo. Demostración: Siendo: {𝐴𝛼 } Una colección de subespacios conexos de un espacio topológico 𝑋 para el cual existe un punto 𝑝, tal que: 𝑝 ∈ ⋂ 𝐴𝛼 Probamos que el espacio: 𝑌 = ⋃ 𝐴𝛼 Es un espacio conexo.

Si suponemos que: 𝑌 =𝐶∪𝐷 Es una separación del espacio 𝑌. Entonces el punto 𝑝 está en 𝐶 o está en 𝐷. Si suponemos que 𝑝 ∈ 𝐶. Debido a que 𝐴𝛼 es conexo, pues 𝐴𝛼 ⊂ 𝐷, aunque esta última posibilidad descarta que: 𝑝 ∈ 𝐴𝛼 Y 𝑝∈𝐶 Por lo tanto, 𝐴𝛼 ⊂ 𝐶; ∀𝛼, de tal manera que: ⋃ 𝐴𝛼 ⊂ 𝐶 Lo cual contradice que 𝐷 es un conjunto no vacío y, por lo tanto, la unión de 𝐴 y todos los conjuntos de la colección 𝐴 ∪ (⋃𝐴𝛼 ) forman un conjunto conexo. ∎ c) Un espacio es totalmente disconexo, si y solo si, los únicos conjuntos conexos son los conjuntos de un solo punto. Pruebe que, si X tiene la topología discreta, entonces es totalmente disconexo, ¿Es cierto la implicación inversa? Demostración: La topología discreta (𝑋, 𝒯𝑑 ) es totalmente disconexa, pues observamos que: {𝑥} Es abierto, cerrado y conexo en (𝑋, 𝒯), entonces una componente conexa en (𝑋, 𝒯) para todo 𝑥 ∈ 𝑋, si 𝐴 ⊆ 𝑋 es un subconjunto no vacío, conexo, abierto y cerrado en (𝑋, 𝒯) entonces la topología discreta (𝑋, 𝒯𝑑 ) es totalmente disconexa. ∎ d) Prueba que cada conjunto conexo de X es arco conexo. Demostración: En este caso demostraremos que todo conjunto arconexo 𝐴 es conexo. Si 𝐴 es vacío, entonces 𝐴 es conexo. Suponiendo que 𝐴 ≠ ∅; por ejemplo, que 𝑝 ∈ 𝐴. Debido a que 𝐴 es arconexo, existe para cada: 𝑎∈𝐴 Una trayectoria tal que:

𝑓𝑎 : 𝐼 → 𝐴 De 𝑝 a 𝑎, Con lo cual: 𝑎 ∈ 𝑓𝑎 [𝐼] ⊂ 𝐴 Y, por lo tanto: 𝐴 = ⋃{𝑓𝑎 [𝐼]|𝑎 ∈ 𝐴} Si 𝑝 ∈ 𝑓𝑎 [𝐼]; ∀𝑎 ∈ 𝐴 Entonces: ⋂{𝑓𝑎 [𝐼]|𝑎 ∈ 𝐴} ≠ ∅ Pero: 𝑓𝑎 [𝐼] Es un conjunto conexo y por lo tanto 𝐴 es conexo. Por último, cada conjunto conexo de 𝑋 es arco conexo. ∎

Bibliografía Accinelli, E. (2005). Elementos de topología y de la teoría de conjuntos en la teoría del equilibrio general. México: Universidad Autonoma Metropolitana. DORADO, J. L. (2008 ). INTRODUCCIÓN A LA TOPOLOGÍA GENERAL . ESPAÑA: UNIVERSIDAD DE MÁLAGA . MUNKRES, J. (2002). TOPOLOGÍA . MADRID : PEARSON EDUCACIÓN . O., G. N. (2001). Topología General. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia. Prieto de Castro, C. (2017). Topologia basica (2a. ed.). España: Fondo de Cultura Economica. SEYMOUR LIPSCHUTZ, P. (1970). TOPOLOGÍA GENERAL. MÉXICO: MC GRAW-HILL.