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Práctica de ejercicios

Nombre: Raúl Ibáñez Couoh

Matrícula: ES172001745

Nombre del curso:

Nombre del profesor: Braulio Samuel Colmenero Mejía

Unidad: 2

Actividad: 2

Fecha: 11/08/2020 Bibliografía:

Bartle, R. (2004). Introducción al análisis matemático de una variable. México: LIMUSA. Courant, R. (1999). Introducción al cálculo y al análisis matemático . México : Limusa . Haaser, N. (1999). Análisis Matemático. México: trillas. Rudin, W. (1980 ). Principios de análisis matemático . México: McGraw Hill . T.M.Apostol. (2006 ). Análisis Matemático . Barcelona: Reverté, S.A. .

Ejercicios a resolver: 1.Demuestre el Teorema de Lebesgue. Sea f : A → , una función a cot ada definida en un

rec tan gulo cerrado A 

n

. Una condición necesaria y suficiente para que f , sea una

int egral de Riemann sobre A, es que el conjunto de sus puntos de discontinuidad D( f ) tenga medida nula. Necesitamos demostrar que para cada 𝐷1/𝑚 (𝑓) se encuentra el contenido nulo y que con ello se seguirá que: 𝐷(𝑓) = ⋃𝑚∈ℕ 𝐷1/𝑚 (𝑓) tiende medida nula. Por lo cual, para demostrar que 𝐷1/𝑚 (𝑓) tiene contenido nulo es necesario que para cada 𝜖 > 0 exista una descomposición 𝐷 1 (𝑓) = 𝐸𝜖 ∪ 𝐹𝜖 en donde 𝐸𝜖 poseé contenido nulo y 𝐹𝜖 puede 𝑚

cubrir con una cantidad finita de rectángulos cerrados para los cuales su suma es menor que 𝜀. Debido a que 𝑓 es una función integrable, entonces existe 𝑝 ∈ 𝒫(𝐴) tal que 𝜀 𝑆(𝑓, 𝑝) − 𝑠(𝑓, 𝑝) < . Siendo 𝐹𝜀 la parte de 𝐷 1 (𝑓) cubierta a través de los 𝑚

rectángulos de:

𝑚

Práctica de ejercicios ̇

∆𝑀 = {𝑆 ∈ ∆(𝑝)|𝑆 ∩ 𝐷 1 (𝑓) ≠ ∅} 𝑚

Por lo cual, 𝐸𝜖 en la parte de 𝐷1/𝑚 (𝑓) no cubierta por rectángulos. En el conjunto 𝐸𝜖 se tiene contenido nulo debido a que se encuentra contenido en la unión de las caras de los rectángulos. 𝑆 ∈ ∆(𝑝) Y así: 1 𝜖 ∑ 𝑣(𝑠) ≤ ∑ [𝑀(𝑓, 𝑆) − 𝑚(𝑓, 𝑆)]𝑣(𝑠) ≤ 𝑆(𝑓, 𝑝) − 𝑠(𝑓, 𝑝) ≤ 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑆∈∆

𝑆∈∆

La condición anterior, hace suficiente para que si 𝐷(𝑓) tenga medida nula, para cada 𝜖 > 0, por lo cual el conjunto 𝐷𝜖 (𝑓) tiene medida nula y por lo tanto es un conjunto compacto. Como 𝐷𝜖 (𝑓) tiene contenido nulo, luego existe una familia de rectángulos finitos abiertos representados por: 𝑈1 , 𝑈2 … . 𝑈𝑚 Los cuales se encuentran recubriendo a 𝐷𝜖 (𝑓) y con lo cual se verifica que: 𝑚

∑ 𝑣(𝑈𝑗 ) < 𝜖 𝑗=1

Con ello se observa que existe 𝑝 ∈ 𝒫(𝐴) con la propiedad de que 𝑆𝑖 𝑆 ∈ ∆(𝑝) ̅𝑗 . Por lo cual se puede clasificar a los rectángulos corta a 𝐷𝜖 (𝑓). Entonces, 𝑆 ⊂ 𝑈 finitos de ∆(𝑝) mediante 2 familias. ∆1 = {𝑆 ∈ ∆(𝑝)| 𝑆 ∩ 𝐷𝜖 (𝑓) ≠ ∅} ∆2 = {𝑆 ∈ ∆(𝑝)|𝑆 ∩ 𝐷𝜖 (𝑓) = ∅} Luego: Por otra parte, cuando 𝑆 ∈ ∆2 , los rectángulos 𝑆 ′ ⊂ 𝑆 forman una subdivisión de 𝑆, tal que es más fina que 𝑝𝑠 y por ello se verifica que: ∑ [𝑀(𝑓, 𝑆 ′ ) − 𝑚(𝑓, 𝑆 ′ )]𝑣(𝑆 ′ ) < 𝜖𝑣(𝑆) 𝑆 ′ ⊂𝑆

Entonces: ∑ ∑ [𝑀(𝑓, 𝑆 ′ ) − 𝑚(𝑓, 𝑆 ′ )]𝑣(𝑆 ′ ) ≤ ∑ 𝜖𝑣(𝑆) ≤ 𝜖𝑣(𝐴). 𝑆∈∆2 𝑆 ′ ⊂𝑆 ′)

𝑆∈∆2

′)

Por último, 𝑆(𝑓, 𝑝 − 𝑠(𝑓, 𝑝 ≤ (2𝐶 + 𝑣(𝐴))𝜖 da la conclusión de que la función 𝑓 es integrable Riemann sobre 𝐴. ∎ 2.Demuestre la medida de Lebesgue de (0,1]. Sea S = (a, b] : 0  a  b  1 y definimos en S la función  : S → [0,1] por  ( ) = 0,  ( a, b] = b − a Tenemos que 𝜆(𝐴) ≥ 0. Por lo cual para demostrar que 𝜆 es la única extensión, debemos demostrar que 𝜆 es 𝜎-aditiva para 𝑆. Si 𝜆 es aditiva. Siendo (𝑎, 𝑏] ∈ 𝑆 y suponiendo que: 𝑛

(𝑎, 𝑏] = ⋃(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] 𝑖=1

Entonces 𝜆(𝑎, 𝑏] = 𝑏 − 𝑎 y ∑𝑛𝑖=1(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) = 𝑏 − 𝑎. Con lo cual se muestra que 𝜆 es aditiva.

Práctica de ejercicios

Como 𝜆 es 𝜎-aditiva. Siendo (𝑎, 𝑏] = ⋃𝑛≥1(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ]. En donde los intervalos en la unión son disjuntos dos a dos. Se demuestra primero que: ∞

𝑏 − 𝑎 ≤ ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ). 𝑖=1

Siendo 𝜖 < 𝑏 − 𝑎 y observando que:

∞

(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 + 𝜖2−𝑖 )

[𝑎 + 𝜖, 𝑏] ⊂ ⋃ 𝑁

𝑖=1

𝑏 − 𝑎 − 𝜖 ≤ ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 + 𝜖2−𝑖 ) 𝑖=1

Entonces:

∞

𝑏 − 𝑎 ≤ ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) + 2𝜖. 𝑖=1

Con lo cual se implica que:

∞

𝑏 − 𝑎 ≤ ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ) 𝑖=1

Obteniendo una desigual en el sentido inverso. Observamos que si (𝑎, 𝑏] = ⋃𝑛𝑖=1(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] donde los intervalos son disjuntos, entonces: 𝑛

𝑛

𝜆(𝑎, 𝑏] = 𝑏 − 𝑎 ≥ ∑ 𝜆(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] = ∑(𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 ). 𝑖=1

𝑖=1

Con lo cual se verifica ya que conocemos que 𝜆 es aditiva en 𝑆. Para todo 𝑛, ⋃𝑛𝑖=1(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] se tiene la unión finita y disjunta de los intervalos y por lo cual: 𝑛

𝑚

(𝑎, 𝑏] − ⋃(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] = ⋃ 𝐼𝑗 𝑖=1

𝑗=1

A través de Aditividad: 𝑛

𝑚

𝜆(𝑎, 𝑏] = 𝜆 (⋃(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] ∪ ⋃ 𝐼𝑗 ) 𝑖=1

𝑗=1

𝑛

𝑚

𝑛

𝜆(𝑎, 𝑏] = ∑ 𝜆(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] + ∑ 𝜆(𝐼𝑗 ) ≥ ∑ 𝜆(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ] 𝑖=1

𝑗=1

𝑖=1

De tal manera, que haciendo 𝑛 → ∞ se obtiene: ∞

𝜆(𝑎, 𝑏] ≥ ∑ 𝜆(𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 ]. 𝑖=1

3.- Demuestre que el intervalo (a, ) , a , es medible Dado que 𝐴 ⊂ ℝ, entonces: 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝑎, ∞)) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ (−∞, 𝑎]) ≤ 𝑚∗ 𝐴. a) Si 𝑚∗ 𝐴 = ∞ no hay nada que demostrar.

∎

b) Suponiendo que 𝑚∗ 𝐴 < ∞. A través de la definición de 𝑚∗ , dado que para 𝜖 > 0 existe una cubierta tal que:

Práctica de ejercicios

{𝐼𝑛 }𝑛≥1 de 𝐴 para intervalos abiertos tales que: ∑ ℓ(𝐼𝑛 ) ≤ 𝑚∗ 𝐴 + 𝜖 𝑛

Siendo: 𝐼𝑛′ = 𝐼𝑛 ∩ (𝑎, ∞) 𝑦 𝐼𝑛′′ = 𝐼𝑛 ∩ (−∞, 𝑎] Ambos intervalos son disjuntos o vacíos y con ello: ℓ(𝐼𝑛 ) = ℓ(𝐼𝑛′ ) + ℓ(𝐼𝑛′′ ) = 𝑚∗ 𝐼𝑛′ + 𝑚∗ 𝐼𝑛′′ Con ellos: 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝑎, ∞)) ≤ ∑ 𝑚∗ 𝐼𝑛 𝑛

De manera similar: 𝐴 ∩ (−∞, 𝑎] ⊂ ⋃ 𝐼𝑛′′ 𝑛

Por último: 𝑁

𝑚∗ (𝐴 ∩ (−∞, 𝑎]) ≤ ∑ 𝑚∗ 𝐼𝑛′′ = ∑ ℓ(𝐼𝑛′′ ) 𝑛=1

𝑛

∎ 4.- Si  I p  es una colección numerable de semintervalos disjuntos dos a dos,

m * I p =  mI p

entonces demuestre que:

Mediante la 𝜎-subaditividad de la medida exterior: 𝑚∗ (⋃ 𝐼𝑝 ) ≤ ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ). Por lo que a través de la definición de: 𝑚∗ (⋃ 𝐼𝑝 ) = inf {∑ 𝑚(𝐽𝑠 )| ⋃ 𝐼𝑃 ⊂ ⋃ 𝐽𝑠 } Basta con que {𝐽𝑠 } sea una colección numerable de semintervalos tales que: ⋃ 𝐼𝑝 ⊂ ⋃ 𝐽𝑠 ⇒ ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ) ≤ ∑ 𝑚(𝐽𝑠 ) Debido a que: 𝐼𝑝 = ⋃ 𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 𝑆

Se tiene que: 𝑚(𝐼𝑝 ) ≤ ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 ) 𝑆

Entonces: ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ) ≤ ∑ ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 ) 𝑝

𝑝

𝑠

= ∑ ∑ 𝑚(𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 ) ≤ ∑ 𝑚(𝐽𝑠 ) 𝑠

𝑝

𝑠

Donde derivado de la última desigualdad, tenemos en cuenta que: ⋃ 𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 ⊂ 𝐽𝑠 𝑝

Y, por último, los intervalos {𝐼𝑝 ∩ 𝐽𝑠 }𝑝 son disjuntos 2 a 2. ∎