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Práctica de ejercicios

Nombre: Raúl Ibáñez Couoh

Matrícula: ES172001745

Nombre del curso: Análisis

Nombre del profesor: Braulio

matemático II.

Samuel Colmenero Mejía

Unidad: 3

Actividad: EA

Fecha: 12/08/2020 Bibliografía: Bartle, R. (2004). Introducción al análisis matemático de una variable. México: LIMUSA. Courant, R. (1999). Introducción al cálculo y al análisis matemático . México : Limusa . Haaser, N. (1999). Análisis Matemático. México: trillas. Rudin, W. (1980 ). Principios de análisis matemático . México: McGraw Hill . T.M.Apostol. (2006 ). Análisis Matemático . Barcelona: Reverté, S.A. .

Ejercicios a resolver: 1. Demuestre lo siguiente : Si A  B, entonces m * A  m * B Demostración: Dado que {𝐼𝑛 }𝑛≥1 es una cubierta de 𝐵 por medio de intervalos abiertos, entonces: ⋃ 𝐼𝑛 ⊃ 𝐵 ⊃ 𝐴 𝑛≥1

Por lo tanto {𝐼𝑛 }𝑛≥1 es también una cubierta de 𝐴 a través de intervalos abiertos. Por lo cual. {∑ ℓ(𝐼𝑛 ) | ⋃ 𝐼𝑛 ⊃ 𝐵} ⊂ {∑ ℓ(𝐽𝑛 )| ⋃ 𝐽𝑛 ⊃ 𝐴} 𝑛≥1

𝑛≥1

𝑛≥1

𝑛≥1

Esto se debe a que las cubiertas de 𝐵 también se encuentran cubriendo a 𝐴 y como 𝐴 tiene cubiertas que no cubren 𝐵. Por último: 𝑚∗ 𝐵 = inf {∑ ℓ(𝐼𝑗 ) | ⋃ 𝐼𝑗 ⊃ 𝐵} ≥ inf {∑ ℓ(𝐽𝑗 )| ⋃ 𝐼𝑗 ⊃ 𝐴} = 𝑚∗ (𝐴). 𝑗

𝑗

𝑗

𝑗≥1

∎ 2. Demuestre que la medida exterior de un intervalo es igual a su longitud. Demostración: Considerando el caso de: 𝐼 = [𝑎, 𝑏], 𝑎 < 𝑏 Demostramos ambas desigualdades: 𝑚∗ [𝑎, 𝑏] ≤ 𝑏 − 𝑎 𝑦 𝑏 − 𝑎 ≤ 𝑚∗ [𝑎, 𝑏]

Práctica de ejercicios

Observando que las cubiertas del tipo: 1 1 {(𝑎 − , 𝑏 + )} 𝑛 𝑛 Entonces: 1 1 [𝑎, 𝑏] ⊂ (𝑎 − , 𝑏 + ) , ∀𝑛 ≥ 1 𝑛 𝑛 Por lo tanto, para toda 𝑛 ≥ 1 se tiene: 2 𝑚∗ [𝑎, 𝑏] ≤ 𝑏 − 𝑎 + 𝑛 Lo cual demuestra que: 𝑚∗ [𝑎, 𝑏] ≤ 𝑏 − 𝑎 Entonces siendo {𝐼𝑛 }𝑛≥1 una cubierta de [𝑎, 𝑏] dada por intervalos abiertos. Dada la compacidad del intervalo [𝑎, 𝑏], nos encontramos con la existencia de una subcubierta 𝑀 finita {𝐼𝑛𝑚 } de [𝑎, 𝑏] Dado que: 𝑚=1

𝑀

𝑎 ∈ ⋃ 𝐼𝑛𝑚 𝑚=1

Existe un subintervalo 𝐼1 = 𝐼𝑛𝑚1 tal que 𝑎 ∈ 𝐼1 = (𝑎1 , 𝑏1 ). Por lo cual: 𝑎1 < 𝑎 < 𝑏1 Dado que 𝑏 < 𝑏1 habremos concluidos. En el caso de que 𝑏1 < 𝑏 y para: 𝑀

[𝑎, 𝑏] ⊂ ⋃ 𝐼𝑛𝑚 𝑚=1

Nos encontramos con la existencia de un intervalo 𝐼2 = 𝐼𝑛𝑚2 tal que 𝑏1 ∈ 𝐼2 = (𝑎2 , 𝑏2 ), lo cual representa que 𝑎2 < 𝑏1 < 𝑏2 . De tal manera hemos logrado obtener así una nueva subcolección finita: 𝐼1 , 𝐼2 , … . . , 𝐼𝑘 Siendo estos subintervalos abiertos tales que: 𝑎𝑗 < 𝑏𝑗−1 < 𝑏𝑗 Para: 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1 𝑦 𝑎𝑘 < 𝑏 < 𝑏𝑘 Entonces para toda cubierta tal que (𝐼𝑛 )𝑛≥1 de [𝑎, 𝑏] se tiene: 𝑀

𝑘

𝑘

∑ ℓ(𝐼𝑛 ) ≥ ∑ ℓ(𝐼𝑛𝑚 ) ≥ ∑ ℓ(𝐼𝑗 ) = ∑(𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 ) 𝑛≥1

𝑚=1

𝑗=1

𝑗=1

𝑘

∑(𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 ) = (𝑏𝑘 − 𝑎𝑘 ) + (𝑏𝑘−1 − 𝑎𝑘−1 ) + ⋯ + (𝑏2 − 𝑎2 ) + (𝑏1 − 𝑎1 ) 𝑗=1 𝑘

∑(𝑏𝑗 − 𝑎𝑗 ) = 𝑏𝑘 − (𝑎𝑘 − 𝑏𝑘−1 ) − ⋯ − (𝑎2 − 𝑏1 ) − 𝑎1 ≥ 𝑏 − 𝑎 𝑗=1

Lo cual significa que: 𝑚∗ ([𝑎, 𝑏]) ≥ 𝑏 − 𝑎 Suponiendo que 𝐼 es arbitrario, pero con una longitud finita. Entonces existe un intervalo cerrado 𝒥 tal que: 𝒥 ⊂ 𝐼 𝑦 ℓ(𝒥) > ℓ(𝐼) − 𝜖, 𝜖 > 0. Por lo tanto:

Práctica de ejercicios ∗

∗

ℓ(𝐼) − 𝜖 < ℓ(𝒥) = 𝑚 𝒥 ≤ 𝑚 𝐼 ≤ 𝑚∗ 𝐼 ̅ = ℓ(𝐼 )̅ = ℓ(𝐼) De lo anterior, se tiene que: 𝑚∗ 𝐼 ≤ ℓ(𝐼) y ℓ(𝐼) − 𝜖 ≤ 𝑚∗ 𝐼 para todo 𝜖 > 0 por lo tanto: 𝑚∗ 𝐼 = ℓ(𝐼) Siendo 𝐼 un intervalo finito, para cualquier 𝑀 > 0 existe un intervalo cerrado: 𝒥 ⊂ 𝐼 tal que ℓ(𝒥) = 𝑀. Entonces: 𝑚∗ 𝐼 ≥ 𝑚∗ 𝒥 = ℓ(𝒥) = 𝑀 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀 > 0 Por último: 𝑚∗ 𝐼 = ∞ 𝑚∗ 𝐼 = ℓ(𝐼). ∎ 3. Si E y F son medibles, entonces E

F es medible.

Demostración: Dado cualquier subconjunto tal que 𝐴 ⊂ ℝ, basta demostrar que: 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)𝑐 ) < 𝑚∗ 𝐴 Dado que: 𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)) ∩ (𝐸 ∪ 𝐸 𝑐 ) 𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) ∩ 𝐸 𝑐 ) 𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) = (𝐴 ∩ 𝐸 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∩ 𝐹 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∩ 𝐸 ∩ 𝐸 𝑐 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐹 ∩ 𝐸 𝑐 ) 𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹) = (𝐴 ∩ 𝐸) ∪ (𝐴 ∩ 𝐹 ∩ 𝐸 𝑐 ) Por lo cual, a través de la subaditividad. 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)) ≤ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐹 ∩ 𝐸 𝑐 ) En consecuencia: 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ∩ 𝐹 𝑐 ) ≤ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐹 ∩ 𝐸 𝑐 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ∩ 𝐹 𝑐 ) = 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ) Debido a que 𝐹 es medible, de tal manera, la medibilidad de 𝐸 implica: 𝑚∗ (𝐴 ∩ (𝐸 ∪ 𝐹)) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ∩ 𝐹 𝑐 ) ≤ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ) = 𝑚∗ 𝐴 ∎

4. Demuestre que : M es una  − á lg ebra . Demostración: Debido a que ℳ es un álgebra, necesitamos verificar que es cerrada bajo uniones numerables. Siendo: (𝐸𝑛 )𝑛≥1 Una sucesión de elementos de ℳ. Siendo ℳ un álgebra, podemos suponer que para: (𝐸𝑛 )𝑛≥1 Se tiene una sucesión disjunta. Siendo: 𝑛

𝐹𝑛 = ⋃ 𝐸𝑗 𝑗=1

Para cada 𝐹𝑛 es medible y para:

∞

𝐹𝑛 ⊂ 𝐸 = ⋃

𝐸𝑗

𝑗=1

Por lo que para cada 𝑛 ≥ 1 𝐸 𝑐 ⊂ 𝐹𝑛𝑐

Práctica de ejercicios

Siendo 𝐴 ⊂ ℝ cualquier subconjunto de prueba: 𝑚∗ (𝐴) = 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐹𝑛 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐹𝑛𝑐 ) ≥ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐹𝑛 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸𝑛𝑐 ) 𝑛

𝑚∗ (𝐴) = ∑ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸𝑗 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸𝑛𝑐 ) ∀𝑛 ≥ 1 𝑗=1

Debido a que:

𝑛

𝐴∩

𝐸𝑛𝑐

⊂𝐴∩

𝐹𝑛𝑐

𝑦 𝐹𝑛 = ⋃ 𝐸𝑗 𝑗=1

Por lo cual:

∞

𝑚

∗ (𝐴)

∞

≥ ∑ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸𝑗 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ) 𝑗=1

∑ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸𝑗 ) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ) ≥ 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸) + 𝑚∗ (𝐴 ∩ 𝐸 𝑐 ) 𝑗=1

A raíz de la subaditividad. ∎ Resultados: La integral de Lebesgue permite integrar funciones más generales, trata simultáneamente funciones acotadas y no acotadas, y permite reemplazar el intervalo [𝑎, 𝑏] por conjuntos más generales. En la integral de Lebesgue se cumplen un mayor número de teoremas de convergencia. Si una sucesión de funciones {𝑓𝑛 } converge puntualmente hacia una función límite 𝑓 en [𝑎, 𝑏, sería deseable poder concluir que: 𝑏

𝑏

lim ∫ 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑛→∞

𝑎

𝑎