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• Wilson Agustín Barrientos Gutiérrez

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ABASTECIMIENTO DE AGUA Y ALCANTARILLADO

problema: se tiene los siguientes datos poblacionales: AÑO

POBLACIÓN 1961 1972 1981 1993 2007 2012 2018

1800 2100 2700 3570 4500 6010 7000

Calcular la población futura para el año a) metodo aritmetico b)metodo geometrico c) metodo logaritmico d) metodo logistico e) metodo de la eciación de segundo grado f) metodo de los incrementos g) metodo de los minimos cuadrados h) metodo de la organización mundial de la salud

2038

por los siguientes métodos

SOLUCION Previamente los datos censales deben ser indicados en periodos de tiempos iguales (decadas), considerando que varían siguiendo una progresión aritmética la población por decadas es: AÑO POBLACIÓN dP dt r AÑO POBLACION 1961 1800 300 11 27.27 1968 1991 CORREGIR 1972 2100 600 9 66.67 1978 2500 1981 2700 870 12 72.50 1988 3208 1993 3570 930 14 66.43 1998 3902 2007 4500 1510 5 302.00 2008 4802 2012 6010 990 6 165.00 2018 7000 2018 7000 2028 2038

a) metodo aritmetico

𝑷𝒇 = 𝑷𝒐 + 𝒓 𝒕 − 𝒕𝒐

donde Pf: población futura Po: población actual r: razón de cambio de las poblaciones con respecto al tiempo dP/dt t: valor del tiempo en el instante para el cual se calcula la población futura to: valor del tiempo en el instante para el cual se calcula la población futura.

𝑟 =(P (t+1) -Pt)/(t (t+1) -tt)

población al: 2038 AÑO POBLACIÓN dP 1968 1991 1978 2500 1988 3208 1998 3902 2008 4802 2018 7000

dt 509 708 695 900 2198

r 10 10 10 10 10

50.91 70.75 69.46 89.99 219.80

suma r r (medio)= pf=po+r(t-to) p(2038)=

500.91 100.18 9003.6 habitantes

b) metodo geometrico

𝑷𝒇 = 𝑷𝒐 ∗ 𝒓

𝒕−𝒕𝒐

Pf: población futura Po: población inicial r: razón de crecimiento t: tiempo en el que se calcula la población to: tiempo inicial

Poblacion al 2038 AÑO POBLACION dt 1968 1991 1978 2500 1988 3208 1998 3902 2008 4802 2018 7000

r 10 10 10 10 10

1.02303115 1.02523321 1.01979681 1.02096746 1.03840696

r (medio)=

𝑃𝑓 1 𝑟 = ( )(𝑡−𝑡𝑜) 𝑃𝑜

1.02548712

P(2038)=

11580 habitantes

método del interés simple

𝑷𝒇 = 𝑷𝒐 𝟏 + 𝒓 𝒕 − 𝒕𝒐 Pf= Población futura Po: Población inicial r: razón de crecimiento t: tiempo futuro to: tiempo inicial

𝑟=

𝑃𝑓 − 𝑃𝑜 𝑃𝑜 𝑡 − 𝑡𝑜

población al 2038 AÑO POBLACIÓN dt 1968 1991 1978 2500 1988 3208 1998 3902 2008 4802 2018 7000

r(medio) p(2038)=

r 10 10 10 10 10

0.02557078 0.0283 0.02165683 0.02306059 0.04577259

0.02887216 11042 habitantes

c) Método logaritmico

𝑳𝒏 𝑷𝒇 = 𝑳𝒏 𝑷𝒐 + 𝒓 𝒕 − 𝒕𝒐 Pf= Población futura Po: Población inicial r: razón de crecimiento t: tiempo futuro to: tiempo inicial

𝑟=

población al 2038 AÑO POBLACIÓN dt 1968 1991 1978 2500 1988 3208 1998 3902 2008 4802 2018 7000

𝐿𝑛 𝑃𝑓 − 𝐿𝑛 𝑃𝑜 𝑡𝑓 − 𝑡𝑜

d) Método logistico

población al año=

𝑷𝒇 =

r 10 10 10 10 10

0.02276994 0.02492011 0.0196034 0.02075066 0.03768777

r(medio)

0.02514638

Ln(2038) = Pf(2038)=

9.35659294 11575 habitantes

2038

𝑷𝒔 𝟏 + 𝒆 𝒂+𝒃𝒕

Pf= Población futura Ps: Población de saturación (cantidad máxima de habitantes que pueden ocupar un area determinada) Po,p1,p2 : Datos de la población a intervalos de tiempo iguales a,b: constantes reales t: cantidad de intervalos de tiempo iguales

1) establecer 3 valores de población medidos a intervalos de tiempo iguales Po,P1,P2 AÑO Po= P1= P2=

3902 4802 7000

POBLACIÓN 1998 3902 2008 4802 2018 7000

EDITAR

2) Para aplicar el metodo se debe cumplir las suiguientes condiciones

𝑃𝑜 ∗ 𝑃2 ≤ 𝑃1ᶺ2

0

Po+P2