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• Leidy Uribe

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Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas ´ ´ ANALISIS MATEMATICO II (CiBEx - F´ısica M´ edica) GU´ IA Nro. 3a: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.

Definici´ on y gr´ aficas

En general, al estudiar fen´ omenos del mundo real es usual que una cantidad dependa de m´as de una variable. Por ejemplo, los servicios meteorol´ ogicos mundiales aplican el llamado ´ındice de sensaci´on t´ermica, I, que refleja el efecto que sobre la temperatura real del aire ejerce la acci´on del viento. Este ´ındice combina, bajo determinadas condiciones, la velocidad del viento v y la temperatura T , mediante una funci´ on de dos variables I(v, T ). As´ı tambi´en, un mapa cartogr´afico de una regi´on muestra la temperatura media de cada punto de latitud x y longitud y que tambi´en depende del tiempo t, dando entonces una funci´ on de tres variables T (x, y, t). Por otro lado, si en un laboratorio se quiere especificar la tasa de reacci´on R de una soluci´on que consta de cuatro sustancias qu´ımicas A, B, C y D en proporciones a, b, c, d, respectivamente, se requiere una funci´ on de cuatro variables; en este caso, la funci´on R(a, b, c, d) indica la tasa de reacci´ on cuando los reactores qu´ımicos est´ an en las proporciones indicadas. Vemos entonces que para estudiar este tipo de situaciones es necesario ampliar las ideas del c´alculo de funciones de una variable a funciones de varias variables. En l´ıneas generales, vamos a estudiar los conceptos que ya vimos en An´ alisis Matem´ atico I, generalizando ahora a m´as dimensiones. Como es de imaginar, en el caso de varias variables hay m´ as variantes que enriquecen el estudio, reflejando incluso la interacci´ on entre las variables y permitiendo describir situaciones nuevas como, por ejemplo, el movimiento de objetos en nuestro mundo tridimensional.

1.1.

Funciones escalares de n variables

´ DEFINICION: Una funci´ on real f de n variables es una regla que asigna a cada n-upla de n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ), un u ´nico n´ umero real f (x1 , x2 , . . . , xn ). Se llama dominio de f , Dom (f ), al subconjunto de Rn en el cual est´a definida la funci´on f . La imagen o rango de f , Im (f ), es el subconjunto de R formado por los valores que toma la funci´ on f . Si no indicamos ninguna condici´ on especial sobre el dominio de f , se entender´a que Dom (f ) es el “dominio natural”, es decir, el conjunto de todas las n-uplas de n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ) para las cuales la expresi´on p que define a f es un n´ umero real bien definido. Por ejemplo, dada la funci´on de dos variables f (x, y) = p y − x2 , su dominio natural es el conjunto de todos los puntos (x, y) de R2 para los cuales la expresi´on y − x2 es un n´ umero real bien definido, o sea que el radicando y − x2 no puede ser negativo. Con lo cual Dom (f ) = {(x, y) : y ≥ x2 } que, representado en el plano coordenado xy, corresponde a los puntos de la par´abola y = x2 y todos los puntos por encima de ´esta. Por otro lado, a partir de la expresi´ on de f podemos deducir que esta funci´ on no toma nunca valores negativos, pero s´ı cero o cualquier valor positivo, o sea Im (f ) = [0, +∞).

3-1

En esta materia, nos concentraremos pr´ acticamente en el estudio de funciones de n = 2 y n = 3 variables. La mayor´ıa de las aplicaciones que veremos se refieren a problemas o fen´omenos que ocurren en espacios de 2 y 3 dimensiones. Intentaremos en la medida de lo posible interpretar gr´aficamente las situaciones que se presenten.

1.2.

Funciones de n = 2 variables

´ DEFINICION: Una funci´ on real f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de n´ umeros reales (x, y), un u ´nico n´ umero real f (x, y). El dominio de f , Dom (f ), es el subconjunto de R2 en el cual est´a definida la funci´on; es decir que el dominio de una funci´ on de dos variables se representa como una regi´on del plano. El dominio natural de una funci´on f de dos variables es el conjunto de todos los puntos del plano para los cuales f (x, y) es un n´ umero real bien definido. La imagen de f es el subconjunto de R formado por los valores que toma la funci´on f . En general, para (x, y) ∈ Dom (f ) se escribir´a z = f (x, y), donde queda expl´ıcitamente definido que z es el valor que toma f para el par ordenado (x, y). Las variables x e y son llamadas variables independientes y z es la variable dependiente. EJEMPLO 1: Describir el dominio y la imagen de f (x, y) = f (1, 0) y f (1, 1).

x . x2 +y 2

Si es posible, evaluar f (−1/2, 0),

x Observamos que la expresi´ on x2 +y a bien definida siempre que el denominador x2 + y 2 6= 0, lo que 2 est´ implica que no pueden anularse simult´ aneamente ambas variables. Por lo tanto el dominio natural es el conjunto Dom (f ) = {(x, y) : (x, y) 6= (0, 0)} = R2 − {(0, 0)}. x Por otro lado, la imagen de f est´ a formada por los valores z = x2 +y 2 para todo (x, y) 6= (0, 0). Observamos entonces que z puede adoptar cualquier valor real, por lo cual Im (f ) = R.

Como (−1/2, 0), (1, 0) y (1, 1) pertenecen al dominio de f , podemos evaluar f en estos puntos: f (−1/2, 0) =

−1/2 = −2 (−1/2)2 + 02

f (1, 0) =

12

1 =1 + 02

f (1, 1) =

12

1 1 = 2 +1 2

´ REPRESENTACIONES GRAFICAS Gr´ afica de una funci´ on de 2 variables: representaci´ on en el espacio Una forma de visualizar el comportamiento general de una funci´on de dos variables es mediante la representaci´on de su gr´ afica. ´ DEFINICION: Llamamos gr´ afica de una funci´ on f de dos variables al conjunto de todos los puntos del espacio con coor3-2

denadas (x, y, z) tales que (x, y) est´ a en el dominio de f y z = f (x, y). Si llamamos S a la superficie que representa la gr´afica de f , entonces S = {(x, y, z) : z = f (x, y) con (x, y) ∈ Dom (f )}. As´ı como la gr´afica de una funci´ on F de una variable es una curva C en el plano con ecuaci´on y = F (x), la gr´afica de una funci´ on f de dos variables es una superficie S en el espacio con ecuaci´on z = f (x, y). EJEMPLOS TRIVIALES: La funci´ on nula f (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R2 tiene como gr´afica la superficie z = 0, o sea, el plano coordenado xy. La funci´ on constante f (x, y) = C (siendo C una constante fija) se representa gr´aficamente como el plano (horizontal) de ecuaci´ on z = C. EJEMPLO 2: Realizar la gr´ afica de la funci´on f (x, y) = x − y + 2 Como no hay ninguna condici´ on particular sobre el dominio de f , consideraremos el dominio natural. Para ello observamos que la expresi´ on x − y + 2 es un n´ umero real bien definido para cualquier valor 2 real que adopten x e y, por lo que Dom (f ) = R . Para obtener la imagen de la funci´ on observamos 2 que en este caso los valores que toma f son z = x − y + 2, con (x, y) ∈ R . Vemos as´ı que z puede adoptar cualquier valor real, por lo tanto, Im (f ) = R. Para trazar su gr´ afica, escribimos z = f (x, y) o sea z = x − y + 2, que sabemos que corresponde a la ecuaci´ on del plano x − y − z + 2 = 0. Veamos cu´ ales son las intersecciones de este plano con los tres planos coordenados: con el plano xy (z = 0) es la recta y = x + 2, con el plano yz (x = 0) es la recta z = 2 − y, y con el plano xz (y = 0) es z = x + 2. Adem´ as, sabemos de la Gu´ıa 1 que un vector normal al plano x − y − z + 2 = 0 est´ a dado por ~n = (1, −1, −1). Con esta informaci´ on podemos esbozar la gr´ afica de f como se ve en la Figura 1.

z (0,0,2) (-2,0,0) (0,2,0)

y x

Figura 1: La gr´ afica de la funci´ on f (x, y) = x − y + 2 es el plano x − y − z + 2 = 0

La funci´on del Ejemplo 2 es un caso especial de la forma funcional f (x, y) = ax + by + c que se denomina funci´ on lineal. La gr´afica de esta funci´on tiene ecuaci´on z = ax + by + c, que representa un plano. As´ı como las funciones lineales de una variable (de la forma general f (x) = ax+b) son importantes en el c´ alculo de una variable, veremos que las funciones lineales de dos variables desempe˜ nan un papel central en el c´ alculo de dos variables.

3-3

EJEMPLO 3: Describir el dominio y la imagen de la funci´on f (x, y) = + el dominio de f en el plano xy, y trazar la gr´afica de f en el espacio.

p 16 − x2 − y 2 . Representar

El dominio natural de f es Dom (f ) = {(x, y) : 16 − x2 − y 2 ≥ 0} = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 16} Observamos que el dominio de f es el c´ırculo con centro en el origen y radio 4, en el plano xy, como se ilustra en la Figura 2(a). La imagen (a)

y (b) (0,4) (0,0,4)

z (0,4,0)

(4,0) x

y (4,0,0) x

p Figura 2: (a) Dominio de f (x, y) = + 16 − x2 − y 2 . (b) Superficie gr´afica de f p La gr´ afica de f est´ a formada por los puntos (x, y, z) del espacio tales que z = + 16 − x2 − y 2 para (x, y) ∈ Dom (f ). Para reconocer cu´ al es esta superficie, podemos elevar al cuadrado ambos miembros 2 2 2 de la igualdad, z = 16 − x − y , teniendo en cuenta que z ≥ 0, luego x2 + y 2 + z 2 = 16,

con

z≥0

Vemos entonces que la gr´ afica de la funci´ on f (x, y) es la mitad superior de la superficie esf´erica con centro en el origen y radio 4, como se muestra en la Figura 2(b). ¿Cu´ al es la funci´ on cuya gr´ afica es la mitad inferior de la superficie esf´erica? La superficie completa de la esfera, ¿puede ser la gr´ afica de una funci´ on de dos variables? ¿Por qu´e? Reflexione y explique cu´ ales de las superficies cu´ adricas vistas en la Gu´ıa 1 pueden ser la gr´ afica de una funci´ on de 2 variables; d´e un criterio gr´ afico general para que una superficie en el espacio sea gr´ afica de funci´ on.

EJEMPLO 4: Trazar la gr´ afica de f (x, y) = y 2 . Observamos que esta funci´ on est´ a bien definida para cualquier valor real que adopten las variables x e y, por lo que Dom (f ) = R2 . Vemos tambi´en que z toma s´ olo valores reales mayores o iguales a 0, por lo que Im (f ) = [0, +∞). Las trazas verticales x = c determinan par´ abolas z = y 2 sobre la gr´ afica de f , en el plano x = c, como se puede ver en la Figura 3. La gr´ afica corresponde a un cilindro parab´ olico de eje x.

EJEMPLO 5: Trazar la gr´ afica de f (x, y) = x2 + 16y 2 . En este caso Dom (f ) = R2 y Im (f ) = [0, +∞). Para poder realizar un esbozo de su gr´afica consideraremos sus trazas horizontales y verticales. Veamos primero c´omo son las trazas horizontales, de 3-4

Figura 3: La gr´ afica de la funci´ on f (x, y) = y 2 es la superficie del cilindro parab´olico z = y 2 z = k sobre la gr´ afica de f , f (x, y) = k x2 + 16y 2 = k x2 16y 2 + = 1 k k x2 y2 √ = 1 + √ ( k)2 ( 4k )2 Vemos que se trata de elipses sobre la gr´afica de f en el plano z = k. Para calcular las trazas verticales x = c, hacemos x = c en la expresi´ on de f y queda z = c2 + 16y 2 que representan par´abolas sobre la gr´afica de f en el plano x = c. De manera similar las trazas verticales representan par´abolas sobre la gr´afica de f en el plano y = d. A partir de esta informaci´on podemos reconocer su gr´afica como un paraboloide el´ıptico de eje z, como ilustra la Figura 4.

Figura 4: Gr´ afica de f (x, y) = x2 + 16y 2 (se muestra una porci´on del paraboloide el´ıptico).

En los Ejemplos 4 y 5 encontramos funciones polinomiales de dos variables, concretamente de grado 2 (o funciones cuadr´ aticas) en ambos casos, cuya forma general es f (x, y) = ax2 + by 2 + cxy + dx + ey + l. Otros tipos de funciones con las que trabajaremos ser´an las funciones racionales, que son cocientes de polinomios en x e y, funciones trigonom´etricas, funciones logar´ıtmicas y exponenciales, etc.

Curvas de nivel: representaci´ on en el dominio de la funci´ on Una forma de visualizar una funci´ on de dos variables f (x, y) es mediante su representaci´on gr´afica en el espacio, como vimos en los ejemplos anteriores. Existe otra manera que permite imaginar la “forma” de 3-5

una funci´on (no constante) de dos variables, a partir de un conjunto de curvas en el mismo plano en el que est´a definida la funci´ on, donde cada una de las curvas se forma uniendo puntos del dominio donde la funci´ on toma el mismo valor (“tiene el mismo nivel”). ´ DEFINICION: La curva de nivel k de una funci´ on f de dos variables es el conjunto Ck de todos los puntos del dominio de la funci´on en el plano, con coordenadas (x, y) tales que f (x, y) = k, donde k es una constante que pertenece a la imagen de f . Podemos escribir la curva de nivel como Ck = {(x, y) : f (x, y) = k con (x, y) ∈ Dom (f )} para cada k ∈ Im (f ). La manera de representar a la funci´ on es mediante su mapa de contornos o mapa de niveles, que se obtiene dibujando unas cuantas curvas de nivel, para distintos valores de k. Es com´ un tomar valores de k equiespaciados. Podemos observar que, en los puntos de una dada curva de nivel, la funci´on f toma siempre el mismo valor. En otras palabras, la curva de nivel k muestra los puntos donde la gr´afica de f tiene “altura” k. A partir de las curvas de nivel rotuladas con su valor o “altura” de funci´on, se puede inferir la gr´afica de la funci´on elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada. Si se contemplara este procedimiento para todas las curvas de nivel Ck con k ∈ Im (f ), juntas conformar´ıan la gr´afica de f . Si se visualiza la gr´afica s´olo para un n´ umero finito de curvas de nivel, se logra una especie de modelo de contorno que brinda una buena idea de la gr´ afica. EJEMPLO 6: Trazar varias curvas de nivel para las funciones de los siguientes ejemplos: (a) Ejemplo 2, (b) Ejemplo 3, (c) Ejemplo 4. En cada caso, extraer conclusiones sobre las gr´aficas (ya conocidas) de las correspondientes funciones, a partir de las curvas de nivel consideradas. (a) En este ejemplo, la funci´ on considerada es f (x, y) = x − y + 2. Vimos que Dom (f ) = R2 , luego el mapa de contornos cubre todo el plano xy; y vimos que Im (f ) = R, por lo tanto podemos considerar las curvas de nivel correspondientes a cualquier n´ umero real. La curva de nivel k se obtiene haciendo f (x, y) = k, en este caso queda Ck : x − y + 2 = k, o sea y = x + 2 − k que es una recta de pendiente 1 y ordenada al origen 2 − k. Observamos en la Figura 5(a) algunas curvas de nivel para distintos valores de k, y notamos que cuando k aumenta en una unidad (lo que significa que la funci´ on aumenta en uno, o sea que la altura de su gr´ afica aumenta una unidad), la curva de nivel (que es una l´ınea recta) es paralela a la curva de nivel anterior, desplazada hacia abajo en una unidad. Por lo tanto, la superficie gr´ afica tendr´ a siempre la misma pendiente lo que confirma que se trata de un plano (como ya sab´ıamos del Ejemplo 2; ver Figura 1). p (b) En este caso la funci´ on es f (x, y) = + 16 − x2 − y 2 , cuyo dominio est´ a restringido a Dom (f ) = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 16}, y vimos que Im (f ) = [0, 4], luego k debe ser un n´ umero real entre 0 y 4; podemos considerar, por ejemplo, las curvas de nivel 0, 1, 2, 3, 4. p Para obtener la curva de nivel k hacemos 16 − x2 − y 2 = k. Elevando al cuadrado y despejando queda Ck : x2 + y 2 = 16 − k 2 , que reconocemos como la ecuaci´ on de la circunferencia con centro 3-6

√

en el origen y radio k ∈ [0, 4]).

16 − k 2 (aqu´ı notamos que el radio queda bien definido ya que, como sabemos,

Si tomamos k = 0, la curva de nivel es la circunferencia de radio 4; para k = 1, ser´ a la circunferencia √ de radio 15, etc. Vemos en la Figura 5(b) que el mapa de contornos consiste de una sucesi´ on de circunferencias conc´entricas, centradas en (0, 0) y de radio decreciente a medida que k aumenta: las circunferencias van desde C0 : x2 + y 2 = 16 achic´ andose hasta “degenerar en un punto”, el origen, ya 2 2 que C4 : x + y = 0 corresponde al (0, 0). Observamos tambi´en que el mapa de contornos en este ejemplo (a diferencia del ejemplo anterior) ocupa solamente el c´ırculo de radio 4 lo que se corresponde, por supuesto, con el dominio de la funci´ on. Conociendo las curvas de nivel Ck : f (x, y) = k para varios k podemos imaginarnos la gr´ afica S : z = f (x, y) si “subimos” cada curva hasta la altura z = k que le corresponde. As´ı notamos que, partiendo de k = 0 (el plano xy) la gr´ afica ser´ a m´ as “empinada” al principio y se har´ a m´ as plana a medida que avanzamos en altura, lo que concuerda con la gr´ afica de la superficie esf´erica (ver Figura 2(b) ). (c) En este ejemplo f (x, y) = y 2 , cuyo dominio es R2 y su imagen son los n´ umeros reales mayores o iguales a 0. Luego debemos considerar k ≥ 0. √ √ La curva de nivel k est´ a dada por y 2 = k, lo que implica |y| = k, esto es y = ± k. Observamos en la Figura 5(c) que las curvas de nivel son rectas paralelas al eje x, que para valores peque˜ nos del nivel k est´ an separadas y se van juntando a medida que k crece. Esto significa por un lado que la gr´ afica tiene siempre la misma altura a lo largo de rectas paralelas al eje x y, por otro lado, que la superficie es cada vez m´ as empinada a medida que crece en altura. Estas consideraciones son coherentes con la gr´ afica del cilindro parab´ olico del ejemplo.

(b)

y

y k=4

(c)

k=3 k=2 k=1 k=0 x

k=0 k=-2

y k=1 k=0

x

x

k=2

p Figura 5: Curvas de nivel para: (a) f (x, y) = x − y + 2, (b) f (x, y) = + 16 − x2 − y 2 , y (c) f (x, y) = y 2 .

Curvas de nivel y trazas horizontales de la gr´ afica Tracemos las curvas de nivel 0, 16 y 64 de la funci´on f (x, y) = x2 + 16y 2 del Ejemplo 5, cuya gr´afica vimos que es un paraboloide el´ıptico. La curva de nivel 0 est´ a formada por los puntos del plano xy donde f (x, y) = x2 + 16y 2 = 0

o sea

(x, y) = (0, 0)

es decir que C0 = {(0, 0)} (sigue siendo una curva de nivel). De manera similar la curva de nivel 16 es el conjunto de puntos del plano xy donde f (x, y) = x2 + 16y 2 = 16 3-7

o sea

x2 + y2 = 1 42

Figura 6: Dos representaciones equivalentes de la funci´on f (x, y) = x2 + 16y 2 : mediante curvas de nivel (para k = 0, 16, 64) y mediante la gr´ afica espacial (en este caso, un paraboloide el´ıptico). 2

es decir que C16 = {(x, y) : x42 + y 2 = 1}. La representaci´on gr´afica de C16 en el plano xy es la elipse con semiejes 4 y 1. Finalmente, los puntos que pertenecen a la curva de nivel 64, cumplen f (x, y) = x2 + 16y 2 = 64 2

o sea

x2 y 2 + 2 =1 82 2

2

es decir que C64 = {(x, y) : x82 + y22 = 1}. La representaci´on gr´afica de C64 en el plano xy es la elipse con semiejes 8 y 2. Las curvas de nivel 0, 16 y 64 est´ an mostradas en la Figura 6(a). Veamos ahora cu´al es la relaci´ on entre las curvas de nivel de f y las trazas horizontales de su gr´ afica. La 2 Figura 6(b) muestra la traza horizontal z = 64 de la gr´afica de f sobre la superficie S : z = x + 16y 2 . 2 2 Notemos que esta traza est´ a directamente arriba de la elipse x82 + y22 = 1, que es la curva de nivel 64 de f , en el dominio de la funci´ on. Dicho de otra forma, la curva de nivel f (x, y) = 64 es la traza z = 64 proyectada sobre el plano xy. El ejemplo que acabamos de analizar ilustra un resultado que es general: La curva de nivel Ck de una funci´ on f (x, y) arbitraria es precisamente la proyecci´on en el plano xy de la traza horizontal z = k de la superficie que es gr´afica de f , como se ilustra en la Figura 7.

z gráfico de f(x,y)

z=k

y f(x,y)=k

x

Figura 7: Relaci´ on entre la curva de nivel k y la traza horizontal z = k de la gr´afica de f O sea que, si se dibujan curvas de nivel de una funci´on y se visualizan como si se elevaran hasta el nivel que indica k, es posible trazar mentalmente una gr´afica aproximada. Por ejemplo: la superficie ser´a empinada donde las curvas de nivel se aproximan mucho y ser´a m´as plana donde est´an m´as separadas. 3-8

¿Qu´e ejemplos conocemos de curvas de nivel? En los mapas topogr´ aficos, por ejemplo, se trazan curvas de nivel de regiones monta˜ nosas. En este caso las curvas de nivel unen puntos de la regi´ on que tienen la misma altura respecto del nivel del mar. Otro ejemplo son las isotermas correspondientes a una regi´on. Si pensamos en un mapa meteorol´ ogico del mundo que indique por ejemplo las temperaturas promedio del mes de enero, las isotermas son curvas imaginarias en un planisferio que van conectando los lugares del mundo que tienen la misma temperatura promedio en ese mes. Del mismo modo, las isobaras conectan sitios de igual presi´on. ¿Qu´e otros ejemplos conoce?

1.3.

Funciones de n = 3 variables

´ DEFINICION: Una funci´ on real f de tres variables es una regla que asigna a cada terna ordenada de n´ umeros reales (x, y, z), un u ´nico n´ umero real f (x, y, z). El dominio de f , Dom (f ), es el subconjunto de R3 en el cual est´a definida la funci´on; es decir que el dominio de una funci´ on de tres variables se representa como una regi´on del espacio. El dominio natural de una funci´on f de tres variables es el conjunto de todos los puntos del espacio para los cuales f (x, y, z) es un n´ umero real bien definido. La imagen de f es el subconjunto de R formado por los valores que toma la funci´on f . En general, para (x, y, z) ∈ Dom (f ) se escribir´a w = f (x, y, z), donde queda expl´ıcitamente definido que w es el valor que toma f para la terna ordenada (x, y, z). Las variables x, y y z son llamadas variables independientes y w es la variable dependiente. ´ GRAFICA ´ REPRESENTACION Superficies de nivel: representaci´ on en el mismo dominio de la funci´ on Es dif´ıcil visualizar la gr´ afica de una funci´ on de tres variables, pues como vivimos en un mundo tridimensional 4 nos es dif´ıcil imaginar conjuntos en R . Para superar este obst´aculo introducimos la idea de superficie de nivel, que extiende el concepto de curva de nivel. ´ DEFINICION: La superficie de nivel k de una funci´ on f de tres variables es el conjunto Sk de todos los puntos del espacio con coordenadas (x, y, z) tales que f (x, y, z) = k, donde k es una constante que pertenece a la imagen de f . Podemos escribir la superficie de nivel como Sk = {(x, y, z) : f (x, y, z) = k, (x, y, z) ∈ Dom (f ), k ∈ Im (f )}. O sea que el valor de la funci´ on f en cualquier punto de una superficie de nivel Sk , permanece siempre igual a k. Supongamos que f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Una superficie de nivel es un subconjunto de R3 en donde f es constante. Por ejemplo, la superficie de nivel 1 para f es el conjunto donde x2 + y 2 + z 2 = 1. A ´este s´ı lo podemos visualizar: es la superficie esf´erica con centro en el origen y radio 1 en R3 . 3-9

Entender las superficies de nivel ayuda a entender, en parte, la funci´on en cuesti´on. EJEMPLO 7: Vimos antes la superficie de nivel 1 de f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 . Describiremos ahora otras superficies de nivel de la funci´ on. Dado que Im (f ) = R3+ , consideremos las superficies de nivel k ≥ 0. Para ello hacemos f (x, y, z) = k, o reemplazando la funci´ on queda x2 + y 2 + z 2 = k, que reconocemos f´ acilmente si k > 0 como la √ ecuaci´ on de la superficie esf´erica con centro en el origen de coordenadas y radio k, ´ o como el punto √ (0, 0, 0) si k = 0. Por lo tanto la superficie de nivel k > 0 es la superficie esf´erica de radio k, en donde f vale k. ¿Ahora puede hacerse una idea de la gr´ afica de f ?

EJERCICIOS: 1. Determine el dominio y la imagen de las siguientes funciones, y describa las curvas o superficies de nivel: a) f (x, y) = x − y b) f (x, y) = 4x2 + 9y 2 c) f (x, y) = ln(x + y − 1) d ) f (x, y) = x2 − y 2 e) f (x, y) = e−(x

2 +y 2 )

f ) f (x, y) = ln(9 − x2 − 9y 2 ) g) f (x, y, z) = x2 ln(x − y + z) 2. Trace varias curvas de nivel de una funci´on f cuya gr´afica sea “medio” cono de eje z, y para los mismos niveles trace las curvas de nivel de una funci´on g cuya gr´afica sea un paraboloide circular tambi´en de eje z. Compare ambos gr´ aficos. ¿Qu´e puede decir? 3. Trace la gr´afica de las siguientes funciones: a) f (x, y) = x b) f (x.y) = sen y c) f (x.y) = 1 − x2 4. Una placa met´ alica delgada est´ a ubicada en el plano xy. La temperatura en el punto de la placa con posici´on (x, y) es T (x, y). Las curvas de nivel de la funci´on T son isotermas, pues en todos los puntos de una isoterma la temperatura es la misma. Trace algunas isotermas si la funci´on que indica la temperatura (en grados Celsius) est´ a dada por T (x, y) = 1+x100 2 +2y 2 . 5. Si V (x, y) es el potencial el´ectrico en un punto (x, y) del plano xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, pues en todos los puntos de una curva equipotencial el potencial el´ectrico es el mismo. Trace algunas curvas equipotenciales si 1 V (x, y) = p R 2 − x2 − y 2 donde R es una constante positiva. 3-10

6. Describa las superficies de nivel de las siguientes funciones de tres variables: a) f (x, y, z) = x2 + 3y 2 + 5z 2 b) f (x, y, z) = x2 − y 2 7. Describa, utilizando coordenadas polares, las curvas de nivel de la funci´on ( 2xy (x, y) 6= (0, 0) x2 +y 2 f (x, y) = 0 (x, y) = (0, 0) 8. ¿C´omo debe ser la expresi´ on de una funci´on de 3 variables, para que sus superficies de nivel sean elipsoides conc´entricos en R3 , centrados en (0, 0, 0), de tal forma que el tama˜ no de los elipsoides: a) aumenta con el nivel; b) disminuye con el nivel?

2.

L´ımites y continuidad

El concepto de l´ımite es una herramienta b´ asica y u ´til para el an´alisis de funciones; nos permite estudiar derivadas y por lo tanto m´ aximos y m´ınimos, as´ıntotas, etc. Nos dedicaremos en esta secci´on al estudio del l´ımite de funciones de varias variables. Pensemos primero en una funci´ on F de una variable (F : D ⊂ R → R) y recordemos lo visto en el curso de An´alisis I. ¿cu´ando decimos que l´ım F (x) = L? Intuitivamente esto significa que conforme x se acerca m´ as x→x0

y m´as al n´ umero x0 , los valores F (x) se acercan m´as y m´as a L. Si formalizamos esta idea intuitiva sobre una base m´as precisa, podemos decir que: l´ım F (x) = L

x→x0

si para cada n´ umero  > 0 existe un n´ umero δ > 0, tal que si x ∈ Dom (F ), entonces 0 < |x − x0 | ≤ δ

implica

|F (x) − L| < 

Ahora bien, nos preguntamos ¿c´ omo se acerca x al n´ umero x0 ? ¿Qu´e caminos o direcciones se usan para acercarse a x0 ? Al ser F una funci´ on de una variable (unidimensional), s´olo hay dos posibles direcciones para llegar al n´ umero x0 , desde la izquierda de x0 o desde la derecha de x0 . M´as a´ un, si el l´ımite por la izquierda ( l´ım F (x)) es distinto del l´ımite por la derecha ( l´ım F (x)), entonces, como ya sabemos, el l´ımite x→x− 0

x→x+ 0

de la funci´on (l´ımx→x0 F (x)) no existe. Para funciones de varias variables, aunque el concepto de l´ımite es similar al visto para una variable, el c´alculo de los mismos es un poco m´ as complejo, como veremos en la pr´oxima secci´on.

2.1.

L´ımite de una funci´ on de dos variables

Pensemos ahora en una funci´ on real de dos variables f (x, y). Decimos que la funci´on de dos variables f tiene l´ımite L (n´ umero real fijo) cuando (x, y) tiende a (x0 , y0 ), si los valores f (x, y) son arbitrariamente 3-11

cercanos al n´ umero L para todos los puntos de coordenadas (x, y) suficientemente cercanos al punto (x0 , y0 ). Notemos que la definici´ on es similar a la del l´ımite funcional en una dimensi´on. Sin embargo, si tenemos en cuenta que f es una funci´ on de dos variables (bidimensional), entonces el punto (x, y) podr´a acercarse al punto (x0 , y0 ) desde muchas direcciones, como se ilustra en la Figura 8. La direcci´on del acercamiento es muy importante, como veremos a continuaci´ on.

y

y0

0

x0

x

Figura 8: Acercamiento a (x0 , y0 ) por diversos caminos ´ DEFINICION: Decimos que una funci´ on f (x, y) tiene l´ımite L cuando (x, y) tiende a (x0 , y0 ), y escribimos l´ım

f (x, y) = L

(x,y)→(x0 ,y0 )

si para cada n´ umero  > 0 existe un n´ umero δ > 0, tal que si (x, y) ∈ Dom (f ), entonces p 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ δ implica |f (x, y) − L| <  Si observamos la definici´ on, vemos que |f (x, y) − L| es la distancia entre los n´ umeros f (x, y) y L; por otro p 2 2 lado (x − x0 ) + (y − y0 ) es la distancia entre el punto (x, y) y el punto (x0 , y0 ). La definici´on de l´ımite dice, entonces, que la distancia entre f (x, y) y L es arbitrariamente peque˜ na siempre que la distancia de (x, y) a (x0 , y0 ) se haga suficientemente peque˜ na (pero no cero). El punto (x0 , y0 ) puede a´ un no pertenecer al Dom (f ). El u ´nico requisito es que (x, y) var´ıe en el Dom (f ). on Como vemos, la definici´ on se refiere s´ olo a la distancia entre (x, y) y (x0 , y0 ) y no dice nada sobre la direcci´ de la aproximaci´on. Por lo tanto si existe el l´ımite, entonces f (x, y) debe acercarse al mismo n´ umero L independientemente de c´ omo (x, y) se acerque a (x0 , y0 ). Pero obviamente, resulta imposible analizar todos los caminos que llevan a (x0 , y0 ) para ver a qu´e valor tiende f por cada uno de ellos. Ahora bien, si se intenta ver a qu´e valor tiende f por dos o tres caminos y los valores son distintos, se tiene un criterio sencillo para determinar que el l´ımite NO existe. ¿Pero si el l´ımite existe? Aqu´ı es donde se complica, porque, como dijimos, no se pueden analizar todos los caminos posibles. Sin embargo, despu´es de obtener el mismo valor L a lo largo de varios caminos, se podr´ıa suponer que el l´ımite existe y que toma el valor L hallado. En este caso, para asegurar que efectivamente l´ım f (x, y) = L, se debe satisfacer la definici´on dada previamente. Sin embargo, a menudo esta (x,y)→(x0 ,y0 )

condici´on resulta dif´ıcil de comprobar y debemos buscar herramientas alternativas que permitan asegurar que el l´ımite existe y vale L. As´ı, las reglas de l´ımites para funciones de una variable se extienden a funciones de dos variables y se tiene el siguiente criterio: 3-12

Si existen funciones g(x, y), h(x, y), tales que g(x, y) ≤ f (x, y) ≤ h(x, y) para todo (x, y) 6= (x0 , y0 ) en un disco con centro en (x0 , y0 ), y si l´ım

g(x, y) =

(x,y)→(x0 ,y0 )

l´ım

h(x, y) = L

(x,y)→(x0 ,y0 )

entonces

l´ım

f (x, y) = L

(x,y)→(x0 ,y0 )

  1 . EJEMPLO 8: Calcular el l´ım y sen x (x,y)→(0,0) Considerando que sen

1 x


≤ 1 se cumple la siguiente desigualdad     1 y sen = |y| sen 1 ≤ |y| x x

Por lo tanto,   1 −|y| ≤ y sen ≤ |y| x Si llamamos g(x, y) = −|y| y h(x, y) = |y| tenemos que

l´ım (x,y)→(0,0)

g(x, y) =

l´ım

h(x, y) = 0, por lo

(x,y)→(0,0)

tanto aplicando el criterio dado   1 l´ım y sen =0 x (x,y)→(0,0)

2.2.

Propiedades de los l´ımites de las funciones de dos variables

Supongamos que c ∈ R es una constante y que f y g son funciones reales de dos variables tales que existen los siguientes l´ımites: l´ım f (x, y) = L l´ım g(x, y) = M (x,y)→(x0 ,y0 )

(x,y)→(x0 ,y0 )

Entonces se cumplen las siguientes reglas: 1.

l´ım

[f (x, y) + g(x, y)] = L + M

(x,y)→(x0 ,y0 )

2.

l´ım

cf (x, y) = cL

(x,y)→(x0 ,y0 )

3.

l´ım

[f (x, y) g(x, y)] = L M

(x,y)→(x0 ,y0 )

 4.

l´ım (x,y)→(x0 ,y0 )

 f (x, y) L = si M 6= 0 g(x, y) M

3-13

Al aplicar las propiedades de los l´ımites a las funciones polinomiales y a las funciones racionales, obtenemos el u ´til resultado de que el l´ımite de una de estas funciones cuando (x, y) → (x0 , y0 ), puede calcularse evaluando directamente la funci´ on en (x0 , y0 ). El u ´nico requisito a tener en cuenta es que las funciones racionales est´en definidas en (x0 , y0 ) (esto es, que (x0 , y0 ) pertenezca al dominio de la funci´on racional).

EJEMPLO 9: (a) Calcular, si existe, (b) Encontrar

5x2 y (x,y)→(2,−1) x2 + y 2 l´ım

x2 − xy √ √ (x,y)→(0,0) x − y l´ım

(a) f (x, y) es una funci´ on racional que est´ a bien definida en (2, −1). Por lo tanto podemos calcular el l´ımite aplicando la regla del cociente. 5 22 (−1) 5x2 y = = −4 22 + (−1)2 (x,y)→(2,−1) x2 + y 2 l´ım

√ √ (b) Como el denominador x − y tiende a 0 cuando (x, y) → (0, 0), no podemos usar la regla del √ √ cociente. Si multiplicamos el numerador y el denominador por x + y, produciremos una fracci´ on equivalente cuyo l´ımite podemos calcular.
√ √
x2 − xy x+ y x2 − xy = l´ım l´ım √ √ √ √
√ √
(x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x − y x− y x+ y √ √
x(x − y) x + y = l´ım x−y (x,y)→(0,0) √ √
= l´ım x x + y (x,y)→(0,0)

= 0 Notar que Dom (f ) = {(x, y) : x 6= y}, por lo cual pudimos simplificar el factor x − y.

EJEMPLO 10: Calcular, si existen, los siguientes l´ımites: x2 − y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 xy (b) l´ım 2 x + y2 (x,y)→(0,0) (a)

(c)

l´ım

xy 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 4 l´ım

(a) Analizaremos qu´e pasa cuando nos acercamos a (0, 0) por caminos diferentes. Por ejemplo, pense2 mos primero que nos acercamos al origen por el eje x, o sea y = 0, donde f (x, 0) = xx2 = 1. Si nos 2

aproximamos por el eje y, o sea x = 0, donde f (0, y) = −y = −1. Por lo tanto, encontramos dos y2 trayectorias que llegan al origen y a lo largo de cada una de ellas vemos que f toma valores diferentes x2 − y 2 (sobre el eje x la funci´ on vale 1 y sobre el eje y vale −1). Entonces l´ım no existe. (x,y)→(0,0) x2 + y 2

3-14

(b) Primero observamos que a lo largo de la recta x = 0 la funci´ on siempre tiene el valor 0 cuando y 6= 0. De manera similar, a lo largo de la recta y = 0 la funci´ on siempre tiene el valor 0 cuando x 6= 0. Pero si consideramos la recta y = mx, resulta que x2

xy xmx m = 2 = 2 2 +y x + (mx) 1 + m2

o sea, que a lo largo de la recta y = mx la funci´ on siempre tiene el valor lo tanto el l´ımite no existe.

m , 1+m2

que var´ıa con m. Por

(c) Analicemos qu´e pasa con f a lo largo de una l´ınea recta que pasa por el origen, de la forma y = mx. Vemos que mx3 mx f (x, mx) = 2 = x + m 4 x4 1 + m 4 x2 √ tiende a 0 cuando x → 0. Probemos con otro camino, sea por ejemplo y = x, f (y 2 , y) =

y4 1 = 4 4 y +y 2

Por lo tanto el l´ımite no existe.

EJEMPLO 11: Calcular, si existe,

5xy 2 + y2

l´ım

(x,y)→(0,0) x2

Primero observamos que a lo largo de la recta x = 0 la funci´ on siempre tiene el valor 0 cuando y 6= 0. De manera similar, a lo largo de la recta y = 0 la funci´ on siempre tiene el valor 0 cuando x 6= 0. As´ı, si el l´ımite existe cuando (x, y) → (0, 0), el valor de ese l´ımite debe ser 0. Para ver que esto es as´ı, aplicaremos dos formas distintas de comprobarlo: i) la definici´ on de l´ımite, ii) el criterio visto en un p´ arrafo anterior. i) Sea  > 0, queremos encontrar un valor δ > 0 tal que: si

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