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• Nilson Arteaga Paz

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INFORME N°1 - Grupo N°8 “NUMEROS COMPLEJOS” •

INTEGRANTES: -Anthony

Llontop Mechán -Alamo de la Cruz Wilmer Angel -Arteaga Paz Brayan Nilson -Oblitas Diaz Juan Carlos -Miñope Alarcón Abraham Josué •

CURSO:

Matemática para Ingenieros III

•

DOCENTE:

M.Sc. Juana Doris Blas Rebaza

LAMBAYEQUE 2020-II

NÚMEROS COMPLEJOS I.

INTRODUCCIÓN La variable compleja permite resolver problemas muy diferentes dentro de áreas tan variadas como pueden ser hidráulica, aerodinámica, electricidad, electromagnetismo... Algunos de ellos sólo requieren el conocimiento de los números complejos, como sucede en el caso del cálculo de los autovalores asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Otros en cambio requieren la utilización de la teoría de funciones analíticas complejas, como los problemas de contorno que aparecen, por ejemplo, en el estudio del flujo de fluidos, la conducción del calor, la elasticidad o el potencial electrostático. Muchos problemas geométricos pueden resolverse utilizando las transformaciones complejas. Mientras que para los primeros bastaría con los contenidos que se revisan en este capítulo, sobre los números complejos y las propiedades de sus operaciones que quizá ya conozca el alumnado de secundaria, sin embargo, para resolver los problemas de los siguientes tipos se requiere un conocimiento profundo sobre las funciones complejas que se estudiarán en los siguientes capítulos. Dentro de las Matemáticas propiamente dichas, es interesante estudiar la variable compleja por estar estrechamente relacionada con distintas áreas, de manera que su estudio pueda hacer accesible parte del álgebra, de la trigonometría, o proporcione herramientas para el cálculo integral y la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Comienza este capítulo con una revisión del conjunto de los números complejos, su estructura algebraica de cuerpo conmutativo, la conjugación, los conceptos de módulo y argumento, su interpretación geométrica en el plano y las operaciones elementales en forma binómica y en forma polar, pues para poder entender adecuadamente las funciones de variable compleja es necesario comprender el conjunto sobre el que están definidas: los números

complejos. Se suponen conocidas las propiedades de los números reales. Llamaremos números complejos a todo par ordenado de números reales el cual denotaremos por: Al conjunto de los números complejos denotaremos por:

II.

DEFINICIÓN La parte real de un número complejo es su primera componente y la parte imaginaria es su segunda componente, luego tanto la parte real como la parte imaginaria de un numero complejo son números reales. Si 𝑧 = (𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 denotaremos por:

𝑎 = 𝑅𝑒(𝑧): 𝑎 parte real del número complejo (𝑎, 𝑏) 𝑏 = 𝐼𝑚(𝑧): 𝑏 parte imaginaria del número complejo (𝑎, 𝑏)

2.1 FORMA RECTANGULAR O BINÓMICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS La forma binómica de un número complejo es la expresión a+bi Donde: a se llama la parte real y b la parte imaginaria. Si la parte imaginaria es nula, entonces el número es real. Por tanto, los números reales están contenidos en los números complejos. Se llaman números imaginarios puros a los que tienen parte real igual a cero.

III.

PLANO COMPLEJO Entre los números complejos y los puntos del plano cartesiano, existe una correspondencia biunívoca, de tal manera que todo número

complejo 𝑧 = (𝑎, 𝑏)= a + bi , se puede representar

geométricamente de la siguiente manera:

Para un número complejo =

(𝑎, 𝑏) = 𝑎 + 𝑏𝑖 debería

tenerse en cuenta que: Si 𝑏 = 0 → 𝑧 = 𝑎

Número Real

Si 𝑎 = 0 → 𝑧 = 𝑏𝑖

Complejo Puro

Si 𝑎 = 0; 𝑏 = 0 → 𝑧 = 0

Complejo Nulo

Ejemplo: Describir analíticamente y gráficamente Analíticamente 𝑅𝑒(𝑧)= 3 Sea

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑅𝑒(𝑧)= 3 𝑥=3

IV.

OPUESTO Y CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO Los números complejos 𝑎 + 𝑏𝑖 y −𝑎 − 𝑖𝑏 se llaman opuestos. Es decir, el opuesto de un número es simétrico respecto del origen. Los números complejos 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖

y

𝑧 = 𝑥 − 𝑦𝑖 se llaman

conjugados. Es decir, el conjugado de un número es simétrico respecto del eje de abscisas.

V.

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

5.1 Propiedades de la adición de Números Complejos: Sean 𝑧1,

𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ

P1: Propiedad de Clausura:

𝑧1 + 𝑧2 ∈ ℂ P2: Propiedad Conmutativa:

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧2 + 𝑧1 P3: Propiedad Asociativa:

(𝑧1 + 𝑧2) + 𝑧3 = 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3) P4: Propiedad de existencia y unidad del neutro aditivo: Existe el elemento neutro 𝑤

∈ ℂ talque: 𝑧 + 𝑤 = 𝑧, ∀ 𝑧 ∈ ℂ

P5: Propiedad de Existencia del Inverso Aditivo: Para cualquier

𝑧 ∈ ℂ tal que: 𝑧 + (−𝑧) = (0,0)

5.2 Propiedades de la multiplicación de Números Complejos: Sean 𝑧1,

𝑧2, 𝑧3 ∈ ℂ

P1: Propiedad de Clausura:

𝑧1. 𝑧2 ∈ ℂ P2: Propiedad Conmutativa:

𝑧1. 𝑧2 = 𝑧2. 𝑧1 P3: Propiedad Asociativa:

(𝑧1. 𝑧2). 𝑧3 = 𝑧1. (𝑧2. 𝑧3) P4: Propiedad Distributiva:

𝑧1. (𝑧2 + 𝑧3) = 𝑧1. 𝑧2 + 𝑧1. 𝑧3 P5: Propiedad de existencia y unidad del neutro multiplicativo:

Existe un único número complejo 𝑢 ∈ ℂ talque

𝑢. 𝑧 = 𝑧, ∀ 𝑧 ∈ ℂ

siendo 𝑢 = 1,0

P6:

Propiedad

de

Existencia

y

unicidad

del

inverso

multiplicativo.

Para cada número complejo 𝑧 ≠ (0,0), ∃ 𝛼 𝜖 ℂ tal que,

𝑧. 𝛼 = 𝑢 siendo 𝛼 = 𝑧 −1; 𝑢 = P7: Para

1,0

𝑧 𝜖 ℂ, 𝑘 ∈ ℝ, 𝑘. 𝑧 = 𝑘. (𝑎 + 𝑏𝑖) = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏𝑖

5.3 Operaciones ❖ Igualdad De Números Complejo: Dados los números complejos

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑦

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 → 𝑎 = 𝑐

𝑐 + 𝑑𝑖 ∧

entonces:

𝑏=𝑑

❖ Suma De Números Complejos: Sean 𝑧1

= 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖

𝑦

entonces:

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 + 𝑐 + (𝑏 + 𝑑) 𝑖 ❖ Sustracción De Números Complejos: Sean 𝑧1 =

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑦

𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖

entonces:

𝑧1 − 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 − 𝑐 + 𝑑𝑖 = 𝑎 − 𝑐 + (𝑏 – 𝑑) 𝑖 ❖ Multiplicación De Números Complejos: Sean 𝑧1

= 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 entonces:

𝑦

𝑧1. 𝑧2 = (𝑎 + 𝑏 𝑖) (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑖

❖ División De Números Complejos Sean 𝑧1

= (𝑎, 𝑏)

𝑦

𝑧2 = (𝑐, 𝑑) ≠ (0,0) entonces:

Luego:

Ejemplo: Determinar la suma de los números complejos:

3 + 5𝑖

𝑦

4 − 3𝑖

Veamos:

(3 + 5i) + (4 − 3i) =

3 + 4+ (5i-3i) = 7 + 2i

En el plano complejo:

VI.

UNICIDAD Y RECÍPROCO El elemento neutro multiplicativo es la unidad compleja y denotaremos por

𝑢 = (1,0)

o

también

1 = (1,0).

El inverso multiplicativo 𝛼 de un número complejo

𝑧 = (𝑎, 𝑏) ≠ (0,0) se llama reciproco de 𝑧 y lo denotaremos por:

𝛼 = 𝑧−1

=

VII.

PROPIEDADES

DE

LA

CONJUGACIÓN

EN

LOS

NÚMEROS

COMPLEJOS. Sea

z = a + b·i

un número complejo en forma binómica.

Llamaremos conjugado de z, y lo notaremos por z´, al número complejo

z´ = a - b·i. En forma cartesiana el conjugado de

(a, b) es (a, -b).

Propiedades de la Conjugación. ✓ El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número complejo: (z´)´ = z.

En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> (z´)´ = a (- b·i) = a + b·i = z ✓ El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´.

En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i; es z1´ = a - b·i y z2´ = c - d·i, por tanto z1´ + z2´ = a - b·i + c - d·i = (a+c) - (b+d)·i = (z1 + z2)´. ✓ El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (z)´ = - z´.

En efecto, sea z = a + b·i ==> - z = - a - b·i ==> (- z)´ = - a + b·i = - (a - b·i) = - z´.

✓ El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.

En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i. Es z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)·i, de donde (z1 · z2)´ = (ac - bd) (ad + bc)·i. Por otra parte, z1´ · z2´ = (a - b·i) · (c - d·i) = [ac - (-b)(-d)] + [a(-d) + c(-b)]·i = (ac - bd) + (-ad - bc)·i = (ac - bd) (ad + bc)·i = (z1 · z2)´. ✓ El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´. En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> 1/z´ = [a (- b)·i]/(a2 + b2) = (a + b·i)/(a2 + b2). Por otra parte, 1/z = (a - b·i)/(a2 + b2) ==> (1/z)´ = (a + b·i)/(a2 + b2) = 1/z´. 1. El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´. 2. z es un número real z = z´. 3. z es imaginario puro z = -z´.

VIII.

MODULO DE UN NÚMERO COMPLEJO.

Definición. Sea z un número complejo, se define el módulo de z, y lo notarnos por |z|, como la raíz cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir: |z| = +(z · z´)1/2 Si el número complejo en forma binómica viene dado por z = a + b·i, se tiene que |z|2 = (a + b·i)·(a - b·i) = a2 - b2 i2 = a2 + b2, de la que se obtiene la llamada expresión analítica del módulo de un número complejo: |z| = (a2 + b2)1/2 Propiedades. 1. |z| = 0 ==> z = 0 2. |-z| = |z| 3. |z´| = |z| 4. |z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular). 5. |z1| - |z2| < |z1 - z2| 6. |z1 · z2| = |z1| · |z2| 7. Si c C R, |c·z| = |c| · |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.

IX.

ISOMORFISMO ENTRE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y EL PLANO

NÚMEROS COMPLEJOS

PARES ORDENADOS

1. Igualdad de los números complejos

1. Igualdad de pares ordenados

𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 → 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑

(𝑎; 𝑏) = (𝑐; 𝑑) → 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑

2. Adición

2. Adición

(𝑎 + 𝑏𝑖) + 𝑐 + 𝑑𝑖= 𝑎 + 𝑐 + 𝑏 + 𝑑 𝑖

(𝑎; 𝑏 )+ (𝑐; 𝑑) = (𝑎 + 𝑐); (𝑏 + 𝑑)

3. Multiplicación

3. Multiplicación

(𝑎 + 𝑏𝑖) (𝑐 + 𝑑𝑖)=𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑑 + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) 𝑖

(𝑎; 𝑏) (𝑐; 𝑑) = (𝑎𝑐 – 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)

4. El elemento neutro de la adición de números complejos es 0 + 0𝑖 = 0, de tal modo que: (𝑎 + 𝑏𝑖) + 0 + 0𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖; ∀

𝑎 + 𝑖𝑏 ∈ ℂ

5. El elemento neutro de la multiplicación de números complejos es 1 = 1 + 0𝑖 de tal modo que: (𝑎 + 𝑏𝑖). 1 + 0𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ; ∀

4. El elemento neutro de la adición de pares ordenados es 0,0 , de tal modo que: (𝑎; 𝑏) + (0; 0)

= (𝑎; 𝑏) ;

∀𝑎; 𝑏 ∈

ℝ2 5. El elemento neutro de la multiplicación será

𝑎 + 𝑖𝑏 ∈ ℂ

(1; 0) de tal modo que: (𝑎; 𝑏). (1; 0) = (𝑎; 𝑏); ∀ 𝑎 + 𝑖𝑏 ∈ ℝ2

Existe una equivalencia en tratar a los números complejos como: 𝑎 + 𝑖𝑏 como par ordenado (a, b) siempre y cuando

se tengan en cuenta los

siguientes criterios:

X.

FORMA TRIGONOMÉTRICA O PÓLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO La forma trigonométrica del complejo z = a + bi es

El ángulo que proporciona la función arcotangente es siempre entre -45° y 45°. Si el complejo pertenece el primer cuadrante (a>0a>0, b>0b>0) o al cuarto (a>0a>0, b