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• Luis Miguel Mendoza Garcia

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Análisis Matemático iii LMMG

FORMULARIO ANALISIS MATEMATICO III Variable separable 1) M(x)dx+N(y)dy 2) Reducibles a Variable Separable 3)

dy =f (ax+ by+ c) dx 

z=ux

z=ax +by +c



dy 1 dz = −a dx b dx



M ( x ) dx+ N ( y ) dy

(

4)

Luego suman exponentes de x z ocurriendo todo esto todos los términos de la ecuación son del mismo grado

9)

)

10) 11) 12)

Homogéneas

13) Ordinarias exactas

k



λx , λy 9= λ f (x , y) f¿



y=ux



14)

cuando se tiene xy

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0

Reducibles A Homogéneas

6)

dy ax+ by+ c =f ( ) dx a ' x +b ' y +c '



'

,donde el punto

de intercepción es (h, k).si trasladamos el origen de coordenadas al punto(h, k) las ecuaciones se transforman en:

 x=u+h  y=v+ k

dx=du

dy=dv

1°caso

u=zv



v =zu

2°caso

y=z α

debe cumplir esto

15)

luego

16)

f ( x , y ) =∫ M ( x , y ) dx + g( y )

Luego

derivamos con respecto a y………..1 17)

∂ f (x , y ) =[∫ M ( x , y ) dx ] ∂ y + g '( y) ∂y

2 18)

∂ f (x , y ) =N ( x , y ) ∂y

Luego

remplazando en 2

7) 2°caso Cuando se tiene exponente cuadrático



∂ M ( x , y) ∂ N (x , y ) = ∂y ∂x

sea exacta

∂f (x, y) =M (x , y ) , ∂x

1=¿ ax +by +c  L¿ 2=¿ a ' x +b ' y +c  L¿

∂ f ( x , y )dx ∂ f (x , y )dy + ∂x ∂y

df ( x , y )=M ( x , y ) dx+ N ( x , y ) dy

z=xy

5)

df ( x , y )=

dy=α z α −1 dz

19)

N ( x , y )=[∫ M ( x , y ) dx ] ∂ y + g ' ( y)

…

Análisis Matemático iii LMMG

20)

'

g ( y ) =0

Reemplazando en 1 21)

∫ M ( x , y ) dx=c

ED… 

∂f (x, y) =N ( x , y ) , ∂y

22)

g (x )=

1°caso

1 ∂M ∂ N ( − ) N ∂ y ∂x

36) Luego el factor integrante será g ( x ) dx x ) =e∫ Solución 37) deu ( la 38)

u ( x ) M ( x , y ) dx +u ( x ) N ( x , y ) dy=0

39)

Ahora ya cumple que es exacta

luego

−1 ∂ M ∂ N 2°caso g ( y )= M ( ∂ y − ∂ x ) f ( x , y ) =∫ N ( x , y ) dy + g( x) Luego 23) 40) Luego el factor integrante será derivamos con respecto a x………..1 ∫ g ( y ) dx 41) u ( y )=e ∂ f (x , y ) =[∫ N ( x , y ) dy ] ∂ x+ g ' ( x) 24) ∂x u ( y ) M ( x , y ) dx+u ( y ) N ( x , y ) dy=0 42) 25)

∂ f (x , y ) =M ( x , y ) ∂x

43) Ahora ya cumple que es exacta Luego  3°caso u ( x , y )=f ( x ) . g ( y)

remplazando en 2 26)

44) Luego el factor integrante será f ' (x) g ' ( y) ∂M ∂N − =N −M M ( x , y )=[∫ N ( x , y ) dy ] ∂ x45) + g ' (x ) ∂y ∂x f ( x) g( y )

Se iguala términos de la g46) ( x ) =c ecuación formada Reemplazando en 1 47) Luego: 48) u ( xy ) M ( x , y ) dx+u ( xy ) N ( x , y ) dy =0 N ( x , y ) dy=c ∫ 28) Solución de la 49) Ahora ya cumple que es exacta ED…  4°caso Por inspección xdy + ydx=d ( xy ) 1) 29) Ojo: g ( x ) =c o g ( y )=c 1 2 2 xdx ± ydy= d (x ± y ) siempre quedan constantes 2) 2 27)

'

g ( x )=0

30) 31) 32) 33)

3)

xdy − ydx x =d ( ) 2 y x

4)

xdy − ydx −x =d ( ) 2 y x

5)

xdy − ydx y =d (ln ) xy x

Factor De Integración

34)

M ( x , y ) dx + N ( x , y ) dy=0

35)

u ( x , y ) M ( x , y ) dx+ u(x , y )N ( x , y ) dy=06)



∂ M (x , y) ∂ N ( x , y ) ≠ ∂y ∂x

no es exacta7)

xdy − ydx y =d arctg 2 2 x x +y

( ) xdy − ydx x+ y =d (ln x− y ) x −y 2

2

Análisis Matemático iii LMMG

8)

xdy − ydx 1 x + y = d( ) 2 2 x− y (x− y )

arcsen 9)

59)

y x



) xdy − ydx =d ¿ 2 2 x√x −y

10)

xdy − ydx 1 x− y = d( ) 2 2 x+ y (x+ y)

11)

xdy − ydx −1 =d ( ) 2 2 xy x y

12)

(x+ y) ln ¿ dx+ dy =d ¿ x+ y

13)

xdy + ydx =d [ln ⁡( xy )] xy

52) 53)

54)

55)



1paso

dy 1−n + p ( x ) y =Q(x) dx

2paso 60) A la ecuación diferencial del 1 paso se le multiplica por 1-n es decir: 61) (1−n) y−n



62) 

z= y 1−n

64)

dz + ( 1−n ) p ( x ) z=(1−n) Q(x) dx

65) 66) 67)

Ecuación Diferencial De Ricatti

68) c]

dy 2 =P ( x ) y+Q ( x ) y + R( x) dx

dy + p ( y ) x=Q ( y) dx

69)

Solución particular será

∫ e∫ p ( y) dy Q ( y ) dy+ ¿

70) c]

∫ e∫ p ( x) dx Q ( x ) dx +¿ −∫ p ( x ) dx

y=e

−∫ p ( y ) dy

x=e

¿

¿

dz dy =(1−n) y−n dx dx

4paso 63) Se reemplaza el 3 paso en el 2 paso, e decir:

dy + p ( x ) y=Q ( x) dx Solución será:

dy + ( 1−n ) p ( x ) y 1−n=(1−n) Q( x) dx

3paso

50) Lineales Y De Primer Orden 51)

−n

y

….. (1) y=ψ (x )

1paso Decimos que:

dy dz ' =ψ ( x )+ y=ψ ( x )+ z 71) dx dx 56) Ecuaciones De Bernoulli Reemplazando en (1) se tiene dy n + p ( x ) y=Q ( x) y 57) dx dz ψ ' ( x ) + =P ( x ) (ψ ( x ) + z)+Q ( x ) (ψ ( x ) + z)2 + R( x ) dx …(2)

58) A la ecuación se multiplica por −n 2paso y , es decir

Análisis Matemático iii LMMG

73) Agrupando los términos de la ecuación (2) 74)

dz − [ P ( x )+ 2Q ( x ) ψ ( x ) ] z=Q(x )z 2 dx

….3 luego la ecuación (3) es una ecuación diferencial de Bernoulli ….

ecuación diferencial de LaGrange 94) 95) 96)

75) Ecuaciones diferenciales de LaGrange 76) 

y=xf ( y ' ) + g( y ')

98) 99)

…….(1)

100)

1paso 77) Se dice:

dy =P dx

101)

dy=Pdx

102)

78) Reemplazando en (1) 79) 

y=xf ( P ) + g( P)

……….(2)

2paso 80) Diferenciando (2) ' ' 81) dy=f ( P ) dx+ x f ( P ) dp +g ( P ) dp 82) Reemplazando todo queda f ( P) −g ' ( P) dx 83) dp + f ( P ) −P x= f ( P )−P 84) Es una ecuación diferencial lineal en x 85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) Ecuaciones diferenciales de Clairouts 92)

103)

y=xy '+ g( y ' )

93) La solución de la ecuación diferencial de Clairouts se obtiene siguiendo el mismo procedimiento del caso de la

104) 105) 106) 107) 108) 109) 110) 111) 112) 113) 114) 115) 116) 117) 118) 119) 120) 121) 122) 123)