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• jamil valdiviezo

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14.5.- REGLA DE LA CADENA 35. La temperatura en un punto (x, y) es T(x, y), medida en grados Celsius. Un insecto se arrastra de tal modo que su posición después de t segundos está dada por, donde x y y se miden en centímetros. La función tempera tura satisface Tx(2, 3) ! 4 y Ty(2, 3) ! 3. ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura del insecto en su trayectoria después de 3 segundos? Desarrollo: 𝑑𝑇

Necesitamos calcular 𝑑𝑡 en t=3 Tenga en cuenta que para t = 3 tenemos (x, y) = (2,3) y luego por regla de cadena tendremos 𝑑𝑇(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑇𝑡 (x (t), y (t))=

= 𝑇𝑥 (x (t), y (t)) * x´ (t) + 𝑇𝑦 (x (t), y (t)) * y´ (t) =𝑇𝑥 (x (t), y (t)) *

1 2√1+𝑡

+ 𝑇𝑦 (x (t), y (t)) *

1 3

Ahora podemos calcular la tasa de requerimiento del cambio de temperatura 𝑑𝑇(3) = 𝑇𝑥 𝑑𝑡

1

1

(2,3) * 4 + 𝑇𝑦 (2,3) * 3 1

1

= 4* 4 + 3* 3 = 2 Respuesta 2° C por segundo

36. La producción de trigo en un año dado, W, depende de la temperatura promedio T y de la precipitación pluvial anual R. Los científicos estiman que la temperatura promedio se eleva a razón de 0.15) C/año, y que la precipitación está disminuyendo razón de 0.1 cm/año. También estiman que, a niveles de producción actuales,

𝜕𝑊 𝜕𝑇

= -2 y

𝜕𝑊 = 𝜕𝑅

8.

a) ¿Cuál es el significado de los signos de estas derivadas parciales? b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo,

𝜕𝑊 𝜕𝑇

Desarrollo: a)

Dado que la tasa de cambio de la producción de trigo (W) con respecto a la temperatura promedio (T) es negativa, la producción de trigo disminuye a medida que aumenta la temperatura

Dado que la tasa de cambio de la producción de trigo (W) con respecto a la precipitación anual (R) es positiva, la producción de trigo aumenta a medida que aumenta la precipitación anual. Respuesta: W disminuye a medida que aumenta T. W aumenta a medida que R aumenta. b) por la regla de cadena, tenemos.

37. La velocidad del sonido que viaja a través del agua del mar con salinidad de 35 partes por millar, está modelada por la ecuación C = 1449.2 + 4.6 – 0.055𝑇 2 + 0.00029𝑇 3 + 0.016D Donde C es la velocidad del sonido (en metros por segundo), T es la temperatura (en grados Celsius) y D es la profundidad por abajo de la superficie del mar (en metros). Un buzo en escafandra autónoma empieza a sumergirse en el agua del mar; la profundidad del buzo y la temperatura del agua que lo rodea con respecto al tiempo se registran en las gráficas siguientes. Estime la razón de cambio, con respecto al tiempo, de la velocidad del sonido a través del agua de mar que experimentó el buzo durante una inmersión de 20 min. ¿Cuáles son las unidades? Desarrollo: Observe que la velocidad del sonido (C) es una función de dos variables, a saber: C (T, D) = C (T (t), D (t)). Por lo tanto, usamos la regla de la cadena para encontrar la tasa de cambio en C con respecto al tiempo 't'.

𝑑𝐶 𝑑𝑡

=

𝜕𝐶 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑡

+

𝑑𝐷 𝜕𝐶 𝑑𝑡 𝜕𝐷

Evaluar 𝐶𝑡 y 𝐶𝑑

𝑑𝐶 𝑑𝑡

= (4.6 – 2(0.055) T + 3(0.00029)𝑇 2 )

Estimar el valor de

𝑑𝑇 𝑑𝑡

𝑑𝑇 𝑑𝑡

+ (0.016)

𝑑𝐷 𝑑𝑡

usando dos puntos a lo largo de la línea tangente a la gráfica de T versus

t en t = 20 minutos. En este caso (0,14) Y (25,12).

Estimar el valor de

𝑑𝐷 𝑑𝑡

usando dos puntos a lo largo de la línea tangente a la gráfica de D versus

t en t = 20 minutos. En este caso (7.5, 0) Y (35,15).

Temperatura estimada en t= 20 minutos (12 < T < 14)

Evaluar la expresión original con variables estimadas.

Respuesta:

38. El radio de un cono circular recto se incrementa a una razón de 1.8 pulg/s, mientras su altura disminuye a razón de 2.5 pulg/s. ¿A qué razón cambia el volumen del cono cuando el radio es 120 pulg y la altura es de 140 pulg?

Usando la regla de la cadena se puede encontrar una ecuación para

Encontrar las derivadas parciales de v con respecto a r y h

Evaluar las derivadas parciales en el radio y la altura dados

Ahora ponga todos los valores en ecuación para

𝑑𝑉 𝑑𝑡

𝑑𝑉 𝑑𝑡

Respuesta: 39. La longitud 𝑙, ancho w y altura h de una caja cambia con el tiempo. En un cierto instante, las dimensiones son 𝑙 = 1 m y w = h = 2 m, y 𝑙 y w se incrementan a razón de 2 m/s, en tanto que h disminuye a razón de 3 m/s. Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes magnitudes cambian. a) El volumen b) El área superficial c) La longitud de la diagonal Desarrollo: A) Conocemos la fórmula del volumen. Para encontrar su derivado a tiempo debemos usar la regla de la cadena. La regla de la cadena establece esencialmente que debemos sumar las derivadas parciales de volumen multiplicadas por su derivada con respecto al tiempo V= lwh 𝑑𝑉 𝑑ℎ 𝑑𝑤 𝑑𝑙 = 𝑉ℎ + 𝑉𝑤 + 𝑉𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑉 𝑑ℎ 𝑑𝑤 𝑑𝑙 = 𝑙𝑤 + 𝑙𝑤 + 𝑤ℎ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑙

𝑙= 1 𝑑𝑡 = 2 w=2

𝑑𝑤 𝑑𝑡

=2

h=2

𝑑ℎ 𝑑𝑡

= -3

𝑑𝑉 = 1 ∗ 3 ∗ −3 + 1 ∗ 2 ∗ 2 + 2 ∗ 2 ∗ 2 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = −6 + 4 + 8 = 6 𝑚3 / 𝑠 𝑑𝑡 Respuesta: 6 𝑚3 / 𝑠

B)

A= 2(𝑙𝑤 + 𝑙ℎ + ℎ𝑤) 𝑑𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑤 𝑑𝑙 = 𝐴ℎ + 𝐴𝑤 + 𝐴𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑑ℎ 𝑑𝑤 𝑑𝑙 = 2 ((𝑙 + 𝑤) + (𝑙 + ℎ) + (ℎ + 𝑤) 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 2((1 + 2) ∗ −3 + (1 + 2) ∗ 2 + (2 + 2) ∗ 2) 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 2(−9 + 6 + 8) = 10𝑚2 /𝑠 𝑑𝑡

C)

40. El voltaje V en un circuito eléctrico sencillo disminuye con lentitud a medida que la batería se gasta. La resistencia R se incrementa lentamente cuando el resistor se calienta. Mediante la ley de Ohm, V = IR, determine cómo cambia la corriente I en el momento en que R = 400 Ω, I = 0.08 A, dV/dt = -0.01 V/s y dR/dt = 0.03 Ω/s.

Desarrollo: 𝑣 = 𝐼𝑅 𝑑𝑉 𝑑𝐼 𝑑𝑅 = 𝑉𝑖 + 𝑉𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑉 𝑑𝐼 𝑑𝑅 =𝑅 +𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐼 = .08 𝐴𝑚𝑝𝑠 𝑅 = 400 ∩

𝑑𝑅 ∩ = .03 𝑑𝑡 𝑠

𝑉 = .08 ∗ 400 = 320𝑉 𝑉 = −.01

𝑉 𝑆

𝑑𝑉 𝑑𝑡

41.- La presión de un mol de un gas ideal se incrementa a razón de 0.05 kPa/s y la temperatura aumenta a razón de 0.15 K/s. Utilice la ecuación del ejemplo 2 para determinar la razón de cambio del volumen cuando la presión es de 20 kPa y la temperatura es de 320 K. Desarrollo: La presión P, la temperatura T y el volumen v de 1 mol de un gas ideal están relacionados por la siguiente ecuación 𝑉 = 8.31

𝑇 𝑃

𝑃(𝑡0 ) = 20𝐾𝑃𝑎, 𝑇(𝑡0 ) = 320𝐾 𝑑𝑃(𝑡0 ) 0.05𝐾𝑃𝑎 𝑑𝑇(𝑡0 ) = , = 0.15𝐾/𝑠 𝑑𝑡 𝑠 𝑑𝑥 𝜕𝑉(𝑃(𝑡0 ), 𝑇(𝑡0 )) 𝑑𝑃(𝑡0 ) 𝜕𝑉(𝑃(𝑡0 ), 𝑇(𝑡0 )) 𝑑𝑇(𝑡0 ) ∗ + ∗ = 𝜕𝑃 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝑑𝑡 = −8.31

𝑇(𝑡0 ) 𝑑𝑃(𝑡0 ) 1 𝑑𝑇(𝑡0 ) ∗ + 8.31 ∗ = 2 𝑃 (𝑡0 ) 𝑑𝑡 𝑃(𝑡0 ) 𝑑𝑡

= −8.31 ∗ (−

320 1 ∗ 0.05 + ∗ 0.15) = 2 20 20 −0.27

Respuesta: −0.27𝐿/𝑠

42. Un fabricante ha modelado su producción anual como una función P (el valor de toda la producción en millones de dólares) como una función de Cobb-Douglas

Donde L es el número en horas de mano de obra (en miles) y K es