• Author / Uploaded
• Jhos Lavigne

• Categories
• Línea (Geometría)
• Evaluación
• Cuesta abajo
• Geometría
• Espacio

Citation preview

M

Y

CM

MY

CY

K

Este libro pertenece a la Serie Integral por Competencias, que Grupo Editorial Patria lanza con base en los nuevos programas de la Dirección General de Bachillerato (DGB), además cubre 100% los planes de la reforma y el Marco Curricular Común propuesto por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Te invitamos a trabajar con esta nueva serie, totalmente rediseñada y descubrir la gran cantidad de recursos que proporciona. En esta edición seguimos los cambios pedagógicos que realizó la DGB, en los que se integran objetos de aprendizaje, desempeños al concluir el bloque, competencias a desarrollar; además proponemos secciones de gran utilidad como: Situaciones didácticas Secuencias didácticas Rúbricas Portafolios de evidencias Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación (Listas de cotejo y Guías de observación), entre otras. Para el profesor, se incluye una guía impresa que ha sido especialmente realizada para facilitar la labor docente; en nuestro portal para esta serie, alumno y profesor encontrarán diversos objetos de aprendizaje en la dirección:

MATEMATICAS 3

CMY

DGB Serie integral por competencias

C

DGB Ortiz Ortiz Ortiz

MATEMATICAS 3

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx

MATEMATICAS Ortiz Ortiz Ortiz

EMPRESA DEL GRUPO

www.editorialpatria.com.mx

Serie integral por competencias

3

MATEMÁTICAS 3 Edición Edición especial especial para para Tabasco Tabasco Francisco José José Ortiz Ortiz Campos Campos Francisco Francisco Javier Javier Ortiz Ortiz Cerecedo Cerecedo Francisco Fernando José Ortiz Cerecedo

cuarta ediciónedición 2015 2017

Para establecer comunicación con nosotros puede utilizar estos medios:

correo:

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Azcapotzalco, 02400, Ciudad de México

Grupo Editorial Patria® División Bachillerato, Universitario y Profesional Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís Supervisión de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo Diagramación: Juan Castro Pérez Ilustraciones: Gustavo Vargas Martínez y Jorge Antonio Martínez Jiménez Fotografías: Thinkstock Todas las pantallas tienen ©, D.R. de WolframAlpha LLC y no pueden ser utilizados sin permiso.

Matemáticas 3.

e-Mail:

Edición especial para Tabasco Derechos reservados: ©2010, 2014, 2015, 2017, Francisco José Ortiz Campos, Francisco Javier Ortiz Cerecedo, Fernando José Ortiz Cerecedo ©2010, 2014, 2015, 2017, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.

[email protected]

ISBN: 978-607-744-194-6 (Cuarta edición) ISBN: 978-607-744-194-6 (Tercera edición)

Fax pedidos:

ISBN: 978-607-438-544-1 (Segunda edición) ISBN: 978-607-438-205-1 (Primera edición)

(0155) 5354 9109 • 5354 9102

Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca, Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Ciudad de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro núm. 43

sitio web: Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en www.editorialpatria.com.mx

cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México / Printed in Mexico Primera edición: 2010

teléfono:

Segunda edición: 2014 Tercera edición: 2015 Cuarta edición: 2017

(0155) 53 54 91 00



Grupo Editorial Patria®

Contenido

BLOQUE

1

BLOQUE

2

BLOQUE

3

BLOQUE

4

Introducción a la asignatura y a tu libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Competencias genéricas del Bachillerato General. . . . . . . . . . . . . IX Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX Las secciones de tu libro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Reconoces lugares geométricos

1.1  1.2  1.3  1.4 

Geometría analítica introductoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Parejas ordenadas: igualdad de parejas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Lugares geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

2.1  2.2  2.3  2.4  2.5 

Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos . . . . . . . . . . 30 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Perímetro y área de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Punto de división de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

3.1  3.2  3.3  3.4 

Línea recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta. . . . . . . . . . . 52 Ángulo formado por dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . . . 56

Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

4.1  4.2  4.3  4.4 

Ecuaciones de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Ecuación general y normal de una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Distancia de una recta a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Distancia entre dos rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

III

 Contenido

BLOQUE

5

BLOQUE

6

BLOQUE

7

Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

5.1 Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2 Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3  Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4  Ecuación canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.5  Ecuación ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.6  Ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos. . . . 109 5.7  Ecuación general de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

6.1  La parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.2  Elementos asociados con la parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.3 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.5  Ecuación general de la parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

7.1 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.2  Elementos asociados con la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 7.3 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.4 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 7.5  Ecuación general de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Glosario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Vínculos en Internet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

IV



Grupo Editorial Patria®

Introducción a la asignatura y a tu libro



Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

Presentación El contenido temático de esta cuarta edición especial para Tabasco de Matemáticas 3 para bachillerato general se ha modificado para adecuarlo al programa vigente de la asignatura. Esta obra se desarrolla en siete bloques que son:

Bloque 1 Reconoces lugares geométricos En este bloque se parte de la identificación de las características de un sistema coordenado rectangular. A continuación se trata lo relacionado con los dos problemas fundamentales de la geometría analítica respecto de un lugar geométrico.

Bloque 2 Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos En relación con un segmento rectilíneo, se le representa a partir de las coordenadas de sus extremos o bien se traza para determinar las coordenadas de sus extremos. Se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano y se aplica para determinar perímetros y áreas de polígonos. Se interpreta la noción de razón en la división de un segmento rectilíneo.

Bloque 3 Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente. Se aplica el concepto de pendiente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. Se identifica la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos. También se identifica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Bloque 4 Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Para continuar con el estudio de la recta se identifican sus ecuaciones en las formas simétrica, general y normal. V

  Introducción a la asignatura y a tu libro

Bloque 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Inicia con las secciones que se obtienen por la intersección de un plano con un cono. La sección que da lugar a la circunferencia se asocia con su ecuación que considera su centro en el origen del sistema coordenado. También se trata lo referente a la ecuación de la circunferencia con su centro fuera del origen. La ecuación se expresa en su forma ordinaria y en su forma general. En ambos casos se hace referencia a sus respectivos elementos.

Bloque 6 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola A partir de la definición de la parábola como lugar geométrico se identifican sus elementos. Se estudian sus respectivas ecuaciones para parábolas en posición vertical u horizontal. Se estudia la parábola con vértice fuera del origen y se identifican las ecuaciones, para parábolas en posición vertical y horizontal. Asimismo se presentan parábolas con vértice fuera del origen y sus ecuaciones.

Bloque 7 Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse Esta sección cónica se define como lugar geométrico y se identifican sus elementos. Asimismo, se identifican sus respectivas ecuaciones de elipses horizontales o verticales cuando su centro está en el origen. Se identifican sus respectivas ecuaciones ordinaria y general, tanto horizontal como vertical, con sus elementos correspondientes. Aún cuando no se incluye en el programa, se trata lo relacionado con la cónica llamada hipérbola, con centro en el origen y fuera del origen, con sus elementos y ecuaciones correspondientes. Su estudio queda a consideración del y la docente en función del tiempo disponible y los acuerdos de academia. Cada bloque inicia con su nombre e incluye: la o las competencias, una introducción, una propuesta de trabajo, un conjunto de ejercicios y problemas como propuestas para el diseño de situaciones didácticas y conocimientos. Además de lo anterior cada bloque tiene las secciones: ¿Qué sabes hacer ahora? Para tu reflexión Actividad de aprendizaje Instrumentos de evaluación La evaluación diagnóstica de ¿Qué sabes hacer ahora? nos permitirá saber el nivel de conocimientos con los que cuenta el estudiante. La Actividad de aprendizaje nos permite conocer el grado de avance en el proceso de enseñanza–aprendizaje para hacer los ajustes necesarios. La sección Instrumentos de evaluación nos permite establecer una comparación entre el inicio y el final del estudio de cada bloque. Adicionalmente se han incluido rúbricas para la evaluación de bloques y situaciones didácticas. También se utilizan listas de cotejo. En esta obra se dan a conocer algunos lineamientos de carácter general sobre la metodología de trabajo de acuerdo con el enfoque por competencias. Para ello se parte de ejemplos concretos en los que se explica cada una de las partes que integran la propuesta. A continuación se presentan problemas que se pueden considerar como situaciones didácticas para efectos del diseño de propuestas de trabajo con los alumnos. El enfoque por competencias considera la aplicación del conocimiento para resolver situaciones específicas. En ese proceso entran en juego las habilidades, capacidades, valores, etc. de los sujetos en quienes se desea desarrollar una competencia específica. La experiencia adquirida en la práctica educativa nos ha enseñado que debemos partir de lo que el alumno sabe para consolidar y aplicar su conocimiento. La propuesta de trabajo en esta obra consiste en presentar problemas concretos a resolver por el alumno. En el caso de que el estudiante no pueda resolver el problema planteado se le VI



Grupo Editorial Patria®

apoyará con teoría y ejemplos resueltos. Hecho lo anterior podrá regresar a resolver el problema planteado. Persiste el propósito de apoyar a docentes y estudiantes en sus respectivas actividades. Para el y la docente ofrece una metodología de trabajo acorde con el enfoque por competencias. Al inicio de cada bloque se presentan propuestas de actividades que incluyen los siguientes puntos:

Competencia Es la competencia a desarrollar de acuerdo con el programa.

Situación didáctica Constituye la dificultad a resolver por el alumno, de manera que éste ponga en juego sus aptitudes, capacidades, habilidades, destrezas, valores, etcétera.

Secuencia Se refiere a las acciones a realizar por el alumno tanto en forma individual como por equipo. Las preguntas que se incluyen para realizar la investigación pueden orientar al alumno sobre las acciones a desarrollar para resolver la situación didáctica. En el trabajo a realizar por el alumno, individual y por equipo, se describen las acciones a realizar. Estas acciones tendrán un peso en la evaluación.

Evaluación por producto Aunque se pueden utilizar diferentes formas de evaluación, la evaluación por producto evidencia el grado de avance del alumno en el desarrollo de una competencia.

Aplicación de las TIC En la actualidad el conocimiento está disponible para todos en una gran cantidad de plataformas tecnológicas, recientemente hemos generado mucha información en casi todas las ramas del conocimiento, pero es importante diferenciar la información útil de la que no lo es, por esta razón es importante que el alumno aprende a identificar las fuentes de información confiables de aquellas que no lo son. Incluye los elementos considerados para la evaluación. Se trata de hacer transparente los criterios de evaluación de manera que el alumno sepa cómo se le asignó una calificación. Los grupos de ejercicios y problemas que se proponen como situaciones didácticas son de dificultad creciente, debidamente seleccionados y jerarquizados para favorecer el avance en el proceso de aprendizaje y facilitar en el y la estudiante la autoevaluación. Esta obra proporciona la información teórica en un lenguaje accesible que induce al autoaprendizaje a través de la comprensión de los conceptos y su respectiva aplicación en la resolución de situaciones problemáticas concretas. Con ello se pretende que el o la estudiante adquiera la seguridad y confianza necesarias para enfrentar con éxito los retos que representan las situaciones didácticas propuestas, las cuales tienen cierta analogía con los ejemplos resueltos. Una vez que el o la estudiante puedan establecer relaciones entre el conocimiento que poseen y el nuevo que se les plantea, por ejemplo en un problema, estarán en condiciones de proponer el modelo matemático cuya solución resuelva el problema y, además, podrán analizar la estructura básica de los problemas que se les formulen, así como transitar el camino que conduce de una situación conocida a una nueva. A través de la obra se revisan y afirman conceptos del nivel medio básico que son antecedentes necesarios para introducir y desarrollar los conceptos que corresponden al nivel medio superior. La autoevaluación y coevaluación son herramientas esenciales que se realizan entre pares para que el alumno sea motivado a reconocer su papel como integrante de un grupo cuyo objetivo principal es el logro del aprendizaje en el que es protagonistas y corresponsable. Para ello debe identificar y ejecutar la formación de juicios de VII

  Introducción a la asignatura y a tu libro valor acerca de sí mismo y de los demás, de esta forma se pretende rescatar la experiencia del profesor en la evaluación, aunada a la reflexión que el grupo hace del trabajo general e individual, consciente de la responsabilidad que presenta emitir un juicio constructivo del trabajo de un compañero así como aceptar los que se hacen al trabajo personal. La heteroevaluación es una herramienta que se realiza entre personas que pertenecen a distintos niveles, es la evaluación que realiza una persona de otra, respecto de una actividad, trabajo, etcétera. Se refiere a la evaluación que lleva a cabo el profesor con respecto a los aprendizajes de los alumnos. También los alumnos pueden evaluar a los profesores. Esperamos que esta obra sea un apoyo y una herramienta para el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo mismo recibiremos con agrado todas las sugerencias que permitan mejorarla y enriquecerla. Francisco José Ortiz Campos Francisco Javier Ortiz Cerecedo Fernando José Ortiz Cerecedo

VIII



Grupo Editorial Patria®

Competencias genéricas del Bachillerato General Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar, y les permitirán a los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una con-

vivencia adecuada en sus ámbitos social, profesional, familiar, etc. por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresado del Sistema Nacional de Bachillerato. A continuación se enlistan las competencias genéricas:

       

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros. 3. Elige y practica estilos de vida saludable. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de modelos, códigos y herramientas apropiados.   5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.   6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.   7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.   8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.   9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo. 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica con acciones responsables.

Competencias disciplinares básicas del campo de las matemáticas Competencias disciplinares básicas

Bloques de aprendizaje

1

2

3

4

5

6

7

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X

X

X

X

X

X

X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

X

X

X

X

X

X

X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X

X

X

X

X

X

X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

X

X

X

X

X

X

X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X

X

X

X

X

X

X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X

X

X

X

X

X

X

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno y argumenta su pertinencia.

X

X

X

X

X

X

X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X

X

X

X

X

X

X

IX

Las

Secciones deTu libro   Conoce tu libro

Inicio de bloque

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

¿Qué sabes hacer ahora?

Objetos de aprendizaje

3.1 Línea recta

3.2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

3.3 Ángulo formado por dos rectas 3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Competencias por desarrollar

Se trata de una conjunción de competencias disciplinares a lograr en cada bloque, que te permiten demostrar la capacidad Competencias que tienesa desarrollar para aplicar tus conocimientos en situaciones de la vida personal o social, ya que al mismo tiempo pondrás en práctica tus destrezas, habilidades y actitudes. „

„

„

Encuentra la pendiente de una recta que pasa por el origen con una inclinación de 1. 45°. Encuentra la pendiente de una recta que pasa por el origen con una inclinación de 1. 45°. 2. Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es 3 . 2. Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es 3 . 3. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (24, 2), (8, 7). 3. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (24, 2), (8, 7). Aplica la pendiente para determinar si los puntos (23, 5), (1, 2), (9, 24) son 4. colineales. Aplica la pendiente para determinar si los puntos (23, 5), (1, 2), (9, 24) son 4. colineales. 3 Traza la recta que pasa por el punto (5, 3) con una pendiente m5 . 5. 3 4 5. Traza la recta que pasa por el punto (5, 3) con una pendiente m 5 4 . Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1), con pendiente 6. m 5 2. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1), con pendiente 6. m 5 2. Obtén la ecuación de la recta con pendiente m 5 2 que pasa por el punto P 7. (3, 1). Obtén la ecuación de la recta con pendiente m 5 2 que pasa por el punto P 7. (3, 1). Aplica la pendiente para demostrar que es rectángulo el triángulo cuyos vértices 8. son (25, 21), (21, 4), (9, 24). Aplica la pendiente para demostrar que es rectángulo el triángulo cuyos vértices 8. son (25, 21), (21, 4), (9, 24). La recta r1 pasa por A y B, y la recta r2 pasa por M y N. Determina si r1 y r2 son paraLa recta r1 pasa por A y B, y la recta r2 pasa por M y N. Determina si r1 y r2 son para9. lelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente). A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23) lelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente). 9. A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23) Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos 10. P (3, 2) y Q (7, 4). Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos 10. P (3, 2) y Q (7, 4).

Esta sección constituye una propuesta de evaluación diagnóstica que te permitirá establecer las competencias y conocimientos con los que cuentas, para así iniciar la obtención de conocimientos y capacidades nuevas.

3 3

En los objetos de aprendizaje encontrarás los contenidos estructurados, integrados y B LO Q U E contextualizados con una secuencia lógica y disciplinar, y que son de gran relevancia y Objetos de aprendizaje pertinencia para el nivel educativo en el que te encuentras.

¿Qué sabes hacer ahora?

¿Qué sabes hacer ahora?

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

B LO Q U E

Objetos de aprendizaje

3.1 Línea recta

3.2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta 3.3 Ángulo formado por dos rectas 3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Desempeños por alcanzar

Desempeños por alcanzar

Competencias a desarrollar

Estos desempeños son los que se espera que logres al finalizar cada bloque, te Desempeños por alcanzar posibilitan poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes al realizar cada una de las actividades propuestas en este libro.

„ Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas „ Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar Reconoce la recta como lugar geométrico. equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. o gráficas. e interpretar información. „ Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en „ Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas „ Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar Reconoce la recta como lugar geométrico. Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. o gráficas. e interpretar información. „ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo „ Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico Reconocedela relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. y discrimina entre reflexiva, ellas de acuerdo a su relevancia „ Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera „ Sigue instrucciones y procedimientos de manera comprendiendo cómo y confiabilidad. „ Elige las fuentes de información más relevantes parareflexiva. un propósito específico problemas y/o ejercicios. Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de reflexiva. cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad. „ Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. „ Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. problemas y/o ejercicios. con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. „ Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades „ Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. „ Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Situación didáctica

Grupo Editorial Patria®

Rúbrica

¿Cómo lo resolverías?

Para determinar la longitud del puente que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

En cada bloque iniciamos con una situación didáctica que bien puede ser resolver un problema, realizar un experimento, un proyecto, una investigación o una presentación, o bien elaborar un ensayo, un video, un producto, una campaña o alguna otra actividad que permita que adquieras un conocimiento y competencias personales o grupales, a través de un reto.

Situación didáctica

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

Un aparato electrodoméstico tiene un precio de $600.00 si se compra de contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $25.00. ¿Cuánto se debe pagar en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses?

Secuencia didáctica

Secuencia didáctica

¿Qué tienes que hacer?

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.

Las rúbricas son métodos prácticos y concretos que te permiten autoevaluarte y así poder emprender un mejor desempeño. Puedes encontrar tanto actitudinales como de conocimientos.

Trabajo individual

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Cada equipo debe investigar:

La secuencia didáctica es una guía para que puedas adquirir los conocimientos y desarrollar habilidades a través de una metodología que facilite y dirija tus pasos. Son además descriptores de procesos que por el análisis detallado facilitan tu actividad y tus resultados.

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

8. ¿Cómo se representa gráficamente el precio del electrodoméstico con sus intereses?

Formen equipos para resolver el problema.

¿Qué tienes que hacer?

Rúbrica

¿Cómo sabes que lo hiciste bien?

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

1. ¿Cuánto se paga si la compra se hace de contado? 2. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en un mes? 3. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en dos meses? 4. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en tres meses?

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

5. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cuatro meses? 6. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cinco meses? 7. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en seis meses?

43

Grupo Editorial Patria®

Ejercicios Los ejercicios propuestos en este libro te ayudarán a movilizar y consolidar los conocimientos adquiridos en situaciones reales o hipotéticas, mismas que te llevarán a un proceso de interacción, seguridad y soltura durante tu aprendizaje.

2

BLOQUE

Glosario Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Barnett, Raymond A. Álgebra y trigonometría, McGraw-Hill, México, 1986.

Función creciente. Es la función lineal de pendiente positiva.

Britton, Jack R. e Ignacio Bello. Álgebra y trigonometría contemporáneas, Harla, México, 1982.

Cero de la función. Es un punto de intersección de la gráfica de la función con el eje x.

Función cuadrática en x. Es aquella que en la que su mayor exponente es 2.

Carpinteyro Vigil, Eduardo y Rubén B. Sánchez Hernández. Álgebra, Publicaciones Patria Cultural, México, 2002.

Coeficiente. Factor que indica el número de sumandos iguales.

Función decreciente. Es la función lineal de pendiente negativa.

Cuéllar, José A. Matemáticas I para bachillerato, McGraw-Hill, México, 2003.

Función lineal. Es una regla de correspondencia que se representa geométricamente por un conjunto de puntos en línea recta.

Gobran, Alfonse. Álgebra elemental, Grupo Editorial Iberoamérica, México, 1990.

2.2 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano o la longitud del segmento de recta que los une se puede determinar a partir de las coordenadas de los puntos considerados.

Elegimos la raíz cuadrada positiva porque generalmenteCóncava sólohacia nosarriba (abre hacia arriba) o cóncava hacia abajo (abre hacia abajo). Se refiere a la posición de la gráfica de una funinteresa la magnitud del segmento.

Actividad de aprendizaje Escribe la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano:

ción cuadrática cuya incógnita es x.

Al utilizar esta fórmula, a un punto se le asignan las coordenadas Constante. Es un valor que no cambia ya sea que se represente por númeroeleo por una letra. (x1, y1) y al otro (x2, y2) y como las diferencias indicadasunestán vadas al cuadrado, su resultado no cambia si se invierte elContradominio. orden de Es el conjunto de valores que toma y. Criterio de la vertical. Se utiliza para determinar si la represenla resta. Sin embargo, es importante señalar que una vez establecida tación geométrica de una gráfica corresponde o no a una función. una diferencia, la otra debe tomarse en el mismo orden, es decir:

Determinante. Es el valor que corresponde a una matriz. 2 Dominio. Es el conjunto de valores que toma x. 1 2 Ecuación de segundo grado con una incógnita. Es aquélla en la que el mayor valor de su única incógnita es 2. 2 Ecuación 1 2lineal o de primer grado. Tiene como representación gráfica una línea recta.

d 5 ( x 2 2 x1 )2 1( y2 2 y1 )2 o d 5 ( x1 2 x 2 )2 1( y 2 y ) Pero nunca: 2

2

2

d 5 ( x 2 2 x1 ) 1( y2 2 y1 ) o d 5 ( x1 2 x 2 ) 1( y 2 y )

Ejemplos

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera (figura 2.3) d 5 | P1 P2| , la distancia d entre los puntos P1 y P2.

En los dos últimos casos se invierte el sentido de los segmentos di-de una parábola: Es su eje focal. Eje de simetría rigidos y con ello se altera el resultado de la operación. Exponente. Indica el número de veces que la base se repite como

Tracemos por P1 una horizontal y por P2 una vertical, y llamemos R al punto de intersección de dichas rectas. R y P2 tienen la misma abscisa porque están sobre la misma vertical; por estar sobre la misma horizontal, R y P1 tienen la misma ordenada; de manera que las coordenadas del punto R son (x2, y1). Ahora bien, ya que P1 y R tienen la misma ordenada, la distancia entre ellos está dada por:

Ejemplos

factor.

Factorización de una expresión algebraica. Es convertirla en el producto indicado de sus factores. Formas de la ecuación de una recta. Se refiere a las distintas ex-

1. Halla la distancia entre los puntos A (3, 4) y B (23, 22).presiones algebraicas de la ecuación.

Fracción decimal periódica. Es aquélla en la que una o varias cifras se repiten formando un periodo.

y

Es importante mencionar que a lo largo de los bloques encontrarás diferentes ejemplos y ejercicios que tienen la finalidad de propiciar y facilitar tu aprendizaje.

r

P2 (x2, y2)

0

P1 (x1, y1)

RP2 5 y2 2 y1

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo P1 R P2 se tiene: ( P1 P2 )2 5( P1 R )2 1( RP2 )2

d 2 5 (x2 2 x1)2 1 ( y2 2 y1)2

X

x

Figura 2.4

Y como P2 y R tienen la misma abscisa, la distancia entre ellos se expresa por:

30

0

B(–3, –2)

R (x2, y1)

Figura 2.3

Es decir:

r

x

Solución:

d AB 5 (2323)2 1(222 4)2

Imagen. Es el conjunto de valores que puede tomar la función dentro de su dominio de definición.

d AB 5 [32(23)]2 1[ 4 2(22)]2

5 (26)2 1(26)2

5 (313)2 1( 4 12)2

5 36136

5 (6)2 1(6)2

5 36(2)

5 36136

56 2

5 36(2) 56 2

Leithold, Louis. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, Oxford University Press México, México, 1994. Oteyza, Elena et al. Álgebra, Pearson Educación, México, 2003.

Intervalo. Es un conjunto de valores de la recta numérica comprendidos entre dos valores extremos.

Peterson, John C. Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría analítica. Compañía Editorial Continental (CECSA), México, 1998.

Matriz aumentada. Está formada por los coeficientes de las variables y los términos independientes.

Phillips, Elizabeth P., Thomas Butts y Michael Shaughnessy. Álgebra con aplicaciones, Harla, México, 1988.

Matriz cuadrada. Es aquélla en la que el número de renglones es igual al número de columnas.

Smith, Stanley A et al. Álgebra, Adisson-Wesley Iberoamericana, México, 2001.

Matriz de coeficientes. Está formada por los coeficientes de las variables del sistema. Matriz escalonada. Es aquélla en la que son cero los valores que están por debajo de la diagonal principal. Máximo común divisor de 2 o más números. Es el mayor de los divisores comunes de dichos números.

Otras herramientas

Medio aritmético. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión aritmética.

Vínculos en Internet

Medio geométrico. Es uno o varios términos comprendidos entre los extremos de una progresión geométrica.

http://www.matworks.com

Mínimo común múltiplo de 2 o más números. Es el menor de los múltiplos comunes de dichos números.

http://www.wolframreseareh.com http://www.geoan.com

Tu libro cuenta también con glosario, bibliografía, vínculos en Internet, líneas de tiempo, diagramas, mapas conceptuales, además de atractivas imágenes y otras muchas secciones y herramientas que te resultarán muy útiles y complementarán tu aprendizaje. 233

A(3, 4) y

Bibliografía Función. Es una regla de correspondencia en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo un elemento del contradominio. Es una relación de dependencia entre dos variables.

Binomio. Polinomio de dos términos.

De donde: d 5 ( x 2 2 x1 )2 1( y2 2 y1 )2

Grupo Editorial Patria®

235

3

BLOQUE BLOQUE

5

Aplica lo que sabes

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Se llega a la siguiente expresión que coincide con la anterior:

Radio y coordenadas del centro de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación



Actividad de aprendizaje A partir de la ecuación general de una circunferencia, ¿cómo se encuentran las coordenadas de su centro y la longitud de su radio?

Para tu reflexión

m 5 tan θ 5

David Hilbert (1862-1943)

1. Expresa la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 en la forma ordinaria. Si representa una circunferencia halla su centro y su radio. Solución: Trasponiendo el término independiente y ordenando los demás términos, se obtiene: x 2 2 8x 1 y 2 1 9y 5 74 Sumando a los dos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad de los coeficientes de los términos de primer grado, nos queda así: 2

2

 9 9 x 2 28 x 1(24)2 1 y 2 19 y 1  5(24)2 1  174  2  2 O bien:

81  81  ( x 2 28 x 116)1 y 2 19 y 1  5161 174  4 4 2

9  64 1811296  ( x 2 4)2 1 y 1  5  2 4

Reunió, con todo rigor, una serie de axiomas de geometría que dio a conocer en 1899 en el libro Fundamentos de geometría. Incluyó en él conceptos que hasta entonces estaban sin definir y delimitó las propiedades de algunos conceptos.

9 441 21  4 ,2  y radio r5 5 .  2 4 2

Como el paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, si las pendientes de los lados opuestos del cuadrilátero ABCD son iguales significa que son paralelos, así se habrá demostrado que ABCD es un paralelogramo.

r

r

B (–2, –1)

r

Influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma

A (–6, –3)

Si en la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria r 5 0, su representación geométrica corresponde a un punto del plano.

Figura 3.5

0

m AB 5

m BC 5

12(22) 3 5 4 2(23) 7

32(22) 5 5 55 222(23) 1

mDA 5

623 3 5 52(22) 7

La demostración también se puede efectuar estableciendo que las longitudes de los lados opuestos son iguales, lo cual se deja como ejercicio al lector. Aplica lo que sabes

212(23) 2113 2 1 5 5 5 222(26) 2216 4 2

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

22(21) 211 3 1 5 5 5 4 2(22) 4 12 6 2

Investiga cuáles son los gases de invernadero y de qué manera la concentración de éstos contribuye a elevar la temperatura de la Tierra.

m BC 5

mAB 5 mBC, por eso los puntos A, B y C son colineales. 2. Demuestra que A (5, 6), B (4, 1), C (23, 22) y D (22, 3) son los vértices de un paralelogramo.

Por geometría se sabe que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto significa que la longitud del radio es igual a la distancia del punto C a la recta.

126 25 5 55 4 25 21

mCD 5

Como mAB 5 mCD y mBC 5 mDA, entonces A, B, C y D son los vértices de un paralelogramo.

Los puntos A, B y C serán colineales si se cumple que las pendientes de AB (mAB ) y de BC (mBC ) sean iguales.

1. Halla la ecuación de la circunferencia con centro C (24, 21) y que sea tangente a la recta de ecuación 3x 1 2y 2 12 5 0.

m AB 5 x

Solución:

También puede ocurrir que h 5 0, en cuyo caso la circunferencia tendrá su centro sobre el eje y. Si k 5 0 entonces el centro de la circunferencia estará sobre el eje x.

En un sistema coordenado rectangular traza una gráfica lineal que ilustre la variación de temperatura global a nivel de superficie del año 1800 al 2000. Investiga cuál es el efecto del calentamiento global en los polos y el nivel del mar.

Entonces:

d 5r 5

r

Figura 3.6

C (4, 2)

Si h 5 k 5 0 entonces se trata de una circunferencia con centro en el origen.

B (4, 1)

Solución:

y

Entre sus contribuciones se pueden citar: teoría de números, ecuaciones integrales y espacios.

r

C (–3, –2)

Ejemplos 1. Demuestra que los puntos A (26, 23), B (22, 21) y C (4, 2) son colineales. Ver el ejemplo de la figura 3.5.

Solución:

Por tanto, la ecuación representa una circunferencia de centro

r

D (–2, 3)

Observación: Cuando se determina la pendiente entre dos puntos no es importante el orden en que éstos se toman. Pero sí es importante que tanto las abscisas como las ordenadas se tomen en el mismo orden, pues de no hacerlo así se cambia el signo de la pendiente.

Ejemplos

Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo:

r

A (5, 6)

Recuerda que por trigonometría y para un ángulo obtuso positivo en posición normal, la tangente es negativa.

Se dedicó al estudio de las matemáticas y sentó las bases de la ciencia axiomática, similar a la de Euclides, pero presentada con todo el rigor de la lógica.

Estableció que los axiomas no deben considerarse como verdades que no requieren demostración, sino como puntos de referencia consistentes que permiten establecer una estructura matemática. Esta estructura es totalmente independiente de la realidad, pero debe tener alguna analogía con ella.

Ejemplo

y1 2 y2 y 2y 5 2 1 x 2 2 x1 x 2 2 x1

Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

3(24)12(21)212

Grupo Patria® a Está diseñada para que puedas aplicar tusEditorial conocimientos situaciones de tu vida diaria así como al análisis de problemáticas en tu comunidad y en el mundo en general, que te servirán para hacer propuestas de mejoras en todos los ámbitos. Actividad de aprendizaje A lo largo del libro encontrarás diferentes actividades de aprendizaje, que de forma breve te permitirán reforzar los conocimientos y competencias adquiridas a través de preguntas puntuales al desarrollo del bloque.

32 12 2 50

100

Para tu reflexión Grupo Editorial Patria®

Aplicación de las TICs

Aplicación de las TICs 1. Ahora que conoces diferentes conjuntos de números reales y su relación, consulta el sitio www.wolframalpha.com para contestar las siguientes preguntas. Tip: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre empleado para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en el idioma inglés, por lo que puedes apoyarte de tu profesor de esa materia, o bien, puedes emplear el traductor de Google (www.google.com/translate) para poder entender la plataforma. a) De los conjuntos reales que conoces, ¿cuáles son contables y cuáles no? Tip 1. Ingresa a WolframAlpha y escribe en el buscador la palabra “sets” (“conjuntos” en inglés).

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Instrumentos de evaluación Después de hacer lo anterior, se abrirá una nueva ventana de la que copiarás el texto.

Lista de cotejo

Son un conjunto de acciones y propuestas que te permitirán hacer una recolección, sistematización y un análisis de los desempeños y logros obtenidos a través del trabajo que realizaste durante cada bloque, éstos junto con el portafolio de evidencias, te ayudarán a obtener mejores resultados en las prácticas de evaluación que realice tu profesor(a). Tip 3. Ahora la plataforma te muestra la definición de “countable set” (conjunto contable), para saber qué dice haz clic en el botón “More information” (Más información).

BLOQUE

4

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Realizas transformaciones algebraicas I

Apellido materno

Grupo Editorial Patria®

Portafolio de evidencias

Nombre

Grupo

es

5. Determina el producto (1 2 z )3 sin efectuar la operación.

P (x ) 3x 4 + x 3 + 7 x 2 − 2 x − 6

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:


r
Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

2. Determina el producto [(a 1 b) 1 c]2 sin efectuar la operación.

6. Desarrolla por el teorema del binomio (x 2 2y )6.

1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Asignatura 7. Factoriza la expresión r 4 1 r 3s 2 r 2s 2.

Número de bloques del libro

Nombre del estudiante:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?

Grupo Editorial Patria®

¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?

2

8. Factoriza la expresión x 1 x y 1 x 1 y.

Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor/a:

1 2

o,

Es una poderosa herramienta de análisis que te posibilitará verificar si has logrado algún desempeño, asimilar contenidos o si eres capaz de aplicar tus conocimientos, si has conseguido realizar un procedimiento de manera adecuada o si has obtenido soluciones correctas a un problema planteado. 7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.

Conclusiones

3

5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.

8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito. 9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

11. Representa algebraicamente una pizza y una orden de alitas de pollo.

3

13. Establece el sistema de ecuaciones simultáneas que representa las condiciones del problema y obtiene el valor unitario de cada Rúbrica pizza y orden de alitas de pollo.

15. Expresa las condiciones del problema mediante un sistema de ecuaciones simultáneas.

Nombre del alumno:

16. Calcula el valor de cadaExcelente pizza y de cada orden de alitasBueno de pollo. Criterios (4) (3)

4

Portafolio de evidencias 235

En el libro encontrarás diferentes sugerencias y actividades que, una vez realizadas, te permitirán construir un gran número de evidencias, algunas escritas otras a través de la exposición de temas o presentación de productos. Es importante que recuerdes que además de presentar la información, la manera en que lo hagas determinará el nivel de calidad con la que se perciba tu trabajo. Por ello se te invita siempre a realizar tu mejor esfuerzo.

Rúbrica Éstas te ayudan a verificar el desempeño logrado al realizar algún trabajo, producto o evidencia solicitados en cada bloque del libro. En general, es un listado de criterios o aspectos que te permiten valorar el nivel de aprendizaje, los conocimientos, habilidades, actitudes y/o desempeños alcanzados sobre un trabajo en particular. Puedes realizarlas de manera personal o como coevaluación.

Deficiente (1)

Ecuaciones lineales

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En la mayoría de los casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. En algunos casos, plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

No conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. No plantea 171 ni expresa el modelo matemático de un problema.

Resolución de ecuaciones lineales en una variable

Aplica las propiedades de la igualdad. Resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En la mayoría de los casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

Aplica las propiedades de la igualdad. En algunos casos, resuelve ecuaciones lineales en una variable y problemas. Conoce los conceptos de función y relación.

No aplica las propiedades de la igualdad. No resuelve ecuaciones lineales en una variable ni problemas. No conoce los conceptos de función o relación.

Relación entre funciones y ecuaciones lineales

Representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. Determina la distancia entre dos puntos del plano.

En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

En algunos casos, representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables y determina la distancia entre dos puntos del plano.

No representa gráficamente una ecuación lineal en dos variables. No determina la distancia entre dos puntos del plano.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.

Conoce la influencia de los parámetros m y b en la representación gráfica de la función y 5 mx 1 b. Establece la relación entre la función lineal y la ecuación de primer grado.

Traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En la mayoría de los casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

En algunos casos, traza la gráfica de una función lineal. Distingue funciones crecientes y decrecientes.

No traza la gráfica de una función lineal. No distingue funciones crecientes ni decrecientes.

29

Aspecto a evaluar

92

Regular (2)

Conoce el concepto de ecuación lineal con una incógnita. Plantea y expresa el modelo matemático de un problema.

5

o,

al

Grupo Editorial Patria®

12. Establece la relación entre el número de pizzas y el número de órdenes de alitas de pollo con la cantidad que se paga por ellas.

Indicaciones: 14.es para Comprende y lodeexpresa algebraicamente. Esta rúbrica valorar elel problema desempeño los estudiantes sobre los contenidos del bloque 6.

¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? 4. Determina el producto (3x 1 7)(3x 2 19) sin efectuar la operación.

4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. 3. Determina el producto (x 1 y 2 3)(x 2 y 1 3) sin efectuar la operación.

3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.

6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

Propósito del portafolio de evidencias

Observaciones

no

2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.

los más significativos en el proceso de aprendizaje.

Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

sí

1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.


r
No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son
r
Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.

Q (x ) 5 − 2 x 4 − 3x 3 − 2 x 2 + 6 x + 3

cumple

Criterio

21

Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Determina P (x ) 2 Q (x )

Nombre del alumno:

Tip 4. Copia y pega el texto del rectángulo rojo en el recuadro de la izquierda del traductor de Google que se encuentra en www. google.com/translate. Observa como aparece la traducción en el recuadro de la derecha; si esto no sucede, presiona el botón que dice “Translate” (Traducir). Asegúrate que traducirá de inglés a español, puedes verificarlo haciendo clic sobre las flechas de cada recuadro.

Instrumentos de evaluación Apellido paterno

Lista de cotejo

Dominio del tema

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Grupo Editorial Patria®

Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad a pagar por cada pizza y cada orden de alitas de pollo de la página 160 del Bloque 7.

Presentación

Tip 2. Encuentra la sección “Topics” (Temas), busca “countable sets” (conjuntos contables) y haz clic en el enlace.

Desarrollo

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de Wolfram Alpha LLC y no pueden ser utillizadas sin su permiso.

Actividades que te posibilitan vincular tus conocimientos de esta asignatura con las TICS.

Tiene el propósito de enriquecer el conocimiento que estás adquiriendo con lecturas adicionales, notas informativas e información relevante para el tema que estás considerando. Esta información además de ser útil, te permite contextualizar diferentes perspectivas para la misma información.

www.recursosacademicosenlinea-gep.com.mx Influencia de los parámetros en la gráfica de una función lineal

Al haber elegido este libro tienes acceso a nuestro sitio web, donde encontrarás material extra como videos, animaciones, audios y documentos que tienen el objetivo de ampliar tus conocimientos, dejar más claros algunos procesos complejos y actualizar de forma rápida y dinámica la información de todos los temas del plan de estudios de la DGB. XI Técnicas para graficar la función lineal

Comentarios Generales:

153

Reconoces lugares geométricos Tiempo asignado: 10 horas

1

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

1.1 Geometría analítica introductoria

1.2 Sistema de coordenadas rectangulares 1.3  Parejas ordenadas: igualdad de parejas 1.4  Lugares geométricos

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas y gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar

e interpretar información. n

E lige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

n

D efine metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n

Diseña y aplica modelos para probar su validez.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

1.

En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (0, 0)?

2.

En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (x, 0)?

3.

En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se ubica un punto de coordenadas (0, y)?

4.

En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se localiza un punto que tiene abscisa negativa y ordenada positiva?

5.

En un sistema coordenado rectangular, ¿dónde se localizan todos los puntos cuya abscisa es positiva y ordenada negativa y tienen el mismo valor absoluto?

Desempeños por alcanzar Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares. Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas. Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

En un plano cartesiano se encuentran ubicados los puntos: O (0, 0), A(6, 0), B(3, 4), C(3, 4), D(3, 4), E(3, 4) y F(6, 0). Traza segmentos de recta que unan los puntos A con B, E y F; F con A, D y C; B con A, C, D y E; C con F, D, E y B; D con E, B, C y F; E con A, B, C y D. El punto O se localiza en la intersección de los segmentos AF, BD y CE. Trata de trazar la figura que determinan los puntos anteriores con las siguientes condiciones: se debe partir de un punto y regresar a él, después de pasar por todos los demás puntos, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo segmento.



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo utilice hojas de papel cuadriculado para localizar los puntos y trazar los segmentos que determinan la figura. Que cada equipo elabore la figura partiendo de un punto diferente a los demás. Presentar los resultados en plenaria y analizar las formas de resolver lo que se plantea.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cómo se localizan los puntos en el plano cartesiano? 2. ¿Cómo se trazan los segmentos para hacer la figura? 3. ¿Cuál punto conviene elegir para reproducir el trazo de la figura con las condiciones establecidas? 4. ¿Por qué se puede elegir cualquier punto para reproducir la figura con las condiciones establecidas? 5. ¿Cuál es la razón por la que se puede partir de cualquiera de los puntos dados, cumplir las condiciones y trazar la figura?

Trabajo individual Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y presentar argumentos. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

4

¿Qué tienes que hacer? Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto a las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar la figura resaltando, en cada caso, con diferente color el punto de partida y el recorrido realizado. Si la figura fuera un cuadrado con sus diagonales, y las condiciones fueran las mismas de la figura anterior, explicar lo que sucede y por qué.



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para cada recorrido se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma, los libros consultados, etc. La descripción del procedimiento por escrito tiene un valor de



Situación didáctica

3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

¿En qué lugares de nuestro país están instaladas plantas de generación de energía eléctrica de la Comisión Federal de Electricidad?, ¿de qué tipo son? En un mapa a escala de nuestro país, con división política, utiliza un sistema coordenado rectangular que tenga como origen el centro geográfico y como unidad de medida en los ejes, segmentos que representen 100 kilómetros.



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema Que cada equipo utilice papel periódico para trazar triángulos de diferentes formas y dimensiones que representen la placa metálica. Que cada equipo elabore un cuadro en el que se especifiquen para cada triángulo: la forma, dimensiones y coordenadas del punto que representa el centro de gravedad. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Dónde se ubica el centro geográfico de nuestro país en el mapa? 2. De acuerdo con la escala del mapa, ¿cómo se representan segmentos de 100 kilómetros? 3. ¿En qué lugares del país están instaladas plantas de generación de energía y de qué tipo son?

¿Qué tienes que hacer? 4. ¿Cómo se localizan en el plano coordenado los puntos que representan las plantas?

Trabajo individual Cada participante deberá hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

5

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Mapa de la República Mexicana con la localización de las plantas de generación de energía eléctrica en un sistema coordenado rectangular.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien? Para determinar la localización de los puntos que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La des-

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Rúbrica

Te presentamos una propuesta de hoja de observación que te posibilitará evaluar el trabajo por equipos. Hoja de observación para el trabajo por equipos. Criterios

Equipo 1

Equipo 2

Equipo 3

Intercambian ideas antes de hacer las pruebas Colaboran en la elaboración de las pruebas Atienden y respetan las opiniones de los demás Utilizan los materiales con precaución Proponen explicaciones de lo que observan Aplican términos científicos en sus explicaciones Registran y sistematizan sus observaciones Claves: D (Deficiente), S (Satisfactorio), B (Bueno), E (Excelente)

Nombre del profesor: Fecha:

6

Equipo 4

Equipo 5



Grupo Editorial Patria®

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

b) La ordenada es 23. c) La abscisa y la ordenada son iguales. d) La abscisa y la ordenada tienen signos contrarios e igual valor absoluto.

Ejercicio I 1. Localiza en el plano coordenado los siguientes pares ordenados: A (4, 3) B (3, 4) C (0, 5) E (24, 5) F (26, 0) D (25, 2) I (23, 22) G (22, 25) H (24, 23) J (5, 26) K (5, 0) L (1, 2) M (22, 3) N (24, 1) O (23, 22) Q (1, 25) R (2, 21) P (0, 24) S (5, 22) T (4, 24)

7. Si en una circunferencia, que tiene su centro en un punto P, se traza un diámetro de extremos A y B, entonces P es el punto medio entre A y B. Cuando esto ocurre se dice que los puntos A y B son simétricos respecto del punto P, ya que los puntos P, A y B están sobre una misma recta y las distancias de P a A y de P a B son iguales. Con base en la siguiente figura determina todos los pares de puntos que son simétricos respecto de un punto.

2. Determina las coordenadas de los puntos que se indican en la figura:

B

P

y

Q

• • • • • • •• •• • • • • • • • • • •

r2

r4

r3 A

S

r1

O

L

J

M

K

C

D

R

D

A

N

C

B

O

E

I

G

U

x

Figura 1.B

P

S

Q

H

F

R

T

Figura 1.A

3. Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada? 4. Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa? 5. Con base en un cuadrado que tiene 10 unidades de longitud por lado determina las coordenadas de sus vértices si: a) Un vértice está en el origen y dos de sus lados se encuentran sobre los ejes coordenados y además el cuarto vértice está en el tercer cuadrante. b) Su centro está en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. 6. Encuentra todos los puntos en donde: a) La abscisa es 5.

8. Dos puntos son simétricos respecto de una recta r cuando pertenecen a una perpendicular a ella y están a igual distancia de r. En la figura anterior son perpendiculares las rectas r1 y r2, r3 y r4. Si se dobla la hoja de manera que el doblez contenga la recta r1 entonces los puntos P y R van a coincidir y por tanto son simétricos respecto de la recta r1. Considerando la figura anterior determina todos los pares de puntos que son simétricos respecto de las rectas r1, r2, r3 y r4.

Ejercicio II Ecuaciones y lugares geométricos 1. Bosqueja las gráficas de las ecuaciones siguientes: a) 3x 1 4y 2 12 5 0 b) 5x 2 2y 5 0 c) 5x 1 3y 5 15 d)  y 5 x² e) x 5 y² 7

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos

f )  y 5 x ² 2 2 2 1 g) x² 1 y² 5 16 h)  x² 1 y² 2 25 5 0 i)  x² 2 y² 5 0 j) 3x² 2 4y² 5 0 k) 3x² 1 4y² 5 0  l) 4x² 1 3y² 5 0 m) 4x² 2 9y² 5 36 n) 25x² 2 y 5 0 o) 25y² 2 x 5 0 p)  xy 5 4 q) xy 5 24 2. Halla la ecuación del lugar geométrico de P(x, y) que satisface las condiciones dadas si: a) P está sobre la recta que pasa por (2, 24) y tiene pendiente igual a 2. 2 b) P está sobre la recta de pendiente 2 y pasa por el punto 3 (24, 3). c) P se mueve a lo largo de la recta que pasa por el origen y (23, 24) d) Cada punto de la trayectoria descrita por P está a 6 unidades del origen. e) Cada punto de la trayectoria descrita por P está a 5 unidades de (3, 4). f ) P es equidistante de los puntos (2, 24) y (21, 5). g) La suma de los cuadrados de las distancias de P a los puntos (4, 2) y (23, 1) es de 50 unidades. h) La suma de las distancias de P a (0, 23) y (0, 3) es de 10 unidades. i) La diferencia de las distancias de P a (25, 0) y (5, 0) es igual a 8. j) P se mueve de tal manera que siempre está 5 unidades arriba del eje x. k) La distancia de P a (2, 3) siempre es igual a 5. l ) La distancia de P al eje x siempre es igual a su distancia, el punto (0, 4). m) La distancia de P al punto (21, 2) siempre es el doble de su distancia al eje x. n) La suma de las distancias de P a los puntos (3, 0) y (23, 0) siempre es igual a 8. o) La distancia del punto P al punto (22, 3) es igual a 4.

8

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles. René Descartes

Introducción En este bloque se parte de la identificación de las características de un sistema coordenado rectangular. A continuación se trata lo relacionado con los dos problemas fundamentales de la geometría analítica respecto de un lugar geométrico.

1.1  Geometría analítica introductoria Desde la antigüedad, el álgebra y la geometría, ramas de la matemática, se desarrollaron en forma independiente. En 1637 el matemático y filósofo René Descartes publicó su obra La Geometríé, en la cual unificaba ambas ramas por medio de un sistema coordenado con el que se establecía una correspondencia biunívoca entre puntos del plano y parejas de números reales. Lo anterior introdujo la aplicación de los métodos del análisis en la geometría, es por ello que surgió la geometría analítica, también llamada geometría de coordenadas o geometría cartesiana, que permite el empleo de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos, así como la representación geométrica de ecuaciones, relaciones y funciones.

La aplicación de la geometría analítica en la resolución de problemas geométricos implica la utilización de un sistema coordenado al que se traslada la condición o condiciones geométricas que deben satisfacerse. A continuación se describe el sistema rectangular conocido por el estudiante en sus cursos de álgebra y trigonometría.



Grupo Editorial Patria®

1.2  Sistema de coordenadas rectangulares Se traza una recta como la de la figura 1.1 y se elige un punto cualquiera de la misma al cual se le asocia el número cero y se le llama origen O. Se conviene en que los puntos a la derecha del origen estén asociados a números positivos y los ubicados a la izquierda, a números negativos. 0 (–)

(+)

O

Como puedes observar, en la recta vertical los puntos que corresponden a los números positivos ahora quedan del origen hacia arriba y los negativos, del origen hacia abajo. Estas rectas, perpendiculares entre sí, reciben el nombre de ejes. El eje horizontal se denota como xx9 y se denomina eje x o eje de las abscisas; el eje vertical se denota por yy9 y se le llama eje y o eje de las ordenadas; el punto de intersección O de ambos ejes es el origen del sistema. Los ejes pertenecen a un plano, al cual dividen en cuatro regiones llamadas cuadrantes y que se numeran en el orden indicado en la figura 1.4.

Figura 1.1

y

En la figura 1.2 se ilustra lo que se conoce como recta real. — –! 5 –6

–5

–4

–3

–2

— !2 –1

0

1 – 2

1

p 2

3

II 4

5

Figura 1.2



I

6

0

x´

Actividad de aprendizaje

x

III

IV

En un sistema coordenado rectangular, ¿con qué otro nombre se designa al eje xx 9?, ¿y al eje yy 9?

y´ Figura 1.4

Ejercicios coordenados

1.3  Parejas ordenadas: igualdad de parejas

Si la recta real se hace girar 90° alrededor del origen y en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj se obtienen dos rectas perpendiculares entre sí (figura 1.3).

Cada punto P del plano tiene asociado un par de números, e inversamente a cada par (ordenado) de números le corresponde un punto. y

(+)

P(x, y)

y (+)

(–) 0

x´

x

0

x

(–) y´

Figura 1.3

Figura 1.5

9

1 BLOQUE



  Reconoces lugares geométricos

Actividad de aprendizaje

y

B (–2, 5) •

En un plano coordenado rectangular, ¿cómo se llama la distancia de un punto al eje vertical? y, ¿cómo se llama la distancia del punto al eje?

A (3, 4) •

0 • C (–3, –2)

La distancia del punto P al eje vertical es su abscisa y se acostumbra representarla con la letra x. La distancia del punto P al eje horizontal es su ordenada y se representa con la letra y. La abscisa y la ordenada del punto P son las coordenadas cartesianas del punto que se denota P(x, y) y se lee: punto P de coordenadas x, y. A la abscisa y la ordenada del punto P también se les llama primera componente y segunda componente, respectivamente. Dos pares ordenados representan un mismo punto, es decir, son iguales, cuando su primera y segunda componentes son respectivamente iguales.

Puntos en un plano

Actividad de aprendizaje ¿En qué cuadrante del plano coordenado se encuentran los siguientes puntos? a ) El que tiene sus dos coordenadas positivas.

b ) El que tiene sus dos coordenadas negativas.

c ) El que tiene su abscisa positiva y su ordenada negativa.

d ) El que tiene su abscisa negativa y su ordenada positiva.

Si se elige una unidad de medida conveniente y se utiliza la misma en los dos ejes, podemos representar un punto en el plano. Localicemos los puntos A (3, 4); B (22, 5); C (23, 22); D (5, 23). 10

x • D (5, –3)

Figura 1.6

Notamos que el punto A tiene positivas su abscisa y su ordenada; para representarlo en el plano haremos lo siguiente: a) Localizamos el número 3 en el rayo positivo del eje xx9. b) Localizamos el número 4 en el rayo positivo del eje yy9. c) Trazamos perpendiculares a los ejes en los puntos localizados 3 y 4. d) La intersección de las perpendiculares anteriores determina el punto A de coordenadas (3, 4). Otra forma de determinar el punto A consiste en: a) Localizar el número 3 en el rayo positivo del eje xx9. b) Trazar la perpendicular a xx9 por el punto 3 y tomar sobre ésta cuatro unidades a partir del eje xx9. Al considerar que trabajamos con rectas perpendiculares, podemos decir que el punto A respecto del origen está tres unidades hacia la derecha y a partir de éste cuatro unidades hacia arriba. En igual forma podemos decir que B está dos unidades a la izquierda y cinco hacia arriba; C, tres unidades a la izquierda y dos hacia abajo; D, cinco unidades a la derecha y tres hacia abajo. La localización de puntos en el plano se facilita utilizando papel coordenado rectangular como el ilustrado en la figura 1.6. Para una mejor aproximación puede usarse papel milimétrico que permite estimar la posición de un punto que no está sobre las esquinas de un cuadrado, sino dentro de él o sobre alguno de sus lados; esto ocurre cuando una coordenada es un número irracional y se ha de hacer necesariamente una aproximación decimal para ubicar el punto. En este sistema se establece una relación 1 a 1 entre cualquier par ordenado de números reales y el punto definido del plano coordenado al cual corresponde, e inversamente a cada punto del plano le corresponde un par definido de coordenadas.





Apolonio obtiene las cónicas mediante la variación de la posición del plano que corta al cono.

Como ya se ha dicho, el álgebra y la geometría están correlacionadas por medio de sistemas coordenados. En geometría analítica plana se establece la correspondencia entre una ecuación en x y y y una figura geométrica. De acuerdo con lo anterior los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son: 1. Dada una ecuación construir la gráfica correspondiente, es decir, hallar el lugar geométrico que representa. 2. Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto que satisface una condición dada. Para resolver estos dos problemas recíprocos se usará el principio fundamental de geometría analítica: Si las coordenadas de un punto satisfacen una ecuación, el punto está en el lugar geométrico de la misma. Si un punto está en el lugar geométrico de una ecuación, las coordenadas del mismo la satisfacen.

1.4  Lugares geométricos

Soluciones y gráficas. Investigación de gráficas

Para tu reflexión

Apolonio Llamado El Gran Geómetra, en su libro Secciones cónicas introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola. La obra Secciones cónicas se compone de ocho libros. En los libros 1 a 4 trata sobre las propiedades básicas de las cónicas. En los libros 5 a 7 hace la discusión de las cónicas y muestra cómo pueden ser dibujadas desde un punto. El libro ocho está perdido.

Concepto de lugar geométrico Lugar geométrico es el conjunto de puntos que satisfacen una condición o condiciones dadas. También se le considera como la trayectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas. En geometría plana el lugar geométrico generalmente es una línea recta o curva, que puede estar formada por varias o bien ser un punto o varios puntos aislados. Así, el lugar geométrico de los puntos del plano localizados a 5 unidades del origen es una circunferencia con centro en el origen y de radio igual a 5; el lugar geométrico de los puntos equidistante de los vértices de un triángulo es el circuncentro, es decir, el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

Grupo Editorial Patria®

Actividad de aprendizaje ¿Cuáles son los dos problemas fundamentales de la geometría analítica?

Para proceder a la representación gráfica de una ecuación, generalmente se recurre a la aplicación de ciertos criterios, que posibilitan el trazo de un bosquejo de la gráfica que representa a la ecuación. Entre otros criterios se aplican los siguientes: Intersecciones con los ejes, simetrías respecto del origen y los ejes y la determinación de la extensión que incluye una tabulación de valores.

Intersecciones con los ejes El punto de intersección de la gráfica del lugar geométrico con el eje x tiene como coordenadas (x, 0), de manera que para obtener las intersecciones del lugar geométrico con el eje x se hace y 5 0 en la ecuación y se despeja la variable x. El punto de intersección de la gráfica del lugar geométrico con el eje y tiene como coordenadas (0, y), por tanto, al hacer x 5 0 en la ecuación y despejar y se obtienen las intersecciones del lugar geométrico con el eje y. Ejemplo Sea la ecuación x² 2 4y 2 8 5 0. Calcula las intersecciones de la gráfica de dicha ecuación con los ejes. Solución:

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento de recta dado?

Para y 5 0, la ecuación se reduce a x² 2 8 5 0. De donde:



x² 5 8 x5 6 8

11

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos

x 5 62 2 Para x 5 0, la ecuación se reduce en:

24y 2 8 5 0 24y 5 8 y 5 22



Por tanto, las abscisas de los puntos de intersección con el eje x son x 5 62 2 y la ordenada del punto de intersección con el eje y es 22.

pecto del eje x. En este caso, para cada valor de x en la ecuación le corresponden dos valores de y iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.

y² 2 3x 1 5 5 0, es decir, y 5 6 3x 2 5 3. Si al sustituir x por 2x y  y por 2y en una ecuación ésta no se altera, entonces su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico respecto del origen.

4 x² 1 9 y² 5 144

Extensión. Tabulación de valores Simetrías respecto del origen y los ejes Dos puntos son simétricos respecto de una recta cuando ésta es perpendicular al segmento que une dichos puntos en el punto medio de éste. Dos puntos son simétricos respecto de otro punto cuando éste es el punto medio del segmento que determinan.

Actividad de aprendizaje ¿Por qué se dice que cuando se sustituye x por 2x en una ecuación y ésta no se altera, su representación geométrica es simétrica respecto del eje y ?

¿Por qué se dice que cuando se sustituye y por 2y en una ecuación y ésta no se altera, su representación geométrica es simétrica respecto del eje x ?

Los valores de las variables tendrán como campo de variación al conjunto de los números reales, en consecuencia no serán tomados en cuenta los valores de una variable para los cuales la otra toma valores imaginarios. Sea  y² 2 4x 1 8 5 0, que también se puede expresar en la forma  y² 5 4x 2 8, o bien y 5 6 4 x 28 .  Si x toma un valor menor que 2, 4x 2 8, será negativo y y será imaginario. Por tanto, la gráfica del lugar geométrico estará situada a la derecha de la recta x 5 2. 1 En la ecuación x 5 ( y 2 18), x es real para todos los valores de y. 4 En ambos casos es conveniente elaborar una tabla de valores para la variable independiente, dentro de su dominio, con el propósito de obtener las coordenadas de un número suficiente de puntos para el trazo de la gráfica. Ejemplos 1.  Representa la recta cuya ecuación es 2x 1 3y 5 6.

Intersecciones con los ejes Ejemplos

Propiedades 1. Si al sustituir x por 2x en una ecuación ésta no se altera, entonces su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico respecto del eje y. En este caso, para cada valor de y en la ecuación le corresponden dos valores de x iguales en valor absoluto, pero de signos contrarios.

x² 2 12 y 1 36 5 0, es decir, x 5 6 12 y 2 36 2. Si al sustituir y por 2y en una ecuación ésta no se altera, entonces su representación geométrica o lugar geométrico es simétrico res-

12

Para x 5 0, y 5 2. Para y 5 0, x 5 3; por tanto, la recta corta a los ejes en los puntos (0, 2) y (3, 0).

Simetrías respecto del origen y los ejes Al sustituir x por 2x la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje y. Al sustituir y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje x. Al sustituir x por 2x  y  y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del origen.

Extensión. Tabulación de valores 1 2

1 3

Al despejar x y y, x 5 (623 y), y 5 (622 x ) . Por tanto, x es real para todos los valores de y  y  y es real para todos los valores de x.



Grupo Editorial Patria®

x

y

23

4

0

2

3

0

3.  Representa la elipse de ecuación 9x 2 1 4y 2 5 36.

y

Intersecciones con los ejes

•

(0, 2)

0

•

(3, 0)

Para x 5 0, y 5 63. Para y 5 0, x 5 62. Por tanto, la elipse corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0) y al eje y en los puntos (0, 3) y (0, 23). x

Simetrías respecto del origen y los ejes Al sustituir x por 2x la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje y. Al sustituir y por 2y la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje x.

Figura 1.7

Al sustituir x por 2x  y  y por 2y la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del origen.

2

2.  Representa la parábola de ecuación y 5 x  2 4.

Extensión. Tabulación de valores

Intersecciones con los ejes

Al despejar x y y.

Para x 5 0, y 524. Para y 5 0, x 5 62. Por tanto, la parábola corta al eje x en los puntos (22, 0) y (2, 0) y al eje y en (0, 24).

Simetrías respecto del origen y los ejes

9x  2 1 4y ² 5 36

9x 2 5 36 2 4y 2 4y 2 5 36 2 9x 2

Al sustituir x por 2x la ecuación no se altera. Por tanto, el lugar geométrico es simétrico respecto del eje y.



Al sustituir y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del eje x.



Al sustituir x por 2x  y  y por 2y la ecuación se altera. Por tanto, el lugar geométrico no es simétrico respecto del origen.

Extensión. Tabulación de valores

9x² 1 4y 2 5 36

2 36 362 244 yy 2 xx 22 5 5 99 11 2 xx 22 56 56 36 362 2 44 yy 2 33

36 2 9 x 22 y22 5 36 2 9 x y 5 4 4 1 y 561 36 2 9 x 2 y 56 2 36 2 9 x 2 2

Si el valor absoluto de x es mayor que 22, 36 2 9x 2 es negativo y y es imaginario. Por tanto, x no puede tomar valores menores que 22 ni mayores que 2, es decir, 22 # x # 2.

y 5 x 2 2 4, por tanto, y es real para todos los valores de x.

De manera semejante y no puede tomar valores menores que 23 ni mayores que 3, o sea, 23 # y # 3.

Al despejar x, x 5 6 y14 , por lo que x es real para todos los valores de y $ 24.

x

x

y

23

5

22

0

21

23

0

24

1

23

2

0

3

5

y

22

3

21

6

0

3

y

0

x

1 2

y

3 3 2

3 6 3 2

0

x

0

Figura 1.9 Figura 1.8

13

1 BLOQUE



  Reconoces lugares geométricos

Aplica lo que sabes

La ecuación de un lugar geométrico

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

El segundo problema fundamental de la geometría analítica consiste en determinar la ecuación de un lugar geométrico cuyos puntos cumplen con las condiciones geométricas dadas.

En un sistema coordenado rectangular se localiza el punto (24, 4). ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico respecto del eje x ? ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico respecto del origen?

Aplicaciones prácticas En el análisis de un problema, la representación geométrica en un sistema coordenado de la ecuación que corresponde a su modelo matemático, hace posible una mayor comprensión de la relación que guardan entre sí las variables que intervienen en él. El uso de un sistema coordenado y la aplicación de los criterios ya mencionados para el trazo de un lugar geométrico son herramientas que el estudiante debe utilizar con habilidad para tener éxito en la resolución del primer problema fundamental de la geometría analítica.

El procedimiento para encontrar la ecuación de un lugar geométrico es directo. Consiste en suponer que un punto cualquiera P de coordenadas (x, y) satisface las condiciones especificadas y, por tanto, es un punto del lugar geométrico. En seguida se expresa con ecuaciones en x y y la condición o condiciones geométricas que debe cumplir el punto. Finalmente se simplifica la ecuación. Ejemplos 1. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve

2

sobre la recta de pendiente igual a y que pasa por el punto de 3 coordenadas (21, 5). Solución: Se aplica la fórmula para la pendiente de una recta que pasa por dos puntos, en este caso:

Aplica lo que sabes

P (x, y ) y (21, 5):

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

m5

En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente donde vivimos. Cuidémoslo. La quema de combustibles fósiles, derivados del carbón y del petróleo, así como la quema de bosques y selvas han provocado un gran aumento en la concentración de los gases de invernadero durante el último siglo, con el consecuente deterioro del planeta.

y 25 y 25 5 x 2(21) x 11

Se sustituye m por la pendiente Simplificando:

1 13)(15 x1 )y5 y 25)5) 2( x 121(2)x(5 23(53y)(2 1 1515 x1 53153y 2 y2 2 x 122x25 32y25 2 3173y 1 17 x12 y1 2 x 223x2y2 5 017550 0



y

Investiga cómo han ido aumentando en la atmósfera los compuestos CO2, NH4 y NO2 en miles de millones de toneladas del año 1000 al 2000 en PgC.

(–1, 5) •

1 PgC 5 1 Peta 2 gramo Carbono 5 1000 millones de toneladas.

2x

Utiliza un sistema coordenado rectangular para representar la producción de gases de efecto invernadero (GEI) entre los años 1000 y 2000. Observa cómo se ha incrementado la producción de GEI entre los años 1800 y 2000.

0

Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio. Figura 1.10

14

2 2 y 25 : 5 3 3 x 11

–3

y+

17

=0

x



Grupo Editorial Patria®

2. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje y es igual a su distancia del punto (4, 0). Halla la ecuación del lugar geométrico.

es decir:

( x 23)2 1( y 20)2 2 ( x 13)2 1( y 20) 2 5 4 4.  Al trasponer el segundo radical al segundo miembro:

Solución: Sea P (x, y ) un punto cualquiera del lugar geométrico. La distancia de P al eje y es la abscisa x de dicho punto. La distancia de P al punto (4, 0) se expresa mediante:

( x 2 4)2 1( y 20)2 5 x 2 28 x 1161 y 2 Al igualar las dos distancias: 2

( x 23)2 1( y 20)2 5 4 1 ( x 13)2 1( y 20)2 Al elevar al cuadrado ambos miembros:

( x 23)2 1( y 20)2 51618 ( x 13)2 1( y 20)2 1( x 13)2 1( y 20)2 x ² 2 6x 1 9 1 y ² 5 16 18 1 9 1 y ²

2

x 28 x 1161 y 5 x

( x 13)2 1( y 20)2 1 x ² 1 6x

Simplificando:

Al elevar al cuadrado los dos miembros tenemos:

2 2 212x 2 16 5 8 ( x 13) 1( y 20)

x ² 2 8x 1 16 1 y ² 5 x ²

Al elevar al cuadrado ambos miembros y simplificando:

De donde:

144x 2 1 384x 1 256 5 64(x 2 1 6x 1 9 1 y 2)

y ² 2 8x 1 16 5 0

144x 2 1 384x 1 256 5 64x 2 1 384x 1 576 1 64y 2 80x 2 2 64y 2 5 320

y (0, y)

0

5x 2 2 4y 2 5 20 P(x, y)

(4, 0)

y

x x 0

Figura 1.11

3. Halla la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve, de tal manera que la diferencia de las distancias a los puntos A (3, 0) y B (23, 0) siempre es igual a 4. Figura 1.12

Aplicaciones prácticas

Solución: Sea P (x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico PA 2 PB 5 4,

El uso de un sistema coordenado rectangular permite resolver problemas que tienen que ver con la localización de puntos en el plano. Cuando en el plano de una ciudad ubicamos el punto en el que nos encontramos, podemos planear un itinerario a partir de él para visitar sitios que nos interesa conocer; también podemos elegir distintas rutas utilizando el transporte disponible. El sistema coordenado rectangular también lo podemos usar para trazar figuras simétricas, para construir figuras a escala, etcétera. 15

1 BLOQUE



  Reconoces lugares geométricos

Aplicación de las TICs 1. Ahora que sabes qué son los lugares geométricos, emplea la plataforma WolframAlpha, que se encuentra en el sitio www.wolframalpha. com, y contesta las siguientes preguntas. Tip: la plataforma WolframAlpha es un recurso computacional libre que puedes emplear para resolver inquietudes e incluso problemas de muchas disciplinas; esta herramienta está disponible únicamente en inglés, por lo que puedes pedir apoyo a tu profesor de Inglés, o bien, puedes utilizar el traductor de Google, cuyo sitio es www.google.com/translate. 2. Obtén la gráfica de la ecuación 4x2 5 9y2 5 36. Tip: en la página principal de WolframAlpha ingresa la ecuación de la siguiente manera: 4x^2 2 9y^2 5 36. El símbolo ^ puedes obtenerlo directamente en tu teclado, o bien, empleando la combinación de teclas Alt 1 94. Observa que la instrucción completa es “Plot 4x^2 2 9y^2 5 36”, que quiere decir “grafica 4x^2 2 9y^2 5 36”; una vez que lo hayas hecho presiona Enter o haz clic en el símbolo igual (5).

Si lo hiciste bien, obtendrás la gráfica solicitada como se muestra en la siguiente pantalla.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utillizada sin su permiso.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utillizada sin su permiso.

3.  Cambia la escala de los ejes para que puedas visualizar la representación de la hipérbola. Tip: para indicar en la plataforma el espacio en el que deseas graficar puedes emplear esta sintaxis: Plot [4x^2 2 9y^2 5 36,{x,-10,10},{y, 210,10}] Esto significa: “Grafica[ecuación,{rango en x},{rango en y}]. Los rangos los indicamos como sigue “{x,min,max}”.

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utillizada sin su permiso.

16



Grupo Editorial Patria®

Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda. Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo. 3

Debo mejorar en…

Identifico las características de un sistema de coordenadas rectangulares. Interpreto la información a partir de la noción de parejas ordenadas. Reconozco las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo

Criterios de evaluación

1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total Heteroevaluación Resuelve en la página 18 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 1 y entrégala a tu profesor.

17

1 BLOQUE



  Reconoces lugares geométricos

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 1. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1.  Si un punto está sobre el eje x, ¿cuál es su ordenada?

 

6.  Si un punto tiene positiva su abscisa y negativa su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

 

2.  Si un punto está sobre el eje y, ¿cuál es su abscisa?

 

7.  ¿Dónde se ubica el punto que tiene abscisa y ordenada igual a cero?

  3.  Si un punto tiene positivas su abscisa y su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica? 8.  Encuentra todos los puntos donde:

 



a)  La abscisa y la ordenada son iguales.



b) La abscisa y la ordenada tienen signos contrarios e igual valor absoluto.

4.  Si un punto tiene negativas su abscisa y su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

 

9.  Bosqueja la gráfica de la ecuación: 3x 1 4y 2 12 5 0

5.  Si un punto tiene negativa su abscisa y positiva su ordenada, ¿en qué cuadrante se ubica?

10. Bosqueja la gráfica de la ecuación 9x 2 1 4y 2 5 36

 

 

18



Grupo Editorial Patria®

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre los dos problemas fundamentales de la geometría analítica señaladas en la actividad de aprendizaje de la página 11. Nombre del alumno:

Conclusiones

Dominio del tema

Desarrollo

Presentación

  Criterio

cumple sí

no

Observaciones

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.   7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas. 10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Conoce los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 12. A partir de una ecuación construye la gráfica del lugar geométrico correspondiente. 13. A partir de las condiciones dadas obtiene la ecuación de un lugar geométrico. 14. Comprende los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. 15. Con base en una ecuación, determina sus simetrías, su extensión e intersecciones con los ejes y construye la gráfica del lugar geométrico. 16. Con base en las condiciones dadas, establece las relaciones para obtener la ecuación de un lugar geométrico.

19

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 1; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo bajo aspectos que se considera son los más adecuados: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del estudiante:

  Aspecto a evaluar

Criterios

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Características de un sistema de ejes coordenados rectangular

Conoce e identifica un sistema coordenado rectangular, nombres de los ejes, punto de intersección de los ejes, regiones en que dividen al plano.

Conoce e identifica la mayoría de los elementos de un sistema coordenado rectangular.

Conoce e identifica algunos elementos de un sistema coordenado rectangular.

No conoce ni identifica un sistema coordenado rectangular: nombres de los ejes, punto de intersección de los ejes, regiones en que dividen al plano.

Parejas ordenadas, la igualdad entre ellas y su representación gráfica

Conoce e identifica las distancias de un punto a los ejes, conoce los signos de las componentes de un punto, representa puntos en el plano, identifica cuando dos pares ordenados representan un mismo punto.

En la mayoría de los casos, conoce e identifica, las distancias de un punto a los ejes, conoce los signos de las componentes de un punto, representa puntos en el plano, identifica cuando dos pares ordenados representan un mismo punto.

En algunos casos, conoce e identifica las distancias de un punto a los ejes, conoce los signos de las componentes de un punto, representa puntos en el plano.

No conoce ni identifica las distancias de un punto a los ejes, no conoce los signos de las componentes de un punto, no representa puntos en el plano, no identifica cuando dos pares ordenados representan un mismo punto.

Regularidades en conjuntos de parejas ordenadas presentadas en forma gráfica, numérica

Conoce y explica los dos problemas fundamentales de la geometría analítica, representa gráficamente una ecuación a partir de las intersecciones con los ejes, las simetrías con respecto al origen y los ejes, la extensión con tabulación de valores. Determina la ecuación de un lugar geométrico a partir de sus condiciones.

Conoce y explica los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. En la mayoría de los casos, representa gráficamente una ecuación a partir de las intersecciones con los ejes, las simetrías con respecto al origen y los ejes, la extensión con tabulación de valores. En la mayoría de los casos, determina la ecuación de un lugar geométrico a partir de sus condiciones.

Conoce y explica los dos problemas fundamentales de la geometría analítica. En algunos casos, representa gráficamente una ecuación a partir de las intersecciones con los ejes, las simetrías con respecto al origen y los ejes, la extensión con tabulación de valores. En algunos casos, determina la ecuación de un lugar geométrico a partir de sus condiciones.

No conoce ni explica los dos problemas fundamentales de la geometría analítica, no representa gráficamente una ecuación a partir de las intersecciones con los ejes, las simetrías con respecto al origen y los ejes, la extensión con tabulación de valores. No determina la ecuación de un lugar geométrico a partir de sus condiciones.

Comentarios Generales

20

Excelente (4)



Grupo Editorial Patria®

Portafolio de evidencias

El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:

• Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparativos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso de aprendizaje en este curso.

• No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son los más significativos en el proceso de aprendizaje.

• Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas. Etapas para realizar tu portafolio de evidencias

Instrucciones para seleccionar las evidencias

1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su relación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarrollar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, semestre).

1.  Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.

2.  Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccionar tus evidencias de aprendizaje.

3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósito del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.

2.  Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, competencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexionar sobre ello.

3.  Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.

Propósito del portafolio de evidencias

Semestre

Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensamiento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que te permita el uso óptimo de la información recopilada. Asignatura

Número de bloques del libro

Nombre del alumno:

Criterios de reflexión sobre las evidencias

Comentarios del estudiante:

¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas? ¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio? ¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas? ¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso? ¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas? Monitoreo de evidencias

#

Título

Fecha de elaboración

Comentarios del profesor(a):

1 2 3 4 5

21

1 BLOQUE

  Reconoces lugares geométricos

Lista de cotejo

Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. Instrucciones: Marcar con una ✗, en el espacio de acuerdo al desempeño obtenido.

Estructura

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

Sí

No

1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante. 2. Cuenta con un apartado de introducción. 3. Cuenta con una sección de conclusión. 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas. Estructura interna

5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo. 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica. 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes. Contenido

8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante. 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento. 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento. 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante. 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos. Aportaciones propias

13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana. 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia. 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información. Interculturalidad

16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad. Total

22



Grupo Editorial Patria®

Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Reconoce lugares geométricos. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de reconocer lugares geométricos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Conoce los antecedentes teóricos e históricos de la Geometría Analítica. Sabe por qué a la Geometría Analítica también se le conoce como geometría cartesiana o geometría de coordenadas. Localiza puntos en el plano coordenado de manera correcta. Puede determinar las parejas ordenadas que corresponden a puntos en el plano. Puede establecer la igualdad de parejas ordenadas. Comprende la definición de lugar geométrico. Puede identificar los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica. Puede trazar la gráfica de un lugar geométrico a partir de una ecuación. Puede obtener la ecuación de un lugar geométrico a partir de las condiciones del mismo. Comentarios generales:

23

Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos Tiempo asignado: 12 horas

2

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

2.1 Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos

2.2  Distancia entre dos puntos 2.3 Perímetro y área de polígonos 2.4 Punto de división de un segmento 2.5  Punto medio

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas y gráficas, asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar

e interpretar información. n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n Diseña y aplica modelos para probar su validez.

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. n

D efine metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas:

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n

A porta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

n

A sume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

1.

Calcula la distancia entre los puntos M (21, 23) y N (6, 4).

2.

Calcula la distancia entre los puntos G (0, 24) y H (11, 22).

3.

Demuestra que son colineales los puntos A (22, 27), B (3, 21), C (8, 5).

4.

Calcula el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son A (5, 3), B (3,26), C (25, 22), D (22, 7).

5.

Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos (23, 23) y (2, 4).

Desempeños por alcanzar Identifica las características de un segmento rectilíneo . Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos . Construye e interpreta modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos.

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos



Situación didáctica

En la escala Celsius (centígrada) de temperatura el agua se congela a 0 °C y hierve a 100 °C, mientras que en la escala Fahrenheit el agua se congela a los 32 °F y hierve a los 212 °F. Encuentra la ecua-



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. En cada equipo utilizarán hojas de papel cuadriculado para representar la ecuación en el plano cartesiano. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

¿Cómo lo resolverías? ción lineal que expresa la temperatura Celsius (C) en función de la Fahrenheit (F). Representa la ecuación en el plano cartesiano.

¿Qué tienes que hacer? Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuál es el concepto de función como relación de dependencia entre dos variables? 2.  E  n una función, ¿cuál es la variable independiente y cuál es la variable dependiente? 3. Al representar una función en el plano cartesiano, ¿en cuál eje se localizan los valores de la variable independiente?, ¿en cuál eje se localizan los valores de la variable dependiente? 4. ¿Cómo se localizan en un plano cartesiano las coordenadas de los puntos de congelación y de fusión de las escalas Celsius y Fahrenheit? 5. ¿Cómo se obtiene la pendiente entre dos puntos? 6. ¿Cuál es la pendiente entre los puntos coordenados de congelación y de fusión de las escalas Celsius y Fahrenheit?

Evaluación por producto

7. De las distintas formas de obtener la ecuación de una recta, ¿cuál es la que se puede aplicar para resolver este problema?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

8. ¿Cuál es la ecuación que expresa la temperatura Celsius (C) en función de la Fahrenheit (F)?

Producto a elaborar

9.  ¿Cómo se representa esa ecuación en el plano cartesiano?

Presentar la ecuación que expresa la temperatura Celsius en función de la temperatura Fahrenheit.

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

26

Presentar la gráfica de la ecuación en el plano cartesiano.



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para cada ecuación y gráfica se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, los libros consultados, etc. La descripción del procedimiento por



Situación didáctica

Un camión de transporte de valores de un banco debe proveer de dinero en efectivo a todos sus cajeros automáticos ubicados en una



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. En cada equipo utilizarán hojas de papel cuadriculado para representar la ecuación en el plano cartesiano. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. Para una institución bancaria, ¿de dónde salen los camiones que transportan valores? 2. Para una delegación política, ¿cuántos cajeros automáticos tiene esa institución bancaria? 3.  ¿Cuáles son las posibles rutas de recorrido del camión? 4. ¿Cuántos viajes al día debe hacer el camión para proveer de dinero en efectivo a todos los cajeros automáticos de su ruta en la delegación política? 5.  ¿Cuál es el recorrido promedio diario del camión?

escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías? delegación política del Distrito Federal. Investiga cuál es la distancia promedio diaria que recorre ese camión.

¿Qué tienes que hacer? Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentación de una tabla de distancias recorridas por el camión en cada ruta. Presentación en un plano de las distintas combinaciones de rutas y distancias recorridas. Cálculos realizados para determinar la distancia recorrida en promedio al día por el camión.

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

27

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar las distancias que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Registro anecdótico

En las diferentes actividades que se te pide realices a lo largo de la obra, podrás utilizar el siguiente modelo de registro anecdótico, que te posibilitará registrar de manera ordenada numerosas actividades. Intégralo a tu portafolio de evidencias cuando tu profesor lo solicite. Fecha: Tarea: Docente:

Registro de actividades

28

Recuperación de avances, dificultades y apoyos requeridos



Grupo Editorial Patria®

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

6. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (21, 23) y (3, 1). Si la abscisa del tercer vértice es 24 encuentra la ordenada.

Ejercicio III

7. Los puntos A (22, 21), B (4, 21) y C (6, 3) son vértices de un paralelogramo. Determina las coordenadas del vértice D: a) Si BC es una diagonal. b) Si AB es una diagonal. c) Si AC es una diagonal.

1. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. a) A (2, 1) y B (7, 2) b) C (24, 4) y D (4, 4) c) E (28, 25) y F (23, 25) d) G (0, 22) y H (7, 22)

Ejercicio IV

e) I (3, 24) y J (3, 3)

División de un segmento en una razón dada

f ) K (26, 21) y L (26, 3)

1. Encuentra las coordenadas de los puntos medios de los segmentos que unen los siguientes pares de puntos:

g) M (2, 22) y N (6, 1) h) O (25, 22) y P (21, 24) i) Q (25, 23) y R (3, 3) j) S (4, 24) y T (1, 5) 2. Demuestra que los puntos A, B y C son colineales. a) A (27, 21), B (23, 2), C (5, 8) b) A (22, 5), B (1, 4), C (7, 2) c) A (5, 22), B (0, 0), C (25, 2) d) A (26, 2), B (2, 4), C (6, 5) e) A (5, 3), B (2, 0), C (22, 24) 3. Los puntos P, Q y R son vértices de un triángulo. Determina en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno. a) P (21, 5), Q (0, 24), R (8, 4) b) P (4, 0), Q (23, 4), R (23, 24) c) P (22, 21), Q (3, 2), R (5, 25) d) P (25, 3), Q (6, 6), R (23, 21) e) P (21, 3), Q (6, 22), R (3, 6) 4. Calcula el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: a) A (4, 1), B (1, 4), C (22, 1), D (1, 22) b) A (8, 21), B (7, 4), C (23, 2), D (2, 23) c) A (4, 2), B (22, 6), C (28, 2), D (22, 22) d) A (4, 2), B (21, 2), C (4, 22), D (7, 22) e) A (5, 22), B (4, 3), C (22, 5), D (5, 22) 5. Un triángulo equilátero tiene por vértices (23, 0) y (3, 0). Determina las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones).

a) (2, 1), (9, 15) b) (23, 8), (7, 27) c) (27, 28), (1, 22) d) (a, b), (2a, 2b) 2. El punto extremo de un segmento es (2, 4) y su punto medio es (1, 21). Halla las coordenadas del otro extremo. 3. Los puntos P1, P2 y P son colineales. Encuentra en cada caso el valor de la razón: PP r5 1 PP2 a) P1(23, 4), P2(2, 26), P (21, 0) b) P1(1, 4), P2(3, 2 4), P (4, 28) c) P1(23, 22), P2(5, 6), P (2, 3) d) P1(4, 2), P2(22, 22), P (7, 4) e) P1(2, 21), P2(6, 23), P (24, 2) 4. Traza los puntos P1 y P2. Después encuentra P (x, y) según la razón dada. 1 a) P1(1, 2), P2(7, 5), r 5 1 2 3 b)  P1(2, 1), P2(9, 15), r 5 4 3 c) P1(1, 2), P2(9, 8), r 5 2 5 5 d)  P1(22, 3), P2(7, 28), r 5 2 2 2 e) P1(23, 8), P2(7, 27), r 5 2 3

29

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

2 5. El punto (5, 21) divide al segmento P1P2 en la razón r 5 . Si 3 las coordenadas de P1 son (11, 23), encuentra las coordenadas de P2.

Las proposiciones matemáticas, en cuanto tienen que ver con la realidad, no son ciertas; y en cuanto que son ciertas, no tienen nada que ver con la realidad. Albert Einstein

6. Los puntos medios de los lados de un triángulo son (3, 2), (22, 2) y (1, 23). Halla las coordenadas de los vértices. Sugerencia: aplica el teorema: el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad de éste. 7. Dibuja el triángulo cuyos vértices son P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3). • Halla las coordenadas del punto de trisección, de cada mediana, que está más cercano al punto medio del lado correspondiente. • Demuestra que el punto de trisección es el mismo para cada mediana y que, por tanto, las medianas concurren en un punto llamado baricentro. • Demuestra que son iguales los lados del cuadrilátero que tiene sus vértices en (2,4), (23,1), (0,24) y (5,1). • Los vértices de un cuadrilátero son (6,6), (21,6), (25,23) y (4,7). Determina el perímetro del cuadrilátero que se forma al unir los puntos medios de los lados y demuestra que su valor es igual a la suma de las diagonales del cuadrilátero original. • Determina si los puntos (0,13), (29,9) y (6,3) están a la misma distancia del punto (22,5). • Encuentra la longitud de las diagonales del cuadrilátero cuyos vértices están en (10,7), (24,8), (25,24) y (7,25). • Encuentra las coordenadas del punto que está sobre el eje Y y es equidistante de los puntos (23,22) y (5,2). • Un cuadrilátero tiene sus vértices en (7,5), (21,8), (24,22) y (4,25). Demuestra que sus diagonales se bisecan. • Un punto de coordenadas (x,3) está a igual distancia de (3,22) y (7,4). Encuentra el valor de x.

Introducción Un segmento rectilíneo se representa a partir de las coordenadas de sus extremos o bien se traza para determinar las coordenadas de sus extremos. En este bloque se obtiene la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano y se aplica para determinar perímetros y áreas de polígonos. Asimismo, se interpreta la noción de razón en la división de un segmento rectilíneo.

2.1  Segmentos rectilíneos: dirigidos y no dirigidos La recta y el segmento de recta, estudiados en el curso anterior son tratados ahora en un sistema coordenado rectangular en el que además de representarlos gráficamente se los relaciona con las coordenadas de puntos del plano.

Conceptos básicos sobre rectas y segmentos Los conceptos de recta y segmento de recta adquieren un nuevo significado en geometría analítica como se verá más adelante. Asimismo el perímetro y área de un polígono se calculan con base en un sistema coordenado.

Segmentos dirigidos Una recta dirigida es aquélla en la que una dirección se define como positiva y su dirección opuesta como negativa. La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento. A diferencia de la geometría plana, en geometría analítica se considera la dirección de los segmentos de recta además de su longitud. En la figura 2.1 se ilustra la recta l, en la cual AB es un segmento cuyos extremos son A y B. Si se considera al segmento AB generado por un punto que se mueve a lo largo de la recta l de A a B, entonces se dice que el segmento AB está dirigido de A a B como lo indica la flecha. El punto A recibe el nombre de origen o punto inicial y al punto B se le llama extremo o punto final. Si el mismo segmento

30



Grupo Editorial Patria®

se dirige de B a A, B es el origen y A el extremo y se denota por BA. Como se puede observar, la dirección o sentido de un segmento dirigido siempre se indica escribiendo primero el origen o punto inicial. l A

B

A cada punto de la recta le corresponde un número real denominado coordenada del punto. Para obtener la magnitud y signo de un segmento dirigido se encuentra la diferencia entre las coordenadas de sus extremos, restando a la coordenada del punto final la del punto inicial. El signo indica la dirección, y el valor absoluto de la magnitud, con su signo, nos da la distancia entre los puntos que determinan el segmento dirigido.

Figura 2.1

Al valor que indica la longitud de un segmento dirigido se le asocia el signo que corresponde a su dirección o sentido. De esta manera, si a un segmento dirigido en un sentido se le considera de longitud positiva, entonces el dirigido en sentido opuesto será de longitud negativa, es decir, si AB tiene longitud positiva entonces la de BA es negativa.

Ejemplo Encuentra la distancia (d ) entre los puntos P1 (7) y P2 (24). P1 P2 5 7 2 (24) 5 11 P2 P1 5 24 2 7 5 211 d 5 | p1p2| 2 |p2p1|

AB 5 2BA Si A, B y C son tres puntos distintos sobre una recta dirigida positivamente de izquierda a derecha, entonces los segmentos dirigidos determinados por dichos puntos satisfacen las siguientes relaciones: AB 1 BC 5 AC, AC 1 CB 5 AB, BA 1 AC 5 BC A

B

C

Figura 2.2

Si como se ilustra en la figura 2.2, B está entre A y C, los segmentos AB, BC y AC tienen la misma dirección y AC es igual a la suma de los otros dos segmentos. La segunda relación se puede obtener a partir de la primera, al trasponer BC y utilizar la igualdad BC 5 2CB. AB 5 AC 2 BC 5 AC 1 CB Una tercera relación se puede obtener a partir de la primera, mediante trasponer AB y utilizar la igualdad AB 5 2BA BC 5 AC 2 AB 5 AC 1 BA 5 BA 1 AC Las relaciones anteriores ilustran los casos en que B está entre A y C; C está entre A y B; A está entre B y C. Intercambiando los extremos pueden obtenerse las tres relaciones restantes que se demuestran de manera semejante a las ya planteadas. Recordemos que se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de una recta, de manera que a cada punto de la recta se le asocia un número real único y viceversa. En dicha recta se elige un punto que se denota con la letra O, se le asocia el valor cero y se le llama origen; los puntos a la derecha del origen están relacionados con números positivos y los situados a la izquierda, con números negativos.

d 5 |211| 5 |11| 5 11

Aplica lo que sabes Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente: En nuestro planeta se han generado las condiciones que nos permiten vivir. Nosotros formamos parte del ambiente en el que vivimos. Cuidémoslo. La quema de combustibles fósiles, derivados del carbón y del petróleo, así como la quema de bosques y selvas han provocado un gran aumento en la concentración de los gases de invernadero durante el último siglo, con el consecuente deterioro del planeta. Investiga cómo se ha dado la emisión de gases de efecto invernadero durante las tres últimas décadas del siglo anterior, ocasionado por el alto consumo de energía. En un sistema coordenado rectangular elabora una gráfica lineal donde se ilustre la emisión de gases de efecto invernadero. Respecto de la emisión global, observa qué porcentaje lo generan los países industrializados de América del Norte y Europa. Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

31

2 BLOQUE



  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

2.2  Distancia entre dos puntos

De donde:

La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano o la longitud del segmento de recta que los une se puede determinar a partir de las coordenadas de los puntos considerados.

Elegimos la raíz cuadrada positiva porque generalmente sólo nos interesa la magnitud del segmento.

Actividad de aprendizaje Escribe la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos del plano:

 

d 5 ( x 2 2 x1 )2 1( y2 2 y1 )2

Al utilizar esta fórmula, a un punto se le asignan las coordenadas (x1, y1) y al otro (x2, y2) y como las diferencias indicadas están elevadas al cuadrado, su resultado no cambia si se invierte el orden de la resta. Sin embargo, es importante señalar que una vez establecida una diferencia, la otra debe tomarse en el mismo orden, es decir: d 5 ( x 2 2 x1 )2 1( y2 2 y1 )2 o d 5 ( x1 2 x 2 )2 1( y1 2 y2 )2 Pero nunca:

 

d 5 ( x 2 2 x1 )2 1( y2 2 y1 )2 o d 5 ( x1 2 x 2 )2 1( y1 2 y2 )2 Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos dados cualesquiera (figura 2.3) d 5 | P1 P2| , la distancia d entre los puntos P1 y P2.

En los dos últimos casos se invierte el sentido de los segmentos dirigidos y con ello se altera el resultado de la operación.

Tracemos por P1 una horizontal y por P2 una vertical, y llamemos R al punto de intersección de dichas rectas. R y P2 tienen la misma abscisa porque están sobre la misma vertical; por estar sobre la misma horizontal, R y P1 tienen la misma ordenada; de manera que las coordenadas del punto R son (x2, y1). Ahora bien, ya que P1 y R tienen la misma ordenada, la distancia entre ellos está dada por:

Ejemplos 1.  Halla la distancia entre los puntos A (3, 4) y B (23, 22). y

•

A(3, 4) y P2 (x2, y2)

0

P1 (x1, y1)

B(–3, –2)

Figura 2.4

Y como P2 y R tienen la misma abscisa, la distancia entre ellos se expresa por: RP2 5 y2 2 y1

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo P1 R P2 se tiene: ( P1 P2 )2 5( P1 R )2 1( RP2 )2

d 2 5 (x2 2 x1)2 1 ( y2 2 y1)2

32

x

R (x2, y1)

Figura 2.3

Es decir:

•

x

0

Solución:

d AB 5 (2323)2 1(222 4)2

d AB 5 [32(23)]2 1[ 4 2(22)]2

5 (26)2 1(26)2

5 (313)2 1( 4 12)2

5 36136

5 (6)2 1(6)2

5 36(2)

5 36136

56 2

5 36(2) 56 2



Grupo Editorial Patria®

2. Demuestra que los puntos A (26, 23), B (22, 21) y C (4, 2) son colineales. y

•

d AB 5 (24 2 4)2 1(125)2 2 64 116 2 80 2 4 5 dCA 5 ( 4 2 4)2 1(513)2 2 0164 2 64 28 d BC 5 ( 4 1 4)2 1(2321)2 2 64 116 2 80 2 4 5

•

C (4, 2)

•

Solución:

0

Las longitudes indican que el triángulo es isósceles. x

Aplica lo que sabes

B (–2, –1)

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

A (–6, –3)

Un terreno está delimitado por tres calles que se cortan oblicuamente dos a dos. ¿Cómo se puede calcular su área?

Figura 2.5

Solución: Los puntos A, B y C serán colineales si se cumple que AB 1 BC 5 AC. Entonces:

d AB 52 (2216)2 1(2113)2 2 161 4 2 20 22 5 d AB 52 ( 4 12)2 1(211)2 2 3619 2 45 23 5 d AC 52 ( 4 + 6)2 1(213)2 2 100125 2 125 25 5 Por tanto: AB 1 BC 5 AC

Para tu reflexión

2 5 13 5 5 5 5 3. Demuestra que A (4, 5), B (24, 1) y C (4, 23) son los vértices de un triángulo isósceles. y

•

A (4, 5)

•

x

•

C (4, –3)

Figura 2.6

Es considerado como el más grande de los filósofos que crearon la llamada Edad de la Razón durante el último periodo del Renacimiento. El álgebra y la geometría le atrajeron poderosamente por la certidumbre de sus pruebas y a través de ellas introdujo una nueva forma de estudiar la geometría, mediante el uso de líneas y figuras tridimensionales en una gráfica.

B (–4, 1)

0

René Descartes

Para trazar una gráfica utilizaba marcas de unidades sobre una línea horizontal (eje x ) y una línea vertical (eje y ), con lo que a cada punto de la gráfica lo identificaba con dos números. El primero correspondía a una distancia en el eje x y el segundo a una distancia en el eje y. De la combinación del álgebra y la geometría surgió la geometría analítica, que dio a conocer dentro de su obra Discurso del método. En esta obra formuló un método para determinar la verdad, el cual consiste en aplicar la lógica de las matemáticas a todos los aspectos de la vida.

33

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

2.3  Perímetro y área de polígonos Sabemos por geometría plana que el perímetro de una figura se obtiene como la suma de las longitudes de sus lados, las cuales se encuentran con ayuda de una regla graduada o de un escalí-

metro. En geometría analítica, para determinar el perímetro de una figura, primero se localizan en el plano coordenado las coordenadas de los vértices de la figura y posteriormente se aplica la fórmula para obtener la distancia entre dos puntos, para encontrar la longitud de cada uno de los lados, y finalmente se obtiene el perímetro como la suma de esas distancias.

Ejemplos 1.  Calcula el perímetro del triángulo que tiene sus vértices en A (25, 6), B (25, 24) y C (7, 1). Solución: En el plano coordenado se traza el triángulo determinado por A, B y C. Después se utiliza la fórmula de la distancia entre dos puntos para calcular la longitud de los lados y finalmente se suman éstas para obtener el perímetro.

y

•

A(–5, 6)

d AB 5 (2515)2 1(61 4)2 5 0 2 110 2 5 01100 5 100 510 d BC 5 (715)2 1(11 4)2 5 12 2 15 2 5 12 2 15 2 5 169 513

dCA 5 (2527)2 1(621)2 5 (212)2 15 2 5 144 125 5 169 513

•

C(7, 1) 0

x

•

B(–5, –4)

P 5 10 1 13 1 13 5 36 unidades cuadradas. Figura 2.7

2. Encuentra el perímetro del cuadrilátero que tiene sus vértices en A(25,1), B(22, 23), C(6, 3) y D(3, 7). Solución: y

d AB 5 (2215)2 1(2321)2 5 32 1(24)2 5 9116 5 25 55 2

2

2

2

2

2

d BC 5 (612) 1(313) 5 8 16 5 64 136 5 100 510 2

2

dCD 5 (326) 1(723) 5 (23) 14 5 9116 5 25 55 2

2

2

A(–5, 1)

•

2

d DA 5 (2523) 1(127) 5 (28) 1(26) 5 64 136 5 100 510 P 5 5 1 10 1 5 1 10 5 30 unidades cuadradas.

Figura 2.8

34

•

B(–2, –3)

0

•

D(3, 7)

•

C(6, 3)

x



Grupo Editorial Patria®

Áreas Para el cálculo del área de un triángulo vamos a considerar los datos del ejemplo de la figura 2.7. De acuerdo con la figura y el cálculo de las longitudes de sus lados se observa que es un triángulo isósceles cuya base mide 10 unidades.

6 25 1 1 7 Área del triángulo ACB 5 2 25 24 25 6

1 5 [(25)(1)1(7)(24)1(25)(6)2(7)(6)2(25)(1)2 2

Los lados iguales concurren en el vértice C al que se opone la base 1 5 [(25)(1)1(7)(24)1(25)(6)2(7)(6)2(25)(1)2(25)(24)] AB. El punto medio (M) de ésta unido con C es una mediana que 2   está contenida en la mediatriz de AB y, por tanto, CM es la altura 1 que corresponde a C. 5 [252282302 4215220] 2 La longitud de CM es: 1 5 (120) 2 2 2 2 2 dCM 5 (2527) 1(121) 5 (212) 10 5 144 10 5 144 512 5 2 60 unidades cuadradas 21)2 5 (212)2 10 2 5 144 10 5 144 512 En ambos casos tomaremos el valor absoluto del resultado. Como el área de un triángulo es: Este procedimiento también se puede aplicar a otros polígonos bh convexos siempre y cuando se dispongan en orden las coordenaA5 das de los vértices sucesivos. 2 10(12) A5 Ejemplo 2 5 60 unidades cuadradas Otra forma de obtener el área de este triángulo consiste en calcular el determinante que se forma al disponer en columna las coordenadas de vértices sucesivos, repitiendo el primer renglón al final y 1 multiplicando por el resultado obtenido. 2 Cuando las coordenadas de los vértices sucesivos se disponen en el orden contrario al giro de las manecillas del reloj (A, B, C), el resultado es positivo y cuando se disponen en el orden que corresponde al giro de las manecillas del reloj (A, C, B), el resultado es negativo.

Halla el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en (23, 3), (4, 4), (24, 23), (3, 25). Solución:

Se localizan los puntos en el plano coordenado y se disponen en columna las coordenadas de los vértices sucesivos. y

6 25 1 25 24 Área del triángulo ABC 5 1 2 7 25 6

(–3, 3)

(–4, –3)

1 5 [(25)(24)1(25)(1)1(7)(6)2(−5)(6)2(7)(24)2(25)(1)] 2

1 5 [(25)(24)1(25)(1)1(7)(6)2(−5)(6)2(7)(24)2(25)(1)] 2   1 5 [20251 4213012815] 2 1 5 (120) 2 5 60 unidades cuadradas

•

•

•

(4, 4)

0

x

•

(3, –5)

Figura 2.9

23 3 24 23 1 3 25 Área del polígono 5 2 4 4 23 23 35

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Por el teorema de Tales se sabe que varias rectas paralelas determinan segmentos proporcionales en cualquier transversal que las 1 , PA paralelas 5 [(23)(23)1(24)(25)1(3)( 4)1( 4)(3)2(24)(corte. 3)2 2(3Con )(2las 3)2 ( 4)(25P)2 3)(y4P)]2A2 y las transversales P1P2 y 1A(12 2 A1A2 se puede establecer la siguiente proporción, la cual determina la abscisa del punto P. 3)1(24)(25)1(3)( 4)1( 4)(3)2(24)(3)2 2(3)(23)2( 4)(25)2(23)( 4)]   P1 P A1 A 5 1 PP2 AA 2 5 [912011211211219120112] 2 PP 1 Como:  r 5 1 y    A1A 5 x 2 x1  AA2 5 x2 2 x 5 (106) PP 2 2 5 53 unidades cuadradas.

x 2x1 Entonces:  r 5 x 2 x 2



2.4  Punto de división de un segmento

De donde:  r(x2 2 x) 5 x 2 x1

Actividad de aprendizaje

rx2 1 x1 5 rx 1 x

rx2 2 rx 5 x 2 x1 x1 1 rx2 5 x(r 1 1)

Si P es el punto medio del segmento AB entonces: AB __________; 5 PB PA __________; 5 AB AB __________.  5 PB

x1 1rx 2 5 x , r ?21 r 11

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2 , y2) los extremos de un segmento que contiene al punto P (x, y) que a su vez divide el segmento P1P2 en la razón: PP r5 1 PP2 En la figura 2.10 se ilustran los puntos P1,  P y P 2 y  las perpendiculares a los ejes por cada uno de dichos puntos. y P2(x2, y2)

B2 B B1

x´

0 y´

Figura 2.10

36

Por un procedimiento semejante, con base en las paralelas P1B1, PB y P2B2 y las transversales P1P2 y B1B2 se determina la ordenada del punto P. P P B B y 2 y1 r5 1 5 1 5 PP2 BB2 y2 2 y De donde:  r 5

y 2 y1 y2 2 y

y1 1ry2 5 y , r ?21 r 11 Por tanto, las coordenadas del punto P (x, y), que divide el segmento P1P2 en una razón dada, se expresan de la siguiente forma: x1 1rx 2 y 1ry2 5x , 1 5 y , r ?21 r 11 r 11 Despejando y se obtiene la ordenada de P: 

P(x, y) P1(x1, y1) A1

Ejemplos A

A2

x

1. Un segmento tiene por extremos los puntos P1 (21, 7) y P2 (23, 25). Encuentra las coordenadas del punto P que divide al segmento en dos partes en una razón de

1 . 2



Grupo Editorial Patria®

P1(–1, 7)

•

r5

y

•

5

0

x

5

Figura 2.11

Solución: Como la razón es positiva significa que los segmentos que la determinan, P1P y PP2 , tienen el mismo sentido, y en consecuencia el punto P está contenido en el segmento P1P2. Las coordenadas de P se pueden obtener aplicando las expresiones antes deducidas.

y5

y1 1ry2 r 11

1 71 (25) 5 2 1 11 2 5 72 5 2 3 2 9 52 3 2 9 5 3 5 3        5 Por tanto, las coordenadas del punto P son  2 , 3 .  3  1 211 (23) 2 5 1 11 2 3 212 2 5 3 2 5 2 5 2 3 2 5 5− 3

Otra forma de obtener las coordenadas de P consiste en establecer las razones correspondientes:

y 27 1 2 252 y 2

2( x 11)51(232 x ) 2 x 125232 x

2( y 27)51(252 y) 2 y 214 5252 y

2 x 1x 52322

2 y 1 y 525114 3 y 59 y 53       

P2(–3, –5)



y 57 1 P1 P 5 5 PP2 252 y 2

x 11 1 2 232 x 2

3x 525 25 x5 3

•

x1 1rx 2 r 11

r5

De donde:

P

x5

P1 P x 2(21) 1 5 5 PP2 232 x 2

 25  P ,3  3 

Esta segunda forma de determinar las coordenadas del punto es más confiable que la primera, en la cual se puede incurrir en errores por una sustitución incorrecta de las coordenadas debido a no tomar en cuenta el sentido de los segmentos dirigidos que se determinan. 2. Los extremos de un segmento son los puntos P1 (23, 8) y P2 (3, 0). Halla las coordenadas del punto P que divide el segmento en dos partes que están en la razón:

1 3

a ) r52

b ) r 5 23 Solución: Como la razón es negativa, los segmentos dirigidos que la determinan P1P y PP2 tienen sentidos opuestos y, por tanto, el punto P está fuera del segmento P1P2. y

•

P (–6, 12)

P1 (–3, 8)

• 0

•

P2 (3, 0) x

Figura 2.12

37

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

a ) r 5

1 P1 P x 2(23) 5 52 32x 3 PP2

r5

P1 P y 28 1 5 52 PP2 02 y 3

3 (x 1 3) 5 21 (3 2 x ) 3( y 2 8) 5 21 (0 2 y ) 3x 1 9 5 23 1 x

 x1 1 x 2 y1 1 y2  , Por tanto:  P    2 2  Las coordenadas del punto medio P también pueden obtenerse estableciendo otra razón.

P1 P 1 5 51 PP2 2 P1 P y1 2 y P1 P x1 2 x 5 51 5 51 PP2 y 2 y PP2 x 2x 2

3y 2 24 5 y

2x 5 212 2y 5 24 x 5 26

y 5 12 P (26, 12)

P1(–3, 8)

•

y



•

P2(3, 0)

0

x

•

P(6, –4) Figura 2.13

P P x 13 523 b ) r 5 1 5 PP2 32 x x 1 3 5 29 1 3x

P P y 28 523 r5 1 5 PP2 02 y y 2 8 5 3y



12 5 2x

28 5 2y



65x

24 5 y

y1 2 y 5 y 2 y2 y1 1 y2 5 y 1 y

x1 1x 2 52 x x1 1 x 2 5x 2

y1 1 y2 52 y x1 1 x 2 5x 2

    

 x 1x y 1 y  P 1 2 , 1 2   2 2 

Si un punto P divide al segmento determinado por los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en una razón dada, entonces sus coordenadas son:  x 1rx 2 y1 1ry2   con r ? 21 P 1 , 11r   11r Cuando P es el punto medio del segmento P1P2 sus coordenadas se pueden determinar haciendo r 5 1.

Aplicaciones prácticas

P (6, 24)

2.5  Punto medio Cuando P es el punto medio del segmento que determinan los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), las coordenadas de P pueden determinarse estableciendo la siguiente razón: P1 P y1 2 y 1 P1 P x1 2 x 1 5 5 5 5 P1 P2 y1 2 y2 2 P1 P2 x1 2 x 2 2 2( x1 2 x )5 x1 2 x 2

2( y1 2 y)5 y1 2 y2

2 x1 22 x 5 x1 2 x 2 2 x1 2 x1 1 x 2 52 x x1 1 x 2 52 x

2 y1 22 y 5 y1 2 y2 2 y1 2 y1 1 y2 52 y y1 1 y2 52 y y1 1 y2 5y 2

x1 1 x 2 52 x x1 1 x 2      5x 2 38

Es decir:

x1 2x 5x 2x 2 x1 1x 2 5x 1x

El concepto de distancia entre dos puntos se aplica de manera frecuente en el desarrollo de este curso, tanto para la determinación del perímetro de figuras geométricas que representan situaciones problemáticas, como para demostraciones teóricas que sirven de sustento en la resolución de múltiples y variados problemas de orden práctico. Supongamos que en una lámina de forma triangular, cuya masa se distribuye de manera uniforme, se requiere determinar su centro de gravedad. Para encontrar dicho punto, sabemos por geometría plana, que basta con localizar la intersección de las medianas del triángulo. A este punto se le conoce como gravicentro, baricentro o 2 centroide y está a del vértice que corresponde a cada mediana. 3 Este valor se puede encontrar si se aplican los conceptos de distancia entre dos puntos y el de división de un segmento en dos partes que estén en una razón dada.





Grupo Editorial Patria®

Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de aplicar las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Reconoce segmentos rectilíneos. Establece la diferencia entre segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos. Reconoce la diferencia entre los segmentos rectilíneos dirigidos AB y BA. Puede determinar la distancia entre dos puntos del plano a partir de sus coordenadas. Puede determinar el perímetro y el área de un polígono a partir de las coordenadas de sus vértices. Determina las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. Puede determinar las coordenadas de un extremo de un segmento a partir de las coordenadas del otro extremo y de las coordenadas del punto que lo divide en una razón dada. Puede determinar las coordenadas del punto medio de un segmento dado. Puede determinar las coordenadas de un extremo de un segmento a partir de las coordenadas del otro extremo y de las coordenadas de su punto medio. Comentarios generales:



Aplicación de las TICs 1.  Encuentra el baricentro (gravicentro o centroide) del triángulo cuyos vértices son A(5, 3), B(2, 0), C(22, 4). 2.  Utiliza la plataforma WolframAlpha para graficar el triángulo. Tip: entra a la plataforma y escribe la instrucción “triangle A(5, 3), B(2, 0), C(22, 4)”, esto significa que quieres graficar el triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C.

39

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Esta pantalla tiene Derecho Reservado de WolframAlpha llc y no puede ser utillizada sin su permiso.

3. Cuando obtengas la respuesta de WolframAlpha, busca la sección “Properties” (Propiedades) y compara los resultados con tus cálculos previos. 4.  Para obtener el baricentro coloca la palabra “centroid” (centroide) al final de la instrucción anterior “triangle A(5, 3), B(2, 0), C(22, 4) centroid”. 5. Contesta: •  ¿Qué rectas determinan el baricentro? •  ¿Qué propiedad geométrica tiene el baricentro respecto a cada vértice? •  Si la masa del triángulo está distribuida uniformemente, ¿en dónde colocarías el soporte para suspenderlo horizontalmente? Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda. Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo. 3

Debo mejorar en…

Identifico las características de un segmento rectilíneo. Aplico las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Construyo e interpreto modelos relacionados con segmentos rectilíneos y polígonos. Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo

Criterios de evaluación

1

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

40

2

3

4

5





Grupo Editorial Patria®

Heteroevaluación Resuelve en la página 41 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 2 y entrégala a tu profesor.



Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 2. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación. 1. Calcula la distancia entre los puntos M (4, 24) y N (25, 22).

      2. Los vértices de un triángulo son (21, 3), (6, 22) y (3, 6). Determina si es equilátero, isósceles o escaleno.

   

  6. Los puntos P1 (23, 4), P2 (2, 26) y P (21, 0) son colineales. PP Encuentra el valor de la razón r 5 1 . PP2       7. Dados los puntos P1 (25, 22) y P2 (5, 3), halla las coorde3 nadas del punto P (x, y ) que divide a P1P2 en la razón r5 . 2    

  3. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (5, 25) y (5, 1). Si la abscisa del tercer vértice es 21, encuentra la ordenada.

 

  8. Un triángulo equilátero tiene por vértices (23, 0) y (3, 0). Determina las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones).

   

 

  9. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (21, 23) y (3, 1). Si la abscisa del tercer vértice es 24 encuentra la ordenada.

  4. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos (25, 2) y (5, 26).

 

 

 

 

  5. El punto extremo de un segmento es (5, 3) y su punto medio

  10. Los puntos A (22, 21), B (4, 21) y C (6, 3) son vértices de un paralelogramo. Determina las coordenadas del vértice D.

es (1, 1). Halla las coordenadas del otro extremo.

 

 

 

 

41

2 BLOQUE

  Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el área de un terreno delimitado por tres calles que se cortan oblicuamente dos a dos de la página 33 de este bloque. Nombre del alumno:

Presentación

  Criterio

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Dominio del tema

11. Comprende el problema y puede trazar un bosquejo del mismo.

Conclusiones

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

14. Representa gráficamente las condiciones del problema.

42

12. Puede resolver el problema con aplicación de la fórmula de Herón. 13. Puede resolver el problema en forma analítica.

15. Realiza los cálculos, con base en la fórmula de Herón y obtiene la solución del problema. 16. Realiza los cálculos, con las coordenadas de los puntos de intersección de las calles, y obtiene la solución del problema.

cumple sí

no

Observaciones



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 2; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo bajo aspectos que se considera son los más adecuados: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del alumno:

  Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Características de un segmento rectilíneo

Determina la dirección de los segmentos de recta además de su longitud, identifica los puntos inicial y final de un segmento dirigido, realiza sumas y restas de segmentos dirigidos.

En la mayoría de los casos, determina la dirección de los segmentos de recta además de su longitud, identifica los puntos inicial y final de un segmento dirigido, realiza sumas y restas de segmentos dirigidos.

En algunos casos, determina la dirección de los segmentos de recta además de su longitud, identifica los puntos inicial y final de un segmento dirigido.

No determina la dirección de los segmentos de recta ni su longitud, no identifica los puntos inicial y final de un segmento dirigido, no realiza sumas y restas de segmentos dirigidos.

Longitud de un segmento y distancia entre dos puntos

Determina la longitud de un segmento vertical u horizontal, calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano, determina si tres puntos del plano son o no colineales.

En la mayoría de los casos, determina la longitud de un segmento vertical u horizontal, calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano, determina si tres puntos del plano son o no colineales.

En algunos casos, determina la longitud de un segmento vertical u horizontal, calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano.

No determina la longitud de un segmento vertical u horizontal, no calcula la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano, no determina si tres puntos del plano son o no colineales.

División de un segmento en una razón dada

Encuentra las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada, analiza y determina cuando el punto está dentro o fuera del segmento, calcula el punto medio de un segmento.

En la mayoría de los casos, encuentra las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada, analiza y determina cuando el punto está dentro o fuera del segmento, calcula el punto medio de un segmento.

En algunos casos, encuentra las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada, calcula el punto medio de un segmento.

No encuentra las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada, no analiza ni determina cuando el punto está dentro o fuera del segmento, no calcula el punto medio de un segmento.

Comentarios Generales

43

Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico Tiempo asignado: 10 horas

3

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

3.1  Línea recta: Definición

3.2 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta 3.3 Ángulo formado por dos rectas 3.4 Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráficas. n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n Diseña y aplica modelos para probar su validez.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar

e interpretar información. n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. n Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de

conocimientos.

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1. Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos (24, 2), (8, 7).

2. Aplica la pendiente para determinar si los puntos (23, 5), (1, 2), (9, 24) son colineales.

3 3. Traza la recta que pasa por el punto (5, 3) con una pendiente m 5 . 4

4. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1), con pendiente m 5 2.

5. La recta r1 pasa por A y B, y la recta r2 pasa por M y N. Determina si r1 y r2 son paralelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente). A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23).

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desempeños por alcanzar Reconoce la recta como lugar geométrico. Reconoce la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución de problemas y/o ejercicios.

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

¿Cuál es la longitud de un puente construido sobre un río, sabiendo que tiene una pendiente de 12% y que uno de sus extremos está 30 metros más alto que el otro?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cómo se define la pendiente de una recta a partir de su ángulo de inclinación?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

2. A partir de los datos del problema, ¿cómo se obtiene la medida del ángulo de inclinación del puente?

Evaluación por producto

3. ¿Cómo se relacionan la medida del ángulo de inclinación del puente, la diferencia de altura entre sus extremos y su longitud?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

4.  ¿Cómo se determina la longitud del puente?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

46

Producto a elaborar Ilustración de la situación didáctica y los cálculos realizados para encontrar la longitud del puente.



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la longitud del puente que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del



Situación didáctica

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

Un aparato electrodoméstico tiene un precio de $600.00 si se compra de contado, pero si se compra en abonos se cobra un interés mensual fijo de $25.00. ¿Cuánto se debe pagar en 1, 2, 3, 4, 5 o 6 meses?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuánto se paga si la compra se hace de contado? 2. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en un mes? 3. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en dos meses? 4. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en tres meses? 5. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cuatro meses? 6. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en cinco meses? 7. ¿Cuánto se paga si la compra se hace en seis meses?

¿Qué tienes que hacer? 8. ¿Cómo se representa gráficamente el precio del electrodoméstico con sus intereses?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje. 47

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Evaluación por producto

Producto a elaborar

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Elaboración de una tabla y de una gráfica en las que se pueda observar el precio del electrodoméstico con el pago de intereses.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar el precio del electrodoméstico que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del estudiante::

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Trabajo individual y en equipo

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta un conjunto de ideas adecuadas para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta algunas ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

No participa en forma individual ni en equipo. No aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

Secuencia didáctica

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis y discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis o la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra parcialmente en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

No presenta resultados en plenaria. No promueve el análisis ni la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. No se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Evaluación del producto

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para determinar las cantidades que se deben de pagar.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final de las cantidades que se deben de pagar.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final de las cantidades que se deben de pagar.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final de las cantidades que se deben de pagar.

48



Grupo Editorial Patria®

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

c) (23, 4), m 5

2 5

d) (23, 25), m 5 21

Ejercicio V 1. Determina el ángulo de inclinación para cada una de las siguientes rectas dirigidas: a) El eje x. c) Una recta paralela al eje x dirigida hacia la derecha. d) Una recta paralela al eje x dirigida hacia la izquierda. 2. ¿Cuál es la pendiente de cada una de las siguientes rectas dirigidas? a) El eje x. b) Una recta paralela al eje x. c) La recta que pasa por el origen con una inclinación de 45°. d) La recta que pasa por el origen con una inclinación de 135°. 3. Determina la inclinación de una recta cuya pendiente es: b)  21

c) 

3

2 3 2 4. Halla la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos dados: d) 2 3

f ) (21, 7), m 5 5 g)  (0, 0), m 5

b) El eje y.

a) 1

e) (4, 23), m 5 0

e) 

a) (24, 2), (8, 7)

5 7

h) (24, 25), m 5 2 i) (0, 26), m 5 21 1 j) (24, 0), m 5 2 3 6. Aplica la definición de pendiente y determina en cada caso si las ternas de puntos son colineales o no: a) (23, 5), (1, 2), (9, 24) b) (22, 22), (1, 22), (5, 25) c) (5, 23), (21, 21), (7, 23) d) (27, 24), (21, 22), (8, 1) e) (25, 21), (21, 1), (6, 4)

Ejercicio VI 1. Demuestra que son paralelogramos los siguientes cuadriláteros:

b)  (4, 3), (25, 21)

a) A (6, 4), B (23, 2), C (24, 23), D (5, 21)

c) (21, 2), (27, 23)

b) A (4, 4), B (22, 2), C (25, 25), D (1, 23)

d) (22, 3), (8, 3)

c) A (5, 2), B (24, 4), C (21, 22), D (8, 24)

e) (3, 27), (8, 210)

d) A (3, 5), B (23, 2), C (2, 25), D (8, 22)

f )  (2, 0), (5, 1)

e) A (5, 21), B (1, 4), C (23, 21), D (1, 26) 2. Demuestra que la recta que pasa por los puntos (24, 26) y (6, 4) es perpendicular a la que pasa por (23, 1) y (2, 24).

g) (2, 3), (28, 3) 1 1 1 1 h)   ,  ,  2 ,   2 3  4 6

3. Demuestra que son triángulos rectángulos los que tienen como vértices:

i) (a, 0), (0, b)

a) (25, 21), (21, 4), (9, 24)

j) (a, b), (b, a) 5. Traza la recta que pasa por el punto dado con la pendiente indicada: 3 a) (5, 3), m 5 4

3 b)  (5, 3), m 5 2 4

b) (25, 21), (4, 24), (6, 2) c) (23, 25), (22, 2), (5, 1) d) (24, 4), (1, 5), (3, 25) e) (4, 2), (25, 21), (22, 24)

49

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

4. Encuentra los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices son: a) (6, 21), (23, 5), (21, 22)

Ejercicio VIII 1. Demuestra analíticamente los siguientes problemas: a) Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares.

b) (24, 21), (21, 2 4), (3, 23) c) (23, 21), (1, 5), (3, 24)

b) Las diagonales de un rectángulo son iguales.

d) (23, 3), (2, 5), (3, 21)

c) El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.

e) (23, 1), (3, 5), (1, 26) 5. Encuentra los ángulos interiores para demostrar que son triángulos isósceles los que tienen los siguientes vértices: a) (22, 5), (5, 4), (23, 22) b)  (1, 3), (24, 21), (5, 22)

e) Si en un cuadrilátero se unen en forma consecutiva los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo. f ) En un paralelogramo, la suma de los cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

c) (23, 1), (3, 21), (3, 3) d)  (2, 4), (25, 23), (5, 26)

g) En un triángulo isósceles, las medianas de los lados iguales son iguales.

e) (2, 25), (23, 2), (7, 2) 6. Encuentra la pendiente de una recta que forme con la recta que pasa por los puntos (21, 2) y (5, 5): a) Un ángulo cuya tangente sea

d) El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo biseca la mediana del tercer lado.

3 5

b)  Un ángulo de 135° c) Un ángulo cuya tangente sea 2

3 5

d)  Un ángulo de 60° e) Un ángulo de 45°

h) Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales. i) El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio, es paralelo a las bases e igual a su semisuma. j) El segmento de recta que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es igual a la mitad de la diferencia de las bases. k) El segmento de recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio biseca las diagonales.

Ejercicio VII

l) Si en un rombo se unen en forma consecutiva los puntos medios de los lados se forma un rectángulo.

Calcula el perímetro y el área de los polígonos que tienen sus vértices en:

m) El baricentro de un triángulo se encuentra a dos terceras partes del segmento que determina el vértice con el punto medio del lado opuesto.

  1.  (1, 1), (8, 4), (3, 7)   2. (27, 6), (23, 1), (2, 5)   3. (26, 3), (25, 25), (2, 1)   4. (25, 4), (22, 24), (6, 6)   5. (25, 4), (22, 24), (5, 21), (6, 6)

Ejercicio IX 1. La recta r1 pasa por A y B y la recta r2 pasa por M y N. Determina en cada caso si r1 y r2 son paralelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente).

  6. (26, 21), (23, 26), (6, 21), (3, 4)

a) A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23)

  7. (22, 5), (7, 22), (22, 26), (6, 22)

b) A (1, 3), B (22, 23); M (25, 1), N (1, 2)

  8. (24, 4), (26, 23), (21, 27), (5, 23), (3, 4)

c) A (22, 3), B (4, 21); M (21, 0), N (5, 3)

  9. (26, 2 2), (22, 25), (4, 24), (6, 1), (2, 5), (24, 3)

d) A (0, 3), B (3, 25); M (25, 22), N (7, 2)

10. (22, 24), (4, 24), (7, 1), (4, 6), (22, 6), (25, 1)

e) A (6, 22), B (0, 4); M (1, 27), N (25, 21)

50



Grupo Editorial Patria®

2. Obtén la ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto P. a) P (3, 1), m 5 2

g) (21, 22), (23, 24)

c)  P (23, 25), m 5 1

e)  P (23, 26), m 5 2

e) (25, 4), (21, 2) f ) (0, 0), (3, 24)

b)  P (2, 3), m 5 3

2 d) P (3, 21), m 5 3

d) (22, 24), (3, 3)

1 3  h)  , 5 ,  ,21 2  4  1 2

3 f )  P (6, 2), m 5 2 8

g) P (0, 3), m 5 0 h)  P (3, 0), m 5 0 1 i)  P (27, 25), m 5 2 4  3 7 j) P  22 , 2  , m 5 21 3. Halla la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es de 45° y pasa por el punto (22, 3). 4. Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P y Q. a) P (3, 2), Q (7, 4) b) P (2, 1), Q (8, 23)

i) (4, 3), (4, 29) j ) (0, 1), (0, 0)

Ejercicio X 1. Halla las coordenadas al origen y las intersecciones con los ejes de cada recta. a) 2x 23y 1 3 5 0 b) 3x 2 4y 2 8 5 0 c)  x 1 3y 1 15 5 0 d) 2x 1 3y 2 9 5 0 e) 7x 2 2y 1 8 5 0 f ) 2x 1 5y 1 10 5 0 g) x 1 5y 2 15 5 0 h) 3x 2 2y 2 8 5 0 i) 3x 1 2y 2 2 5 0

c) P (1, 4), Q (26, 2)

j) 4x 2 5y 2 15 5 0

d) P (22, 27), Q (8, 24)

k) 4x 2 y 2 12 5 0

e) P (4, 26), Q (210, 0)

l ) 3x 2 2y 2 12 5 0

f ) P (0, 27), Q (8, 23)

m) x 2 y 2 7 5 0

g) P (8, 3), Q (24, 3)

n)  x 2 5y 1 20 5 0

h) P (2, 3), Q (2, 211)

o) 4x 1 9y 2 36 5 0

i) P (a, 0), Q (0, b) j) P (0, 0), Q (a, b) 5. Obtén la ecuación de la recta determinada por cada par de puntos. a) (2, 1), (5, 6) b) (1, 5), (4, 1)

2. Expresa en la forma pendiente ordenada al origen cada una de las rectas del punto anterior. 3. Determina la pendiente y la ordenada al origen de cada recta del punto anterior. 4. Traza en el plano cartesiano cada una de las rectas obtenidas en el punto 2.

c) (3, 5), (21, 22)

51

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Introducción En este bloque se establece la relación entre el ángulo de inclinación de una recta y su pendiente. Se aplica el concepto de pendiente para establecer las condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre dos rectas. Asimismo, se identifica la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen con sus respectivos elementos. También se identifica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

3.1  Línea recta Existen fenómenos cuya representación gráfica corresponde a una línea recta. Tal es el caso del mobiliario de una oficina, que desde el punto de vista contable se deprecia anualmente en un porcentaje constante. Esto hace que al cabo de cierto número de años el valor del mobiliario sea de cero pesos aun cuando pueda continuar en condiciones de uso.

Cuando se compra un artículo a plazos su precio se incrementa por los intereses que se cobran, entre más tiempo transcurra mayor será la cantidad a pagar. Si se renta un vehículo, generalmente se cobra una cuota fija más una cantidad por cada kilómetro recorrido. Si un artículo tiene un determinado precio, la cantidad a pagar depende del número de artículos que se compren, salvo que a partir de cierta cantidad se dé un precio por mayoreo. En los casos anteriores el modelo de representación gráfica es una recta. Anteriormente se ha tratado lo relacionado con los dos problemas de la geometría analítica, esto es, trazar la representación gráfica de una ecuación o bien obtener la ecuación de los puntos del plano que cumplen con determinadas condiciones. Se puede demostrar que la representación gráfica de una ecuación de primer grado es una línea recta. Se parte de la expresión algebraica de la ecuación de la recta en su forma general. Se toman dos puntos de la gráfica cuyas coordenadas satisfacen la ecuación y se determina la pendiente entre esos puntos. Si se toma un tercer punto de la gráfica, sus coordenadas satisfacen la ecuación y con cualquiera de los otros dos puntos se observa que tienen la misma pendiente. Si el coeficiente del término en y es cero (B 5 0), entonces se trata de una recta paralela al eje y.

Aplicaciones prácticas En arquitectura se utilizan con frecuencia líneas rectas en sus distintas posiciones.

3.2  Pendiente y ángulo de inclinación de una recta Si una recta L corta el eje x en un punto M, se llama inclinación de la recta L al ángulo positivo, menor de 180°, formado por la recta a partir del eje x al moverse en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj con respecto al punto de intersección M hasta coincidir con la recta L. Algo semejante ocurre con el valor de los vehículos de una empresa. La relación entre la cantidad de combustible consumido por un vehículo y la distancia recorrida también tiene como representación gráfica a una recta. En los casos anteriores la recta tiene una pendiente negativa, es decir, el ángulo de inclinación de la recta es obtuso, por tanto, la recta es decreciente. Otros fenómenos tienen como representación gráfica una línea recta con pendiente positiva, esto significa que el ángulo de inclinación es agudo, por tanto, la recta es creciente. 52

Actividad de aprendizaje ¿Cuál es el valor numérico de la pendiente de una recta que es paralela al eje xx 9? ___________________________ La línea recta se utiliza para representar geométricamente relaciones funcionales entre variables en física, en economía, etcétera. A continuación se tratan algunos conceptos fundamentales de la línea recta.



Grupo Editorial Patria®

y

L

Demostración: En una recta con ángulo de inclinación u consideremos los puntos P1 y P2, como se ilustra en la siguiente figura: y

u 0

x

M

P2 (x2, y2) y2 – y1 u B (x2, y1)

P1 (x1, y1) u

Figura 3.1

En las figuras 3.1 y 3.2 el ángulo theta (u) es la inclinación de la recta L, Mx es el lado inicial y ML es el lado final. En geometría analítica se utiliza con más frecuencia la tangente del ángulo de inclinación que el ángulo mismo. L

y u

0

M

x

0

A1

x

A2

Figura 3.3

Por P1 y P2 se trazan P1A1 y P2A2, perpendiculares al eje x, y por P1 se traza una paralela al eje x, que corte a P2A2 en el punto B. El ángulo BP1P2 5 u. Por definición de pendiente: m 5 tan θ BP2 De donde, por trigonometría: m 5 tan θ 5 P1 B Y como BP2 5 y2 2 y1 y P1B 5 x2 2 x1; entonces: m 5 tan θ 5 Por tanto:

BP2 y2 2 y1 5 P1 B x 2 2 x1

m 5 tan θ 5

Figura 3.2

Se da el nombre de pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta generalmente se denomina por la letra m, y de acuerdo con su definición m 5 tan u. Por trigonometría, sabemos que la tangente de un ángulo agudo positivo en posición normal es positiva, mientras que la de un ángulo obtuso es negativa. Por ello, si u es un ángulo agudo, como se ilustra en la figura 3.1, la pendiente de la recta es positiva y si u es un ángulo obtuso, como se ilustra en la figura 3.2, la pendiente de la recta es negativa. Cualquier recta horizontal tiene una inclinación de 0°; puesto que tan 0° 5 0, decimos que la pendiente de dicha recta es cero. Cualquier recta vertical es perpendicular al eje x, por tanto, su ángulo de inclinación es de 90° y como su tangente no está definida, la pendiente de una recta perpendicular al eje x no existe. En la expresión tan 90° 5 `, ` no representa un número, sólo se utiliza para indicar que a medida que el ángulo u se aproxima más a 90° el valor de tan u se hace y permanece mayor que cualquier número real positivo por grande que sea.

x2 – x1

y2 2 y1 x 2 2 x1

Es decir, la pendiente m de una recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es igual al cociente de la diferencia de las ordenadas entre la diferencia de las abscisas, tomadas en el mismo orden. Procediendo de manera semejante a la demostración anterior y considerando la siguiente figura: y P1(x1, y1) y1 – y2 P2(x2, y2) R (x1, y2) 0

A1

x2 – x1

A2

u

x

Figura 3.4

53

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Se llega a la siguiente expresión que coincide con la anterior: m 5 tan θ 5

y1 2 y2 y 2y 5 2 1 x 2 2 x1 x 2 2 x1

•

A (5, 6)

Recuerda que por trigonometría y para un ángulo obtuso positivo en posición normal, la tangente es negativa.

•

D (–2, 3)

Observación: Cuando se determina la pendiente entre dos puntos no es importante el orden en que éstos se toman. Pero sí es importante que tanto las abscisas como las ordenadas se tomen en el mismo orden, pues de no hacerlo así se cambia el signo de la pendiente.

•

Figura 3.6

1. Demuestra que los puntos A (26, 23), B (22, 21) y C (4, 2) son colineales. Ver el ejemplo de la figura 3.5.

Solución: Como el paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, si las pendientes de los lados opuestos del cuadrilátero ABCD son iguales significa que son paralelos, así se habrá demostrado que ABCD es un paralelogramo.

y

•

C (4, 2)

•

B (–2, –1)

0

x



m AB 5

126 25 5 55 4 25 21

m BC 5

12(22) 3 5 4 2(23) 7

mCD 5

32(22) 5 5 55 222(23) 1

mDA 5

623 3 5 52(22) 7

Como mAB 5 mCD y mBC 5 mDA, entonces A, B, C y D son los vértices de un paralelogramo.

A (–6, –3)

Figura 3.5

Solución: Los puntos A, B y C serán colineales si se cumple que las pendientes de AB (mAB ) y de BC (mBC ) sean iguales.

m AB 5

La demostración también se puede efectuar estableciendo que las longitudes de los lados opuestos son iguales, lo cual se deja como ejercicio al lector. Aplica lo que sabes

212(23) 2113 2 1 5 5 5 222(26) 2216 4 2

Ponte de acuerdo con tus compañeras y compañeros de grupo para realizar lo siguiente:

22(21) 211 3 1 5 5 5 4 2(22) 4 12 6 2

Investiga cuáles son los gases de invernadero y de qué manera la concentración de éstos contribuye a elevar la temperatura de la Tierra.

m BC 5

mAB 5 mBC, por eso los puntos A, B y C son colineales. 2. Demuestra que A (5, 6), B (4, 1), C (23, 22) y D (22, 3) son los vértices de un paralelogramo.

En un sistema coordenado rectangular traza una gráfica lineal que ilustre la variación de temperatura global a nivel de superficie del año 1800 al 2000. Investiga cuál es el efecto del calentamiento global en los polos y el nivel del mar. Investiga y elabora propuestas concretas sobre lo que podemos hacer para cuidar nuestro medio.

54

B (4, 1)

C (–3, –2)

Ejemplos

•

•



Grupo Editorial Patria®

3.3  Ángulo formado por dos rectas

ángulo u1 le corresponde l1 como recta inicial y l2 como recta final, mientras que para el ángulo u2, l2 es su recta inicial y l1, su recta final.

Como se ilustra en la figura 3.7, al cortarse las rectas dirigidas l1 y l2 forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice y el ángulo de un par es suplemento del ángulo del otro par. b

l1

a2 5 a1 1 u1

d

l2

De donde: u1 5 a2 2 a1 Al obtener la tangente de ambos miembros de la igualdad:

Figura 3.7

En caso de que l1 y l2 sean paralelas, el ángulo comprendido entre ellas será de 0° si tienen la misma dirección y de 180° si tienen direcciones opuestas. De acuerdo con la figura, el ángulo formado por ambas rectas es a. También puede pensarse que el ángulo cóncavo d 5 360° 2 a es aquél formado entre las dos rectas. En vista de lo anterior conviene aclarar que cuando hablamos de un ángulo entre dos rectas nos referimos a ángulos menores o iguales a 180°. Si en la figura se invierte el sentido de la recta l2, entonces el ángulo formado por las dos rectas es b. Consideremos lo siguiente: Sean l1 y l2 dos rectas que se cortan formando los ángulos suplementarios u1 y u2 generados en forma positiva, es decir, en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, como lo indican las flechas en la siguiente figura. Se llama recta inicial a aquélla a partir de la cual se genera el ángulo y recta final a aquélla en la cual termina. y

l1 u1

tan u1 5 tan (a2 2 a1) tan u1 5

tan a 2 2tan α 1 11tan a 2 tan α 1

Como m1 5 tan a1 y m2 5 tan a2 la igualdad puede expresarse de la siguiente forma: tan u1 5

m2 2m1 11m2 m1

Si en el mismo triángulo se sigue un procedimiento semejante para el ángulo exterior u2, se tiene: u2 5 a1 1 (180° 2 a2) de donde:

tan u2 5

tan α 1 1tan(180°2α 2 ) 12tan α 1 tan(180°2α 2 )

tan u2 5

tan α 1 2tan α 2 11tan α 1 tan α 2

Por tanto:

m1 2m2 11m1m2

tan u2 5

Al comparar tan u1 con tan u2 se observa que sólo difieren en el signo, lo cual es congruente con el hecho de que u1 y u2 sean ángulos suplementarios.

u2

a2 a1 0

Por geometría sabemos que un ángulo exterior de cualquier triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él. Considerando el triángulo formado por las dos rectas y el eje xx¹, y dado que el ángulo u1 es igual a su opuesto por el vértice, se tiene:

a

l2

Procedemos ahora a determinar los valores de u1 y u2 a partir de las pendientes m1 y m2 de las rectas que forman sus lados.

x

Figura 3.8

Con base en lo anterior, para un ángulo positivo entre dos rectas tenemos que: m 2m1 tan u5 2 , m1m2 ?21 11m1m2 Donde m1 y m2 son, respectivamente, las pendientes de sus lados inicial y final.

La recta l1 posee un ángulo de inclinación a1 y una pendiente m1; la recta l2 tiene un ángulo de inclinación a2 y una pendiente m2. Al 55

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Ejemplo

Para tu reflexión

Demuestra que A (4, 1), B (1, 22) y C (22, 4) son los vértices de un triángulo isósceles. y

•

mBC = –2 0

•

A (4, 1) x

mAB = 1

Descubrió el llamado principio de Pascal que es la base de la prensa hidráulica y el gato hidráulico.

B (1, –2)

3.4  Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

Figura 3.9

Solución: El triángulo ABC será isósceles si se cumple que los ángulos de la base (A y B ) son iguales.

22 2 1 23 m 5 5 51 AB

12 4

23

m BC 5

22 2 1 23 5 51 1 2 4 23

m BC 5

4 2 (22) 6 5 522 22 2 1 23

2 (22) 6 5 522 2 2 1 23

m AC 5

4 21 3 1 5 52 2 22 2 4 −6

5

•

A los 12 años, guiado por su talento natural, descubrió parte de la geometría euclidiana. A los 16 años escribió un tratado de las secciones cónicas y a los 18 inventó una máquina de calcular. Además desarrolló importantes teoremas de geometría proyectiva y creó la teoría de la probabilidad.

C (–2, 4) 1 mAC = – 2

Blas Pascal

4 2 (22) 6 5 522 22 2 1 23

m AC 5

4 21 3 1 5 52 22 2 4 −6 2

1 12 2   2 22 21 tan A 5 tan B 5 1 11(22)(1) 111 2   2 1 2 tan A 5 1 12 2 11

23 23 tan B 5 12 2 21

3 23 23 tan A 5 2 tan B 5 1 12 2 21 2 tan A 5 3 tan B 5 3 A 5 71°349

B 5 71°349

Como las medidas de los ángulos A y B son iguales, entonces el triángulo ABC es isósceles.

En este caso la demostración también puede efectuarse verificando que las longitudes de AC y BC son iguales. 56

Paralelismo Como ya se ha dicho, el ángulo comprendido entre dos rectas paralelas es 1de 0° o3 de 180°, 42 1 si las rectas tienen la misma dirección o m ACdirecciones 5 5 52 opuestas, respectivamente. 22 2 4 −6 2 Por trigonometría: tan 0° 5 0

tan 180° 5 0

Aplicando estos resultados en la fórmula: m 2m1 tanu5 2 11m1m2 m2 2m1 Se tiene:  0 5 11m1m2 De donde:  0 5 m2 2 m1 Es decir:  m1 5 m2 Por tanto, si dos rectas son paralelas equivale a decir que tienen pendientes iguales. Inversamente, si m1 5 m2 entonces la fórmula: m 2m1 tan u 5 2 11m1m2 Se reduce a tan u 5 0, lo cual significa que las rectas son paralelas.

Actividad de aprendizaje Si dos rectas tienen la misma pendiente entonces son:

   





Grupo Editorial Patria®

Actividad de aprendizaje

•

y

A (–4, 5)

En un triángulo rectángulo, cuyos lados perpendiculares no coinciden con los ejes, ¿cómo son entre sí las pendientes de los lados que forman el ángulo recto?

 

•

•

B (4, 3)

D (–5, 1)

 

•

0

x

C (3, –1)

Perpendicularidad Sabemos que dos rectas perpendiculares forman entre sí un ángulo de 90°. Como tan 90° no está definida, utilizamos su recíproca cot 90° 5 0 en la expresión: 11m1m2 cot u 5 m2 2m1 De tal manera que:  0 5

11m1m2 m2 2m1

Figura 3.10

Solución: El cuadrilátero ABCD será un rectángulo si el producto de las pendientes de dos lados consecutivos cualesquiera es igual a 21.



Para que la fracción sea igual a cero debe anularse el numerador, es decir: 0 5 1 1 m1 m2

11m1m2 cot u 5 m2 2m1 Se convierte en cot u 5 0, por tanto u 5 90° y las rectas son perpendiculares. Lo anterior puede sintetizarse de la siguiente manera: Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a 21. Dicho de otra forma, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando la pendiente de una es recíproca negativa de la otra, ya que: m1 m2 5 21 Y en consecuencia,  m1 5

21 m2

m2 5

21 m1

Ejemplo Demuestra que A (24, 5), B (4, 3), C (3, 21) y D (25, 1) son los vértices de un rectángulo.

32 5 22 21 5 5 4 2(24) 8 4

m BC 5

12(21) 2 1 5 5 25 23 28 24

mDA 5

mCD 5

mABmBC 5 21

De donde:  m1 m2 5 21 Inversamente, si m1 m2 5 21, la expresión:

m AB 5

 1  24 ( 4) 2  5 521  4 4

mCDmDA 5 21



5 21 4 5 54 24 2 (25) 1

mBCmCD 5 21

24  1  2  ( 4)5 521 4 4

4  1    ( 4)5 521 24 24

2123 24 5 54 32 4 21

mADmAB 5 21



 1  4 ( 4) 5 521  24  24

Demostraciones analíticas de teoremas geométricos Muchos de los teoremas de geometría elemental se pueden demostrar con más sencillez y de manera directa mediante el uso de un sistema coordenado. El procedimiento consiste en utilizar un sistema de ejes coordenados sobre el cual se construye la figura de tal manera que se facilite la demostración, pero sin particularizar el teorema. Después se designan de manera apropiada las coordenadas de los puntos de la figura relacionados con el teorema. Finalmente se procede al razonamiento y realización de los cálculos algebraicos, lo cual depende de la propiedad o propiedades a demostrarse. A continuación se dan algunos ejemplos que contribuirán a la mejor comprensión del proceso de demostración. 57

3 BLOQUE

  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Ejemplo

Ejemplo

1. Demuestra que el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a su mitad. Solución: Se construye la figura sobre los ejes de manera que ciertos vértices tengan coordenadas simples, con lo cual se simplifica el álgebra necesaria para hacer la demostración. El triángulo se puede colocar con un lado en el eje x como se ilustra en las figuras 3.11 y 3.12.

Sin embargo, se debe evitar caer en el otro extremo, es decir, la particularización del teorema como se ilustra en la figura 3.14. En ésta sólo intervienen las cantidades a y b y se refiere a un caso especial de un triángulo rectángulo, y por lo mismo no es útil para la demostración de un teorema relacionado con un triángulo cualquiera, pues la prueba de un teorema basado en un caso especial no constituye una prueba general. y

(x3, y3)

y C (0, c)

(x2, y2)

[ ]

[ ]

b c 2 2

a c 2 2

E –, –

D –, –

A (a, 0)

(x1, y1)

Figura 3.13

B (b, 0) x

0

x

0

y Figura 3.11

(0, b) y C (b, c)

[ ] b c 2 2

D –, –

[

]

(0, 0)

a+b c 2 2

E ——, –

B (a, 0) 0 A (0, 0)

x

Figura 3.12

• Los puntos medios de dos lados del triángulo tienen la misma ordenada y, por tanto, el segmento de recta que los une es paralelo al tercer lado que está sobre el eje x. Lo anterior no es tan evidente cuando se utiliza la figura 3.13, en la cual intervienen seis cantidades y por lo mismo se requieren más operaciones algebraicas.

58

x

Figura 3.14

Hechas las anteriores observaciones, la demostración del teorema se reduce a lo siguiente; utilizando la figura 3.11 y aplicando la definición de pendiente a los puntos medios D y E, se tiene:

c c 2 2 2 50 mDE 5 b a 2 2 2



En ambas figuras se puede observar lo siguiente: • Tres de las seis coordenadas son ceros, dejando sólo tres cantidades arbitrarias a, b y c.

(a, 0)

Como la pendiente de AB también es cero, entonces DE es paralela a AB. Comparando las longitudes de DE y AB el teorema queda demostrado. DE 5

a 1b b a 1 2 5 5 AB 2 2 2 2

1. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente (en otras palabras, demuestra que las diagonales del paralelogramo tienen el mismo punto medio).



Grupo Editorial Patria®

Solución: La figura 3.15 ilustra una de las posiciones más simples para el paralelogramo ABCD.

denadas, más que la figura, deben expresar los datos dados. Si en la figura 3.15 las coordenadas del punto D se expresan con las literales d y e, éste no sería un paralelogramo aunque lo pareciera. Es el uso de a 1 b y c como coordenadas de D, indicación de que la figura es un paralelogramo.

y

C (b, c)

Recuerda que al hacer una prueba por el método analítico se debe usar una figura general. En el caso de esta demostración no se recomienda utilizar un rombo (paralelogramo con todos los lados iguales) ni un rectángulo.

D (a + b, c)

Para demostrar que AD y BC se bisecan recíprocamente se obtienen las coordenadas del punto medio de cada diagonal. 0 A (0, 0)

B (a, 0)

x

Punto medio de AD: x 5

a 1b c ,y5 2 2

Punto medio de BC: x 5

a 1b c ,y5 2 2

Figura 3.15

Como se observa, el vértice A coincide con el origen y el lado AB está en el eje x. Las coordenadas de los vértices C y D deben expresar que CD es igual y paralelo a AB. Esto se logra si C y D poseen la misma ordenada y la abscisa de D excede a la abscisa de C en b. Es conveniente señalar que en el método analítico se hacen demostraciones algebraicas basadas en las coordenadas de los puntos; la figura sólo se hace para visualizar el teorema. Por tanto, las coor-

El teorema queda demostrado porque las coordenadas del punto medio de cada diagonal son:

 a 1b c  ,   2 2

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el desempeño del estudiante Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el planteamiento de la situación didáctica, el acopio de datos necesarios y suficientes, el establecimiento de la incógnita, el procedimiento para obtener los resultados y conclusiones: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del alumno:

Criterios

Excelente (4)

Planteamiento de la Identifica el problema y sus situación didáctica características.

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Identifica el problema.

Identifica una parte del problema.

No identifica el problema o no lo entiende.

Incógnita

Elabora una lista de todos los datos. Determina cuál es la incógnita y cómo la va a resolver.

Elabora una lista necesaria y suficiente de datos. Reconoce la incógnita y tiene idea de cómo resolverla.

Elabora una lista insuficiente de datos. Identifica la incógnita pero no tiene la idea de qué va a hacer.

Hipótesis

Predice todas las posibles.

Predice algunas hipótesis.

Predice algunos factores.

Procedimientos

Elabora una lista con todos los pasos y toma en cuenta detalles. Presenta resultados completos de forma escrita y gráfica. Obtiene conclusiones correctas y crea nuevos conocimientos y nuevas hipótesis.

Elabora una lista con todos los pasos. Presenta la mayoría de los resultados de forma organizada.

Elabora una lista con algunos pasos. Presenta algunos resultados de forma incompleta.

Elabora una lista de datos incorrectos. No identifica la incógnita ni sabe cómo resolverla. No logra realizar una predicción. Elabora una lista incorrecta de pasos. Presenta resultados incompletos e incorrectos.

Llega a conclusiones correctas.

Llega a algunas conclusiones.

Datos   Aspecto a evaluar

Bueno (3)

Resultados Conclusiones

No logra realizar conclusiones.

59

3 BLOQUE



  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Aplicación de las TICs 1.  Utiliza la plataforma WolframAlpha para investigar el concepto de pendiente; el término en inglés que corresponde a pendiente es “Slope”. 2. Emplea cualquier programa de dibujo para bosquejar el enunciado: Para tratar de agilizar la vialidad vehicular se construirá un puente en una calle de 20 metros de ancho. La parte más baja del puente será de 5 metros sobre la calle que cruza. La longitud puede ser hasta de 250 metros. 3.  Una vez que has bosquejado el problema, determina el modelo matemático que representa las condiciones que se indican. 4.  U  sa la plataforma WolframAlpha para graficar dicho modelo y observa qué sucede cuando varías el valor del parámetro que representa la pendiente. 5.  Contesta cómo debe ser el trazo del puente si la pendiente es menor o igual al 5 %. Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Aplica los elementos de una recta como lugar geométrico. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de aplicar los elementos de una recta como lugar geométrico, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Reconoce la línea recta. Establece la diferencia entre pendiente y ángulo de inclinación de una recta. Aplica el concepto de pendiente para demostrar que tres puntos alineados son colineales. Puede determinar el ángulo formado por dos líneas rectas. Utiliza el concepto de pendiente para establecer la condición de perpendicularidad entre dos rectas. Utiliza el concepto de pendiente para establecer la condición de paralelismo entre dos rectas. Aplica el concepto de pendiente para demostrar propiedades geométricas de las figuras.

Comentarios generales:

60

Cumple Sí

No

Comentarios



Grupo Editorial Patria®

Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Reconozco la recta como lugar geométrico. Reconozco la relación entre el ángulo de inclinación y la pendiente de una recta. Aplico los elementos de una recta como lugar geométrico en la solución problemas y ejercicios Comentarios generales:

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 62 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 3 y entrégala a tu profesor.

61

3 BLOQUE



  Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 3. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. La recta r1 pasa por A (6, 22) y B (0, 4), y la recta r2 pasa por M (1, 27) y N (25, 21). Determina si r1 y r2 son paralelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente).

 

  6. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto P (3, 1), con pendiente m 5 2.

   

 

  2. Obtén la ecuación de la recta con pendiente m 5 21 que  3 7 pasa por el punto P  2 ,  .  2 2  

  7. Obtén la ecuación de la recta con pendiente m 5 2 que pasa por el punto P (3, 1).

   

 

  3. Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P (0, 0) y Q (a, b ).

  8. Aplica la pendiente para demostrar que es rectángulo el triángulo cuyos vértices son (25, 21), (21, 4), (9, 24).

 

 

 

 

  4. Obtén la ecuación de la recta determinada por el par de pun 1  3 tos  , 5 ,  ,21 . 2  4     

  5. Traza la recta que pasa por el punto (5, 3) con una pendiente 3 m5 . 4    

  9. La recta r1 pasa por A y B, y la recta r2 pasa por M y N. Determina si r1 y r son paralelas, perpendiculares u oblicuas (rectas que no se cortan perpendicularmente). A (24, 2), B (1, 4); M (24, 25), N (1, 23)

   

10. Encuentra la ecuación de la mediatriz al segmento de recta que une los puntos P (3, 2) y Q (7, 4).

     

62



Grupo Editorial Patria®

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la variación de la temperatura global de 1800 a 2000, de la sección Aplica lo que sabes de la página 54. Nombre del alumno:   Criterio

cumple sí

no

Observaciones

Presentación

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad las aplicaciones de los triángulos semejantes en figuras, fotografías, proyecciones cinematográficas, así como en instrumentos ópticos.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener las aplicaciones de los triángulos semejantes con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Investiga los efectos de los gases de invernadero en la elevación de la temperatura global. 12. Traza una gráfica lineal que ilustre la variación de la temperatura global a nivel de superficie desde el año 1800 al 2000. 13. Investiga cuáles son los efectos del calentamiento global en los polos y a nivel del mar. 14. Identifica los efectos de los gases de invernadero en la elevación de la temperatura global. 15. Establece un comparativo entre las variaciones de temperatura en el intervalo de 1800 a 2000. 16. Investiga sobre las propuestas viables para disminuir los efectos de los gases de invernadero.

63

Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Tiempo asignado: 10 horas

          4

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

4.1 Ecuaciones de la recta:

–  Dos puntos – Punto-pendiente – Pendiente y ordenada al origen – Simétrica

4.2 Ecuación general y normal de una recta 4.3 Distancia de una recta a un punto 4.4 Distancia entre dos rectas paralelas

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o graficas. n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n Diseña y aplica modelos para probar su validez.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar

e interpretar información. n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. n Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de

conocimientos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1. Escribe en la forma simétrica la ecuación de la recta que interseca a los ejes x y y en a 5 4 y b 5 3, respectivamente.

2. Expresa la ecuación 2x 2 3y 1 3 5 0 en la forma simétrica.

3. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (23, 6) y es paralela a la recta 2x 1 4y 2 7 5 0.

4. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (23, 6) y es perpendicular a la recta 3x 2 5y 1 18 5 0.

5. Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 2x 2 3y 1 12 5 0 y pasa por el punto (2, 1).

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desempeños por alcanzar Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. Transforma ecuaciones de una forma a otra. Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana.

  4 BLOQUE



  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Situación didáctica

Un automóvil recorre 100 kilómetros con 7 litros de gasolina. Si su tanque está lleno y tiene una capacidad de 45 litros, ¿cuál es su rendimiento?, ¿cómo se puede expresar algebraicamente la relación



Secuencia didáctica

¿Cómo lo resolverías? que existe entre el número de litros de combustible consumidos y la distancia recorrida?

¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Trabajo individual

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cómo se determina el rendimiento de un automóvil? 2. ¿Cómo se puede representar el número de litros de gasolina que quedan en el tanque? 3. ¿Cómo se puede representar el número de kilómetros recorridos? 4. ¿Cómo se puede expresar algebraicamente la relación que existe entre el número de litros de combustible consumidos y la distancia recorrida en kilómetros? 5. ¿Cómo se puede construir una tabla en la que se relacionen el número de litros de combustible consumidos y la distancia recorrida en kilómetros? 6. ¿Cómo se puede construir una gráfica en la que se relacionen el número de litros de combustible consumidos y la distancia recorrida en kilómetros?

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentación de tablas, gráficas y cálculos realizados para resolver el problema.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar el rendimiento y la cantidad de gasolina que queda en el tanque después de recorrer x distancia que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La des66

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.





Grupo Editorial Patria®

Situación didáctica

Un obrero gana $10.00 por cada hora de trabajo en una jornada de 40 horas a la semana, el tiempo extra se le paga al doble con un máximo permisible de 10 horas a la semana. ¿Cómo se puede expresar



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar:

¿Cómo lo resolverías? algebraicamente el sueldo semanal del obrero?, ¿cómo se puede representar su sueldo semanal?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

1. ¿Cuál es el sueldo semanal del obrero? 2. ¿Cómo se puede expresar algebraicamente el sueldo semanal del obrero incluyendo el tiempo extra? 3. ¿Cómo se puede representar en una tabla el sueldo semanal del obrero? 4. ¿Cómo se puede representar en una gráfica el sueldo semanal del obrero?

Evaluación por producto

Trabajo individual

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Presentación de tablas, gráficas y cálculos realizados para resolver el problema.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar el sueldo semanal del obrero, incluyendo el tiempo extra que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimiento por escrito

tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase, 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes. 67

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicio XI 1. Escribe en la forma simétrica la ecuación de la recta que interseca a los ejes x y y en a y b, respectivamente. a) a 5 4, b 5 3

b)  a 5 5, b 5 2

c)  a 5 4, b 5 23

d)  a 5 27, b 5 5

e)  a 5 2 2, b 5 22

3 f )  a 5 2 , b 5 1 4

1 2 g) a 5 , b 5 2 3

4 3 h)  a 5 2 , b 5 3 4

3 1 i)  a 5 2 , b 5 2 2 2

2 3 j)  a 5 2 , b 5 2 3 4

2. Expresa las siguientes ecuaciones en la forma simétrica. a) 2x 2 3y 1 3 5 0

b) 3x 2 4y 2 8 5 0

c) x 1 3y 1 15 5 0

d) 2x 1 3y 2 9 5 0

e) 7x 2 2y 1 8 5 0

f ) 2x 1 5y 1 10 5 0

g) x 1 5y 2 15 5 0

h) 3x 2 2y 2 8 5 0

i) 3x 1 2y 2 2 5 0

j) 4x 2 5y 2 15 5 0

k) 4x 2 y 2 12 5 0

l) 3x 2 2y 2 12 5 0

m) x 2 y 2 7 5 0

n)  x 2 5y 1 20 5 0

o) 4x 1 9y 2 36 5 0 3. Halla la ecuación de la recta que forma con los ejes coordenados un triángulo isósceles de 8 unidades cuadradas de área (dos soluciones). 4. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 24) y forma con los ejes coordenados un triángulo isósceles. 5. Halla la ecuación de la recta, que pasa por el punto (5, 22) y determina sobre los ejes coordenados dos segmentos cuya suma algebraica es 12. 6. Una recta pasa por el punto (24, 23) y corta al tercer cuadrante formando un triángulo rectángulo de 27 unidades cuadradas de área. Obtén la ecuación de la recta.

Ejercicio XII 1. Halla la ecuación de dos rectas que pasen por el punto A, una paralela y otra perpendicular a la recta que corresponde a la ecuación dada. 68

a) A (3, 2), 2x 2 3y 1 3 5 0 b)  A (22, 3), 3x 2 4y 2 8 5 0 c) A (2, 21), x 1 3y 1 15 5 0 d)  A (23, 1), 2x 1 3y 2 9 5 0 e) A (4, 3), 7x 2 2y 1 8 5 0 f )  A (3, 1), 2x 1 5y 110 5 0 g) A (22, 21), x 1 5y 2 15 5 0 h)  A (22, 22), 3x 2 2y 2 8 5 0 i ) A (23, 22), 3x 1 2y 2 2 5 0 j )  A (22, 21), 4x 2 5y 2 15 5 0 k) A (23, 25), 4x 2 y 2 12 5 0 l )  A (22, 24), 3x 2 2y 2 12 5 0 m) A (23, 24), x 2 y 2 7 5 0 n)  A (21, 1), x 2 5y 1 20 5 0 o) A (24, 21), 4x 1 9y 2 36 5 0 2. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (23, 6) y: a) Es paralela a la recta 2x 1 4y 2 7 5 0. b) Es perpendicular a la recta 3x 2 5y 1 18 5 0. 3. Halla el valor de k para que la recta k x 1 (k² 1 1) y 2 27 5 0 sea paralela a la recta 2x 1 3y 2 9 5 0. 4. Encuentra el valor de k para que la recta k x 1 (k² 1 1) y 2 5 5 0 sea perpendicular a la recta 5x 2 2y 1 3 5 0. 5. Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 2x 23y 1 12 5 0 y pasa por el punto (2, 1).

Ejercicio XIII  1. Expresa en forma normal la ecuación de la recta para la cual a y p son:



Grupo Editorial Patria®

a) a 5 45°, p 5 4

La ignorancia afirma o niega rotundamente; la ciencia duda.

b)  a 5 60°, p 5 5

Voltaire

c) a 5 90°, p 5 3 d)  a 5 150°, p 5 10 e) a 5 180°, p 5 7 f )  a 5 225°, p 5 6  2. Expresa en su forma general las ecuaciones del punto anterior.  3. Expresa en su forma normal cada una de las ecuaciones siguientes: a) 3x 2 4y 1 30 5 0 b) 2x 1 3y 1 12 5 0 c) 8x 2 15y 1 34 5 0 d)  y 5 3x 1 2 e) 5x 2 12y 5 0  4. Halla la ecuación de la recta que está a 8 unidades del origen y cuya normal forma un ángulo de 210°.  5. Halla la ecuación de la recta que está a 5 unidades del origen y pasa por el punto (1, 7). (Dos soluciones.)  6. Halla la distancia entre las rectas r1: x 1 3y 2 25 5 0 y r2: x 1 3y 2 6 5 0.  7. Halla la ecuación de la recta cuya distancia a la recta 3x 2 4y 2 12 5 0 sea 3. (Dos soluciones.)  8. Encuentra la distancia a la recta 5x 1 12y 2 30 5 0 desde los puntos: a) (9, 2)

4.1  Ecuaciones de la recta La línea recta es un concepto geométrico que se usa de manera constante en múltiples y variadas formas. En geometría analítica, la línea recta se expresa por medio de una ecuación de primer grado con dos variables: x y y. A continuación se procede al estudio de las distintas formas en que se expresa la ecuación de la recta con el propósito de identificarlas. Cada ecuación corresponde a características y propiedades geométricas específicas. La inspección cuidadosa de cada ecuación proporciona información para la localización y representación de la recta en el plano coordenado.

Dos puntos En geometría una recta queda determinada por dos puntos cualesquiera. Asimismo, la expresión analítica de su ecuación se determina a partir de las coordenadas de dos puntos cualesquiera. En la figura 4.1 la recta determinada por P1 y P2 tiene como pendiente: y1 2 y2 m5 x1 2 x 2

b) (24, 2) y

c) (2, 27) d) (26, 5)

P1(x1, y1)

 9. La ordenada al origen de una recta es 2. Determina la pendiente para que la distancia del punto (3, 24) a la recta sea 26. 10. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas:

•

P2(x2, y2)

0

•

x

a) x 2 y 2 5 5 0; x 2 7y 2 47 5 0 b)  x 2 3y 1 9 5 0; 3x 2 y 2 9 5 0 c) x 2 y 1 20 5 0; 17x 2 7y 1 20 5 0 d) 2x 1 5y 2 30 5 0; 5x 2 2y 5 0 e) x 2 8y 1 13 5 0; 4x 2 7y 1 2 5 0

Figura 4.1

Sustituyendo este valor y las coordenadas de P1 en la ecuación de la forma punto-pendiente, se tiene: y 2 y1 5

y1 2 y2 ( x 2x1 ), x1 ? x 2 x1 2 x 2

69

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Que se conoce como la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1), y P2(x2, y2). La ecuación anterior también se puede expresar así:

Solución: Con base en la geometría sabemos que la mediana es el segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto.

y 2 y1 y1 2 y2 , x1 ? x 2 5 x 2 x1 x1 2 x 2

Cuando x1 5 x2 se trata de una paralela al eje y y la ecuación se reduce a x 5 x1.

y

•

Ejemplos

B (–1, 4)

B (–4, 5)

3 2

0

•

A (3, –1)

x

C (–3, –3)

y

•

[ ] •

M = 1, –

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (3, 21) y B (24, 5).

Figura 4.3

En la figura 4.3 las coordenadas de M, punto medio del lado AB, son: 0

•

A (3, –1)

x5

x

La ecuación de la recta que pasa por los puntos C y M es:

3 2(23) 3 ( x 21) y2 5 2 2 12(23)

Figura 4.2

Solución:

Efectuando operaciones y simplificando:

Con los datos que se ilustran en la figura 4.2 y utilizando la ecuación de la recta de la forma punto-punto, se tiene:

y 2(21)5

3 3 2 13 ( x 21) y2 5 2 113 9 3 2 y 2 5 ( x 21) 2 4

2125 ( x 23) 32(24)

De donde:

6 y 1152 ( x 23) 7 Multiplicando la ecuación por 7 y simplificando: 7( y 1 1) 5 26(x 2 3) 7y 1 7 5 26x 1 18 6x 1 7y 2 11 5 0 2. Los puntos A (3, 21), B (21, 4) y C (23, 23) son los vértices de un triángulo, encuentra la ecuación de la mediana que corresponde al vértice C. 70

211 4 3 31(21) 5 51      y 5 2 2 2

3 9 y 2 5 ( x 21) 2 8



8y 2 12 5 9x 2 9 9x 2 8y 1 3 5 0 3. Los puntos A (a, b ), B (2a, b), C (2a, 2b) y D (a, 2b ) son los vértices de un rectángulo. Halla las ecuaciones de sus diagonales. Solución: Las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales son:



Grupo Editorial Patria®

•

P (x, y)

y

B (–a, b)

y

A (a, b)

u

C (–a, –b)

0

x´

x

0

D (a, –b)

P1(x1, y1)

•

x

y´

Figura 4.4

Figura 4.6

La que pasa por A y C

La que pasa por B y D

b 1b y 2b 5 ( x 2a ) a 1a 2b y 2b 5 ( x 2a) 2a

b 1b y 2b 5 ( x 1a ) 2a 2a 2b y 2b 5 ( x 1a ) 22a

a ( y 2 b) 5 b (x 2 a) 2a ( y 2 b) 5 b (x 1 a) ay 2 ab 5 bx 2 ab 2 ay 1 ab 5 bx 1 ab bx 2 ay 5 0 bx 1 ay 5 0

Que corresponde a la ecuación de la recta que pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene por pendiente m. Cuando la recta coincide con el eje y o es paralela a él, su pendiente no está definida. Si la recta coincide con el eje y, su ecuación es de la forma x 5 0, porque la distancia de la recta al eje es cero. Dicho en otras palabras, la abscisa de cualquiera de los puntos de la recta es cero. Ahora bien, si la recta es paralela al eje y a una distancia de k unidades, entonces cualquier punto de la recta tendrá por abscisa a k y, por tanto, la ecuación de la misma se expresará: x 5 k.

Punto-pendiente

Ejemplos

Ecuación de una recta conocidos su pendiente y uno de sus puntos

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (21, 3) y tiene un ángulo de inclinación de 135°.

En geometría una recta queda determinada por dos condiciones, en este caso, uno de sus puntos y su dirección. La expresión analítica de su ecuación se determina a partir de las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo de inclinación (y, en consecuencia, su pendiente).

y

•

En las figuras 4.5 y 4.6 P (x, y) y P1 (x1, y1) son dos puntos distintos. En ambos casos por definición de pendiente:

(–1, 3)

135°

y

•

P (x, y)

0

x

u x´

•

0

x

P1(x1, y1) y´ Figura 4.7

Figura 4.5

71

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Solución: La figura 4.7 ilustra la recta cuya ecuación se busca. Por definición de pendiente: m 5 tan 135° 5 21

3. Halla la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos (23, 21) y (5, 4). y

Sustituyendo los datos del problema en la ecuación: y 2 y1 5 m(x 2 x1) Se tiene: y 2 3 5 21[x 2 (21)] De donde: y 2 3 5 2x 2 1 O bien: x1y2250 2. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (22, 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (22, 23) y (4, 1). y

•

• 0

x

0

A (–3, –1)

Figura 4.9

•

La figura 4.8 ilustra el problema. La pendiente de AB es:

B (4, 1) x

•

m5

4 2(21) 4 11 5 5 5 52(23) 513 8

La pendiente de la mediatriz de AB es recíproca y negativa a la de la recta AB, es decir: m52

8 5

Las coordenadas del punto medio de AB son:

Figura 4.8

Solución: En la figura 4.8 se ilustra el problema. La pendiente de AB es. m5

12(23) 113 4 2 5 5 5 4 2(22) 4 12 6 3

La recta que pasa por C y es paralela a la que pasa por A y B deben tener la misma pendiente de ésta, por tanto:

2 y 225 [ x 2(22)] 3 Multiplicando la igualdad por 3 se obtiene: 3(y 2 2) 5 2[x 2 (22)] De donde: 3y 2 6 5 2x 1 4 O bien: 2x 2 3y 1 10 5 0

72

B (5, 4)

Solución:

C (–2, 2)

A (–2, –3)

•

1 2

x 5 [51(23)]51       y 5

1 3 [ 4 1(21)]5 2 2

Por tanto, la ecuación de la mediatriz es:

3 8 y 2 52 ( x 21) 2 5 Multiplicando la ecuación por 10, se obtiene: 10y 215 5 216x 1 16 De donde: 16x 1 10y 2 31 5 0

Pendiente ordenada al origen Una forma de representar en el plano a una recta tiene que ver con su pendiente, es decir, la tangente de su ángulo de inclinación, y el punto de intersección de la recta con el eje y.

Intersección de una recta con los ejes La abscisa del punto en que una recta corta al eje x se llama abscisa al origen de la recta. En forma análoga, la ordenada del punto en el cual una recta corta al eje y se denomina ordenada al origen.



Grupo Editorial Patria®

y

ordenada al origen

h

0

y

(0, b) (0, 2)

(a, 0)

" abscisa al origen

•

2x

+3

y=

0

x

6

•

(3, 0)

x

Figura 4.10

Como puede observarse en la figura 4.10 la abscisa al origen corresponde al valor de la distancia que existe entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje x. Similarmente, la ordenada en el origen corresponde al valor de la distancia que hay entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje y.

Aplica lo que sabes Si un grado Fahrenheit equivale 9 de un grado Celsius más 32, de5 termina la expresión algebraica de la función que describe la equivalencia. Calcula los grados Fahrenheit que equivalen a 10 y 20 grados Celsius bajo cero y 10 y 20 grados sobre cero.

Figura 4.11

Por tanto, la ordenada al origen es 2 y las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje y son (0, 2). 2. Obtén las coordenadas al origen de la recta x 1 y 5 0. Solución: Por simple inspección de la ecuación se puede observar que si y 5 0, x 5 0 e inversamente. De manera que en lugar de tener dos puntos para trazar la recta sólo tenemos uno, el origen. Para calcular el otro punto se da un valor a una de las variables y se obtiene el correspondiente a la otra variable. Si x 5 2, entonces, y 5 22; o bien, si y 5 2, entonces x 5 22, puesto que x 1 y 5 0. Así se han obtenido los puntos (2, 22) y (22, 2) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación dada y por tanto están sobre la recta.

Para obtener la abscisa al origen de una recta se hace y 5 0 en la ecuación y se despeja x puesto que el punto de intersección de la recta con el eje x tiene como ordenada cero. De manera semejante para obtener la ordenada al origen se hace x 5 0 en la ecuación y se despeja y.

y

•

(–2, 2)

0

•

x+

Ejemplos

x (2, –2)

0

y=

1. Obtén las coordenadas al origen y las intersecciones con los ejes de la recta. 2x 1 3y 5 6 Solución: Haciendo y 5 0 en la ecuación y despejando x, se obtiene: 2x 1 3(0) 5 6 2x 5 6 x53 Por tanto, la abscisa al origen es 3 y las coordenadas del punto de intersección de la recta con el eje x son (3, 0). Haciendo x 5 0 en la ecuación y despejando y, se obtiene: 2(0) 1 3y 5 6 3y 5 6 y52

Figura 4.12

Observa que a esta recta pertenecen todos los puntos cuyas coordenadas tienen igual valor absoluto y diferentes signos.

Influencia de los parámetros m y b de la ecuación de la recta en la forma pendiente y ordenada al origen en el comportamiento gráfico de la misma Si una recta tiene una pendiente m (figura 3.28) y su ordenada al origen es de b unidades, entonces, se conoce el punto de coordenadas (0, b) que está sobre la recta. Por tanto, éste constituye un caso especial de la recta de la forma punto-pendiente, es decir: 73

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta y 2 b 5 m (x 2 0) y 5 mx 1 b

O bien:

Inversamente, si la anterior es la ecuación de una recta, entonces m es la pendiente de la misma y b es su ordenada al origen.

b ) m 5

O sea:

2 ;b54 3

c ) Como b 5 4, la recta corta al eje y en el punto de coordenadas (0, 4). Por definición m 5 tan u, donde u es el ángulo de inclinación de la recta respecto del eje x, siendo 0° , u , 180°. Sabemos por trigonometría que en un triángulo rectángulo la tangente de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto

y m iente

(0, b)

2 y5 x 14 3

pend

y x

opuesto y el cateto adyacente, es decir, tan u5 5m . 0

x

Figura 4.13

Haciendo x 5 0 en la ecuación y 5 mx 1 b se obtiene y 5 b, es decir, b es la ordenada al origen. Para demostrar que m es su pendiente considérense los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) sobre la recta; lo cual significa que sus coordenadas satisfacen la ecuación, esto es:

2 22 3 23

En la ecuación m 5 5

Para representar la recta en el plano se localiza en el eje y a la ordenada al origen, en este caso el punto (0, 4). A partir de dicho punto se toman dos unidades hacia arriba y tres a la derecha, pues tanto la y como la x son positivas, o bien, a partir del punto se toman dos unidades hacia abajo y tres hacia la izquierda, considerando a la y y a la x como negativas. Al trazar la recta por dos puntos cualesquiera se observa que contiene también al tercer punto.

y1 5 mx1 1 b       y2 5 mx2 1 b

y

Restando a la segunda ecuación la primera se obtiene: y2 2 y1 5 mx2 2 mx1 y2 2 y1 5 m(x2 2 x1) O bien:

y2 2 y1 5m x 2 2 x1 Por tanto, la pendiente de la recta es m.

2– x + 4 y= 3

•

•

•

x

0

Elementos mínimos para trazar una recta específica Ejemplos 1. Dada la ecuación 2x 2 3y 1 12 5 0. a ) Exprésala en la forma pendiente-ordenada al origen. b ) Identifica los valores de m y b. c ) Representa la recta en el plano. Solución: a ) Despejando y en la ecuación 2x 2 3y 1 12 5 0, se obtiene: 2x 1 12 5 3y que también se puede escribir así: 3y 5 2x 1 12. De donde:

74

2 x 112 y5 3

Figura 4.14

2. Expresa la ecuación 3x 1 4y 1 8 5 0 en la forma pendienteordenada al origen y represéntala en el plano. Solución: Despejando y en la ecuación 3x 1 4y 1 8 5 0, se obtiene: 

3 y 52 x 22. 4

3 23 3 5 4 4 24

Donde:   b 5 2 2 y m52 5



Grupo Editorial Patria®

A continuación se localiza a la ordenada al origen, o sea, al punto (0, 22) y a partir de él se toman tres unidades hacia abajo y cuatro a la derecha, o bien, tres unidades hacia arriba y cuatro a la izquierda.

y 265 O bien:

3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x 2 3y 5 221, x 2y 5 29 y es:

25 ( x 13) 3

5x 1 3y 5 3

3y =

x–

y=

5x +

y

–9

y

3

21

y=–

x–3

•

0 (0, –2)

•

(–3, 6)

x

y=

5y 3x –

– –3 4 x–2

2x

•

0

x+

+4

y=

7

18

=–

2y =

9 x

Figura 4.16

Figura 4.15

a ) Paralela a la recta 2x 1 4y 5 7. b ) Perpendicular a la recta 3x 2 5y 5 218.

Actividad de aprendizaje

Solución:

Para escribir una ecuación en su forma simétrica, ¿qué condiciones deben reunir los términos en x y y ?, ¿qué condiciones debe reunir el término independiente?

Al resolver el sistema de ecuaciones simultáneas formado por: x 2 3y 5 221 x 2 y 5 29 Se obtiene como solución x 5 23, y 5 6; por tanto, las coordenadas del punto de intersección son (23, 6). a ) La recta 2x 1 4y 5 7 se puede expresar así:

1 7 y 52 x 1 2 4 Toda recta paralela a ésta tiene la misma pendiente, en particular la que pasa por el punto (23, 6) tiene por ecuación:

1 y 2652 ( x 13) 2 O bien:

x 1 2y 5 9

b ) La recta 3x 2 5y 5 218 se puede expresar en la forma

3 18 y 5 x 1 . Toda recta perpendicular a ésta tiene pendiente 5 5 25 recíproca y de signo contrario, es decir, m 5 ; en particu3 lar la que pasa por el punto (23, 6) tiene por ecuación:

  Para continuar con el estudio de la recta en este bloque se identifican sus ecuaciones en las formas simétrica, general y normal. La representación gráfica de la recta que interseca los ejes coordenados se expresa por una ecuación en la que aparecen los valores de las coordenadas de los puntos de intersección.

Simétrica En la figura 4.17 se ilustra la recta que interseca a los ejes x y y en los puntos (a, 0) y (0, b), respectivamente. Como puede verse, la abscisa al origen es a, (a ? 0) y la ordenada al origen es b, (b ? 0). Para determinar la ecuación de la recta (conocidas sus intersecciones con los ejes coordenados), que pasa por (a, 0) y (0, b) utilizamos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. y 2y y 2 y1 5 1 2 ( x 2 x1 ) x1 2 x 2 75

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta Ejemplos

y

(0, b)

1. Dada la ecuación 3x 1 4y 2 24 5 0, expresarla en la forma simétrica.

•

0

Solución:

•

(a, 0)

Al trasponer el término independiente al segundo miembro se tiene: 3x 1 4y 5 24. x

Al dividir la ecuación entre 24, nos queda así:

3x 4 y 24 1 5 24 24 24 Que una vez simplificada se reduce a:

Figura 4.17

De donde: Es decir: O sea:

02b y 20 5 ( x 2a ) a 20 y5

2b ( x 2a ) a

a y 5 2b x 1 a b

Que corresponde a la forma simétrica de la recta. 2. Dada la ecuación 5x 2 9y 1 4 5 0, expresarla en la forma simétrica. Solución: Al trasponer el término independiente al segundo miembro resulta: 5x 2 9y 5 24

ay1bx5ab

Al dividir la ecuación entre ab, se obtiene: ay 1bx ab 5 ab ab Por tanto:

y x 1 51 b a

O bien:

x y 1 51 a b

Esta expresión se conoce como ecuación simétrica, también llamada forma de las intersecciones, que aparecen en los denominadores y corresponden a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen. Nota que si a 5 0, entonces b 5 0 y se presenta la situación explicada en el texto del ejemplo 2 que corresponde a la figura 3.30. Observación: La ecuación de la recta escrita en forma simétrica tiene los términos en x y y: • Escritos en forma de fracción común, x y y son los numeradores con coeficiente uno positivo. • Relacionados por el signo más (1). • El término independiente es igual a uno positivo y estará escrito en el segundo miembro. 76

x y 1 51 8 6

Al relacionar con el signo más (1) a los términos en x y y : 5x 1 (29y ) 5 24. Al dividir la ecuación entre 24, nos queda así:

5 x 29 y 24 1 5 24 24 24 Y como dividir entre un número es lo mismo que multiplicar por su recíproco, se tiene:

y x 1 51 24 4 5 9 Que corresponde a la forma simétrica de la recta. 3. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cuya abscisa al origen es el doble que la ordenada al origen. Solución: La ecuación de la recta en forma simétrica es:

x y 1 51 a b Las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación, por tanto:

2 3 1 51 a b Por otra parte, la abscisa al origen es el doble de la ordenada al origen, es decir, a 5 2b, entonces:



Grupo Editorial Patria®

b )

2 3 1 51 2b b

y

216 51 2b 8 51 2b 8 5 2b 45 b 0

Como a 5 2b al sustituir 4 por b, se tiene a 5 2(4). a58 Con la cual la ecuación queda así:

x

x y 1 51 8 4 O bien:

x 1 2y 2 8 5 0

4. Una recta cuya ordenada al origen es una unidad menor que su abscisa al origen, forma un triángulo con los ejes coordenados de área 6. a ) Obtén su ecuación en forma simétrica (dos soluciones). b ) Traza la gráfica correspondiente. Solución: a ) La ecuación de la recta en forma simétrica es:

x y 1 51 a b Como la ordenada al origen es una unidad menor que su abscisa al origen, entonces: a215b Por otra parte, dichas coordenadas al origen corresponden a la base y la altura de un triángulo de área 6, es decir:

a(a 21) 56 2 De donde:

a² 2 a 2 12 5 0

Factorizando: (a 2 4) (a 1 3) 5 0 Por tanto:

4.2  Ecuación general y normal de una recta La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coeficientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente.

Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa La ecuación de la forma general de la recta se puede transformar en la forma pendiente ordenada al origen, como se verá a continuación. Actividad de aprendizaje

a² 2 a 5 12

O bien:

Figura 4.18

a1 5 4

a2 5 23; Entonces las soluciones son:

y x x y 1 51 1 51; 23 24 4 3

¿Por qué los coeficientes A y B no pueden ser cero simultáneamente en la ecuación de la recta en su forma general?

   

La línea recta y la ecuación general de primer grado Las formas estudiadas indican que la ecuación de una recta es de primer grado en las coordenadas rectangulares x y y. Inversamente, cualquier ecuación de primer grado en x y y representa una recta, de ahí el nombre de ecuación lineal, la cual se obtiene con el siguiente razonamiento. 77

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

La ecuación de primer grado en x y y es: Ax 1 By 1 C 5 0 Donde A y B no pueden ser igual a cero de manera simultánea. Si B 5 0 la ecuación se reduce a: Ax 1 C 5 0 2C x5 Despejando x se tiene: A Que es de la forma x 5 k y corresponde a una recta paralela al eje y y9 a k unidades de distancia. Si B ? 0, despejando y se tiene: y 5

2A C x2 B B

A Que es de la forma y 5 m x 1 b, donde la pendiente m 5 2 y la B C ordenada al origen b 5 2 . La pendiente de una recta (no paralela B al eje y) puede obtenerse a partir de la forma general dividiendo el coeficiente del término en x, con signo contrario, entre el coeficiente del término en y.

Actividad de aprendizaje ¿Cómo se puede expresar la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen a partir de la ecuación de la recta en su forma general?

 

Al despejar y, se tiene:

By 5 2C

C y 5 2 B Que puede escribirse en la forma y 5 k y corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje x. d) Si A ? 0, B 5 0 y C ? 0, entonces: Ax 1 C 5 0. Despejando x se tiene:

Ax 5 2C

x 5 2

C A

Que se puede escribir en la forma x 5 k y corresponde a la ecuación de una recta paralela al eje y. e) Si A ? 0, B 5 0, C ? 0, entonces: Ax 1 By 5 0. Despejando y se tiene:

By 5 2Ax

A y 5 2 x B

A Esta expresión es de la forma y 5 mx 1 b, donde m 5 2 y B b 5 0; por tanto, corresponde a la ecuación de una recta que A pasa por el origen con una pendiente m52 . B f ) Si A ? 0, B ? 0, C ? 0, entonces: Ax 1 By 1 C 5 0. Despejando y se tiene:

 

By 5 2 Ax 2 C

C A y 5 2 x 2 B B

Discusión de la ecuación general de la recta Como ya se ha dicho, la ecuación de una recta es de la forma Ax 1 By 1 C 5 0, donde A, B y C son los coeficientes por determinar. A continuación se representan los posibles casos de relación entre los coeficientes de la ecuación A, B y C de la ecuación Ax 1 By 1 C 5 0. a) Si A ? 0, B 5 0 y C 5 0, entonces Ax 5 0, de donde:  0 x5 A Es decir: x 5 0 Esta expresión corresponde a la ecuación del eje y. b) Si A 5 0, B ? 0 y C 5 0, entonces: By 5 0 0 De donde: y5 B Es decir:

y50

Esta expresión corresponde a la ecuación del eje x. 78

c) Si A 5 0, B ? 0 y C ? 0, entonces: By 1 C 5 0.

A Esta expresión es de la forma y 5 mx 1 b, donde m 5 2 B C y b 52 . B La ecuación anterior representa una recta en cualquier posición que no sea paralela a los ejes ni pase por el origen. De lo expuesto se observa que aunque al parecer los coeficientes A, B y C son constantes independientes, en realidad solamente dos lo son. Por tanto, de los coeficientes A y B al menos uno de ellos debe ser diferente de cero, pues tanto geométrica como analíticamente una recta queda determinada por dos condiciones, es decir, cuando se conocen dos de sus puntos, o bien, uno de sus puntos y la dirección. Este hecho se observa cuando A ? 0 y, por tanto, puede dividirse la ecuación entre A con lo cual la expresión queda así: B C x 1 y 1 50 A A B C En la que las constantes independientes son  y . A A



Grupo Editorial Patria®

Ejemplos Halla los valores de A, B y C en la ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 de una recta que pasa por los puntos (23, 1) y (2, 23). Halla la ecuación de la recta. Solución: Los puntos pertenecen a la recta, por tanto, deben satisfacer su ecuación. Así para el punto (23, 1) se tiene: 23A 1 B 1 C 5 0 Y para el punto (2, 23) queda así: 2A 2 3B 1 C 5 0

4 5 Cx 1 Cy 1C 50 7 7 Multiplicando la ecuación por

7 , se obtiene: 4x 1 5y 1 7 5 0. C

Que corresponde a la ecuación de la recta que contiene los dos puntos dados y cuyos coeficientes son A 5 4, B 5 5 y C 5 7.

Observación: Si C 5 0, el problema no se puede resolver en la forma anterior. En tal caso se tendrá que resolver para A y C en términos de A si A ? 0.

Con lo cual se obtiene el siguiente sistema: 23A 1 B 1 C 5 0

(1)

Posiciones relativas de dos rectas

2A 2 3B 1 C 5 0

(2)

Las condiciones analíticas que cumplen dos rectas que:

Al multiplicar la ecuación (1) por tres (para eliminar el término en B ) y sumar término a término las dos ecuaciones, se obtiene: 29A 1 3B 1 3C 5 0 2A 2 3B 1 C 5 0

  1 4C 5 0

27A 

Por tanto:

Se obtendrán a partir de las ecuaciones de dos rectas.  r1: Ax 1 By 1 C 5 0 r2 : A9x 1 B9y 1 C9 5 0

27A 5 24C

O bien:

4 A 5 C (3) 7

Al sustituir (3) en (2):

4 2  C  2 3B 1 C 5 0 7 

Efectuando el producto:

8 C 2 3B 1 C 5 0 7

Al reducir términos semejantes:

23B 1

Al trasponer términos:

a) Son paralelas. b) Son perpendiculares. c) Son coincidentes. d) Se intersecan en uno y sólo un punto.

15 C50 7

15 23 B52 C 7

Al dividir entre 23:

15 2 C B5 7 23

Efectuando el cociente:

15 B5 C 21

Al simplificar:

B5

5 C (4) 7

Al sustituir los valores de (3) y (4) en la ecuación general Ax 1 By 1 C 5 0 se tiene:

Para tu reflexión

Leonard Euler Nació en Basilea, Suiza, en 1707 y falleció en San Petersburgo, Rusia, en 1783. Fue iniciador del análisis matemático así como de la geometría analítica en tres dimensiones. En una de sus obras apareció por primera vez la relación entre las funciones trigonométricas y la función exponencial y una clasificación de las cónicas a partir de su ecuación.

a) Paralelismo Como ya se ha estudiado, dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. A9 A Si las pendientes de las rectas r1 y r2, mr 5 2 y mr 5 2 , son 1 2 B B9 iguales, entonces: A A9 2 52 B B9 79

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

A A9 5 B B9 A B O bien: 5 A9 B9 Si en esta última proporción A 5 0, entonces r1 y r2 serán paralelas al eje x (¿por qué?), y si B 5 0, entonces r1 y r2, serán paralelas al eje y (¿por qué?). Es decir:

A B Si en la proporción 5 , se aplica la propiedad fundamental, A9 B9 se obtiene: AB9 5 A9B Al trasponer términos, nos queda: AB9 2 A9B 5 0. Que expresa la condición analítica de paralelismo de dos rectas, a partir de la función general, para cualquier tipo de rectas. Sean:

r1: 21x 2 35y 1 1 5 0



r2: 12x 2 20y 1 3 5 0

Se puede expresar así:

r1: 3x 2 5y 1

1 50 7

3 r2: 3x 2 5y 1 5 0 4 23 3 23 3 5 ;m 5 5 mr 5 1 25 5 r2 25 5

Entonces:

Como las pendientes de r1 y r2 son iguales, r1 y r2 son paralelas. Aplicando la condición analítica de paralelismo, se tiene: AB9 2 A9B 5 0 (21)(220) 2 (12)(235) 5 0 2420 1 420 5 0 Por tanto r1 y r2 son paralelas.

b) Perpendicularidad Dos rectas son perpendiculares cuando la pendiente de una es recíproca negativa de la otra, es decir, cuando el producto de sus pendientes es igual a: 21. A9 A Las pendientes r1 y r2 son, respectivamente, 2 y 2 . B B9

Es decir:

80

AA9 521 BB9

AA9 1 BB9 5 0

O bien:

Esta expresión establece la condición analítica de perpendicularidad. Si r1 es paralela al eje y, entonces, B 5 0 y, por tanto, no está definida la pendiente de r2; por otra parte, si r1 es paralela al eje y es perpendicular a r2 entonces r2 es paralela al eje x y en consecuenA9 cia su pendiente 2 5 0 y A9 5 0, entonces en la relación AA9 B9 1 BB9 se sustituyen los valores de B y A9, con lo cual se obtienen A(0) 1 (0) B9 5 0. Ejemplo Sean: r1: 5x 1 3y 2 11 5 0 r2: 3x 2 5y 1 1 5 0 Sus pendientes son:

5 3

3 3 5 25 5

mr 5 2 ; mr 5 2 1

2

Como éstas son recíprocas y de signo contrario una de la otra, entonces, r1 y r2 son perpendiculares. Al aplicar la condición analítica de perpendicularidad se tiene: (5)(3) 1 (3)(2 5) 5 0 15 2 15 5 0 Por tanto, r1 y r2 son perpendiculares.

c) Coincidencia Si tanto r1 como r2 se expresan en la forma y 5 mx 1 b, se obtiene: A C y 52 x 2 B A A9 C9 y 52 x 2 B9 A9 Y para que r1 y r2 coincidan se requiere que sus respectivas ordenadas al origen sean iguales, es decir:

C C9 2 52 A A9

Por la condición de perpendicularidad se tiene que:  2A   2A9     521 B   B9 

AA9 5 2BB9

De donde:

O sea:

A A9 5 A9 C9

Y además que sus respectivas pendientes sean iguales, es decir:



Grupo Editorial Patria®

A A9 2 52 B B9

2(2 4) 2 3(3) ? 0 28 2 9 5 217 ? 0

A B 5 A9 B9 De las dos condiciones anteriores se obtiene:

Por tanto, las rectas se cortan en un punto.

O sea:

A B C 5 5 A9 B9 C9 Esto significa que dos rectas son coincidentes cuando sus coeficientes correspondientes son directamente proporcionales. Sin embargo, cuando uno o más coeficientes son cero, la proporción carece de sentido, razón por la cual se prefiere establecer las relaciones A 5 KA9, B 5 KB9, C 5 KC9 que son verdaderas en todos los casos, donde K es una constante diferente de cero.

Ecuación normal Para la resolución de cierto tipo de problemas es de mayor utilidad representar la ecuación de la recta en su forma normal que en su forma general. Actividad de aprendizaje ¿Qué se puede decir de sus respectivas pendientes si dos rectas son paralelas?

  Ejemplo

  Si los valores de las pendientes de dos rectas son recíprocos y de signo contrario, ¿cómo son entre sí esas rectas?

Sean: 3 x 1 2 y 2 7 5 0

3 7 x 1 y 2 50 2 2 Donde la constante de proporcionalidad es K 5

  1 , es decir, la se2

gunda ecuación puede obtenerse a partir de la primera multiplicándola por

1 y, por tanto, las dos rectas son coincidentes. 2

 

Obtención de la forma normal a partir de la forma general y

d)  Dos rectas se intersecan en un único punto Cuando no son paralelas, en consecuencia las pendientes de r1 y r2 son diferentes. A A′ 2 ?2 B B′ Es decir:

A A′ ? B B′

Por tanto:

AB9 ? 2 A9B

O sea:

AB9 2 A9B ? 0

Ejemplo Sean: 2x 1 3y 2 7 5 0 3x 2 4y 2 2 5 0 Aplicando la condición analítica de intersección de dos rectas se tiene que:

P1(x1, y1) p a 0

x

Figura 4.19

En la figura 4.3 se ilustra una recta l que pasa por el punto P1(x1, y1). El segmento OP1 de longitud p tiene su extremo O en el origen y forma con el semieje Ox un ángulo a que es positivo. x Por trigonometría sabemos que cos a 5 1 de donde: x15 p cos p y a, y sen a 5 1 , de donde: y1 5 p sen a, por tanto, las coordenap das P1(x1, y1) pueden expresarse como P1(p cos a, p sen a). 81

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Sabemos también que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación, es decir, m 5 tan a. Utilizando la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y 2 y1 5 m(x 2 x1) para la recta l y sustituyendo las coordenadas de P1 se tiene:

B2 A2 5cos 2 a , 2 5sen 2 a 2 K K Al sumar miembro a miembro las dos igualdades:

Al elevar al cuadrado se obtiene:

A 2 B2 1 5sen 2 a1cos 2 a K2 K2

y 2 p sen a 5 m(x 2 p cos a) La normal (perpendicular) a la recta l debe tener pendiente recíproca negativa, por tanto, su ecuación es:

Entonces:

A 2 B2 1 51 K2 K2

1 y 2 p sena52 ( x 2 p cosa) m

De donde:

K 2 5 A2 1 B2

Por tanto:

K 5 A 2 1 B2

Entonces:

y 2 p sena52

1 ( x 2 p cosa) tan a

Como la recíproca de la tangente es la cotangente, la ecuación queda así: y 2 p sen a52cot a( x 2 p cosa) Además:

cot a5

Al sustituir el valor de K en las igualdades de (3), se obtiene: C B A 52p 5sen a, 5cosa , 2 2 2 2 6 A 1B 6 A 2 1 B2 6 A 1B

C Esta última igualdad se expresa: p52 6 A 2 1 B2

cosa sena

Pues cuando la recta pasa por el origen p 5 0 y en los demás casos p es positiva.

Por tanto, multiplicando la ecuación por sen a: y sena2 p sen 2 a52x cosa1 p cos 2 a

Por tanto, la ecuación de la recta en su forma general se transforma en: A B C x1 y1 50 2 2 2 2 6 A 1B 6 A 1B 6 A 2 1 B2

Trasponiendo términos: x cosa1 y sen a5 p sen 2 a1 p cos 2 a

Al factorizar el segundo miembro: x cosa1 y sen a5 p(sen 2 a1cos 2 a)

Ax 1 By 1C

Como sen² a 1 cos² a 5 1, entonces: x cos a 1 y sen a 5 p.

6 A 2 1 B2

50

x cos a 1 y sen a 2 p 5 0

Como el valor del ángulo α es único se debe utilizar un solo signo para el radical.

Expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal.

El signo del radical se determina de acuerdo con los siguientes criterios:

De donde:

Ecuación general y normal de la recta Para cierto tipo de problemas, la ecuación de la recta en su forma normal es más útil que en su forma general, por lo cual se requiere transformar ésta en aquélla, mediante el siguiente razonamiento: Si Y

Ax 1 By 1 C 5 0

(1)

x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 (2)

Representan la misma recta, entonces, sus coeficientes son directamente proporcionales, es decir: 82

C B A 5 cos a, 5 sen a, 52p (3) K K K

a) Cuando p ? 0 el valor de p es positivo; de la expresión C 52p se deduce que C y K deben ser de signos diferenK tes, por tanto, el signo del radical debe ser opuesto al de C. b) Si la recta pasa por el origen, entonces en la ecuación C 5 0, en su forma general, y P 5 0, en su forma normal. Sabemos que a pertenece al intervalo 0º , a , 180º, donde sen a no es negativo, por lo que de la relación

B 5 sen a se deduK

ce que B y K deben tener el mismo signo, es decir, el radical tiene el mismo signo de B.

c) Si en la ecuación de la recta en su forma general B 5 0 y C 5 0, entonces de la relación

B 5 sen a se deduce que sen K



Grupo Editorial Patria®

a 5 0, por tanto, a 5 0°; como cos 0° 5 1 en la relación 5 cos a 5 1 se deduce que A y K deben tener igual signo.

A K

2. Transforma a la forma normal la ecuación x 2 3y 5 0 y determina los valores de p y a. Solución:

Ejemplos

En la ecuación x 2 3y 5 0,  A 5 1,  B 5 23 y C 5 0.

1. Transforma a la forma normal la ecuación 3x 1 4y 2 12 5 0 y determina los valores de p y a. Solución:

Como C 5 0 la recta pasa por el origen y en consecuencia p 5 0 en la ecuación de la recta en su forma normal. La ecuación de la recta en su forma normal es:

x 23 y

La ecuación de la recta en su forma normal se expresa así:

3x 1 4 y 212 6 32 1 4 2

50

6 12 1(23)2

Donde C 5 0 y, por tanto, el signo del radical debe ser igual al signo de B, es decir:

Recuerda que el radical y C son de signo contrario, por tanto:

3x 1 4 y 212 50 25

Esta ecuación corresponde a la recta en su forma normal y en la que:

p5

12 5

sen a5

4 5

cosa5

3 5

Como el seno y el coseno del ángulo son positivos significa que la           normal está en el primer cuadrante, además:

sen a cos a 4 4 tana 5 5 3 3 5

Es decir:

tan a 5 1.333

De donde:

a 5 53° 069

1 3 x1 y 50 10 10 3 10

cosa5

3 10 sena Por otra parte, tan a5 , o sea: tana5 21 cosa 10 tan a 5 23

El signo negativo del valor de la tangente indica que el lado terminal del ángulo está en el segundo cuadrante, por tanto: a 5 180º 2 tan213 a 5 180º 2 71º 349 a 5 108º 269

y

y

3x

a +4

y–

a O

Figura 4.20

21 10

Esto significa que la normal está en el segundo cuadrante donde el seno es positivo y el coseno es negativo.

De donde:

tan a5

Entonces:

2

Entonces: sena5

3 4 12 x 1 y 2 50 5 5 5

O bien:

x 23 y 50 2 10 O bien:

3x 14 y 212 50 5

Es decir:

50

12

0

=0

x

x

Figura 4.21

83

  4 BLOQUE



  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta En la figura 4.22, r es una recta cuyas ecuaciones en sus formas general y normal son respectivamente: r: Ax 1 By 1 C 5 0 r: cos a x 1 sen a y 2 p 5 0

Aplica lo que sabes Investiga cómo se paga el consumo de agua en tu comunidad. ¿Cuánto se cobra por metro cúbico de agua?, ¿cuánto se cobra por cuota fija?, ¿cuántos metros cúbicos corresponden a la cuota fija?, ¿cuánto se cobra por metro cúbico adicional a la cuota fija? Escribe una expresión algebraica que relacione la cuota fija y los metros cúbicos adicionales.



Como puede observarse en la figura:  OR 5 p 1 d O bien:

OQ 1 QR 5 p 1 d

Que también puede expresarse con proyecciones de la siguiente manera: ProyONOA 1 ProyONAP1 5 p 1 d Es decir: OA cos a 1 AP1 cos (90° 2 a) 5 p 1 d

Aplica lo que sabes

De donde: x1 cos a 1 y1 sen a 5 p 1 d

Investiga cómo se hace la lectura del medidor de energía eléctrica. Compara el consumo de energía eléctrica en tu manzana. ¿Quién tiene el menor consumo de KWH?, ¿quién tiene el consumo más alto de KWH? Traza una gráfica de consumo de energía eléctrica.

Por tanto: d 5 x1 cos a 1 y1 sen a 2 p Expresión que corresponde a la distancia de un punto a una recta cuya ecuación está en la forma normal. Cuando la ecuación de la recta está en forma general: Ax 1 By 1 C 5 0 La distancia de un punto a la recta puede obtenerse con la expresión:

4.3  Distancia de una recta a un punto Una de las aplicaciones de la recta en su forma normal consiste en la determinación de la distancia entre un punto y una recta.

Distancia dirigida de una recta a un punto y P1(x1, y1) a

Q

d5

Figura 4.22

84

x1

Si la recta pasa por el origen, entonces d es positiva si el punto se encuentra sobre la recta y negativa si el punto está debajo de la recta. Ejemplo

N

Halla la distancia de los puntos P1 (3, 5) y P2 (25, 21) a la recta cuya ecuación es 3x 1 4y 2 11 5 0.

R

Solución:

y1

Para el punto P1 (3, 5): d5 A

6 A 2 1 B2

Si el valor de d es positivo significa que el punto que interseca y el origen están en distinto lado respecto de la recta y si el valor de d es negativo, entonces el punto y el origen están en el mismo lado respecto de la recta.

3(3)1 4(5)211

P

0

Ax 1 By 1C

r

x



5

32 1 4 2 18 25



Grupo Editorial Patria®

Distancia no dirigida entre un punto y una recta

18 5 5



La distancia positiva indica que P1 y el origen están de distinto lado respecto de la recta. y

3x

+4

y–

11

•

=0

Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan Ésta es una aplicación de la distancia entre un punto y una recta.

P1(3, 5)

r1: A1x 1 B1 y 1 C1 5 0 r2: A2x 1 B2 y 1 C2 5 0

Sean:

O

Dos rectas que se cortan como se ilustra en la figura 4.25. Sabemos por geometría que la bisectriz es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. En la figura 4.25, b1 y b2 son las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por las rectas r1 y r2 que se cortan. Considerando el punto P sobre la bisectriz b1 se observa que el punto y el origen están de distinto lado respecto de las rectas r1 y r2, por tanto, d1 y d2 son positivas y d1 5 d2. Sin embargo, si el punto P estuviera sobre la bisectriz del ángulo opuesto por el vértice, entonces d1 y d2 serían negativos porque el punto P y el origen están del mismo lado respecto de las rectas r1 y r2, es decir: 2d1 5 2d2.

x

Figura 4.23

Para el punto P2 (25, 21); d5

Cuando en la determinación de la distancia entre un punto y una recta únicamente interesa su magnitud decimos que se trata de una distancia no dirigida.

3(25)1 4(21)211 32 1 4 2



5

2152 4 211 9116



5

230 25



5

230 5



5 26

y

r2 d1

La distancia negativa indica que P2 y el origen están del mismo lado respecto de la recta.

P1(x1, y1) d2

x´

d1

0 d2

•

P2(–5, –1)

Figura 4.24

O

+4

y´

y–

11

=0

x

b1 P(x, y)

d1 d2

y

3x

d2

d1

x r1

b2

Figura 4.25

En consecuencia, para la bisectriz b1 se tiene que: d1 5 d2. Al considerar el punto P1, se observa que d1 es positiva, pues P1 y el origen están de distinto lado respecto de r1, mientras que d2 es negativa debido a que el punto y el origen se encuentran del mismo lado respecto de r2, así que: d1 5 2d2. 85

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Ahora bien, si el punto P1 está sobre la bisectriz del ángulo opuesto se observa que d1 es negativa, pues el punto P1 y el origen se hallan del mismo lado respecto de la recta r1, mientras que d2 es positiva porque el punto y el origen están de distinto lado respecto de r, por tanto: 2d1 5 d2. En consecuencia, para la bisectriz b2 se tiene que: d 5 2d2. La distancia d2 del punto a la recta r1 se obtiene por la expresión:

d1 5

A1 x 1 B1 y 1C1 A12 1 B12

Por tanto, para d1 y d2 y el signo del radical se elige de acuerdo con los criterios ya establecidos. De lo anterior se deduce que las ecuaciones de las bisectrices b1 y b2, son, respectivamente: A1 x 1 B1 y 1C1 6 A12 1 B12

y

A1 x 1 B1 y 1C1

5

A1 x 1 B1 y 1C1 6 A12 1 B12

52

6 A12 1 B12

Solución: Sean: r1: 3x 2 4y 2 12 5 0 r2: 5x 1 12y 1 24 5 0

La ecuación de la bisectriz b1 se obtiene a partir de la expresión: 2

2

3 1(24)

5

Al trasponer términos: 39x 2 52y 2 156 1 25x 1 60y 1 120 5 0 Al reducir términos semejantes: 64x 1 8y 2 36 5 0 Al dividir la ecuación entre 4, se obtiene: 16x 1 2y 2 9 5 0 Que corresponde a la ecuación de la bisectriz b1, es decir: b1: 16x 1 2y 2 9 5 0 Cuya pendiente es: 216 mb1 5 528 2 La ecuación de la bisectriz b2 se obtiene a partir de la expresión:

3x 2 4 y 212

5 x 112 y 124 52 32 1(24)2 2 5 2 112 2

6 A12 1 B12

1. Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos formados por las rectas 3x 2 4y 2 12 5 0 y 5x 1 12y 1 24 5 0.

3x 2 4 y 212

De donde: 239x 1 52y 1 156 5 25x 1 60y 1 120

A1 x 1 B1 y 1C1

Ejemplos



213(3x 2 4y 2 12) 5 5(5x 1 12y 1 24)

La cual, una vez efectuadas las operaciones y simplificando, nos queda así: b2: 7x 2 56y 2 138 5 0 Cuya pendiente es:

m b2 5

Como puede observarse las pendientes de las bisectrices son recíprocas y de signo contrario una de la otra, condición analítica que corresponde al hecho geométrico de que las bisectrices son perpendiculares entre sí.

5 x 112 y 124 2

2 5 112

27 1 5 256 8

y

2

De donde:

3x 24 y 212 5 x 112 y 124 5 9 +16 2 251144

r1 x´

Es decir:

0

x b2

3x 24 y 212 5 x 112 y 124 5 25 2 169 Por tanto:

r2

3x 24 y 212 5 x 112 y 124 5 5 13 Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones se tiene que:

86

y´ b1 Figura 4.26



Grupo Editorial Patria®

2. Los vértices de un triángulo son A (5, 4), B (23, 2) y C (2, 26).

( (

Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos interior y exterior en A. Solución: Las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados AB y AC son, respectivamente: AB: y 2 4 5

)

La ecuación de la bisectriz del ángulo exterior se obtiene a partir de la expresión:

x 2 4 y 111

2624 22 4 ( x 2 5) ( x 25);   AC: y 24 5 2 25 2325

2

2

2 1 1(24)

Es decir:

De donde:

52

10 x 23 y 238 10 2 1(23)2

x 2 4 y 111 10 x 23 y 238 52 2 17 109

1 10 y 2 4 5 ( x 25);     y 2 4 5 ( x 25) 4 3

De donde:

Es decir:

(

)

109 ( x 2 4 y 111)52 2 17 (10 x 23 y 238)

4y 2 16 5 x 2 5;    3y 2 12 5 10x 2 50 Por tanto: AB: x 2 4y 1 11 5 0;   AC: 10x 2 3y 2 38 5 0 La ecuación de la bisectriz del ángulo b1 interior se obtiene a partir de la expresión:

x 2 4 y 111 2 12 1(24)2

5

(

Al efectuar operaciones y simplificando, se obtiene:

) (

)

109 210 17 x 2 4 109 23 17 y 111 109 138 17 50 Que corresponde a la ecuación de la bisectriz b2, la cual tiene como pendiente:

m b2 5

10 x 23 y 238 10 2 1(23)2

Es decir:

5

x 2 4 y 111 10 x 23 y 238 5 2 17 109 De donde:

109 ( x 2 4 y 111)52 17 (10 x 23 y 238) Al efectuar operaciones y simplificando se obtiene:

109 x 2 4 109 y 111 109 5210 17 x 13 17 y 138 17 109 x 2 4 109 y 111 109 5210 17 x 23 17 y 238 17 50 109 x 110 17 x 24 109 y 23 17 y 111 109 238 17 50

(

)

109 110 17 109 110 17 5 mb1 52 2 4 109 13 17 4 109 13 17

) (

)

( 2( 4

) 17 )

2 109 210 17 109 23

109 210 17 4 109 23 17

Como las bisectrices son perpendiculares, deben cumplir con la condición analítica:

mb1? mb2 521

O sea:

 109 110 17   109 210 17     521  4 109 13 17   4 109 23 17  Obsérvese que tanto los numeradores como los denominadores de las fracciones son binomios conjugados. 5

109 110 17 x 2 4 109 13 17 y 111 109 238 17 50

5

Esta última expresión corresponde a la ecuación de la bisectriz b1 que tiene como pendiente:

5

10921700 16(109)29(17) 21591 1744 2153 21591 1591

5 21

87

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta



Solución: y

d5

A

211219 32 1 4 2

5

230 30 5 56 9 116 5

d1

2.  Hallar la distancia entre las rectas:

d1

B

d2 x´

d2

3x 1 4y 2 11 5 0 x

0

3x 1 4y 2 29 5 0 Solución:

d5

211119

C

2

3 14

2

5

y´

Figura 4.27

Halla la distancia entre las rectas

4.4  Distancia entre dos rectas paralelas

1. 4x23y5 15 2. 3x1y5 15

Sabemos que dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

3. 22x15y5 27

De esta manera, las rectas:

4. 5x112y1605 0

son paralelas, pues:

r1: Ax 1 By 1 C 5 0 y

4x23y5 1

r2: Ax 1 By 1 C9 5 0

5x112y2245 0

2A y B 2A mr2 5 B

mr1 5

por lo que: mr1 5 mr2 La distancia entre ellas se obtiene a partir de la expresión: d5

C 2C9 A 2 1 B2

Ejemplos 1.  Hallar la distancia entre dos rectas: 3x 1 4y 2 11 5 0 3x 1 4y 1 19 5 0

88

5. x1y235 0 3x1y5 21

x1y255 0

6) 4x23y5 9

22x15y5 0

4x23y5 24

18 18 5 9 116 5





Grupo Editorial Patria®

Aplicación de las TICs 1.  Utiliza la plataforma WolframAlpha para expresar la ecuación 3x 2 4y 2 8 5 0 en las siguientes formas: a)  Pendiente ordenada al origen. b)  Punto pendiente. c) Simétrica. d)  Forma normal. 2.  Busca la sección “Properties” (Propiedades) y analiza la información que te proporciona. 3.  De las formas solicitadas anteriormente, ¿cuáles son las que te da la plataforma? 4.  Contesta cómo obtendrías las demás. Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Utilizar distintas formas de la ecuación de una recta. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de utilizar distintas formas de la ecuación de una recta, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Obtiene la ecuación de una recta a partir de dos puntos del plano coordenado. Obtiene la ecuación de una recta a partir de su pendiente y uno de sus puntos. Obtiene la ecuación de una recta a partir de su pendiente y la ordenada al origen. Obtiene la ecuación de una recta a partir de las coordenadas de los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. Puede convertir la ecuación de una recta a la forma general y viceversa. Puede determinar cuándo dos rectas son paralelas, perpendiculares, coincidentes o se intersecan en un punto. Puede convertir la ecuación general de la recta a la forma normal y viceversa. Puede determinar la distancia de una recta a un punto Puede determinar la distancia entre dos rectas paralelas Comentarios generales:

89

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta



Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Reconozco distintas formas de ecuaciones de la recta. Transformo ecuaciones de una forma a otra. Utilizo distintas formas de la ecuación de la recta para solucionar problemas y ejercicios de la vida cotidiana. Observaciones generales:

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 91 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 4 y entrégala a tu profesor.

90

3

4

5





Grupo Editorial Patria®

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 4. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1.  Escribe en la forma simétrica la ecuación de la recta

2 3 que interseca a los ejes x y y en a 5 2 , b 5 2 , 3 4 respectivamente.  

  6. Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta x 2 y 2 7 5 0 y pasa por el punto (23, 24).    

 

  2. Expresa la ecuación 4x 1 9y 2 36 5 0 en la forma simétrica.    

  3. Una recta pasa por el punto (24, 23) y corta al tercer cuadrante formando un triángulo rectángulo de 27 unidades cuadradas de área. Obtén la ecuación de la recta.  

  7. Expresa en forma normal la ecuación de la recta para la cual a 5 225°, p 5 6.    

  8. Expresa en su forma general la ecuación del punto anterior.    

 

  4. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (3, 2) y es paralela a la recta 2x 2 3y 1 3 5 0.

  9. Halla la ecuación de la recta que está a 5 unidades del origen y pasa por el punto (1, 7) (dos soluciones).

 

 

 

 

  5. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (21, 1) y es perpendicular a la recta x 2 5y 1 20 5 0.

10.  Encuentra la distancia a la recta 5x 1 12y 2 30 5 0

desde el punto (26, 5).

 

 

 

   

91

  4 BLOQUE

  Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el pago del consumo de agua de la sección Aplica lo que sabes de la página 84. Nombre del alumno:

Presentación

  Criterio

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

92

11. Investiga y obtiene cuánto se cobra por metro cúbico de agua. 12. Investiga y obtiene cuánto se paga por cuota fija y por metro cúbico adicional sobre la cuota fija. 13. Obtiene la expresión algebraica que relaciona la cuota fija con el número de metros cúbicos adicionales. 14. Obtiene la cantidad que se paga por metro cúbico de agua. 15. Obtiene la cantidad que se paga por cuota fija y por metro cúbico adicional sobre la cuota fija. 16. Obtiene la expresión algebraica que relaciona la cuota fija con el número de metros cúbicos adicionales y calcula la cantidad a pagar.

cumple sí

no

Observaciones



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del Bloque 4; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo bajo aspectos que se considera son los más adecuados: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del alumno:

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Obtiene la ecuación de Intersecciones de una recta en su forma simétrica a partir de sus una recta con los intersecciones con los ejes ejes cartesianos y la coordenados. Convierte una ecuación de la recta ecuación de la forma en su forma simétrica Ax 1 By 1 C 5 0 en su forma simétrica.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una recta en su forma simétrica a partir de sus intersecciones con los ejes coordenados. Convierte una ecuación de la forma Ax 1 By 1 C 5 0 en su forma simétrica.

En algunos casos, obtiene la ecuación de una recta en su forma simétrica a partir de sus intersecciones con los ejes coordenados. Convierte una ecuación de la forma Ax 1 By 1 C 5 0 en su forma simétrica.

No obtiene la ecuación de una recta en su forma simétrica a partir de sus intersecciones con los ejes coordenados. No convierte una ecuación de la forma Ax 1 By 1 C 5 0 en su forma simétrica.

Forma general de la ecuación de una recta

Convierte una ecuación de una recta a la forma general y viceversa. Conoce y aplica las condiciones analíticas de dos rectas que son paralelas, perpendiculares o coincidentes o que se intersecan en un punto.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una recta a la forma general y viceversa. Conoce y aplica las condiciones analíticas de dos rectas que son paralelas, perpendiculares o coincidentes o que se intersecan en un punto.

En algunos casos, convierte una ecuación de una recta a la forma general y viceversa. Conoce y aplica las condiciones analíticas de dos rectas que son paralelas, perpendiculares o coincidentes o que se intersecan en un punto.

No convierte una ecuación de una recta a la forma general y viceversa. No conoce ni aplica las condiciones analíticas de dos rectas que son paralelas, perpendiculares o coincidentes o que se intersecan en un punto.

Ecuación general y normal de una recta

Convierte una ecuación de una recta en su forma general a la forma normal y viceversa. Obtiene, determina y representa gráficamente la distancia dirigida de un punto a una recta.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una recta en su forma general a la forma normal y viceversa. Obtiene, determina y representa gráficamente la distancia dirigida de un punto a una recta.

En algunos casos, convierte una ecuación de una recta en su forma general a la forma normal y viceversa. Obtiene, determina y representa gráficamente la distancia dirigida de un punto a una recta.

No convierte una ecuación de una recta en su forma general a la forma normal y viceversa. No obtiene, ni determina, ni representa gráficamente la distancia dirigida de un punto a una recta.

  Aspecto a evaluar

Criterios

Excelente (4)

Deficiente (1)

Comentarios Generales

93

Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia Tiempo asignado: 14 horas

          5

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

5.1 Circunferencia

5.2 Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante y tangente 5.3 Ecuaciones de la circunferencia 5.4 Ecuación canónica 5.5 Ecuación ordinaria 5.6 Ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos 5.7 Ecuación general de la circunferencia

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar

matemáticas o gráficas. n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

e interpretar información. n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n Diseña y aplica modelos para probar su validez.

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. n

D efine metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto (5, 2).

2. Obtén la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y su radio es 17.

3. Halla la ecuación de la circunferencia que cumple con la condición de que su diámetro es el segmento de recta que une los puntos A (23, 4) y B (7, 6).

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desempeños por alcanzar Identifica y distingue los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Reconoce los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transforma de una forma a otra. Aplica los elementos y ecuaciones de la circunferencia en la solución de problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana.

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

En un jardín se dispone de un área de forma cuadrada para construir una fuente de base circular tangente a los lados del cuadrado. Encuentra la ecuación de la circunferencia de la base de la fuente y haz un dibujo con la representación a escala de la misma.



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo utilice papel periódico para trazar cuadrados de diferentes dimensiones que representen el área del cuadrado. También pueden trazar cuadrados en el patio de la escuela.

¿Qué tienes que hacer? 9. Si una circunferencia se encuentra inscrita en un cuadrado del que se conoce la longitud de su lado:

a) ¿Cómo se pueden determinar las coordenadas de su centro?

Que cada equipo elabore una tabla de datos en la que se especifiquen las dimensiones del cuadrado, del radio de la circunferencia y la ecuación de la circunferencia.



b)  ¿Cómo se puede conocer su radio?



c)  ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia?

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Trabajo individual

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Qué es una circunferencia? 2. ¿Qué es un círculo? 3. ¿A qué se le llama tangente de una circunferencia? 4. ¿Qué propiedades tiene la tangente de una circunferencia? 5. ¿Cómo se puede determinar la longitud del radio de una circunferencia? 6. ¿Cómo es, en general, la expresión algebraica de la ecuación de una circunferencia cuando su centro coincide con el origen de un sistema coordenado rectangular? 7. ¿Con qué nombre se conoce a la ecuación anterior? 8. Al modificar la longitud del radio de una circunferencia que tiene su centro en el origen del sistema coordenado rectangular: a)  ¿Qué ocurre con la expresión algebraica de su ecuación? b)  ¿Qué ocurre con la gráfica de la circunferencia? c)  ¿Cómo son entre sí esas circunferencias?

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar la ecuación de la circunferencia inscrita en el cuadrado. Presentar un dibujo a escala de la circunferencia inscrita en el cuadrado.

96



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para cada ecuación y dibujo se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, los libros consultados, etc. La descripción del procedimiento por



Situación didáctica

escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

Supón que en tu comunidad ocurre un apagón que afecta un área de x metros de radio. ¿Cómo puedes saber cuánto abarca la zona afectada?, ¿cómo puedes saber si las casas de algunos de tus compañeros de grupo están dentro o fuera de la zona afectada?



Secuencia didáctica

¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Evaluación por producto

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del ploblema.

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Producto a elaborar

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cómo se determina el área de un círculo? 2. A partir de un punto que se toma como centro, ¿entre qué calles se ubica la zona afectada?

Presentación de la zona del apagón en un plano de la comunidad. Ubicación en el plano de las casa de algunos de sus compañeros de grupo. Presentar los cálculos realizados.

3. En el plano de la ciudad, ¿cómo se ubican las casas de sus compañeros que están dentro o fuera de la zona del apagón?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo efectúe una comparación y selección de conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso realizar una confrontación de los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

97

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la zona del apagón que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del procedimien-

to por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del estudiante::

Criterios

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Trabajo individual y en equipo

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta un conjunto de ideas adecuadas para plantear y resolver la situación didáctica.

Participa tanto en forma individual como en equipo. Aporta algunas ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

No participa en forma individual ni en equipo. No aporta ideas para plantear y resolver la situación didáctica.

Secuencia didáctica

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis y discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis o la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

Presenta resultados en plenaria. Promueve el análisis de las formas de resolver la situación didáctica. Se involucra parcialmente en la indagación de la información necesaria para plantear y resolver la situación didáctica.

No presenta resultados en plenaria. No promueve el análisis ni la discusión de las formas de resolver la situación didáctica. No se involucra en la indagación de la información necesaria y suficiente para plantear y resolver la situación didáctica.

Evaluación del producto

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la redacción del informe final para encontrar la zona afectada.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa las rectificaciones que procedan y participa en la mayor parte de la redacción del informe final para encontrar la zona afectada.

Aporta lo que investigó y los cálculos realizados. Efectúa algunas rectificaciones que procedan y participa poco en la redacción del informe final para encontrar la zona afectada.

No aporta datos investigados ni cálculos realizados. No participa en las rectificaciones ni en la redacción del informe final para encontrar la zona afectada.

Comentarios Generales

98



Grupo Editorial Patria®

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Para ser un verdadero investigador de la verdad, es necesario, al menos una vez en la vida, poner en duda todas las cosas. Descartes

Ejercicio XIV 1. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto: a) (1, 2) b)  (6, 3) c)  (5, 5) d) (22, 5) e) (24, 3) f ) (22, 7) g) (23, 24) h) (26, 22) i) (24, 24) j ) (5, 22) k) (7, 24)

Introducción Inicia con las secciones que se obtienen por la intersección de un plano con un cono. La sección que da lugar a la circunferencia se asocia con su ecuación que considera su centro en el origen del sistema coordenado. Se trata lo referente a la ecuación de la circunferencia con su centro fuera del origen. La ecuación se expresa en su forma ordinaria y en su forma general. En ambos casos se hace referencia a sus respectivos elementos

l ) (5, 26)

Secciones de un cono

m) (7, 7)

La ecuación general de segundo grado en x y y se expresa en la forma siguiente: Ax2 1 Bxy 1 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Al lugar geométrico de la ecuación anterior se llama sección cónica o simplemente cónica. Este nombre proviene del hecho de que el lugar geométrico o curva se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano. Un cono circular recto se genera por una recta que pasa por un punto fijo de una recta también fija, formando con ésta un ángulo constante. Al punto fijo se le llama vértice y cualquier posición de la recta generatriz se denomina elemento. El vértice divide al cono en dos partes llamadas mantos.

n) (26, 5) o) (4, 23) 2. Obtén la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y su radio es: a) 7 b) 15 c) 18 d) e)

2

3 3

3. Encuentra las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia: a) x2 1 y2 5 81 b) 2x2 1 2y2 5 18 c) 4x2 1 4y2 5 100 d) x2 1 y2 5 2 e) x2 1 y2 5 8

Figura 5.1

99

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Secciones cónicas resultantes de los cortes a un cono

Figura 5.2

Figura 5.3

Cortes para obtener una parábola

Figura 5.5

Figura 5.6

Cuando el plano es paralelo a un elemento, la intersección se extiende a lo largo de un manto sin cortar al otro manto, esta sección recibe el nombre de parábola. Si el plano contiene a un elemento, se dice que la sección es una parábola que degenera en dos rectas coincidentes.

Cortes para obtener una hipérbola

Figura 5.4

Un plano que no pase por el vértice puede cortar a todos los elementos de un manto y formar una curva cerrada, dicha sección es llamada elipse. Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia, y si pasa por el vértice, la sección es un punto. Figura 5.7

100



Grupo Editorial Patria®

5.2  Rectas y segmentos: radio, diámetro, cuerda, secante y tangente Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos(partes). Figura 5.8

Si el plano es paralelo al eje del cono, éste corta a sus dos mantos y la sección se llama hipérbola. Si el plano contiene al eje del cono se dice que la sección es una hipérbola que degenera en dos rectas que se cortan.

Para tu reflexión

Bonaventura Francesco Cavalieri Los trabajos de Euclides estimularon su interés por las matemáticas. Fue discípulo de Galileo. Desarrolló un método de lo indivisible, utilizado en el cálculo integral. Su teoría de lo indivisible le permitió encontrar el área y el volumen de varias figuras geométricas. Esta teoría corresponde al desarrollo del método de exhaución de Arquímedes utilizado en cálculo.

Tangente. Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. Este punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto. Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Obsérvese que el radio, la cuerda y el diámetro son segmentos de recta mientras que la secante y la tangente son rectas.

Elementos asociados a la circunferencia El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio. En la siguiente figura se ilustra un punto P (x, y) de la circunferencia de centro C (h, k) y radio r. y

P (x, y)

Cavalieri publicó tablas de logaritmos que incluían logaritmos de las funciones trigonométricas utilizadas por astrónomos. Escribió sobre las secciones cónicas, trigonometría, óptica, astronomía y astrología.

k

0

5.1 Circunferencia Circunferencia es el lugar geométrico del plano descrito por un punto que se mueve a una distancia constante de un punto fijo.

Actividad de aprendizaje ¿Qué elementos se requieren para trazar una circunferencia?

   

C

Q (x, k)

h

x

Figura 5.9

Formas de trazo a partir de su definición Con compás Con base en la definición, para trazar una circunferencia con compás sólo se requiere un punto P como centro y un punto A de la circunferencia para determinar el radio PA, cuya medida sea la distancia entre las puntas del compás. Después con centro en P y radio PA se hace el trazo de la circunferencia que se pide.

101

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Con hilo, tachuela (clavo, alfiler, etc.) y un lápiz Se coloca la tachuela, en posición vertical, en el punto que será el centro de la circunferencia. Después se ata un extremo del hilo en la tachuela y el otro extremo en el lápiz, de manera que la distancia entre ellos sea igual al radio que se desea. A continuación se hace el trazo de la circunferencia, procurando que el hilo se encuentre tenso y el lápiz en posición vertical respecto del plano donde se va a hacer el trazo.

A partir de dos de los lados determinados por los tres puntos del plano se trazan sus mediatrices y el punto de intersección de éstas es el circuncentro, es decir, el centro de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados. La distancia del circuncentro a cualquiera de los tres puntos dados es el radio. Más adelante, en el bloque 6, se tratará esto analíticamente. Si se tiene el trazo de una parte de una circunferencia y se desea completarla, pero se desconoce el punto que corresponde al centro de la misma, podemos determinar éste de la siguiente forma: Se trazan dos cuerdas del arco de circunferencia que se conoce. A esas cuerdas se les trazan las mediatrices y el punto de intersección de éstas es el centro de la circunferencia. Aplica lo que sabes En el techo de una fábrica se va a colocar un extractor de aire. Para ello es necesario recortar un círculo de 1.5 metros de diámetro. Calcula la longitud de la circunferencia y la cantidad de material que se va a quitar.

Con la punta de un lápiz y la mano fija apoyada en un papel, mientras se hace girar éste sobre la mesa Se coloca una hoja de papel sobre la mesa. Se toma un lápiz y se apoya la mano, en posición de escribir, sobre la parte central de la hoja. Con la otra mano se hace girar la hoja una vuelta completa para trazar la circunferencia. Si se desea trazar, con regla y compás, una circunferencia que contenga tres puntos no alineados del plano, el procedimiento consiste en lo siguiente:

102



Grupo Editorial Patria®

5.3  Ecuaciones de la circunferencia

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es: x2 1 y2 5 100

En la figura 5.9, la distancia constante CP es el radio r que cumple con la condición siguiente: CP 5r Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo CPQ: 2

Es decir:

2

CQ 1QP 5CP

2

(x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 r2 Esta expresión se conoce como ecuación ordinaria de una circunferencia, a partir de ella y mediante simple inspección se pueden determinar las coordenadas del centro y la longitud del radio.

5.4  Ecuación canónica Cuando el centro de la circunferencia es el origen del sistema coordenado (h = k = 0), la ecuación de la circunferencia se expresa de la siguiente manera: x2 1 y2 5 r2 conocida como la forma simple (canónica) de la curva.

Obtención de la ecuación conocido el radio

Radio y centro de una circunferencia con centro en el origen a partir de su ecuación Cuando la ecuación de una circunferencia es de la forma x 2 1 y 2 5 r 2 sabemos que se trata de una circunferencia que tiene su centro en el origen y que su radio es la raíz cuadrada del término independiente. Ejemplo La ecuación de una circunferencia es x 2 1 y 2 5 49. Determina su centro y su radio. Solución: Por inspección de la ecuación de la circunferencia, vemos que está expresada en su forma simple, entonces sabemos que tiene su centro en el origen y que su radio es r5 49 57 .

Cuando la circunferencia tiene su centro en el origen su ecuación es de la forma: x 2 1 y 2 5 r 2 por lo que si se conoce el radio se sustituye su valor para obtener la ecuación correspondiente: Actividad de aprendizaje Ejemplos 1. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y su radio es 5. Solución: Como la circunferencia tiene su centro en el origen, su ecuación es de la forma simple, por lo que al sustituir el valor del radio nos queda así:

Si se sabe que las coordenadas de dos puntos del plano son los extremos del diámetro de una circunferencia, ¿cómo se puede obtener su ecuación?

   

x 2 1 y 2 5 52 Efectuando la operación indicada: x 2 1 y 2 5 25 2. Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto (26, 8). Solución: La distancia entre el origen y el punto dado es la longitud del radio de la circunferencia, esto es:

r5 (016)2 1(028)2 5 62 1(28)2 5 36164 5 100 510

103

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

Un agroglifo tiene forma circular. ¿Cuál es el mayor tamaño reportado a la fecha? En una escala de 1 a 10, ¿cómo se puede representar en una hoja de papel tamaño carta?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Qué es un agroglifo?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

2. ¿Qué características tienen?

Evaluación por producto

3. ¿En qué parte del mundo se han encontrado?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

4. ¿Cuáles son los de mayor tamaño y cuáles son sus dimensiones? 5. ¿Cómo se puede manejar una escala de circunferencias? 6. ¿Cómo se pueden representar en una hoja tamaño carta?

Trabajo individual

Producto a elaborar Dibujo que representa a escala un agroglifo. Cálculos para la representación a escala.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la representación a escala que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La des104

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.





Grupo Editorial Patria®

Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

En la carátula de un reloj de manecillas aparecen tres círculos y se está buscando un diseño. ¿Cómo podrían acomodarse estos círculos si no deben ser concéntricos ni tangentes entre sí, además de tener distinto radio y estar en la razón 1:2:3?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cómo se determina la tangencia interna o externa entre circunferencias? 2. ¿Cómo acomodar circunferencias de diferente radio en un espacio determinado?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto

3. ¿Cómo se calcula la razón entre circunferencias?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presentación del diseño de una carátula. Cálculos realizados y bocetos de diseño.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar el diseño de la carátula que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

105

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

i) 2x2 1 2y2 1 10x 1 6y 2 111 5 0 j) 2x2 1 2y2 2 12x 1 2y 1 1 5 0

Ejercicio XV

4. Traza la circunferencia correspondiente a cada ecuación del punto anterior.

1. Obtén la ecuación de la circunferencia cuyo centro y radio son:

5. Determina si la ecuación representa una circunferencia, un punto o no tiene representación real.

a) C (2, 4), r 5 3 b) C (2, 26), r 5 5 c) C (212, 5), r 5 13

a) 1 2 x2 1 y2 5 0 b) x2 1 y2 1 1 5 0 c) x2 1 y2 1 x 2 y 5 0

d) C (3, 4), r 5 5

d) x2 1 y2 2 8x 1 15 5 0

1 e) C  ,24  , r 59 2 

e) x2 1 y2 2 4x 2 8y 1 20 5 0

 5 1 f ) C  ,  , r 5 3  3 3 3 g) C  2 ,28 , r 5 15  4  h) C (0, 24), r 5 8 i) C (5 , 5), r 55 2 1 5  j) C  3,2  , r 5   2 2

f ) x2 1 y2 2 7x 2 5y 1 40 5 0 g) x2 1 y2 2 3x 1 3y 1 10 5 0 h) 2x2 1 y2 1 2x 1 6y 1 5 5 0 i) 4x2 1 4y2 1 28x 2 8y 1 53 5 0 j) 4x2 1 4y2 2 8y 1 5 5 0

Ejercicio XVI 1. Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos dados, sustituyendo las coordenadas de éstos en la ecuación general. a) (3, 0), (4, 2), (0, 1)

2. Halla la ecuación de la circunferencia que cumple con las condiciones siguientes: a) Su diámetro es el segmento de recta que une los puntos A (23, 4) y B (7, 6). b) Su diámetro es el segmento de recta que une los puntos A (5, 21) y B (27, 25). c) Su centro es (3, 25) y pasa por el punto (3, 23). d) Su centro es (22, 3) y es tangente a la recta 7x 1 11y 2 5 5 0.

e) (2, 22), (21, 4), (4, 6)

3. Expresa cada ecuación en la forma ordinaria.

i ) (17, 19), (214, 2), (210, 10)

a) x2 1 y2 2 4x 2 10y 2 71 5 0 b) x2 1 y2 2 6x 1 4y 2 12 5 0 2

2

c) x 1 y 1 2x 2 48 5 0 d) x2 1 y2 2 4x 2 12y 1 36 5 0 e) x2 1 y2 1 16x 1 14y 2 8 5 0 f ) x2 1 y2 1 8x 1 2y 1 1 5 0 g) x2 1 y2 1 10x 1 24y 5 0 h) 3x2 1 3y2 1 6x 2 5y 5 0 106

b) (23, 21), (4, 22), (1, 2) c) (4, 0), (0, 22), (4, 22) d) (5, 12), (13, 0), (212, 5) f ) (6, 0), (21, 7), (211, 27) g) (3, 4), (211, 6), (1, 210) h) (22, 3), (5, 2), (6, 21) j ) (1, 7), (22, 8), (2, 6) 2. Halla la ecuación de las circunferencias que pasan por los tres puntos dados anteriormente con el siguiente procedimiento: a) Determina las coordenadas del centro a partir de dos mediatrices. b) Obtén la longitud del radio como la distancia del centro a uno de los puntos dados. c) Expresa la ecuación en la forma ordinaria.



3. Encuentra la ecuación de la circunferencia que cumple con las condiciones siguientes: a) Pasa por los puntos (21, 3) y (7, 21) y su centro está en la recta 2x 1 y 211 5 0. b) Es tangente a la recta x 1 y 5 2 en el punto (4, 22) y su centro está sobre el eje x. c) Es tangente a la recta 3x 2 4y 1 10 5 0 en el punto (2, 4) y su centro está en la recta 2x 2 5y 2 10 5 0. d) Es tangente a la recta 2x 2 y 5 3 en el punto (2, 1) y su centro está en el eje y. e) Es tangente a los ejes y pasa por el punto (2, 21). f ) Es tangente a la recta 3x 2 4y 2 4 5 0 en el punto (24, 24) y su centro está en la recta x 1 y 5 27. g) Es concéntrica con la circunferencia x2 1 y2 2 10x 1 4y 2 20 5 0 y tangente a la recta x 1 2y 1 9 5 0. h) Es tangente a la recta 4x 2 3y 1 12 5 0 en (23, 0) y a la recta 3x 1 4y 216 5 0 en (4, 1). i ) Es tangente a los dos ejes y su centro está en la recta x 2 3y 1 8 5 0. j ) Está circunscrita al triángulo cuyos lados tienen por ecuación: x 1 7y 2 30 5 0, 7x 2 y 2 10 5 0 y 4x 1 3y 1 5 5 0. k) Está inscrita al triángulo cuyos lados tienen por ecuación 3x 1 4y 2 17 5 0, 4x 2 3y 1 19 5 0 y y 1 7 5 0. • Halla la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por: a)  (3, 6) b) (23, 5) c) (24, 27) d) (5, 22) e)  (√7, √5) f)  (7, 7) • Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje X y es tangente a la recta x 1 y 5 2 en el punto (21, 3). • Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (4, 3) y es tangente al eje X. • Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (21, 4), (24, 21) y (3, 23). • Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (5, 7) y es tangente al eje Y. • Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (25, 22), (5, 24) y (7, 6). • Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y es tangente a la recta x 1 y 5 7.

Grupo Editorial Patria®

5.5  Ecuación ordinaria Cuando el centro de la circunferencia está fuera del origen su ecuación es de la forma: (x 2 h)2 1 ( y 2 k)2 5 r 2 Donde (h, k) son las coordenadas del centro.

Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio Actividad de aprendizaje Si en la ecuación ordinaria de la circunferencia r 5 0, ¿cuál es su representación geométrica?

   

Ejemplo 1. Determina la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (23, 25) y radio 7. Solución: En la ecuación ordinaria (x 2 h )2 1 (y 2 k )2 5 r 2 se sustituyen las coordenadas del centro y el radio: [x 2 (23)]2 1 [ y 2 (25)]2 5 72 Es decir: (x 1 3)2 1 ( y 1 5)2 5 49 Que corresponde a la ecuación de la circunferencia solicitada, la cual también se expresa en forma desarrollada de la siguiente manera: x 2 1 6x 1 9 1 y 2 1 10y 1 25 5 49 De donde se obtiene: x 2 1 y 2 1 6x 1 10y 2 15 5 0

107

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Radio y coordenadas del centro de una circunferencia con centro fuera del origen a partir de su ecuación

Actividad de aprendizaje A partir de la ecuación general de una circunferencia, ¿cómo se encuentran las coordenadas de su centro y la longitud de su radio?

   

Para tu reflexión

David Hilbert (1862-1943) Se dedicó al estudio de las matemáticas y sentó las bases de la ciencia axiomática, similar a la de Euclides, pero presentada con todo el rigor de la lógica. Reunió, con todo rigor, una serie de axiomas de geometría que dio a conocer en 1899 en el libro Fundamentos de geometría. Incluyó en él conceptos que hasta entonces estaban sin definir y delimitó las propiedades de algunos conceptos. Estableció que los axiomas no deben considerarse como verdades que no requieren demostración, sino como puntos de referencia consistentes que permiten establecer una estructura matemática. Esta estructura es totalmente independiente de la realidad, pero debe tener alguna analogía con ella.

Ejemplo 1. Expresa la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 en la forma ordinaria. Si representa una circunferencia halla su centro y su radio. Solución: Trasponiendo el término independiente y ordenando los demás términos, se obtiene: x 2 2 8x 1 y 2 1 9y 5 74 Sumando a los dos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad de los coeficientes de los términos de primer grado, nos queda así: 2

2

 9 9 x 2 28 x 1(24)2 1 y 2 19 y 1  5(24)2 1  174  2  2 O bien:

81  81  ( x 2 28 x 116)1 y 2 19 y 1  5161 174  4 4 Factorizando en el primer miembro y sumando en el segundo: 2

9  64 1811296  ( x 2 4)2 1 y 1  5  2 4 Por tanto, la ecuación representa una circunferencia de centro

9 441 21  5 .  4 ,2  y radio r5 2 4 2

Entre sus contribuciones se pueden citar: teoría de números, ecuaciones integrales y espacios.

Influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma Si en la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria r 5 0, su representación geométrica corresponde a un punto del plano. Si h 5 k 5 0 entonces se trata de una circunferencia con centro en el origen. También puede ocurrir que h 5 0, en cuyo caso la circunferencia tendrá su centro sobre el eje y. Si k 5 0 entonces el centro de la circunferencia estará sobre el eje x. Ejemplos 1. Halla la ecuación de la circunferencia con centro C (24, 21) y que sea tangente a la recta de ecuación 3x 1 2y 2 12 5 0. Solución: Por geometría se sabe que la tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Esto significa que la longitud del radio es igual a la distancia del punto C a la recta. Entonces:

d 5r 5

108

3(24)12(21)212 32 12 2



Grupo Editorial Patria®

d 5r 5

226 13

r5 4 1

Al racionalizar el denominador:

d5 r5

d5 r5

226 13 ? 13 13

226 13 13

522 13

)

2

La cual una vez efectuados los productos indicados y ordenado sus términos, también se puede expresar en la forma general: x 2 1 y 2 1 8x 1 2y 2 35 5 0. 2. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje y y pasa por los puntos (2, 2) y (6, 24). Solución: El centro C (h, k ) está en el eje y, por tanto, h 5 0 y sus coordenadas son C (0, k ). La distancia de C a los puntos dados es la misma por ser radios de la misma circunferencia, es decir: (2 2 0)2 1 (2 2 k )2 5 (6 2 0)2 1 (24 2 k )2 O sea: 4 1 4 2 4k 1 k 2 5 36 1 16 1 8k 1 k 2 De donde:

22 121 325 y1 5 3 9 9

Multiplicando la ecuación por 9 e igualando a cero: 9x 2 1 9y 2 1 66y 1 121 2 325 5 0 De donde: 9x 2 1 9y 2 1 66y 2 204 5 0 Al dividir la ecuación entre tres: 3x 2 1 3y 2 1 22y 2 68 5 0 Observa que en este ejemplo el centro de la circunferencia está en uno de los ejes y que desaparece el término de primer grado contrario a dicho eje.

5.6  Ecuación de la circunferencia conocidos tres puntos Condiciones geométricas y analíticas para determinar una circunferencia

244 5 12k

244 5k 12 11 2 5k 3 Entonces las coordenadas del centro son C  0 ,2 

11  . 3

Para determinar el radio se encuentra la distancia entre C y uno de los puntos dados:

 11  r5 (220)2 1 21   3  17  r5 4 1   3

2

2

x 2 1 y2 1 (x 1 4)2 1 (y 1 1)2 5 52



5 13 3

O sea:

O bien:



r5

2  11   325  ( x 20) 1 y 1  5  3   9 

Al sustituir el centro y el radio en la forma ordinaria (x 2 h)2 1 ( y 2 k )2 5 r 2, se tiene:

(

325 9

Al sustituir el centro y el radio en la forma ordinaria de la ecuación, nos queda:

Por ser distancia se toma en valor absoluto.

( x 1 4)2 1( y 11)2 5 2 13

r5

289 9

2

2

La ecuación de una circunferencia tanto en su forma ordinaria: (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 r2 como en su forma general: x2 1 y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 contiene tres constantes arbitrarias, por tanto, es posible imponer tres condiciones a una circunferencia. Por ejemplo, que pase por tres puntos dados, o bien que su centro sea un punto determinado y que pase por otro punto dado. En este último caso pareciera que sólo se imponen dos condiciones, pero al fijar el centro se le imponen dos condiciones que corresponden a sus coordenadas y la tercera condición en el que pase por otro punto.

Obtención de la ecuación dados tres puntos Para determinar la ecuación de una circunferencia que satisface tres condiciones, ya sea en su forma ordinaria o en su forma general, se procede de la siguiente manera: 109

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Se establecen tres ecuaciones que relacionen las constantes h, k, r o D, E, F. Se resuelven las ecuaciones y se sustituye en la forma ordinaria o en la general según sea el caso.

Eliminando denominadores, la ecuación de la circunferencia que pasa por A, B y C nos queda: 6x 2 1 6y 2 2 32x 2 25y 2 34 5 0

Aplica lo que sabes

y

Investiga las medidas reglamentarias y tolerancias permitidas para el trazo de los círculos en una cancha de hockey sobre hielo.

• C

•

B

0

x

• A

Figura 5.10

Otra forma de resolver el problema consiste en aplicar la propiedad de que las mediatrices de dos cuerdas de una circunferencia se intersecan en el centro de ésta.

Ejemplos 1. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (2, 22), B (21, 4) y C (4, 6).

La solución del sistema formado por estas dos ecuaciones es

Solución: La ecuación de la circunferencia en su forma general es: x 2 1 y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0. Como los puntos A, B y C pertenecen a la circunferencia, deben satisfacer su ecuación, es decir: A (2, 22) B (21, 4)

Las mediatrices de AB y BC son: 2x 2 4y 5 23,  10x 1 4y 5 35

22 1 (22)2 1 2D 2 2E 1 F 5 0 2

8 25 x 5 , y 5 . Éstas son las coordenadas del centro. El radio es la 3 12

distancia desde el centro a cualquiera de los tres puntos dados. Por tanto, la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es: 2 2 25  2 465 8    x 2  1 y 2  5 3 12 144

2

(21) 1 4 2 D 1 4E 1 F 5 0 42 1 62 1 4D 1 6E 1 F 5 0

C (4, 6)

Al efectuar operaciones y simplificando se logra el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 2D 2 2E 1 F 5 28 2D 1 4E 1 F 5 217 4D 1 6E 1 F 5 252 La solución del sistema es D 5

216 225 217 . , E5 y F5 3 6 3

2. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P (23, 3) y Q (1, 4), y su centro está en la recta 3x 2 2y 2 23 5 0. Solución: La mediatriz de PQ interseca la recta dada en un punto que es el centro de la circunferencia. La pendiente de PQ es: El punto medio de PQ es:

Al sustituir estos valores en la forma general, se tiene lo siguiente:

x 2 1 y2 2

110

16 25 17 x 2 y 2 50 3 6 3

m5

4 23 1 5 12(23) 4

7  2311 31 4   M , , M  21,     2 2  2

La mediatriz de PQ es:

7   y 2  524( x 11) 2

Es decir:

2y 2 7 5 2 8 x 2 8



Grupo Editorial Patria®

Para tu reflexión O bien:

8x 1 2y 5 21 Investiga por qué cuando se lanza una piedra a un estanque se forman círculos concéntricos a partir del punto donde cae la piedra.

La mediatriz y la recta dada forman el siguiente sistema: 8x 1 2y 5 21 3x 2 2y 5 23

17 . Por tanto, las coordenadas del 2

La solución es x 5 2, y 5 2 centro son C  2 ,2



17  . 2

El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos dados:

 17  r5 (221)2 1 2 24   2  r5 11

2

625 4

5.7  Ecuación general de la circunferencia

629 1 5 629 4 2

r5

Entonces la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria es: 2

 17  629 ( x 22) 1 y 1  5  2 4 2

Segunda forma de la ecuación de una circunferencia. Si la ecuación: (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 5 r 2

y

• •

Se desarrolla y se ordenan sus términos, se puede escribir así:

Q

P

0

3x

–2

y–

23

=0

x

•

Conversión de forma ordinaria a forma general

x2 2 2hr 1 h2 1 y2 2 2ky 1 k2 5 r2 De donde: x2 1 y2 2 2hx 2 2ky 1 h2 1 k2 2 r2 5 0 La cual, a su vez, se puede expresar de la siguiente forma: x2 1 y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 En la que: D 5 22h, E 5 22k y F 5 h2 1 k2 2 r2 A esta última expresión se le conoce como la ecuación general de la circunferencia.

Conversión de forma general a forma ordinaria Figura 5.11

Aplicaciones prácticas Círculo y circunferencia son conceptos que se utilizan en arquitectura, la industria, ingeniería, etcétera.

Para determinar el radio de la circunferencia a partir de la ecuación general procedemos de manera inversa completando trinomios cuadrados perfectos, es decir: x2 1 y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 111

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Se expresa: (x2 1 Dx) 1 (y2 1 Ey) 5 2F Sumando a los dos miembros de la igualdad el cuadrado de la mitad de los coeficientes D y E se obtiene:

Ejemplo 1. Expresa la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 en la forma ordinaria. Si representa una circunferencia halla su centro y su radio.

 2 D2   2 E2  D2 E2 x Dx y Ey 1 1 1 1 1 5 1 2F  4   4  4 4

Otro procedimiento a seguir para hallar la solución es el siguiente: Como la ecuación x 2 1 y 2 2 8x 1 9y 2 74 5 0 está expresada en la forma general x 2 1 y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0, sabemos que las

Al factorizar en el primer miembro y sumar en el segundo, se transforma en:

9 2D 2E  coordenadas del centro son C  , por tanto, C  4 ,2  ; ,    2 2  2 además:

2 2 2 2 D  E  D 1 E 24 F   x 1  1 y 1  5 2 2 4

Para que esta expresión corresponda a la ecuación de una circunferencia se requiere que: r2 5 O bien:

D 2 1 E 2 24 F 4

1 r 5 D 2 1 E 2 24 F 2

Con lo cual se presentan tres casos posibles para D2 1 E 2 2 4F:



r5

1 D 2 1 E 2 24 F 2

r5

1 64 1812 4(274) 2

r5

1 441 2

r5

21 2

Es decir:





a) Si D2 1 E2 2 4F . 0 la ecuación corresponde a una circunfe1  D E rencia de centro  2 ,2  y radio r 5 D 2 1 E 2 2 4 F .  2 2 2 b) Si D2 1 E 2 2 4F 5 0 se dice que la ecuación representa a una circunferencia de radio cero, donde las coordenadas D E del centro corresponden al punto  2 ,2  .  2 2 c) Si D2 1 E 2 2 4F , 0 se dice que la ecuación corresponde a una circunferencia imaginaria y, por tanto, no tiene representación real. En lo sucesivo diremos que x 2 1 y 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 representa a una circunferencia de radio diferente de cero sólo cuando D2 1 D E E 2 2 4F . 0, donde las coordenadas del centro son:  2 ,2   2 2 1 y r 5 D 2 1 E 2 24 F . 2 Como es de esperarse, los resultados son los mismos. Sin embargo, lo recomendable es proceder completando cuadrados tal como se hizo primero. Observación: Cuando la ecuación de una circunferencia está expresada en su forma general, los dos términos de segundo grado tienen coeficientes iguales, es decir, del mismo valor absoluto y del mismo signo. 112

Actividad de aprendizaje Si en la ecuación general de una circunferencia no aparece el término lineal en x, ¿qué se puede deducir?

   

Si en la ecuación general de una circunferencia no aparece el término lineal en y, ¿qué se puede deducir?





Grupo Editorial Patria®

Aplicación de las TICs 1.  Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos indicados: A(5, 3), B(2, 0), C(22, 4). 2.  Determina las siguientes propiedades de la circunferencia: radio, centro, área. 3.  Usa la plataforma WolframAlpha y verifica los dos resultados anteriores. Tip: puedes emplear la siguiente sintaxis en la plataforma “circle A(x, y), B(x, y), C(x, y)”. 4.  Expresa la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y en su forma general. Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Aplica los elementos y las ecuaciones de una circunferencia. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de aplicar los elementos y las ecuaciones de una circunferencia, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Conoce la definición de circunferencia como lugar geométrico. Reconoce e identifica las rectas y segmentos de la circunferencia. Obtiene la ecuación de la circunferencia con centro en el origen. Obtiene la ecuación canónica de la circunferencia. Determina el radio y el centro de la circunferencia a partir de la ecuación. Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en (h, k). Comprende la influencia de los parámetros h, k y r de la ecuación de la circunferencia en el comportamiento gráfico de la misma. Obtiene la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos Obtiene la ecuación general de la circunferencia y puede convertirla a la forma ordinaria y viceversa. Comentarios generales:

113

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia



Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Identifico y distingo los diferentes tipos de rectas y segmentos asociados a la circunferencia. Reconozco los diferentes tipos de ecuaciones de la circunferencia y las transformo de una forma a otra. Aplico los elementos y las ecuaciones de la circunferencia en la solución problemas y ejercicios de la vida cotidiana. Observaciones generales:

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente Compañeros de equipo

Criterios de evaluación

1

2

3

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 115 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 5 y entrégala a tu profesor.

114

4

5





Grupo Editorial Patria®

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 5. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1.  Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto (7, 4).         2.  Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por el punto (3, 25).  

6.  Halla la ecuación de la circunferencia que cumple con la condición de que su centro está en (22, 3) y es tangente a la recta 7x 1 11y 2 5 5 0.         7.  Expresa la ecuación 2x 2 1 2y 2 1 10x 1 6y 2 111 5 0 en la forma ordinaria.  

 

 

 

 

 

 

3.  Obtén la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en 3 el origen y su radio es . 2         4.  Halla las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia x 2 1 y 2 5 18.

8.  Obtén la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5, 12), (13, 0), (212, 5), sustituyendo las coordenadas de éstos en la ecuación general.         9.  Encuentra la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta 3x 2 4y 1 10 5 0 en el punto (2, 4) y su centro está en la recta 2x 2 5y 2 10 5 0.  

 

 

 

 

 

 

  5.  Encuentra las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia x 2 1 y 2 5 20.

10.  Halla la ecuación de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia x 2 1 y 2 2 10x 1 4y 2 20 5 0 y tangente a la recta x 1 2y 1 9 5 0.  

 

 

 

 

 

 

  115

  5 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la cantidad de material que se debe quitar para colocar un extractor de aire, que se encuentra en Aplica lo que sabes de la página 102. Nombre del alumno:

  Criterio

Presentación

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

116

11. Comprende el problema y lo puede plantear. 12. Calcula la longitud de la circunferencia. 13. Determina el área que se debe recortar del techo. 14. Representa en un bosquejo las condiciones del problema. 15. A partir de los datos obtiene la longitud de la circunferencia. 16. Obtiene la cantidad de materia que se debe recortar, a partir del área del círculo.

cumple sí

no

Observaciones



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes sobre los contenidos programáticos del bloque 5; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo bajo aspectos que se considera son los más adecuados: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Ecuación de una circunferencia con centro en el origen

Identifica los elementos asociados a una circunferencia. Obtiene la ecuación de una circunferencia con centro en el origen conocido su radio. Obtiene el centro y el radio de una ecuación de la forma x 2 1 y 2 5 r 2.

Identifica los elementos asociados a una circunferencia. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una circunferencia con centro en el origen conocido su radio. En la mayoría de los casos, obtiene el centro y el radio de una ecuación de la forma x 2 1 y 2 5 r 2.

Identifica los elementos asociados a una circunferencia. En algunos casos, obtiene la ecuación de una circunferencia con centro en el origen conocido su radio. En algunos casos, obtiene el centro y el radio de una ecuación de la forma x 2 1 y 2 5 r 2.

No identifica los elementos asociados a una circunferencia. No obtiene la ecuación de una circunferencia con centro en el origen conocido su radio. No obtiene el centro y el radio de una ecuación de la forma x 2 1 y 2 5 r 2.

Ecuación de una circunferencia con centro fuera del origen

Obtiene la ecuación de una circunferencia a partir del centro y el radio. Obtiene las coordenadas del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una circunferencia a partir del centro y el radio. En la mayoría de los casos, obtiene las coordenadas del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación.

En algunos casos, obtiene la ecuación de una circunferencia a partir del centro y el radio. En algunos casos, obtiene las coordenadas del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación.

No obtiene la ecuación de una circunferencia a partir del centro y el radio. No obtiene las coordenadas del centro y del radio de una circunferencia a partir de su ecuación.

Forma general de la ecuación de una circunferencia

Convierte una ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una circunferencia de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

  Aspecto a evaluar

Criterios

Comentarios Generales

117

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola Tiempo asignado: 12 horas

            6

B LO Q U E Objetos de aprendizaje

6.1  La parábola

6.2 Elementos asociados con la parábola 6.3 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen 6.4 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen 6.5 Ecuación general de la parábola

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráficas. n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. n Diseña y aplica modelos para probar su validez.

n Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para

procesar e interpretar información. n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. n Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de

conocimientos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que tiene su foco en (4, 0).

2. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y su directriz es x 5 28.

3. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, la longitud del lado recto es 12 y abre hacia abajo.

4. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y los extremos del lado recto son los puntos (23, 6) y (23, 26).

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Desempeños por alcanzar Identifica los elementos asociados con la parábola. Reconoce la ecuación ordinaria y general de la parábola. Aplica los elementos y ecuaciones de la parábola en la solución de problemas y/o ejercicios relacionados con su entorno.

  6 BLOQUE



  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Situación didáctica

Un cable de un puente colgante está suspendido en forma parabólica, las torres de soporte de los cables se encuentran separadas 180 metros una de la otra. El cable pasa por las torres de soporte a 33 metros sobre el nivel de la plataforma, el punto más bajo del



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo utilice dibujos en los que se representen las condiciones del problema. Que cada equipo elabore un cuadro en el que se especifiquen las longitudes de las barras tensoras que corresponden a cada intervalo. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? 2. ¿Cuál es la expresión algebraica de la parábola, con vértice en el origen, que se puede aplicar para resolver el problema? 3. ¿Cómo se puede determinar el valor de la longitud de la distancia focal? 4. ¿Cómo se puede especificar el valor de la longitud del lado recto de la parábola? 5. ¿Cómo se puede determinar la longitud de las barras suspensoras del cable al puente?

¿Cómo lo resolverías? cable está a 3 metros de la misma. Halla las longitudes de las barras suspensoras (del cable al suelo) a intervalos de 15 metros del centro del puente hasta una torre de soporte.

¿Qué tienes que hacer? Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsable de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar las medidas de los cables suspensores del puente. Presentar un dibujo en el que se ilustre el puente, el cable y los cables suspensores.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para la determinación de las medidas que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, los libros consultados, etc. La descripción del 120

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello da un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.





Grupo Editorial Patria®

Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

Una antena de televisión por satélite tiene la forma de un paraboloide de 12 pies de diámetro y profundidad de 2 pies. ¿Cuál es la distancia del centro del disco al foco?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar:

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? 2. ¿Cuál es la expresión algebraica de la parábola, con vértice en el origen, que se puede aplicar para resolver el problema? 3. ¿Cómo se puede determinar el valor de la longitud de la distancia focal?

Evaluación por producto

Trabajo individual

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presentar la medida de la distancia focal. Presentar un dibujo en el que se ilustre la antena, el foco y la distancia del centro del disco al foco.

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la distancia focal que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes. 121

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universo. Galileo Galilei

Ejercicio XVII 1. Para cada una las siguientes parábolas con vértice en el origen, halla las coordenadas del foco, las coordenadas de los extremos del lado recto y la ecuación de la directriz. Traza la curva. a) y2 5 4x b) y2 5 212x c) y2 5 x d) y2 5 216x e) x2 5 210y 2

f ) 5y 5 2x g) y2 5 2x h) x2 5 12y i) y2 1 3x 5 0 j) x2 28y 5 0 2. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisface la condición dada. a) Foco en (4, 0).

Introducción En este bloque, continúa con el estudio de la parábola con vértice fuera del origen y se identifican las ecuaciones de párabolas verticales u horizontales, tanto en su forma ordinaria como general con sus respectvos elementos.

6.1  La parábola Una parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija. El punto fijo es el foco de la parábola y la recta fija es la directriz.

b) Foco en (23, 0). D1

c) Directriz x 2 6 5 0.

C1

d) Directriz y 1 4 5 0.

E1

B1

e) La longitud del lado recto es 12 y abre hacia abajo. P

f ) Se abre hacia la izquierda y pasa por (21, 21). g) Se abre hacia la derecha y la longitud del lado recto es 12.

A

h) Los extremos del lado recto son los puntos (23, 6) y (23, 26).

r

F

V C2

i) El lado recto es igual a 8 y su eje está sobre el eje y (dos soluciones).

E2 D2

j) Su eje está sobre el eje x y pasa por el punto (3, 2).

B2

Figura 6.1

6.2  Elementos asociados con la parábola Sea F el foco y D1D2 la directriz. La recta r que pasa por F y es perpendicular a la directriz, se llama eje de la parábola. El punto A es la intersección del eje y la directriz. El punto V, llamado vértice, 122



Grupo Editorial Patria®

es la intersección de la parábola con el eje y por definición es equidistante del foco y la directriz, dicho en otras palabras, V es el punto medio entre A y F. El segmento de recta B1B2 o cualquier otro que une dos puntos de la parábola es nombrado cuerda, en particular, una cuerda que pasa por F como C1C2 se llamará cuerda focal. La cuerda focal E1E2 es perpendicular al eje y recibe el nombre de lado recto (latus rectum). El segmento de recta que une a un punto P de la parábola con el foco F se llama radio focal de P o radio vector. La recta que pasa por el vértice y el foco es mediatriz de la cuerda E1 E2 y de cualquier otra cuerda trazada en forma similar y por ello se llama eje de la parábola.

Actividad de aprendizaje En una parábola a qué se llama: Vértice 

Con centro en F y radio EA se trazan arcos que corten a la recta l en los puntos P1 y P2 los cuales pertenecen a la parábola pues: FP1 5 EA 5 D1P1 y FP2 5 EA 5 D2P2 O sea que P1 y P2 están a la misma distancia del foco F y de la directriz d. Por el mismo procedimiento, cambiando la posición de A y, por tanto, trazando varias rectas paralelas a d, se puede obtener más puntos de la parábola, los cuales se unen con trazo continuo para construir la curva deseada.

6.3  Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen La ecuación canónica de una parábola se obtiene cuando su eje coincide con uno de los ejes coordenados y su vértice está en el origen:

Directriz  Lado recto

Formas de trazo a partir de la definición Construcción geométrica de una parábola por el método de puntos Una parábola puede construirse con regla y compás cuando se conocen el foco y la directriz. d

D2

Si la distancia entre la directriz y el foco la designamos por 2a, entonces las coordenadas del foco son (a, 0) y las del punto A son (2a, 0), ver figura 6.3. Cualquier punto P (x, y) de la parábola está a la misma distancia del foco y de la directriz, esta condición geométrica se establece de la siguiente manera: y

l

V

F

•

•

P1

D1

E

Sea el eje x la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, es decir, el eje de la parábola.

P

B

–a A

A

0

F

a

x

P2

Figura 6.2

Sean d la directriz y F el foco de la parábola: Se traza el eje de la parábola o sea EF que contiene a F y es perpendicular a la directriz d. El vértice V de la parábola es el punto medio del segmento EF. Sobre el eje de la parábola, del mismo lado de F respecto de V, se marca un punto cualquiera A y por él se traza la recta l paralela a la directriz d.

Figura 6.3

FP 5 PB

Y como: FP 5 ( x 2a)2 1 y 2 y PB 5 x 1a

Entonces: ( x 2a)2 1 y 2 5 x 1a 123

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, se obtiene: x2 2 2ax 1 a2 1 y2 5 x2 1 2ax 1 a2

confirmaron la concepción teórica de Newton en relación con la mecánica celeste.

y2 5 4ax

Encontró un desplazamiento muy grande en la estrella Gamma Draconia. Descubrió que el cambio aparente en la posición de la estrella se debía a la aberración de la luz que consiste en el resultado de la velocidad de la luz y del movimiento de la Tierra en su órbita.

De donde: Ésta es la ecuación de una parábola cuyo vértice está en el origen y su foco se encuentra en (a, 0). Si como se ilustra en la figura 6.3, a . 0, entonces x puede tomar cualquier valor real no negativo, por lo que se dice que la curva abre hacia la derecha. La ecuación de la directriz es x 5 2a. Las coordenadas de los extremos del lado recto de la parábola se pueden determinar sustituyendo a por x en la ecuación y2 5 4ax, quedando:

Determinó la relación entre la velocidad de rotación de la Tierra alrededor del Sol y la velocidad de la luz. Descubrió que el eje de la Tierra se desplaza periódicamente debido a los cambios de dirección de la atracción gravitatoria de la Luna al desplazarse en su órbita. A éste movimiento del eje de la Tierra se le llama nutación.

y2 5 4aa Por lo que:

y2 5 4a2

De donde:

y 56 4 a

Es decir:

y 5 ±2a

2

Por tanto, los extremos del lado recto tienen como coordenadas (a, 2a) y (a, 22a). De donde se deduce que la longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4a.

Ecuación de parábolas horizontales y verticales con vértice en el origen Conociendo el vértice y los extremos del lado recto es posible trazar un bosquejo aproximado de la parábola.

y

Aplica lo que sabes

(a, –2a)

La señal de televisión llega al foco de una antena parabólica que mide 5 m de diámetro y 1.5 m de profundidad. Halla la ubicación del foco.

F(a, 0)

E xistencia de una parábola específica conocidos: Su vértice, foco y directriz Por definición todos los puntos de una parábola equidistan de un punto fijo y de una recta fija, de tal manera que cuando se conocen su vértice, su foco y su directriz, la parábola queda determinada.

Para tu reflexión

James Bradley (1693-1762) Nació en el seno de una familia de astrónomos, desde muy joven demostró su habilidad para las matemáticas. Fue catedrático de astronomía en la Universidad de Oxford. Descubrió la aberración de la luz y la nutación, importantes fenómenos que

124

0

x

(a, 2a)

Figura 6.4

Si como se ilustra en la figura anterior, a , 0, entonces x puede tomar cualquier valor real no positivo y se dice que la curva abre hacia la izquierda. La ecuación de la directriz es x 5 2a. Ahora bien, si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje y, se puede demostrar que la ecuación de la parábola es: x2 5 4ay Y que abre hacia arriba si a . 0, o bien, que abre hacia abajo si a , 0; esto se ilustra en las figuras 6.5 y 6.6. En ambos casos la ecuación de la directriz es y 5 2a.



Grupo Editorial Patria®

Observa que la variable que aparece en el término de primer grado de la ecuación nos indica el eje de la parábola.

y

Aplica lo que sabes Investiga por qué la superficie de los faros de los automóviles tiene la forma de un paraboloide.

F(0, a)

(–2a, a)

Investiga por qué cuando un puente está suspendido por un cable, éste tiene la forma de una parábola.

(2a, a) x

0

Actividad de aprendizaje Cuando una parábola tiene su vértice en el origen, por inspección de su ecuación:

Figura 6.5

¿Cómo sabemos si es vertical u horizontal?

y

  ¿Cómo sabemos si abre hacia arriba (abajo)?

 

0 (2a, a)

F(a, 0)

x (–2a, a)

¿Cómo sabemos si abre hacia la derecha (izquierda)?

 

Ejemplo Figura 6.6

De lo anterior podemos concluir que la ecuación de una parábola con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, se expresa de la siguiente manera:

1. La ecuación de una parábola es x 2 5 26y. Obtén las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del lado recto. Traza la gráfica. Solución:

y2 5 4ax

La variable del término de primer grado nos indica que el eje de la parábola está en el eje y y el signo negativo significa que a es negativa. Por tanto, el foco está en el rayo negativo del eje y y la parábola abre hacia abajo.

Donde el foco es el punto (a, 0) y la ecuación de la directriz es x 5 2a. La parábola abre hacia la derecha si a . 0 y abre hacia la izquierda si a , 0. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje y, se expresa como: 2

x 5 4ay Donde el foco es el punto (0, a) y la ecuación de la directriz es y 5 2a. La parábola abre hacia arriba si a . 0 y abre hacia abajo si a , 0.

La ecuación es de la forma siguiente: 2 x  5 4ay

O sea que: 4a 5 26 De donde:

a5

26 4 125

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

O bien:

Solución:

23 a5 2

Por las coordenadas del foco se sabe que la parábola tiene su eje en el eje y y abre hacia arriba, de manera que su ecuación es de la forma:

23  Entonces las coordenadas del foco (0, a) son  0 , . La ecuación de la directriz es: y 5 2a.



2 

x 2 5 4ay La distancia del vértice al foco es 3, por tanto a 5 3. Sustituyendo el valor de a en la ecuación se obtiene:

Por lo que:

x 2 5 4(3)y

 3 y52 2   2

x 2 5 12y

De donde:

y5

Las coordenadas del foco son (0, a), es decir, (0, 3) y la ecuación de la directriz es:

3 2

y 5 2a

Que también se puede expresar así: O sea:

2y 2 3 5 0 La longitud del lado recto |4a| 5 |26| 5 6. El lado recto se extiende 3 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia la derecha del foco. La gráfica de la parábola es:

y 5 23 La longitud de lado recto es: |4a | 5 |12| 5 12. El lado recto se extiende 6 unidades a la izquierda y 6 a la derecha del foco.

y

La gráfica es la siguiente: y (–6, 3)

0

[ ] 3 –3, – – 2

[ ] [ ]

3 F 0, – – 2

x

(6, 3)

F(0, 3)

0

3 3, – – 2

x y = –3

Figura 6.8 Figura 6.7

Obtención de los elementos a partir de la ecuación Ejemplos 1. Obtén la ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco en (0, 3). Halla la ecuación de su directriz y la longitud del lado recto. Traza su gráfica.

126

2. Una parábola con vértice en el origen y eje en el eje x pasa por el punto (23, 6). Halla la ecuación de la parábola, las coordenadas de su foco, la ecuación de su directriz y la longitud de su lado recto. Traza su gráfica. Solución: La parábola tiene su eje en el eje x, por tanto, su ecuación es de la forma: y 2 5 4ax La parábola pasa por el punto (23, 6), entonces las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación, o sea:



Grupo Editorial Patria®

62 5 4a (23) De donde:

36 5 212a

Por tanto:

23 5 a

Y la ecuación de la parábola es:

y 2 5 4 (23)x

Es decir:

y 2 5 212x

y

(–3, 6)

x=–

Como la parábola tiene su eje en el eje x, las coordenadas del foco son (a, 0), es decir, (23, 0). La ecuación de la directriz es: x 5 2a

F(–3, 0)

O sea: x 5 2 (23) x 5 3

0

x

La longitud del lado recto es |4a | 5 |212| 5 12. El lado recto se extiende 6 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia abajo del foco. La gráfica de la parábola es:

(–3, –6)

Como se puede observar, las coordenadas del punto dado corresponden al extremo superior del lado recto de la parábola. Figura 6.9



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

Un cable de carga se encuentra suspendido en forma de parábola. Los extremos tienen una separación de 120 metros y la altura desde el centro es de 30 metros. ¿Cuál es la altura del cable desde el centro a uno de sus extremos a intervalos de 15 metros?

127

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? 2. ¿Cuál es la expresión algebraica de la parábola, con vértice fuera del origen, que se puede aplicar para resolver el problema? 3. ¿Cómo se puede determinar el valor de la longitud de la distancia focal? 4. ¿Cómo se puede especificar el valor de la longitud del lado recto de la parábola? 5. ¿Cómo se puede determinar la altura del cable desde el centro a uno de los extremos a intervalos de 15 metros?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje

Evaluación por producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar las medidas de las alturas del cable a intervalos de 15 metros desde el centro a uno de los extremos. Presentar un dibujo en el que se ilustre el cable y las alturas.

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar las alturas que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del proce-



Situación didáctica

dimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

El espejo de un reflector tiene una forma paraboloide con un diámetro de un metro y una profundidad de 10 centímetros. ¿A qué distancia del centro del espejo se concentra la luz?

128



Grupo Editorial Patria®

Propuestas de diseño para situaciones didácticas

f ) x2 2 12x 2 10y 1 36 5 0 g) y2 1 16x 1 8y 1 16 5 0 h) x2 2 12x 1 16y 2 60 5 0

Ejercicio XVIII 1. Con base en la definición de parábola, halla la ecuación de la parábola cuyo foco y directriz son: a) (3, 4); eje x

i) x2 2 8x 1 16y 5 0 j) 3y2 1 16x 2 96 5 0 4. Halla la ecuación de cada parábola.

b) (26, 2); eje y

a) Eje horizontal y pasa por los puntos (1, 1), (1, 23) y (22, 0).

c) (25, 3); x 11 5 0

b) Eje vertical y pasa por (4, 5), (24, 21) y (22, 11).

d) (3, 24); y 12 5 0

c) Eje vertical y pasa por (0, 0), (3, 0) y (21, 4).

e) (22, 0); x 2 4 5 0

d) Eje horizontal y pasa por (21, 1), (3, 4) y (2, 22).

2. Expresa en la forma estándar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:

e) Eje horizontal y pasa por los puntos (0, 4), (0, 21) y (6, 1). f ) Eje horizontal y pasa por (0, 0), (8, 24) y (3, 1).

a) Vértice (2, 0), foco (2, 2).

g) Eje vertical y pasa por (1, 3), (22, 15) y (3, 5).

b) Vértice (23, 1), foco (1, 1).

h) Eje vertical y pasa por los puntos (21, 0), (5, 0) y (1, 8).

c) Vértice (5, 22), foco (22, 22).

i ) Eje horizontal y pasa por (6, 2), (26, 22) y (22, 0).

d) Vértice (2, 3), foco (5, 3).

j ) Eje vertical y pasa por los puntos (1, 25), (22, 6) y (2, 22).

e) Vértice (2, 3), foco (6, 3). f ) Los extremos del lado recto son (3, 1) y (3, 5) y abre hacia la derecha.

5. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que satisface la condición que se indica:

g) Vértice (21, 22) el lado recto es igual a 12 y abre hacia abajo.  11  11 22, , yy 88, , h) Vértice (3, 22) y los extremos del lado recto son 22  33  22  11  11 22, , yyy88, ,  . 22 33  22

a) foco en (0, 4) b) foco en (5, 0), directriz x 5 25 c) foco en (24, 0) d) foco en (26, 0)

i) Extremos del lado recto en (22, 27) y (6, 27) y abre hacia arriba.

e) directriz x 2 7 5 0

j) Extremos del lado recto en (3, 1) y (3, 5) y abre hacia la derecha.

g) directriz y 2 2 5 0

3. Expresa en la forma estándar cada parábola. Halla las coordenadas del vértice, del foco y de los extremos del lado recto.

f) l. r. 5 8 y eje coincidente con el eje X h) los extremos del lado recto están en (2, 5) y (2, 25) i) l. r. 5 16 y se abre hacia arriba

a) y2 2 8x 1 8 5 0

j) foco en (0, 3)

b) y2 1 12x 2 48 5 0

k) pasa por (4, 23) y su eje es coincidente con el eje Y

c) y2 1 12x 2 6y 1 45 5 0

l) los extremos del lado recto son (22, 25) y (22, 5)

d) x2 1 10x 1 20y 1 25 5 0 e) x2 2 8x 1 6y 2 8 5 0

129

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

La mayoría de las ideas fundamentales de la ciencia son esencialmente sencillas y por regla general pueden ser expresadas en un lenguaje comprensible para todos.

Puedes observar, tanto en la ecuación como en la figura, que cuando a . 0, el factor (x 2 h) del segundo miembro debe ser mayor que, o igual a cero. Entonces, la parábola abre hacia la derecha.

Albert Einstein

Cuando α , 0 el factor (x 2 h) debe ser menor que, o igual a, cero. Entonces, la parábola abre hacia la izquierda.

6.4  Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen

La longitud del lado recto es igual a |4a|, de manera que sus extremos se pueden localizar en la forma ya conocida.

Parábola con vértice en (h, k ) y eje paralelo a un eje coordenado

Elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación ordinaria

Consideremos una parábola cuyo eje sea paralelo a un eje coordenado, pero que no coincide con éste.

Las dos últimas ecuaciones anteriores están expresadas en la forma estándar, también conocida como la segunda ecuación ordinaria de la parábola.

Una discusión semejante se puede llevar a cabo para la parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje y, y así obtener la ecuación: (x 2 h)2 5 4a( y 2 k)

En la figura 6.10 el vértice está en (h, k) y el foco en (h 1 a, k). Si trasladamos los ejes coordenados de manera que el nuevo origen O9 coincida con el vértice (h, k), entonces la distancia del vértice al foco es a y la ecuación de la parábola respecto de los nuevos ejes x9, y9 es: ( y9)2 5 4ax9.

En ambos casos |a| es la distancia entre el vértice y el foco. Estos resultados se resumen en lo siguiente: La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje x es:

Las ecuaciones de transformación para una traslación del eje son:

( y 2 k)2 5 4a (x 2 h)

x 5 x9 1 h, y 5 y9 1 k

Si a . 0 la parábola abre hacia la derecha y si a , 0 la parábola abre hacia la izquierda.

De donde: x9 5 x 2 h, y9 5 y 2 k

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje y es:

Si se sustituyen los valores de x9 y y9 en la ecuación de la parábola se obtiene:

(x 2 h)2 5 4a ( y 2 k)

( y 2 k)2 5 4a (x 2 h)

La parábola abre hacia arriba si a . 0 y abre hacia abajo si a , 0. Actividad de aprendizaje

y

y´ Al observar la ecuación ordinaria de una parábola, ¿cómo podemos saber que la curva abre hacia arriba o hacia abajo?

  (h, k) 0´ k 0

h

•

F (h + a, k)

  x´ x

¿Cómo podemos saber que la curva abre hacia la derecha o hacia la izquierda?

   

Figura 6.10

130





Grupo Editorial Patria®

Aplica lo que sabes

Para tu reflexión

Investiga:

Pierre de Fermat (1601-1665)

¿Qué es la energía cinética?

Sus trabajos constituyen un gran aporte a las matemáticas a pesar de no haberse dedicado profesionalmente a su estudio.

¿Cuál es la expresión matemática para calcular la energía cinética de un objeto? ¿Cómo es la gráfica de la energía cinética en función de la velocidad de un objeto?

Influencia de los parámetros h, k y p de la ecuación ordinaria de la parábola en el comportamiento gráfico de la misma De acuerdo con lo establecido en la segunda ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen se puede expresar así: La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje x es: ( y 2 k)2 5 4a (x 2 h) La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje y es: (x 2 h)2 5 4a ( y 2 k) Si sustituimos la letra a por p las ecuaciones nos quedan en la forma: ( y 2 k)2 5 4p (x 2 h) y

(x 2 h)2 5 4p ( y 2 k)

Respectivamente. En ( y 2 k)2 5 4p (x 2 h)

Llegó al descubrimiento de la geometría analítica en tres dimensiones, al mismo tiempo que Descartes, quien utilizó dos dimensiones. Definió la teoría de probabilidades. Se le conoce como el fundador de la teoría de los números a la que llegó a partir del análisis de los números enteros. Utilizó el método inductivo para realizar algunas contribuciones al álgebra, al análisis, a la geometría analítica y al cálculo. Descubrió también un método para determinar máximos y mínimos que corresponden a lo que en los términos actuales consiste en encontrar los puntos en que la derivada de una función se hace cero. Newton afirmó haberse basado en el método de Fermat para encontrar la tangente a una curva.

6.5  Ecuación general de la parábola Las ecuaciones de la parábola en su forma estándar tienen una variable cuadrática y una variable lineal. Esto se puede observar más fácilmente si efectuamos las operaciones indicadas y trasponemos términos como se muestra a continuación:

Si p . 0 la parábola abre hacia la derecha y si p , 0 la parábola abre hacia la izquierda.

Formas ordinaria y general de la parábola

En (x 2 h)2 5 4p ( y 2 k).

Conversión de la forma ordinaria a la forma general

La parábola abre hacia arriba si p . 0 y abre hacia abajo si p , 0.

Una vez efectuadas las operaciones indicadas en la ecuación:

Traza las gráficas de las ecuaciones siguientes y observa lo que ocurre con las parábolas cuando el valor de p disminuye o aumenta. (x 2 2)2 5 16 (y 2 3)

(y 2 k)2 5 4a (x 2 h) De donde: y2 2 2ky 1 k2 5 4ax 2 4ah

2

(x 2 2) 5 8 (y 2 3)

y2 2 4ax 1 2ky 1k2 1 4ah 5 0

2

(x 2 2) 5 4 (y 2 3) (x 2 2)2 5 0.25 (y 2 3)

La cual se puede expresar de manera general, es decir: y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Donde: D 5 24a, E 5 22k y F 5 k2 1 4ah 131

  6 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Conversión de la forma general a la forma ordinaria El procedimiento se puede invertir transformando la forma general en la forma estándar siempre y cuando D ≠ 0. Si D 5 0 la ecuación se transforma en: y2 1 Ey 1 F 5 0 Que corresponde a una ecuación de segundo grado con una sola variable y representa: • Dos rectas diferentes, paralelas al eje x, si sus raíces son reales y desiguales; • Dos rectas coincidentes paralelas al eje x si sus raíces son reales e iguales, o bien, • Ningún lugar geométrico si sus raíces son complejas. De manera semejante y a partir de la ecuación: (x 2 h)2 5 4a (y 2 k) Se obtiene: x2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

trazo de la parábola se facilita si primero reducimos la ecuación a la forma estándar. Trasponiendo términos, la ecuación nos queda de la siguiente manera: y 2 2 6y 5 28x 2 25. Completando el cuadrado y sumando la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación se obtiene: y 2 2 6y 1 9 5 28x 2 25 1 9 De donde: y 2 2 6y 1 9 5 28x 2 16 Al factorizar: (y 2 3)2 5 28(x 1 2) El vértice está en (22, 3) como 4a 5 28, a 5 22, por tanto, el foco se encuentra dos unidades a la izquierda del vértice. Las coordenadas del foco son (24, 3). El lado recto mide |4a| 5 |28| 5 8, o sea que el lado recto se extiende 4 unidades hacia arriba y 4 unidades hacia abajo del foco. La gráfica es la siguiente:

y

Esta ecuación se puede transformar en su correspondiente forma estándar siempre y cuando E ≠ 0. Si E 5 0 la ecuación queda: x2 1 Dx 1 F 5 0

(–4, 7)

(–4, 3)

La ecuación de la parábola, tanto en su forma estándar como en su forma general, contiene tres constantes arbitrarias independientes o parámetros que son: h, k, a y D, E, F, respectivamente.

(–2, 3)

La cual da lugar a la expresión equivalente para y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 cuando D 5 0.

(–4, –1)

0

x

Actividad de aprendizaje Al observar la ecuación general de una parábola, ¿cómo podemos saber que la curva abre hacia arriba (o hacia abajo)? ¿Cómo podemos saber que la curva abre hacia la derecha (o hacia la izquierda)?

   

Figura 6.11

Obtención de la ecuación a partir de los elementos Ejemplos

Obtención de los elementos a partir de la ecuación Ejemplo 1. Traza la gráfica de la ecuación y 2 1 8x 2 6y 1 25 5 0. Solución: La ecuación representa una parábola porque y aparece en forma cuadrática y x en forma lineal, además el coeficiente E ? 0. El

132

1. Halla la ecuación de la parábola con vértice en (2, 3), eje paralelo al eje de las ordenadas y que pasa por el punto (4, 5). Solución: La parábola tiene su eje paralelo al eje de las ordenadas, por tanto, su ecuación es de la forma siguiente: (x 2 h)2 5 4a(y 2 k ). Las coordenadas del vértice y del punto por el que pasa la parábola deben satisfacer la ecuación, es decir: (4 2 2)2 5 4a (5 2 3). De donde: 22 5 4a (2) O sea: 4 5 8a



Grupo Editorial Patria®

Aplicaciones prácticas 1 5a 2

Es decir:

 1 2

Entonces la ecuación de la parábola es: ( x 22)2 5 4   ( y 23)   (x 2 2)2 5 2 (y 2 3)

O bien:

2. Halla la ecuación de la parábola que tiene su eje vertical y pasa por los puntos (21, 23), (1, 22) y (2, 1). Solución: Como la ecuación tiene un eje paralelo al eje y, su ecuación general debe ser cuadrática en x y lineal en y, es decir: x 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0.

La trayectoria descrita por un proyectil es aproximadamente una parábola. Si se hace girar una parábola alrededor de su eje, se genera una superficie que se llama paraboloide de revolución. Esta superficie tiene la propiedad de que la luz que emana del foco se refleja directamente en la dirección del eje e, inversamente, los rayos de la luz paralelos al eje se reflejarán dirigidos al foco. Este tipo de superficies se utilizan en reflectores, faros de automóvil y algunos telescopios. También se aplica en radares y equipos de microondas, ya que las ondas de radio se reflejan como la luz y se usan tanto para recibirlas como para enviarlas.

La parábola pasa por los puntos dados, por tanto, las coordenadas de ellos deben satisfacer la ecuación, o sea: (21, 23) (21)2 2 D 2 3D 1 F 5 0 (1, 22) 12 1 D 2 2E 1 F 5 0 (2, 1) 22 1 2D 1 E 1 F 5 0 Que forman el sistema: 2D 2 3E 1 F 5 21 D 2 2E 1 F 5 21 2D 1 E 1 F 5 24

3 26 La solución del sistema es: D 5 , E 5 , F 5 2 4. 5 5 Al sustituir esos valores en la ecuación, se obtiene:

3 6 x 2 1 x 2 y 2 4 50 5 5 Al multiplicar la ecuación por 5, la ecuación equivalente es: 5x 2 1 3x 2 6y 2 20 5 0

Aplica lo que sabes

En física, la energía cinética de un cuerpo de masa m que se mueve a 1 2 una velocidad v se expresa como: Ec 5 mv . 2 Si se dan valores a las variables para obtener la energía cinética correspondiente y se representan en el plano cartesiano, se obtiene una parábola. En la construcción de puentes se utilizan formas de arco, una de las cuales se llama arco parabólico.

Si en tu comunidad se requiere construir un depósito de agua de forma cilíndrica, ¿qué condición se debe cumplir entre su diámetro y su altura para que el volumen sea máximo?, ¿qué figura geométrica se obtiene al trazar la gráfica del volumen?

133

  6 BLOQUE



  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

Aplicación de las TICs 1.  Utiliza la plataforma WolframAlpha para investigar las propiedades de una parábola. 2. Utiliza un programa de dibujo para bosquejar el siguiente enunciado: “El arco de un puente tiene forma de parábola, la luz es de 10 metros y la altura máxima es de 2.5 metros”. 3.  Determina el modelo matemático de la parábola. 4.  Utiliza WolframAlpha para graficar dicho modelo. 5.  Encuentra la altura del arco a intervalos de 1.25 metros, desde un extremo hasta el centro. Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Aplica los elementos y las ecuaciones de la parábola. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de aplicar los elementos y las ecuaciones de la parábola, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Conoce la definición de parábola como lugar geométrico. Reconoce e identifica los elementos asociados con la parábola. Obtiene la ecuación ordinaria de las parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. Obtiene la ecuación de una parábola a partir de su vértice, foco y directriz. Determina el vértice, el foco y la directriz de una parábola a partir de la ecuación. Determina la ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en (h, k). Encuentra los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación ordinaria. Comprende la influencia de los parámetros h, k y p de la ecuación ordinaria de la parábola en el comportamiento gráfico de la misma. Obtiene la ecuación general de la parábola y puede convertirla a la forma ordinaria y viceversa. Comentarios generales:

134

Cumple Sí

No

Comentarios



Grupo Editorial Patria®

Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Identifico los elementos asociados a la parábola. Reconozco la ecuación ordinaria y general de la parábola. Aplico los elementos y las ecuaciones de la parábola en la solución problemas y ejercicios relacionados con su entorno. Observaciones Generales

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

3

4

5

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 136 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 6 y entrégala a tu profesor.

135

  6 BLOQUE

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 6. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que tiene su foco en (23, 0).

6. Con base en la definición de parábola, halla la ecuación de la parábola cuyo foco está en (25, 3) y su directriz es x 1 1.

2. Halla la ecuación de la parábola con vértice en el origen, la longitud del lado recto es 12 y abre hacia arriba.

7. Determina en la forma estándar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas, extremos del lado recto en (22, 27) y (6, 27), y abre hacia arriba.

3. Encuentra la ecuación de la parábola con vértice en el origen, el lado recto es igual a 8 y su eje está sobre el eje y (dos soluciones).

8. Expresa en la forma estándar la parábola 3y 2 1 16x 2 96 5 0. Hallar las coordenadas del vértice, del foco y de los extremos del lado recto.

4. Dada la parábola y 2 5 8x, con vértice en el origen, encuentra las coordenadas del foco, las coordenadas de los extremos del lado recto y la ecuación de la directriz. Traza la curva.

9. Halla la ecuación de la parábola de eje horizontal que pasa por los puntos (6, 2), (26, 22) y (2 2, 0).

5. Dada la parábola x 2 1 10y 5 0 con vértice en el origen, halla las coordenadas del foco, las coordenadas de los extremos del lado recto y la ecuación de la directriz. Traza la curva. Rúbrica Nombre del alumno:

Excelente (4)

Bueno (3)

Regular (2)

Deficiente (1)

Ecuación de una parábola con vértice en el origen

Identifica los elementos asociados a una parábola. Obtiene la ecuación de una parábola con vértice en el origen. Obtiene los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una parábola. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una parábola con vértice en el origen. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una parábola. En algunos casos, obtiene la ecuación de una parábola con vértice en el origen. En algunos casos, obtiene los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una parábola. No obtiene la ecuación de una parábola con vértice en el origen. No obtiene los elementos de una parábola con vértice en el origen a partir de su ecuación.

Ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen

Obtiene la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen. Obtiene los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen. En algunos casos, obtiene los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación.

No obtiene la ecuación ordinaria de una parábola con vértice fuera del origen. No obtiene los elementos de una parábola con vértice fuera del origen a partir de su ecuación.

Forma general de la ecuación de una parábola

Convierte una ecuación de una parábola de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una parábola de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una parábola de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una parábola de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Criterios

  Aspecto a evaluar



  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola

136



Grupo Editorial Patria®

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre la energía cinética en Aplica lo que sabes que se encuentra en la página 131. Nombre del alumno:

  Criterio

cumple sí

no

Observaciones

Presentación

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente. 11. Investiga el concepto y definición de la energía cinética. 12. Investiga y obtiene la expresión matemática de la energía cinética. 13. Representa la gráfica de la energía cinética en función de la velocidad de un objeto. 14. Aplica el concepto y definición de energía cinética en la resolución de problemas. 15. Aplica la expresión matemática de la energía cinética para calcular alguno de sus elementos. 16. Representa la gráfica de la energía cinética en función de la velocidad de un objeto y calcula alguno de sus elementos.

137

Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse Tiempo asignado: 12 horas

7

B LO Q U E Objetos de aprendizaje 7.1 Elipse

7.2 Elementos asociados con la elipse 7.3 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes coordenados 7.4 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados 7.5 Ecuación general de la elipse

Competencias a desarrollar n Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,

matemáticas o gráficas. n Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva,

n

U tiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

n Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito

comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.

n Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

n Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de

conocimientos.

w

¿Qué sabes hacer ahora? Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas: 1.

Para la elipse

x 2 y2 1 51, halla las coordenadas de los focos, de los vértices, 25 9

la longitud del lado recto y la excentricidad. Traza la curva correspondiente.

n Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un

proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. n Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas

de manera reflexiva. n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y

habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

2.

Determina la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que satisface las condiciones siguientes: Vértice en (6, 0) y eje menor igual a 10.

3.

Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que tiene su vértice en (6, 0) y eje menor igual a 10.

Desempeños por alcanzar Identifica los elementos asociados con la elipse. Reconoce la ecuación ordinaria y general de la elipse. Aplica los elementos y las ecuaciones de la elipse, en la solución de problemas y/o ejercicios de su entorno.

7 BLOQUE



  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es de 297 millones 1 de kilómetros y la excentricidad es aproximadamente de . Halla las distancias de los extremos del eje mayor al Sol, que son la mayor y menor 62 distancia de la Tierra al Sol.



Secuencia didáctica

¿Qué tienes que hacer?

Formen equipos para resolver el problema.

Trabajo individual

Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuánto mide el semieje mayor de la elipse? 2.  ¿Qué elementos de la elipse están relacionados con su excentricidad? 3. A  partir de la longitud del semieje mayor y de la excentricidad, ¿cómo se puede determinar la distancia del centro de la elipse a cada uno de los focos? 4. ¿ Cuál es la relación pitagórica entre las longitudes de los semiejes mayor y menor, y la distancia del centro de la elipse a uno de los focos? 5. ¿ Cómo se pueden hallar las distancias máxima y mínima entre la Tierra y el Sol?

Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

Evaluación del producto A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Producto a elaborar Presentar las distancias máxima y mínima de la Tierra al Sol así como un dibujo en el que se ilustre la trayectoria elíptica y la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar las distancias que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la creatividad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del 140

procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes.





Grupo Editorial Patria®

Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

En un edificio que será utilizado como teatro se va a construir un arco semielíptico con un claro (distancia entre los extremos) de 10 metros y una altura de 3 metros. Para construirlo se necesita conocer su altura a distancias de 1.5, 3 y 4 metros del centro a uno de sus extremos.



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Cuáles son las coordenadas del centro y de los extremos?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todos los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

2. ¿ Cuál es la expresión algebraica de la elipse, con centro en el origen, que se puede aplicar para resolver el problema?

Evaluación del producto

3. ¿ Cómo se puede determinar la altura del arco desde el centro a uno de los extremos en los intervalos indicados?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

Trabajo individual

Producto a elaborar

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Presentar las medidas de las alturas del arco a intervalos de 1.5, 3 y 4 metros desde el centro a uno de los extremos. Presentar un dibujo en el que se ilustre el arco y las alturas.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar las alturas que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descripción del proce-

dimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 141

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicio XIX 1. Para cada una de las siguientes elipses, halla las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad. Traza la curva correspondiente. a)

x 2 y2 1 51 25 9

b)

x 2 y2 1 51 169 25

c)

x 2 y2 1 51 9 4

d)

y2 x2 1 51 169 144

x 2 y2 e) 1 51 64 100 f )

x 2 y2 1 51 16 25

Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle

Introducción Esta sección cónica se define como lugar geométrico y se identifican sus elementos. Se identifica sus respectivas ecuaciones de elipses horizontales o verticales cuando su centro está en el origen. La elipse se estudia con centro fuera del origen. Se identifican sus respectivas ecuaciones ordinaria y general, tanto horizontal como vertical, con sus elementos correspondientes. Aun cuando no se incluye en el programa, se trata lo relacionado con la cónica llamada hipérbola, con centro en el origen y fuera del origen, con sus elementos y ecuaciones correspondientes. Su estudio queda a consideración del y la docente en función del tiempo disponible y los acuerdos de academia.

7.1 Elipse Descripción geométrica. Una elipse se define como el lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Los puntos fijos se llaman focos. y A

g) 16x2 1 25y2 5 400 2

P

2

h) 25x 1 4y 5 100 i ) 16x2 1 9y2 5 144

V´

j ) 2x2 1 3y2 5 12 2. Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que satisfacen las condiciones dadas. a) Vértice en (6, 0) y eje menor igual a 10. b) Vértice en (4, 0) y extremo del eje menor en (0, 3). c) Vértice en (65, 0) y un foco en (3, 0). d) Foco en (2, 0) y vértice en (5, 0).

6 e) Vértices en (20, 0) y (220, 0), y excentricidad igual a . 10 f ) Foco en (0, 24) y eje menor igual a 4. 3 g) Focos en (6, 0) y (26, 0), y excentricidad igual a . 5 h) Foco en (3, 0) y longitud del lado recto igual a 9. i) Focos en (4, 0) y (24, 0), y longitud de lado recto igual a 12. 55 j ) Pasa por los puntos (3, 5) y 77, ,  .  33

142

F´

0C

F

V

x

r

A´ Figura 7.1

7.2  Elementos asociados con la elipse En la figura anterior se ilustra una elipse cuyos focos son F y F9. La recta r que pasa por los focos corta a la elipse en los puntos V y V9 que se llaman vértices. El segmento de recta determinado por V y V9 recibe el nombre de eje mayor. El punto medio del segmento determinado por los focos se llama centro. La recta r9 que pasa por el centro es perpendicular a r y corta a la elipse en los puntos A y A9; el segmento de recta AA9 se llama eje menor. El segmento que une dos puntos de la elipse se llama cuerda y si ésta pasa por el foco entonces se llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular a la recta es el lado recto de la elipse y como ésta tiene dos focos también tiene dos lados rectos. Una cuerda que pasa por el centro se llama diámetro, P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos PF y PF9 se llaman radios vectores de P.



Grupo Editorial Patria®

Construcción geométrica de la elipse Dos métodos sencillos para el trazo de una elipse son los siguientes:

C

Método del escantillón B

A

Sean AB el eje mayor de la elipse, CD el eje menor de la elipse y el punto O centro de los dos ejes y, por tanto, centro de la elipse.

F´

0

F

D

C Figura 7.3 2

0

B

Actividad de aprendizaje

3

A

En una elipse: D

¿A qué se le llama eje mayor?

  Figura 7.2

En el borde recto de una tira de papel se marcan los puntos 1, 2 y 3 de manera que la distancia de 1 a 3 sea igual a OB (semieje mayor) y la distancia de 1 a 2 sea igual a CO (semieje menor). Se coloca la tira de papel de modo que el punto 3 esté siempre sobre el eje CD y el punto 2 sobre el eje AB con lo cual sobre el punto 1 se podrá marcar un punto de la elipse con cada posición de la tira de papel. Dicha operación se repite tantas veces como sea necesario hasta obtener suficientes puntos que al ser unidos con un trazo continuo permiten obtener la elipse.

Método del jardinero

  ¿A qué se le llama eje menor?

   

Para tu reflexión

Georg Cantor (1845-1918)

Sean AB el eje mayor de la elipse, CD el eje menor de la elipse y el punto O centro de los dos ejes y, por tanto, centro de la elipse.

Desde niño reveló habilidades para el estudio de las matemáticas a las que se dedicó toda su vida.

Con centro en C y radio OA se traza un arco que corte al eje mayor AB en los puntos F y F9 que son los focos de la elipse.

En 1867 se doctoró con un trabajo sobre un problema que Gauss dejó sin resolver.

En F y F9 se sujetan los extremos de un hilo flexible, pero no extensible, de modo que su longitud sea igual a la del segmento AB(2a). Cuando se tense el hilo con la punta de un lápiz, ésta debe quedar sobre el punto C.

Creó la teoría de conjuntos que dio lugar a grandes innovaciones en el campo de las matemáticas. Esta teoría se convirtió en una nueva rama de las matemáticas en las que se estudian las matemáticas del infinito.

El hilo se mantiene tenso con el lápiz que se recorre de A a B tanto arriba como abajo del eje mayor, con lo cual la punta del lápiz traza la elipse que se desea. El mismo resultado se pude obtener uniendo los extremos de un hilo de longitud igual a la suma de los segmentos AB y FF9(2a 1 2c), pasándolo sobre dos apoyos en F y F9 y deslizando el lápiz que mantiene tenso el hilo.

Su teoría se basa en la correspondencia uno a uno. Deslindó la aritmética de los números infinitos de la aritmética familiar de los números finitos, creando grandes controversias. Entre 1895 y 1897 publicó un trabajo en el que afirmó la existencia de los números trasfinitos. Su teoría de conjuntos se convirtió en algo fundamental para el desarrollo de la Teoría de Funciones, del análisis y de la topología.

143

7 BLOQUE



  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Aplica lo que sabes A

En un parque deportivo se dispone de una superficie de forma rectangular, cuyo largo es el doble de su ancho, para construir una pista de atletismo de forma elíptica. ¿Cuáles son los elementos que se necesitan determinar para hacer el trazo de la pista?

a c

V´ F´

b

y a c

0

V F

x

A´ Figura 7.5

Sea 2c(c . 0), la distancia entre F y F9. Por tanto, sus coordenadas son F(c, 0) y F9(2 c, 0). Si P(x, y) es un punto cualquiera de la elipse, entonces por definición: PF 1 PF ' 5constante Sea la constante 2a(a . c). Por tanto: PF 1 PF ' 52a PF 5 ( x 2c )2 1 y 2 ; PF ′ 5 ( x 1c )2 1 y 2

Donde:

7.3  Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes coordenados

( x 2c )2 1 y 2 1 ( x 1c )2 1 y 2 52a

Es decir:

Al trasponer el segundo radical al segundo miembro: ( x 2c )2 1 y 2 52a 2 ( x 1c )2 1 y 2 Al elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

Ecuación de la elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

( x 2 c )2 1 y 2 5 4 a 2 2 4 a ( x 1 c )2 1 y 2 1( x 1 c )2 1 y 2

Para obtener la ecuación de una elipse, se hace coincidir el centro de ésta con el origen del sistema coordenado, de manera que el eje x pase por los focos. En consecuencia, el eje y contiene a la mediatriz del segmento determinado por los focos F y F9.

Al efectuar operaciones y simplificando: x 2 22 xc 1c 2 1 y 2 5 4 a 2 2 4 a ( x 1c )2 1 y 2 1 x 2 12 xc 1c 2 1 y 2 24 cx 5 4 a 2 24 a ( x 1c )2 1 y 2 Al dividir entre 24:

y

cx 52a 2 1a ( x 1c )2 1 y 2

P(x, y)

De donde: F´(–a, 0)

0

F(c, 0)

x

cx 1a 2 5a ( x 1c )2 1 y 2 Al elevar al cuadrado los dos miembros de la igualdad:

Figura 7.4

144

c2x2 1 2a2cx 1 a4 5 a2(x2 1 2cx 1 c2 1 y2) c2x2 1 2a2cx 1 a4 5 a2x2 1 2a2cx 1 a2c2 1 a2y2 c2x2 1 a4 5 a2x2 1 a2c2 1 a2y2



Grupo Editorial Patria®

Agrupando términos y factorizando: (a2 2 c2)x2 1 a2y2 5 a2(a2 2 c2) Ahora bien, si el punto P de la figura 7.4 pasa a la posición del punto A en la figura 7.5, entonces AF 1 AF9 5 2a y como A está en la mediatriz del segmento FF9, equidista de F y F9, es decir AF 5 AF9 5 a. FOA es un triángulo rectángulo en el que a es la hipotenusa y b y c son los catetos, por tanto, b2 5 a2 2 c2, donde a2 2 c2 . 0 (porque a . c, es decir a2 . c2, o sea a2 2 c2 . 0). Al sustituir esta relación en la igualdad anterior, se obtiene: 2 2

2 2

La distancia entre los vértices V y V9 es 2a, por tanto, sus coordenadas son V(a, 0) y V 9(2 a, 0). La longitud del eje menor es 2b, por lo que las coordenadas de sus extremos son (0, b) y (0, 2b). Si en la ecuación de la elipse se sustituye x por 2x y y por 2y se observa que la ecuación no se altera y, por tanto, la curva es simétrica respecto de los ejes y respecto del centro. Por la definición de la elipse se sabe que ésta no se extiende indefinidamente lejos de los focos. El límite de su extensión se puede deducir a partir de su ecuación. Al resolver la ecuación de la elipse: x 2 y2 1 51 a2 b2 y2 x2 Para x se obtiene: 5 1 2 a2 b2

Al resolver la ecuación para y, se obtiene:



y2 x2 512 2 2 b a 2 2 y a 2x 2 5 2 b2 a 2 b (a 2 2x 2 ) y2 5 a2 b 2 (a 2 2x 2 ) y 56 a2

b 2 2 a 2x a

Este resultado nos indica que x2 no debe exceder a a2, es decir, los valores que puede tomar la variable son 2a # x # a. En consecuencia, ningún punto de la elipse está fuera del rectángulo formado por las rectas horizontales y 5 2b, y 5 b y las rectas verticales x 5 2 a, x 5 a. Si en la expresión: y 56

b 2 2 a 2x a

Se sustituye la x por c, que es la abscisa del foco F, se obtiene: b y 56 a 2 2c 2 a b De donde: y 56 b 2 a b O sea: y 56 ?b a b2 O bien: y 56 a Por tanto, el lado recto que pasa por F tiene como coordenadas

 b2   b2  y . Entonces, la longitud del 2 c , 2  a   a 

de sus extremos  c ,

2b 2 . En forma análoga, para el foco F9 a 2b 2 la longitud del lado recto es . a a 2 2b 2 c La excentricidad de una elipse es la relación: e 5 5 . a a lado recto para el foco F es,

2 2 x2 b 2 y 5 a2 b2

a 2 (b 2 2 y 2 ) a 2 (b 2 2 y 2 ) a x 56 x 56 b 2 2 y 2 2 2 b b b 2 2 Este producto nos indica que y no debe exceder a b , es decir, los valores que puede tomar la variable son 2b # y # b.

x2 5





2 2

b x 1a y 5a b Al dividir la igualdad entre a2b2, se transforma en: x 2 y2 1 51 a2 b2 Que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x.



y 56

Como la suma de las distancias de un punto de la elipse a sus focos no puede ser menor que la distancia entre éstos, a tampoco puede ser menor que c y en consecuencia la excentricidad de la elipse no puede ser mayor que 1. En el caso en que los focos coinciden c 5 0, por tanto, e 5 0 y la elipse degenera en una circunferencia, se puede decir que la circunferencia es una elipse de excentricidad igual a cero. Si c tiende a tomar el valor de a, entonces la excentricidad tiende a tomar el valor de l, lo cual hará que la elipse se aplane hasta llegar al límite en que degenere en un segmento de recta. Las directrices de una elipse son las rectas perpendiculares al eje a2 a mayor y a una distancia del centro d 5 , o sea, d 56 . Para c e a2 la ecuación obtenida de la elipse, sus directrices son: x 56 , o c a x 56 . e 145

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lo expuesto nos permite identificar elementos y coordenadas de puntos que hacen posible el trazo de la curva que es simétrica respecto de sus dos ejes. y

•(0, b)

[ •] b2 –c , – a

(–a, 0) V´

[

• • b

V´ F´(–c, 0)

2

–c , – – a

]

[ ] b2 c, – a

• (c, 0) F • •

0

V (a, 0)

a2 d= – c

Un tubo circular tiene un diámetro de 30 pulgadas. En uno de sus extremos se hace un corte a 45° formando una elipse. Determina la longitud de sus ejes mayor y menor.

Si los focos F (0, c) y F9(0, 2c) están en el eje y, la ecuación de la elipse es: x

[ ] b2 c,– – a

•(0, –b)

a2 d= – c

V

Aplica lo que sabes

Figura 7.6

Si consideramos los focos de una elipse en el eje y en F (0, c) y F9(0, 2c), por un procedimiento semejante al anterior, se obtiene la ecuación: x 2 y2 1 51 b2 a2 Las características principales de esta elipse se ilustran en la siguiente figura:

x 2 y2 1 51 b2 a2 Para las dos ecuaciones a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor; a, b y c están relacionadas de la siguiente manera: a2 5 b2 1 c2. 2b 2 Además, la longitud del lado recto es y la excentricidad e es: a 2 2 a 2b c e5 5 ,1. a a Estas dos ecuaciones de la elipse se conocen como primera ecuación ordinaria de la elipse, también llamada forma estándar. Observación: El denominador mayor nos indica la variable cuyo eje coordenado coincide con el eje mayor de la elipse. Actividad de aprendizaje

[ ] b2 – ––, c a

(–b, 0)

[ ] b – ––, –c a 2

V(0, a)

y

F(0, c)

[ ] b2 ––, c a

0

(b, 0)

F´(0, –c)

Mediante inspección de la ecuación

y2

x2

y2

51 , ¿cómo se determina a b2 cuál eje coordenado coincide con el eje mayor de la elipse? x

[ ] b ––, –c a 2

V´(0, –a)

Figura 7.7

Lo tratado para la elipse se resume en lo siguiente: La ecuación de una elipse que tiene su centro en el origen, sus focos F (c, 0) y F9(2c, 0) en el eje x, su distancia focal es 2c y la suma constante igual a 2a es: x 2 y2 1 51 a2 b2 146

x2

1 2

 

Mediante inspección de la ecuación

51 , ¿cómo se determina b a2 cuál eje coordenado coincide con el eje mayor de la elipse? 1 2

 

Elementos de una elipse con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos, a partir de su ecuación ordinaria A continuación se presentan ejemplos en los que a partir de los elementos de la elipse se establecen relaciones de acuerdo con los datos que se proporcionan en cada caso.



Grupo Editorial Patria®

Ejemplos 1. Halla la ecuación de una elipse que tiene un vértice en (0, 6) y sus focos en (0, 4) y (0, 24). Solución: La posición de los focos indica que el centro de la elipse está en el origen y su eje mayor coincide con el eje y, por tanto, su ecuación es de la forma:

x 2 y2 1 51 b2 a2

De las coordenadas de los focos se obtiene que c 5 4 y de las del vértice que a 5 6. Como a 2 5 b 2 1 c 2, 36 5 b 2 1 16, de donde b 2 5 20, entonces la ecuación de la elipse es:

x 2 y2 1 51 20 36 2. Determina las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad de la elipse 4x  2 1 25y  2 5 100. Traza la curva. Solución: La ecuación de la elipse queda en su forma estándar si dividimos entre 100. Esto nos da:

x 2 y2 4 x 2 25 y 2 100   o sea   1 51 1 5 25 4 100 100 100 Como el denominador mayor corresponde a x 2, el eje mayor de la elipse coincide con el eje x. Por tanto, a 2 5 25, b 2 5 4 y c 2 5 a 2 2 b 2 5 21, es decir, a 5 5, b 5 2 y c 5 21 . Entonces, las coorde-

3. Una elipse tiene sus vértices en (0, 66) y su excentricidad es

Halla las coordenadas de sus focos, la longitud de sus ejes mayor y menor, la longitud de su lado recto y la ecuación de la elipse. Solución:

Como los vértices están en (0, 6) y (0, 26) el centro de la elipse está en el origen, su eje mayor coincide con el eje y y a 5 6. La excentricidad es:

c 1 c 1 e 5 5    o sea    5 6 2 a 2 Por tanto, c 5 3, entonces las coordenadas de los focos son (0, 3) y (0, 23). Además a 2 5 b 2 1 c 2, es decir, 36 5 b 2 1 9 entonces b 2 5 27, por lo que la longitud del eje mayor es 2a 5 2(6) 5 12 y la longitud del eje menor es 2b52 27 . La longitud del lado recto es:

2b 2 2(27) 54 5 5 59 a 6 6 Entonces el lado se extiende 4.5 unidades hacia la derecha y hacia la izquierda de cada foco. La ecuación de la elipse es:

x 2 y2 1 51 27 36

4. Para la elipse 4x2 1 25y2 5 100 encuentra: a ) las coordenadas de los vértices

nadas de los focos son ( 21 , 0) y (2 21 , 0), las coordenadas de

b ) las coordenadas de los focos

los vértices son (5, 0) y (25, 0), la longitud de lado recto es:

c ) la longitud del semilado recto

2b 2 2(2)2 8 5 5 a 5 5 4 Por tanto, el lado recto se extiende hacia arriba y hacia abajo de cada 5 foco. La excentricidad es: 21 c e5 5 5 a

1 . 2

d ) la excentricidad e ) las ecuaciones de las directrices 5. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados, un foco está en (2,0) y un vértice en (5,0).

El trazo de la curva se ilustra en la siguiente figura: y (0, 2) — (! 21, 0) (5, 0)

— (–5, 0) (–! 21, 0) 0

x (0, –2)

Figura 7.8

147

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse



Situación didáctica

¿Cómo lo resolverías?

Kepler estableció tres leyes en relación con el movimiento de los planetas alrededor del Sol. La primera ley dice que los planetas describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. La segunda ley señala que el vector posición de cualquier planeta respecto al Sol, barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. ¿Cuál es la razón por la que ocurre esto? ¿Cómo se puede verificar que se cumple dicha ley?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. ¿Qué es el vector posición? 2. ¿Qué es el afelio?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todo los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

3. ¿Qué es el perihelio?

Evaluación del producto

4. ¿Qué ocurre con la velocidad del planeta cuando está más alejado del Sol?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

5. ¿Qué ocurre con la velocidad del planeta cuando está más cercano al Sol?

Producto a elaborar

6. ¿Cómo se calcula el área de barrido del vector posición? 7. ¿Cómo se sabe que se cumple la segunda ley de Kepler?

Trabajo individual Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios. 148

Dibujo que represente el área de barrido del vector posición cuando el planeta se ubica en dos posiciones cercanas al Sol y cuando se encuentra en dos posiciones alejadas del Sol. En ambos casos al cambio de posición debe corresponder el mismo tiempo. Cálculos realizados para comprobar la validez de la segunda ley de Kepler.



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la equivalencia de las áreas de barrido que se piden se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La descrip-



Situación didáctica

ción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolios de evidencias para la evaluación del mes.

¿Cómo lo resolverías?

La tercera ley de Kepler establece que los cuadrados de los periodos P de revolución de un planeta son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores a de la elipse. ¿Cómo se puede demostrar que para un planeta, P 2 a a 3?



Secuencia didáctica

Formen equipos para resolver el problema. Que cada equipo represente mediante dibujos las condiciones del problema. Presenten los resultados en plenaria y analicen las formas de resolver el problema.

Cada equipo debe investigar: 1. Para un planeta cualquiera, ¿a qué se le llama periodo?, ¿a qué se le llama distancia media al Sol?

¿Qué tienes que hacer? Cada integrante del equipo aportará lo que haya investigado, registrado y calculado para que el grupo compare y seleccione conceptos teóricos utilizados en la resolución del problema. También es preciso confrontar los datos obtenidos en los cálculos para llevar a cabo las rectificaciones que procedan. Todo los estudiantes realizarán un ejercicio de autoevaluación respecto de las actividades señaladas en la secuencia didáctica con el propósito de asumirse como responsables de su propio proceso de aprendizaje.

2. ¿Cuál es el periodo y la distancia media al Sol del planeta x?

Evaluación del producto

3. Para el planeta x, ¿cuál es el cuadrado de su periodo?, ¿cuál es el cubo de su distancia media al Sol?

A fin de evaluar por producto se dan las instrucciones por escrito de manera muy clara. En este ejemplo:

4. ¿Qué relación se establece entre el cuadrado del periodo y el cubo de la distancia media al Sol del planeta x?

Producto a elaborar

Trabajo individual

Presentación de tablas de datos del periodo y distancia media al Sol de los planetas.

Cada participante debe hacer un registro de lo investigado y realizar los cálculos necesarios.

Cálculos realizados para demostrar que se cumple la tercera ley de Kepler.

Rúbrica ¿Cómo sabes que lo hiciste bien?  Para determinar la validez de la tercera ley de Kepler que se pide se deben anexar los conceptos investigados y los cálculos realizados, éstos tienen un valor de 5 puntos y se califica con base en el material utilizado, la originalidad en su presentación, el esfuerzo realizado, la forma de presentar el trabajo, las fuentes consultadas, etc. La des-

cripción del procedimiento por escrito tiene un valor de 3 puntos y la presentación en clase 2 puntos de tu calificación de la actividad que se evalúa. Todo ello suma un total de 10 puntos. Esta actividad se integrará al portafolio de evidencias para la evaluación del mes. 149

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Propuestas de diseño para situaciones didácticas Ejercicio XX 1. Halla la ecuación de la elipse que satisface las condiciones siguientes: a) Centro en (2, 21), el eje mayor es paralelo al eje x y su longitud es 12, la longitud del eje menor es 10. b) Centro en (5, 1), vértice en (5, 4) y uno de los extremos del eje menor es (3, 1). c) Sus vértices están en (8, 2) y (22, 2) y uno de los focos se encuentra en (6, 2).

7.4  Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados Elipse con centro en (h, k) Si los ejes de una elipse son paralelos a los ejes coordenados y su centro está en el punto (h, k), su ecuación se puede obtener trasladando los ejes coordenados de manera que su origen O9 coincida con el punto (h, k). La ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes es:

( x ′)2 ( y ′)2 1 2 51 a2 b

d) Un vértice están en (6, 3) y sus focos en (24, 3) y (4, 3). e) Foco en (1, 21) y su eje menor tiene sus extremos en (21, 2) y (21, 24). f ) La longitud de su eje menor es 4 y sus vértices son (21, 3) y (5, 3).

y

15 , y los extremos del eje menor son 17 (23, 22) y (13, 22).

y´ b

g) Su excentricidad es

a

0´ (h, k)

x´

h) Sus vértices están en (8, 21) y (24, 21), y la longitud del lado recto es 3. 1 i ) Los vértices son (1, 1) y (7, 1) y su excentricidad es . 3 j) Los focos son (24, 22) y (24, 26) y la longitud del lado recto es 6. 2. Para cada una de las ecuaciones, halla las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices. Determina la longitud del lado recto y la excentricidad. a) 9x2 1 25y2 2 36x 2 189 5 0 b) 16x2 1 25y2 2 64x 2 50y 2 311 5 0 c) 3x2 1 2y2 2 24x 1 12y 1 60 5 0 d) 25x2 1 9y2 2 200x 1 90y 1 400 5 0 e) 2x2 1 3y2 2 8x 2 18y 1 29 5 0 f ) 25(x 2 1)2 1 169 (y 1 2)2 5 4 225 g) 225(x 1 2)2 1 289 (y 1 3)2 5 65 025 h) 225(x 2 1)2 1 144 (y 2 3)2 5 24 336 i) 16x2 2 25y2 1 96x 2 50y 1 169 5 0 j ) 2x2 1 5y2 1 8x 2 20y 1 48 5 0 150

0

x

Figura 7.9

Aplicando las ecuaciones de transformación para la traslación de ejes, se tiene: x 5 x9 1 h, y 5 y9 1 k De donde: x9 5 x 2 h, y9 5 y 2 k Las cuales se sustituyen en la ecuación de la elipse y quedan de la siguiente manera: ( x 2h) ( y 2k )2 1 51 a2 b2 Ésta es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales x y y. Cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se procede en forma semejante para obtener la ecuación: ( x 2h)2 ( y 2k )2 1 51 b2 a2



Las dos últimas ecuaciones se conocen como la segunda ecuación ordinaria de la elipse y corresponden a la forma estándar cuando h 5 k 5 0. Las cantidades a, b y c tienen el mismo significado, ya sea que el centro esté o no en el origen, razón por la cual el trazo de la curva no presenta mayor dificultad.

Grupo Editorial Patria®

Solución: Escribimos la ecuación trasponiendo el término independiente y agrupando los términos en x y y de la siguiente forma: (x 2 1 6x ) 1 4 ( y 2 2 4y ) 5 29

También se puede proceder de manera inversa, transformando la ecuación de su forma general a la segunda forma ordinaria con su segundo miembro igual a 1, 0 o 21.

Completando cuadrados y sumando las mismas cantidades a los dos miembros de la ecuación, se obtiene:

• Si el segundo miembro es igual a 1, la ecuación representa una elipse real con ejes paralelos a los ejes coordenados.

Al factorizar en el primer miembro y sumando en el segundo:

• Si el segundo miembro es igual a cero, la ecuación representa la llamada elipse puntual, es decir, el punto (h, k).

(x 2 1 6x 1 9) 1 4 ( y 2 2 4y 1 4) 5 29 1 9 1 16 (x 1 3)2 1 4 (y 2 2)2 5 16 Al dividir la ecuación entre 16, nos queda en la forma ordinaria:

• Si el segundo miembro es igual a 21, la ecuación no representa un lugar geométrico real, por lo que se le llama elipse imaginaria.

Actividad de aprendizaje Por inspección de la segunda ecuación ordinaria de una elipse, con centro fuera del origen, ¿cómo determinas cuál es el eje mayor de la elipse?

   

( x 13)2 ( y 22)2 1 51 16 4 Las coordenadas del centro son (23, 2) y el eje mayor es paralelo al eje x. Como a 2 5 16 y b 2 5 4, entonces a 5 4 y b 5 2. De la relación a 2 1 b 2 5 c 2 se obtiene que 16 5 4 1 c 2, de donde c 2 5 12, por tanto c52 3 . Las coordenadas de los vértices son V(1, 2) y V 9(27, 2). Las coordenadas de los focos son

(

) (

)

F 2312 3 , 2 y F 9 2322 3 , 2 . La longitud del eje mayor es 2a 5 2(4) 5 8. La longitud del eje menor es 2b 5 2(2) 5 4. La longitud de cada lado recto es

c a

dad es e 5 5

Elementos y coordenadas del centro de una elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos, a partir de su ecuación A partir de la ecuación de la elipse en su forma general se puede proceder a expresarla en su forma ordinaria y obtener los elementos necesarios que nos permiten identificar sus ejes mayor y menor, así como sus longitudes y su excentricidad. También podemos determinar las coordenadas de su centro, de sus vértices, de sus focos. Ejemplos 1. La ecuación de una elipse es x 2 1 4y 2 1 6x 2 16y 1 9 5 0. Redúcela a la forma ordinaria y halla las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Determina las longitudes del eje mayor, del eje menor y de cada lado recto, así como la excentricidad.

2 3 4

5

3 2

2b 2 2(2)2 5 52. La excentricia 4

.

El trazo de la curva se ilustra y´ en la figura y10.2:

V´

F´

0´

F

V 0

x´ x

Figura 7.10

2. La ecuación de una elipse es 25x 2 1 16y 2 2 150x 2 160y 1 225 5 0. Redúcela a la forma ordinaria y halla las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Determina las longitudes de los ejes, mayor y menor, y de cada lado recto, así como la excentricidad. Solución: Al trasponer el término independiente y agrupando términos en x y y :

151

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

25(x 2 2 6x ) 1 16 ( y 2 2 10y ) 5 2225 Al completar cuadrados y sumando las mismas cantidades a los dos miembros: 25(x 2 2 6x 1 9) 1 16 ( y 2 2 10y 1 25) 5 2225 1 225 1 400 Al factorizar en el primer miembro y sumando en el segundo: 25(x 2 3)2 1 16( y 2 5)2 5 400 Al dividir la ecuación entre 400:

( x 23)2 ( y 25)2 1 51 16 25 Las coordenadas del centro son (3, 5) y el eje mayor es paralelos al eje y. Como a 2 5 25 y b 2 5 16; a 5 5 y b 5 4. De la relación a 2 5 b 2 1 c 2 se obtiene c 5 3. Las coordenadas de los vértices son V (3, 10) y V9(3, 0). Las coordenadas de los focos son F (3, 8) y F9(3, 2). La longitud del eje mayor es 2a 5 2(5) 5 10. La longitud del eje menor es 2b 5 2(4) 5 8. La longitud de cada lado recto es



De manera inversa al punto anterior se puede proceder a determinar la ecuación de la elipse a partir de sus elementos como se ilustra en los ejemplos siguientes. Ejemplos 1. Halla la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes mayor y menor, y las coordenadas de sus vértices, si tiene sus focos en (5, 3) y (5, 21) y su excentricidad es Solución:

Actividad de aprendizaje

1 . 4

Los focos tienen la misma abscisa, esto significa que el eje mayor de la elipse es paralelo al eje y, por tanto, la ecuación es de la forma:

c 3 2b 2 2(16) 32 5 5 . La excentricidad es e 5 5 . a 5 a 5 5

A partir de la ecuación general de una elipse, ¿cómo se determinan las coordenadas de su centro?



7.5  Ecuación general de la elipse

( x 2h)2 ( y 2k )2 1 51 b2 a2 El centro de la elipse es el punto medio entre los focos, es decir (5, 1). Como c es la distancia del centro de la elipse a uno de sus focos, se deduce que c 5 2. La excentricidad e de la elipse es:

c 1 e5 5 a 4

o sea

2 1 5 a 4

 

Por tanto: a 5 8.

 

Para encontrar el valor de b utilizamos la relación a 2 5 b 2 1 c 2, de donde, 64 5 b 2 1 4, es decir, b 2 5 60. Entonces, la ecuación de la elipse es:

Aplica lo que sabes Si en un edificio la estructura de un techo es elipsoidal y una persona habla en uno de los focos, otra persona colocada en el otro foco puede escucharla, pero las personas que estén entre esas dos no oirán nada. ¿Por qué ocurre esto? ¿Qué propiedad de la elipse se está aplicando en este caso?

( x 25)2 ( y 21)2 1 51 60 64 La longitud del eje mayor es 2a 5 2(8) 516. La longitud del eje menor es 2b52 60 5 4 15 . Las coordenadas de los vértices son (5, 1±8), es decir, (5, 9) y (5, 27). Como se vio, una elipse con centro en el punto (h, k ) y ejes paralelos a los ejes coordenados se representa con la siguiente ecuación:

( x 2h)2 ( y 2k )2 1 51 a2 b2 si su eje mayor es horizontal, o con la ecuación:

( x 2h)2 ( y 2k )2 1 51 b2 a2 Si su eje mayor es vertical.

152



Grupo Editorial Patria®

Estas dos ecuaciones se pueden reducir a la forma general:

A

Ax 2 1 Cy 2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

r´ E

F´ V´ D´ E´



Para tu reflexión

Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792-1856) Contribuyó a la creación de una geometría no-euclidiana que transformó y revolucionó las ciencias matemáticas y la filosofía científica. Destacó como un extraordinario matemático. A los veinte años ingresó como profesor de matemáticas a la Universidad de Kazán de la cual fue rector en 1827. Demostró que si se empezaba con un axioma que exponía que a través de un punto dado no contenido en una recta, por lo menos podían trazarse dos paralelas a la recta dada, y podía construirse lógicamente una nueva geometría no euclidiana. Con base en las nuevas proposiciones de Lobachevski la suma de los tres ángulos de un triángulo tenía que ser mayor de 180°. Esta nueva geometría dada a conocer en 1829 influyó notablemente en el desarrollo de las matemáticas del siglo xx.

P D

C

F

V

r

B´ G´

A´

Aplica lo que sabes Investiga por qué el balón de fútbol americano tiene un perfil elipsoidal.

G

B

En la cual A y C son los dos positivos o los dos negativos, es decir A C . 0, además A ? C porque si A 5 C, entonces el lugar geométrico es una circunferencia.



• •

Figura 7.11

Como puedes observar en la figura 7.11 la hipérbola consta de dos ramas diferentes de longitud infinita. Los focos están designados por F y F9. La recta r pasa por los focos y corta a la hipérbola en los puntos V y V 9. El segmento V V9 se llama eje transverso (o eje real). El punto C es el centro de la hipérbola y es el punto medio del eje transverso. La recta r 9 pasa por C y es perpendicular a la recta r. El segmento BB9 tiene a C como punto medio y recibe el nombre de eje conjugado (o eje imaginario). El segmento que une dos puntos de la hipérbola se llama cuerda, los puntos pueden ser de la misma rama como AA9 o bien, uno de una rama y el otro de la otra. Una cuerda como EE9 que pasa por el foco se llama cuerda focal. La cuerda focal GG9 perpendicular a la recta r se llama lado recto y como la curva tiene dos focos, también tiene dos lados rectos. Una cuerda como DD9 que pasa por el centro recibe el nombre de diámetro. P es un punto cualquiera de la hipérbola y los segmentos FP y F9P determinados con los focos se llaman radios vectores de P.

Construcción geométrica de la hipérbola por el método de puntos Sean F y F9 los focos de la hipérbola situados a una distancia FF9 5 2c y VV 9 5 2a la diferencia de distancia a los focos de los puntos de la hipérbola. I

Este tipo de geometría se encuentra en la superficie de una curva llamada seudoesfera, que presenta la forma de dos trompetas unidas por los extremos abocinados y con las partes más finas extendiéndose infinitamente hacia afuera

G D

v

Hipérbola

F´

V´ 0 V

F

A

B

C

Descripción geométrica Una hipérbola se define como el lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. Los puntos fijos se llaman focos. Figura 7.12

153

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Traza una recta w que pase por F y F9.

Al dividir la ecuación entre 16 y simplificando:

Marca la distancia VV9 centrada en el segmento FF9 de manera que FV sea igual a FV9.

a4 1 c2x2 5 a2x2 1 a2c2 1 a2y2 Al trasponer términos:

Localiza arbitrariamente los puntos A, B, C, etc., y a la derecha de F. Con centro en F9 y radio V 9A traza dos arcos uno arriba y otro debajo de la recta w que corten en los puntos D y E de la hipérbola, pues F9 D 2 FD 5 2a y F9 E 2 FE 5 2a. Con centro en F9 y radio V9A se trazan dos arcos. De modo similar se obtienen los puntos G, H, I, J, etc., que al unirse con un trazo continuo permiten obtener la rama derecha de la hipérbola. La rama izquierda se puede obtener con el mismo procedimiento.

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen y focos en un eje coordenado Para deducir la ecuación de una hipérbola ubicamos su centro en el origen del sistema coordenado y uno de los ejes sobre la recta que pasa por los focos. Si el origen O es el centro de una hipérbola, punto medio entre los focos F y F9, que están en el eje x, las coordenadas de los focos son F(c, 0) y F9 (2c, 0), donde c . 0. Sea P(x, y) un punto cualquiera de la hipérbola. Si hacemos que la diferencia de las distancias de P a los focos sean 2a, con a . 0, a , c, entonces: FP 2 F ′P 52a La diferencia 2a será positiva si P está en la rama izquierda de la hipérbola y negativa si P se encuentra en la rama derecha. FP 5 ( x 2c )2 1 y 2

y

F ′P 5 ( x 1c )2 1 y 2

c2x2 2 a2x2 2 a2y2 5 a2c2 2 a4 Al factorizar: (c2 2 a2)x2 2 a2y2 5 a2(c2 2 a2) En esta curva se cumple la relación c2 5 a2 1 b2, por lo que c2 2 a2 5 b2, donde b2 es un número positivo porque a , c. Al sustituir c2 2 a2 por b2 en la ecuación anterior, nos queda: b2x2 2 a2y2 5 a2b2 Al dividir la ecuación entre a2b2 se obtiene: b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2 2 5 a 2b 2 a 2b 2 a 2b 2

La hipérbola no corta al eje y, sin embargo, los puntos B y B9 se toman como los extremos del eje conjugado, donde su longitud es igual a 2b, por tal razón sus coordenadas son B(0, b) y B9(0, 2b). Si en la ecuación de la hipérbola sustituimos x por 2x y y por 2y, la ecuación no se altera, esto significa que la hipérbola es simétrica respecto de los ejes coordenados y del origen. Si en la ecuación: x 2 y2 2 51 a2 b2 Despejamos x, se obtiene: x 56

( x 2c )2 1 y 2 2 ( x 1c )2 1 y 2 52a

( x 2c )2 1 y 2 52a 2 ( x 1c )2 1 y 2 Al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación: ( x 2c )2 1 y 2 5 4 a 2 1 4 a ( x 1c )2 1 y 2 1( x 1c )2 1 y 2 Al simplificar: 24 a 2 24 cx 5 4 a ( x 1c )2 1 y 2 Al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación: 16a4 1 32a2cx 1 16c2x2 5 16a2 (x2 1 2cx 1 c2 1 y2) Al efectuar el producto: 16a4 1 32a2cx 1 16c2x2 5 16a2x2 1 32a2cx 1 16a2c2 1 16a2y2 154

x 2 y2 2 51 a2 b2

Las ramas de la hipérbola cortan el eje x en los vértices V y V 9, cuyas coordenadas son V(a, 0) y V 9(2a, 0), por tanto, la longitud del eje transverso es 2a, que es la constante.

Entonces:

Al trasponer el segundo radical, resulta:

o seaa

a 2 2 b 1y b

Donde y puede tomar cualquier valor real. Si despejamos y, se obtiene: y 56

b 2 2 x 2a a

Donde x puede tomar cualquier valor real con excepción de aquéllos para los cuales x2 , c2. Por tanto, las ramas de la hipérbola se extienden indefinidamente lejos a partir de los ejes en cada cuadrante y no hay parte de ellas entre las rectas verticales x 5 a y x 5 2a. Si en la ecuación: y 56

b 2 2 x 2a a



Grupo Editorial Patria®

Se sustituye x por c y usando la relación c2 5 a2 1 b2, resulta lo siguiente: y 56

b 2

a c 2a

2

; y 56

contenido en un eje coordenado, se determina por la variable correspondiente que tiene coeficiente positivo. Si el centro de la hipérbola coincide con el origen y sus focos están en los puntos F (0, c) y F9(0, c), en el eje y, aplicando un procedimiento semejante al anterior se obtiene la ecuación:

b 2 b b2 b ; y 56 b ; y 56 a a a

Entonces las coordenadas de los extremos del lado recto son b2   b2   2b 2 c ,2 c , y , por ello la longitud del lado recto es  a   a  a y la excentricidad de la hipérbola es:

y2 x 2 2 51 a2 b2 Los elementos característicos de una hipérbola se ilustran en la figura 7.14:

a 2 1b 2 c e5 5 .1 a a

y

Esto se debe a que c2 5 a2 1 b2 y, por tanto, c . a. Las directrices de una hipérbola son las dos rectas perpendiculares a a2 al eje transverso y a una distancia d 5 o d 5 del centro, sus e c a ecuaciones son x 56 . e En la figura 7.13 se ilustran las principales características de la hipérbola. y

•[ ] b2 –c , – a

F´(–c, 0)

V´ (–a, 0)

•[ ] b –c , – – a

2

0

[ ]

V(0, a)

V F(c, 0)

B´(0, –b)

•[ ]

b2 ––, c a

x

V´(0, –a)

[ ]

F´(0, –c)

b2 c, – a

(a, 0)

[ ]

0

b2 – ––, –c a

•[ ]

B(0, b)

F(0, c)

b2 – ––, c a

[ ] b2 ––, –c a

x

b c,– – a

2

Figura 7.13

Es importante señalar que las cantidades positivas a, b y c, usadas tanto en la elipse como en la hipérbola, guardan relaciones diferentes. Para la elipse a . c y c2 5 a2 2 b2 , donde como ya sabemos a es la mitad de la longitud del eje mayor, b es la mitad de la longitud del eje menor y c es la distancia del centro al foco. Pero la hipérbola c . a y c2 5 a2 1 b2 , donde a es la mitad de la longitud del eje transverso, b es la mitad de la longitud del eje conjugado y c es la distancia del centro al foco. En esta última relación no se hacen restricciones respecto de los valores de a y b, por lo que se pueden presentar los casos a . b, a , b o a 5 b. En consecuencia, el criterio indicado para determinar la posición del eje mayor de la elipse mediante la inspección de su ecuación, no es aplicable para la hipérbola en la que la posición del eje transverso,

Figura 7.14

Asíntotas de una hipérbola A diferencia de las otras cónicas, la hipérbola tiene asociadas dos rectas con las que guarda una relación importante. Estas rectas contienen a las diagonales del rectángulo de la siguiente figura. y (0, b)

(–a, 0)

(a, 0)

0

x

(0, –b)

Figura 7.15

155

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Como puedes observar, el rectángulo tiene sus lados perpendiculares a los ejes transverso y conjugados por sus respectivos extremos. Consideremos la parte de recta y de hipérbola que está en el primer cuadrante, sus respectivas ecuaciones son: b b y 5 x y y 5 x 2 2a 2 a a Si tomas los valores de x que cumplen con la condición x . a, entonces para cada valor de la abscisa la ordenada de la hipérbola es menor que la correspondiente ordenada de la recta. Si se continúa aumentando el valor de la x, las respectivas ordenadas de la recta y de la hipérbola llegan a ser casi iguales, esto lo puedes apreciar mejor si restas las dos ordenadas. 2

bx 2b x 2a b b x 2 x 2 2a 2 5 a a a De donde: 5

(

b x 2 x 2 2a 2

)(

(

a x 1 x 2 2a 2

)

bx 1 ay 5 0 y bx 2 ay 5 0

)

b[ x 2 2( x 2 2a 2 )]

(

a x 1 x 2 2a 2

)

Al reducir términos semejantes: 5

(

ba 2

a x 1 x 2 2a 2

)

Al simplificar: 5

ba x 1 x 2 2a 2

En esta fracción el numerador es constante mientras que el denominador se incrementa conforme x aumenta. El denominador se puede hacer tan grande como se desee, tomando valores de x suficientemente grandes. Por tanto, el valor de la fracción, que es la diferencia entre las ordenadas de la recta y de la hipérbola, se hace cada vez más próxima a cero según crece el valor de x. La distancia (perpendicular) desde un punto de la hipérbola a la recta es menor que la fracción. Si se toma x suficientemente grande, el valor de 156

b2x2 2 a2y2 5 a2b2

De donde:

Al efectuar el producto: 5

Se expresa en la forma:

(bx 1 ay)(bx 2 ay) 5 0

a

(

x 2 y2 2 51 a2 b2

Se factoriza el primer miembro y se iguala a cero para obtener:

Al multiplicar el numerador y el denominador por el binomio conjugado se obtiene: 5

Si la ecuación de la hipérbola:

2

)

b x 2 x 2 2a 2 x 1 x 2 2a 2

la distancia se hace muy pequeño, aunque nunca llega a ser cero. Cuando una curva y una recta están relacionadas de esta manera se dice que la recta es una asíntota de la curva. Como la hipérbola es simétrica respecto de los ejes coordenados y del origen, se concluye que las rectas que contienen a las diagonales son asíntotas de la hipérbola en cada uno de los cuatro cuadrantes. La ecuación de b la otra asíntota es y 52 x . a

Que se pueden expresar de la siguiente manera: b b y 52 x ; y 5 x a a Que corresponden a las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola. Si la ecuación de la hipérbola es: y2 x2 2 51 a2 b2 Entonces las ecuaciones de sus asíntotas son: a a y 5 x y y 52 x b b Cuando a 5 b, el rectángulo es un cuadrado y las asíntotas son perpendiculares entre sí. Cuando esto ocurre se dice que la hipérbola es equilátera porque sus ejes transverso y conjugado tienen la misma longitud. También se dice que la hipérbola es rectangular porque las asíntotas se intersecan en ángulo recto. Las ecuaciones obtenidas para la hipérbola se conocen como la primera ecuación ordinaria, o bien, la forma estándar. Lo expuesto para la hipérbola se puede resumir en lo siguiente: La ecuación de una hipérbola con centro en el origen, eje transverso coincidente con el eje x, y focos F (c, 0) y F9(2 c, 0), es: y2 x2 2 2 51 2 a b Si los focos están en los puntos F (0, c) y F9( 0, 2c) en el eje y, la ecuación de la hipérbola es:



Grupo Editorial Patria®

y2 x2 2 51 a2 b2 En ambos casos, a equivale a la mitad de la longitud del eje transverso, b es igual a la mitad de la longitud del eje conjugado, c es la distancia del centro al foco y todas ellas están relacionadas de la siguiente manera: c2 5 a2 1 b2.

Las ecuaciones de las asíntotas son:

b b 3 3 y 5 x y y 52 x o sea y 5 x y y 52 x a a 4 4 y

Para cada hipérbola, la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2b 2 y la excentricidad e es: a a 2 1b 2 c e5 5 .1 a a

Obtención de ecuaciones particulares dados los elementos que la definen

(0, b)

(–a, 0)

(a, 0)

0

x

(0, –b)

Figura 7.16

2. Traza la hipérbola 36y 2 2 64x 2 5 2 304. Halla las ecuaciones de sus asíntotas, las coordenadas de sus focos, las coordenadas de sus vértices y el valor de su excentricidad.

Ejemplos 1. Los vértices de una hipérbola son los puntos V (4, 0) y V9(24, 0) y sus focos son los puntos F (5, 0) y F 9(25, 0). Halla la ecuación de la hipérbola, las longitudes de sus ejes transverso y conjugado, su excentricidad, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de sus asíntotas. Solución: Por las coordenadas de los vértices sabemos que el centro de la hipérbola se encuentra en el origen y que su eje transverso está contenido en el eje x. Entonces la ecuación de la hipérbola es de la siguiente forma:

y2 x2 2 51 a2 b2

De las coordenadas de los vértices se deduce que a 5 4 y de los focos, que c 5 5. Utilizando la relación se tiene que c 2 5 a 2 1 b 2, es decir, que 25 5 16 1 b 2, por tanto b 2 5 9 y b 5 3. La ecuación de la hipérbola es:

x 2 y2 2 51 16 9 La longitud del eje transverso es 2a 5 2(5) 5 10.

Solución: Dividimos la ecuación: 36y 2 2 64x 2 5 2 304 entre 2 304:

36 y 2 64 x 2 2304 2 5 2304 2304 2304 De donde:

y 2 64 x 2 2 51 64 36 El término cuadrático en y tiene coeficiente positivo, por tanto, el eje transverso está contenido en el eje y. Como a 2 5 64, a 5 8 y las coordenadas de los vértices son V (0, 8) y V9(0, 28), b 2 5 36, por tanto, b 5 6. De la relación c 2 5 a 2 1 b 2 se tiene que c 2 5 64 1 36, o sea, c 2 5 100, de donde c 5 10, por lo que las coordenadas de los focos son F (0, 10) y F 9(0, 210). La excentricidad

c 10 5 5 . a 8 4

es e 5 5

Las ecuaciones de las asíntotas son:

a y5 x b

La longitud del eje conjugado es 2b 5 2(3) 5 6. La longitud de cada lado recto es

2b 2 18 5 , esto significa que a 5

9 el lado recto se extiende hacia arriba y hacia abajo de cada 5 c 5 foco. La excentricidad es 5 . a 4

y

a y 52 x b

Es decir:

8 8 y 5 x y y 52 x 6 6

o bien:

4 4 y 5 x y y 52 x 3 3

157

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Hipérbolas conjugadas Son hipérbolas conjugadas aquellas que se relacionan de manera que el eje transverso de una es el eje conjugado de la otra, además tienen el mismo par de asíntotas. Las hipérbolas: x 2 y2 2 51 a2 b2 Son conjugadas.

y

y2 x 2 2 51 b2 a2

Como puedes observar, sólo difieren en el signo de uno de sus miembros.

Ejercicio XXI 1. Para cada ecuación dada de la hipérbola, halla las coordenadas de los vértices y de los focos, la excentricidad, la longitud de cada lado recto y las ecuaciones de las asíntotas. a)

x 2 y2 2 51 16 9

b) 

x 2 y2 2 51 9 16

c) 

x 2 y2 2 51 36 64

d)

y2 x 2 2 51 25 9

e) 

y2 x 2 2 51 9 4

f ) 4y2 2 3x2 5 48 g) y2 2 x2 5 36 h)  x2 2 y2 5 49 i ) 16x2 2 9y2 5 2 304 j) 25x2 2 144y2 5 3 600 2. Obtén la ecuación de la hipérbola, con centro en el origen y ejes sobre los ejes coordenados que satisface las condiciones dadas. a) Vértices en el punto (4, 0) y un extremo del eje conjugado en (0, 3). b) Vértices en (0, 7) y (0, 27) y longitud del eje conjugado igual a 10. c) Un vértice en (6, 0) y un foco en (9, 0). d) Un vértice en (0, 23) y la distancia entre los focos es 10. e) Un vértice en (4, 0) y su excentricidad es 2. f ) Un foco en (6, 0) y un vértice en (24, 0). 158

g) Un foco en (0, 5) y el eje conjugado mide 4. h) La longitud del lado recto es 5 y un foco está en (3, 0). 3 i) Un foco se encuentra en (9, 0) y su excentricidad es . 2 4 j) Un foco está (210, 0) y sus asíntotas son y 56 x . 3

Hipérbola con centro en (h, k) Si una hipérbola tiene su centro en el punto (h, k) y sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, su ecuación se puede obtener trasladando los ejes de manera que el nuevo origen O9 coincida con el punto (h, k). Si el eje transverso es paralelo al eje x, entonces la ecuación de la hipérbola en relación con los nuevos ejes x9 y y9 es: ( x ′)2 ( y ′) 2 2 51 a2 b Al utilizar las ecuaciones de transformación, resulta lo siguiente: x 5 x9 1 h y y 5 y9 1 k Y despejando x9 y y9se obtiene: x9 5 x 2 h y y9 5 y 2 k Al sustituir estos valores en la ecuación nos queda: ( x 2h)2 ( y 2k )2 2 51 a2 b2 Que es la ecuación de la hipérbola respecto de los ejes originales x y y. Las ecuaciones de sus asíntotas son: b b y 2k 5 ( x 2h); y 2k 52 ( x 2h) a a Si el eje transverso es paralelo al eje y y el centro está en (h, k), la ecuación de la hipérbola referida a los ejes originales x y y es: ( y 2k )2 ( x 2h)2 2 51 a2 b2 Las ecuaciones de sus asíntotas son: b b x 2h5 ( y 2k ); x 2h52 ( y 2k ) a a Estas ecuaciones se conocen como la segunda ecuación ordinaria o estándar. En cada una de las ecuaciones ordinarias, a es la mitad de la longitud del eje transverso, b es la mitad de la longitud del eje conjugado, c es la distancia del centro al foco, y las tres están relacionadas de la siguiente manera: c2 5 a2 1 b2.



Grupo Editorial Patria®

2b 2 La longitud de cada uno de sus lados rectos: , y su excentricia dad es:

a 2 1b 2 c e5 5 .1 a a

Las ecuaciones:

( x 2h)2 ( y 2k )2 2 51 a2 b2

( y 2k )2 ( x 2h)2 2 51 a2 b2

Se pueden expresar en la forma general: Ax2 1 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Y ésta a su vez se puede expresar en aquéllas, o bien, en una ecuación semejante con el segundo miembro igual a cero. La forma general representa una hipérbola con ejes paralelos a los ejes coordenados si A y C tienen signos contrarios, cuando al reducirla a la forma estándar el segundo miembro es cero, representa a dos rectas que se cortan.

Por tanto, las coordenadas del centro son (1, 2). Como el coeficiente del término cuadrático en x es positivo significa que el eje transverso es paralelo al eje x, a 2 5 9, es decir, a 5 3, entonces las coordenadas de los vértices son (1±3, 2), o sea, V 9(22, 2) y V (4, 2). Como a 2 5 9 y b 2 5 4, de la relación c 2 5 a 2 1 b2, se obtiene que c 2 5 9 1 4, por tanto, c5 13 y las coordenadas de los focos son

(16

)

)

2b 2( 4) 8 , es decir, el lado recto se 5 5 a 3 3

4 hacia arriba y hacia abajo de cada foco. La excentricidad 3 13 c es e 5 5 . 2 a

extiende

Las ecuaciones de las asíntotas son:

b b y 2k 5 ( x 2h), y 2k 52 ( x 2h) a a

O sea:

2 2 y 225 ( x 21), y 2252 ( x 21) 3 3

O bien: 3y 2 6 5 2x 2 2, 3y 2 6 5 22x 1 2, de donde: 2x 2 3y 1 4 5 0, 2x 13y 2 8 5 0. La hipérbola se representa en la figura 7.17: y

Solución: La ecuación 4x 2 2 9y 2 2 8x 1 36y 2 68 5 0 se expresa en la forma estándar de la siguiente manera: Al trasponer el término independiente al segundo miembro y reordenando los demás términos: 2

(

2

de cada lado recto es

Ejemplo 1. Halla las coordenadas de los vértices y de los focos, la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola que representa 4x 2 2 9y 2 2 8x 1 36y 2 68 5 0. Halla la ecuación de la hipérbola conjugada.

(

)

13 , 2 , o sea, F 11 13 , 2 y F ′ 12 13 , 2 . La longitud

••

F´

2

4x 2 8x 2 9y  1 36y 5 68

V´

V

••

F

0

Al factorizar:

x

4(x 2 2 2x) 2 9(y 2 2 4y) 5 68 Al completar cuadrados y sumando la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación: 4(x 2 2 2x 1 1) 2 9(y 2 2 4y 1 4) 5 68 1 4 2 36 Al factorizar en el primer miembro y sumando en el segundo: 4(x 2 1)2 2 9(y 2 2)2 5 36 Al dividir la ecuación entre 36:

4( x 21)2 9( y 22)2 36 2 5 36 36 36 Nos queda:

( x 21)2 ( y 22)2 2 51 9 4

Figura 7.17

La ecuación de la hipérbola conjugada es:

( y 2 2)2 ( x 21)2 2 51 4 9

Ejercicio XXII 1. Halla la ecuación de la hipérbola que satisface las siguientes condiciones: a) Centro en (1, 3), un vértice en (4, 3) y un extremo del eje conjugado en (1, 1). 159

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

b) El eje transverso es paralelo al eje x y mide 12, el eje conjugado mide 10 y su centro está en (2, 21). c) Un vértice en (24, 0) y focos en (25, 0) y (1, 0). d) Sus vértices de hallan en (26, 8) y (2, 8) y su excentricidad 3 es igual a . 2 e) Un foco en (21, 2) y los extremos del eje conjugado en (3, 21) y (3, 5). f ) Sus vértices se localizan en (1, 8) y (1, 22) y la longitud de su eje conjugado es 8. g) Longitud del eje conjugado es igual a 6 y vértices en (21, 3) y (5, 3). h) La longitud del lado recto es 5 y sus vértices están en (22, 22) y (6, 22). i ) La longitud del eje conjugado es 6 y los focos están en (25, 12) y (25, 4). 9 j ) Los focos están en (0, 1) y (10, 1) y el lado recto mide . 2 2. Expresa cada ecuación en una de las formas estándar: ( x 2h)2 ( y 2k )2 2 51 a2 b2

( y 2k )2 ( x 2h)2 2 51 a2 b2

3. Halla las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos. Obtén la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las asíntotas. a) 9x2 2 16y2 2 54x 2 63 5 0 2

2

b)  x 2 4y 1 6x 1 32y 2 59 5 0 c) 21x2 2 4y2 1 84x 2 32y 264 5 0 d) 4x2 2 9y2 2 8x 2 36y 2 68 5 0 e) 5y2 2 4x2 2 30y 2 32x 2 99 5 0 f )  x2 2 y2 1 4x 1 10y 2 5 5 0 g) 2y2 2 3x2 2 8y 1 6x 2 1 5 0 h) 4x2 2 9y2 2 56x 2 18y 1 187 5 0 i ) 4x2 2 25y2 1 32x 1 50y 1 39 5 0 j )  x2 2 4y2 2 4x 2 12y 2 21 5 0

Ecuación general de segundo grado La ecuación general de segundo grado es de la forma: 2

2

Ax 1 Bxy 1 Cy 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 Cuando B 5 0, la ecuación nos queda de la siguiente manera: 2

2

Ax 1 Cy 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

160

Identificación del género de la cónica Por lo expuesto para la parábola, la elipse y la hipérbola, sabemos que los valores de A y C determinan el tipo de curva. • Si A o C son igual a cero, el lugar geométrico es una parábola. • Si A y C tienen el mismo signo, es una elipse. • Si A y C presentan signos contrarios, es una hipérbola; y • Si A y C son iguales, es una circunferencia (un caso especial de la elipse). Una discusión más amplia contempla los casos excepcionales en la siguiente forma: Si A 5 0, C ? 0. D ? 0, la ecuación representa una parábola (siempre y cuando represente un lugar geométrico real). Si A 5 0, C ≠ 0. D 5 0, la ecuación representa un par de rectas paralelas o coincidentes (siempre y cuando represente un lugar geométrico real). Si C 5 0, A ? 0. E ? 0, la ecuación representa una parábola. Si C 5 0, A ? 0. E 5 0, representa un par de rectas paralelas o coincidentes (B 5 0). Si A y C tienen el mismo signo, la ecuación representa una elipse (una circunferencia  si A 5 C). La ecuación también puede representar una elipse puntual o una elipse imaginaria. Si A y C presentan signos opuestos, la ecuación representa una hipérbola. También puede representar a dos rectas que se cortan. Cuando B ≠ 0, la ecuación general de segundo grado, mediante la ecuación de las fórmulas de rotación, se transforma en: A9x92 1 B9x9y9 1 C9y92 1 D9x9 1 F9 5 0 De donde: A9 5 A cos2 u 1 B sen u cos u 1 C sen2 u B9 5 B cos 2u 2 (A 2 C) sen 2u C9 5 A sen2 u 2 B sen u cos u 1 C cos2 u Utilizando estas expresiones y simplificando, se obtiene: B92 2 4A9C9 5 B2 2 4AC Como esta relación entre los coeficientes de la ecuación general de segundo grado y de su transformada es válida para cualquier rotación se dice que B2 2 4AC es un invariante. Si hacemos B9 5 0 mediante la rotación adecuada, entonces: 24A9C9 5 B2 2 4AC Por tanto, la cónica que representa la ecuación transformada se determina a partir de los signos de A9 y C9. Si A9 y C9 tienen signos iguales (A9C9 . 0) la cónica es una elipse. Si A9 y C9 tie-



Grupo Editorial Patria®

nen signos diferentes (A9C9, 0), la cónica es una hipérbola. Si A9C95 0 (suponiendo que A9C9 no son los dos cero), la cónica es una parábola. Las relaciones así establecidas entre A9 y C9 hacen que 24A9C9 sea negativo, positivo o cero, respectivamente. En consecuencia: Ax2 1 Bxy 1 Cy2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0

Utilizando el discriminante cuando la ecuación contiene el término Bxy Cuando existe el lugar geométrico, representa una elipse, una hipérbola o una parábola si B2 2 4AC es negativo, positivo o cero. Los casos excepcionales quedan incluidos de la manera siguiente: • B2 2 4AC , 0, la ecuación representa una elipse o un punto. • B2 2 4AC . 0, la ecuación representa una hipérbola o dos rectas que se cortan. • B2 2 4AC 5 0, la ecuación representa una parábola, dos rectas que son paralelas o bien coincidentes (una recta). Aplicaciones prácticas Las cónicas tienen aplicaciones importantes en obras de ingeniería y en la industria. La trayectoria descrita por un proyectil es aproximadamente una parábola. Si se hace girar una parábola alrededor de su eje, se genera una superficie que se llama paraboloide de revolución. Esta superficie tiene la propiedad de que la luz que emana del foco se refleja directamente en la dirección del eje, e inversamente, los rayos de la luz paralelos al eje se reflejarán dirigidos al foco. Este tipo de superficies se utilizan en reflectores, faros de automóvil y algunos telescopios. También se aplica en radares y equipos de microondas, ya que las ondas de radio se reflejan como la luz y se usan tanto para recibirlas como para enviarlas. En física, la energía cinética de un cuerpo de masa m que se mueve 1 a una velocidad y se expresa como: Ec 5 mv 2 . 2

Si se dan valores a las variables para obtener la energía cinética correspondiente y se representan en el plano cartesiano, se obtiene una parábola. En la construcción de puentes se utilizan formas de arco, una de las cuales se llama arco parabólico. A la longitud AC se le llama claro o luz y a la altura (depresión) máxima OB se le denomina flecha. La elipse tiene aplicación en resortes semielípticos como los que se utilizan en los automóviles. En nuestro Sistema Solar, los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, el cual se ubica en uno de los focos. Algunas máquinas emplean engranes elípticos que producen una carrera lenta y potente seguida de un regreso rápido. La elipse también se usa en la construcción de puentes. Si se hace girar la elipse alrededor de su eje mayor se genera una superficie llamada elipsoide, ésta tiene la propiedad de que las ondas que emanan de un foco se reflejan en la superficie para llegar al otro foco, lo que se aplica en teatros y otros edificios. La hipérbola se puede aplicar para localizar una fuente de sonido a partir de la diferencia de tiempos en los cuales llega el mismo a los puestos de escucha, con ello se pueden determinar las distancias desde la fuente de sonido a cada puesto. Esto se utiliza para localizar aeroplanos equipados con radar. La diferencia de las distancias (2a) de la fuente de sonido a F y F9, se obtiene registrando los tiempos precisos en que el sonido llega a los puntos de observación (F y F9) y multiplicando la diferencia de tiempos por la velocidad del sonido. Entonces la fuente de sonido se encuentra en una rama de la hipérbola de eje transverso 2a y focos F y F9. La rama sobre la que se halla la fuente de sonido se determina cuando se sabe a qué punto de observación llegó primero el sonido. Si se elige un tercer punto de observación F0 se puede localizar la fuente de sonido en una rama de otra hipérbola. En un punto de intersección de las dos hipérbolas se encuentra la fuente de sonido. Un lápiz de forma hexagonal muestra un arco hiperbólico en cada una de las caras de su extremo afilado.

Ejercicio XXIII 1. Identifica la cónica que representa cada una de las ecuaciones siguientes:

y

a) 4x2 2 20x 2 24y 1 97 5 0

0 x

b)  x2 1 4y2 2 4x 2 8y 2 8 5 0 c) 2x2 1 2y2 2 10x 1 6y 2 15 5 0

A

B

C

d)  x2 2 y2 1 4 5 0 e) 4x2 1 9y2 1 32x 2 18y 2 37 5 0 f )  x2 2 8x 2 y 1 7 5 0

Figura 7.18

g) 5x2 2 4y2 2 20x 2 24y 1 4 5 0 161

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

h) 4x2 1 4y2 2 40x 2 15y 2 150 5 0 2

i) 4x – 12x 2 24y 2 15 5 0 j)  x2 1 5xy 2 15y2 2 1 5 0 k) 2x2 1 2y2 1 10x 1 6y 2 111 5 0 l )  3x2 2 3y2 2 18x 1 12y 1 2 5 0 m) 2xy 2 x 1 y 2 3 5 0 n) 4x2 2 3xy 1 y2 1 13 5 0 o) 2y2 2 x 1 3y 1 9 5 0 2. La sección longitudinal de un faro de un automóvil es una parábola de 20 cm de ancho y 10 cm de profundidad. ¿A qué distancia del vértice se encuentra el foco? 3. Un arco de forma parabólica tiene su vértice a 3.2 metros de su base que mide 8 metros. Calcula la longitud de una viga que esté a una altura de 2.4 metros respecto de la base y paralela a ella. 4. El arco de un puente tiene la forma de una parábola, la luz es de 10 metros y la altura máxima es de 2.5 metros. Encuentra la altura del arco a intervalos de 1.25 metros, desde un extremo hasta el centro.

162

5. El arco de un puente tiene la forma de una semielipse que mide 18 metros de ancho y 6 metros de altura. Halla la altura del arco en un punto que se encuentra a 12 metros del centro de la base del arco. 6. La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es 2 970 millones de kilómetros y la excentricidad es aproximada1 mente . Halla las distancias desde los extremos del eje ma62 yor al Sol. Esas son la mayor y menor distancia desde la Tierra al Sol. 7. La Luna describe una trayectoria elíptica alrededor de la Tierra que se encuentra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es 769 102 kilómetros y la excentricidad es aproximadamente 1 . Halla la mayor y menor distancia desde la Tierra a la Luna. 18







Grupo Editorial Patria®

Aplicación de las TICs 1.  Usa la plataforma WolframAlpha para investigar las propiedades de una elipse. 2. Utiliza un programa de dibujo para bosquejar el siguiente enunciado: “La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se 1 encuentra en uno de los focos. La longitud del eje mayor es de 297 millones de kilómetros y la excentricidad es aproximadamente .”. 62 3.  Determina el modelo matemático de la elipse. 4.  Usa WolframAlpha para graficar dicho modelo. 5.  Encuentra las distancias de los extremos del eje mayor al Sol. ¿Qué significan estas distancias? 6.  Busca en la plataforma WolframAlpha la información de la órbita terrestre y compárala con los resultados obtenidos. Tip: busca “earth orbit” (órbita de la Tierra). 7.  Contesta por qué hay discrepancias. Guía de observación

Hora inicio:                   

Hora final:                   

Fecha:                     

Equipo:                    

Problemática asignada: Aplica los elementos y las ecuaciones de la elipse. Propósito: Registrar el papel que asumen los estudiantes al enfrentarse a la problemática de aplicar los elementos y las ecuaciones de la elipse, así como a los roles que les corresponde como actores de su propio proceso de aprendizaje. Criterio/conducta observable

Cumple Sí

No

Comentarios

Conoce la definición de elipse como lugar geométrico. Reconoce e identifica los elementos asociados con la elipse. Obtiene la ecuación ordinaria de las elipses verticales y horizontales con vértice en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Determina los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de su ecuación ordinaria. Obtiene la ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes coordenados. Determina los elementos y coordenadas del centro de una elipse con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos a partir de su ecuación. Obtiene la ecuación general de la elipse y puede convertirla a la forma ordinaria y viceversa. Para la hipérbola determina lo equivalente que para la elipse. Comentarios generales:

163

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse



Autoevaluación Evalúa tu desempeño y determina en qué o cómo puedes mejorar. 1.  Necesito ayuda.

2.  Lo puedo hacer sin ayuda.

Desempeños

1

2

3.  Puedo ayudar a otros para lograrlo.

3

Debo mejorar en…

Identifico los elementos asociados con la elipse. Reconozco la ecuación ordinaria y general de la elipse. Aplico los elementos y las ecuaciones de la elipse, en la solución de problemas y ejercicios de su entorno. Observaciones generales:

Coevaluación Utiliza la siguiente escala para evaluar a cada compañero de equipo. En cada caso anota el puntaje total obtenido. 3.  Muy bien

2.  Bien

1. Regular

0. Deficiente

Compañeros de equipo Criterios de evaluación

1

2

3

Aporta los conocimientos que investigó. Propone maneras diferentes de resolución. Es respetuoso y tolerante con opiniones distintas a la suya. Puntaje total

Heteroevaluación Resuelve en la página 165 la actividad Instrumentos de evaluación del Bloque 7 y entrégala a tu profesor.

164

4

5





Grupo Editorial Patria®

Instrumentos de evaluación Apellido paterno           Apellido materno           Nombre           Grupo     Asegúrate de haber adquirido los contenidos que se abordan en el Bloque 7. Para ello, realiza lo que se te pide a continuación.

1. Para la elipse

y2 x2 1 51, halla las coordenadas de los 169 144

focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad. Traza la curva correspondiente. 2. Para la elipse 2x 2 1 3y 2 5 12, halla las coordenadas de los focos, de los vértices, la longitud del lado recto y la excentricidad. Traza la curva correspondiente. 3. Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que satisface las condiciones siguientes:

3 5

Focos en (6, 0) y (26, 0) y excentricidad igual a . 4. Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que satisface las condiciones siguientes: Foco en (3, 0) y longitud del lado recto igual a 9. 5. Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que satisface las condiciones siguientes:

5 pasa por los puntos (3, 5) y  7 ,  .  3

6. Obtén la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que tiene sus vértices en (4, 0) y extremo del eje menor en (0, 3).

8. Halla la ecuación de la elipse que tiene sus vértices en (1, 1) y

1 3

(7, 1) y su excentricidad es .       9. Para la ecuación 2x 2 1 3y 2 2 8x 2 18y 1 29 5 0, halla las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices. Determina la longitud del lado recto y la excentricidad.       10. Para la ecuación 225(x 1 2)2 1 289(y 1 3)2 5 65 025, halla las coordenadas del centro, de los focos y de los vértices. Determina la longitud del lado recto y la excentricidad.      

      7. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados y que tiene sus vértices en (20, 0) y (220, 0) y excentricidad igual a  

6 . 10

   

165

7 BLOQUE

  Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse

Lista de cotejo

Lista de cotejo para el reporte sobre el techo elipsoidal de un edificio que se encuentra en Aplica lo que sabes de la página 152. Nombre del alumno:

Presentación

  Criterio

  1. Cuenta con una carátula que incluye: el nombre del trabajo que se realiza, la materia, fecha de entrega, nombre del alumno y su matrícula.   2. Tiene una redacción que es adecuada y clara.   3. Tiene buena ortografía o con errores mínimos.   4. El trabajo se elabora en computadora o manuscrito con letra legible.   5. Las gráficas o dibujos auxiliares se elaboran de un tamaño adecuado de modo que se puedan apreciar con claridad los datos obtenidos o las condiciones del problema.   6. Se presenta todo el procedimiento necesario para obtener los datos o solución que se pide con la justificación correspondiente.

Desarrollo

  7. En el procedimiento se desarrolla una secuencia lógica y coherente.   8. Se hace referencia a las gráficas o diagramas auxiliares para apoyar la argumentación del escrito.   9. Se hace la referencia bibliográfica de las notas, definiciones o conceptos consultados para sustentar teóricamente las acciones realizadas.

Conclusiones

Dominio del tema

10. La investigación se realiza con apoyo en libros y revistas actualizadas sobre el tema o bien en sitios web cuya información sea científicamente válida. De incluir citas textuales, éstas deben ser breves y con la referencia de la fuente.

166

11. Conoce la elipse y sus elementos. 12. Conoce el sólido de revolución llamado elipsoide. 13. Conoce las propiedades de la elipse y sus aplicaciones en la elipsoide. 14. Representa gráficamente a la elipse y sus elementos. 15. Conoce las propiedades de la elipse, en particular, de sus focos. 16. Conoce y explica el fenómeno que consiste en que una persona habla en un foco de un recinto de forma elipsoidal y solamente puede ser escuchada por la persona que se encuentra colocada en el otro foco.

cumple sí

no

Observaciones



Grupo Editorial Patria®

Rúbrica

Rúbrica para evaluar el conocimiento adquirido Indicaciones Esta rúbrica es para valorar el desempeño de los estudiantes tanto en forma individual como por equipo; asimismo, se pretende evaluar la participación de cada uno de los integrantes del grupo en el desarrollo de la secuencia didáctica y en la evaluación del producto: 4 Excelente, 3 Bueno, 2 Satisfactorio y 1 Deficiente. En cada aspecto aparecen los niveles de desempeño, según el tipo de evidencia generada. Nombre del estudiante::

Excelente (4)

Bueno (3)

Satisfactorio (2)

Deficiente (1)

Identifica los elementos asociados a una elipse. Obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Identifica los elementos asociados a una elipse. En algunos casos, obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

No identifica los elementos asociados a una elipse. No obtiene la ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, a partir de su ecuación.

Ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. Obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En la mayoría de los casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En la mayoría de los casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

En algunos casos, obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. En algunos casos, obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

No obtiene la ecuación ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados. No obtiene los elementos de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados.

Ecuaciones general y ordinaria de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En la mayoría de los casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

En algunos casos, convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general y viceversa.

No convierte una ecuación de una elipse con centro fuera del origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados, de su forma ordinaria a la forma general ni viceversa.

Criterios

  Aspecto a evaluar

Ecuación de una elipse con centro en el origen y ejes coincidentes con los ejes coordenados

Comentarios generales:

167

1 BLOQUE

 Glosario

Glosario Forma general de la ecuación de la circunferencia: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 Abscisa. Distancia de un punto P al eje vertical en un sistema coordenado rectangular. Abscisa al origen. Abscisa del punto en que una recta corta al eje x. Baricentro. Punto de intersección de las medianas de un triángulo. También se le conoce como gravicentro o centroide. Coordenadas. Distancias de un punto P a los ejes vertical y horizontal en un sistema coordenado rectangular. Diagonal. Segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono. Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x. x 2 y2 + =1 a2 b2 Ecuación de una elipse con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y. x 2 y2 + =1 b2 a2 Ecuación de una recta. Expresión algebraica de la recta según el tipo de ésta. Ecuación simétrica de la recta. También llamada forma de las intersecciones. Aparece en los denominadores y corresponde a los segmentos que determina sobre los ejes, es decir, sus coordenadas al origen. Ejes coordenados. Dos rectas perpendiculares entre sí que dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Elipse. Lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Los puntos fijos se llaman focos. Extensión. Conjunto de números reales en el que está definida una variable. 168

Forma general de la ecuación de la parábola:

y2 1 Dx 1 Ey 1 F 5 0 donde: D = −4 a E = −2k y F = k 2 + 4 ah Forma general de la ecuación de una recta. La ecuación Ax 1 By 1 C 5 0 corresponde a la forma general de la recta. En esta ecuación los coeficientes A, B y C pueden tomar el valor cero, pero A y B no pueden ser cero simultáneamente. Forma normal de la ecuación de una recta. x cos a 1 y sen a 2 p 5 0 es la expresión que corresponde a la ecuación de una recta en la forma normal. Forma ordinaria de la ecuación de una circunferencia: ( x − h)2 + ( y − k )2 = r 2 Intersecciones con los ejes. Son los puntos (x, 0) y (0, y) en que una gráfica corta a los ejes coordenados. Lado recto. Cuerda focal que es perpendicular al eje de la parábola. Lugar geométrico. Conjunto de puntos que satisfacen una condición o condiciones dadas. También se le considera como la trayectoria descrita por un punto que se mueve de acuerdo con una o más condiciones establecidas. Mediana. Segmento de recta que une el punto medio de un lado de un triángulo con el vértice opuesto. Mediatriz. Recta perpendicular a un segmento de recta en su punto medio. Ordenada. Distancia de un punto P al eje horizontal en un sistema coordenado rectangular. Ordenada al origen. La ordenada del punto en que una recta corta al eje y se llama ordenada al origen de la recta.



Grupo Editorial Patria®

Par ordenado. Aquel en el que se ha definido el orden de sus componentes.

Sección cónica. La que se obtiene por la intersección de un cono circular recto con un plano.

Paralelismo. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.

Segmentos dirigidos. Aquéllos en los que se ha definido la dirección y el sentido.

Perímetro. Suma de las medidas de los lados de un polígono.

Segunda ecuación ordinaria de la elipse

Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando la pendiente de una es recíproca negativa de la otra, es decir, cuando el producto de sus pendientes es igual a 1. Polígono. Figura formada por una poligonal cerrada. Primera ecuación ordinaria de la elipse. También llamada forma estándar. Problemas fundamentales de la geometría analítica:

( x − h )2

( y− k) +

2

( y− k)

2

=1 a2 b2 Es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales x y y. Cuando el eje mayor es paralelo al eje y, se obtiene la ecuación:

( x − h )2

+

=1 b2 a2 Segunda ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen:

•  Dada una ecuación construir la gráfica correspondiente, es decir, hallar el lugar geométrico que representa.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje x es:

•  Obtener la ecuación del lugar geométrico de un punto que satisface una condición dada.

(y 2 k)2 5 4a (a 2 h)

Puntos colineales. Aquellos puntos que están sobre una misma recta. Rectas coincidentes. Las que tienen todos sus puntos comunes. Rectas oblicuas. Las que caen en forma oblicua una con respecto a la otra, es decir, no forman un ángulo recto entre sí. Rectas que se intersecan. Las que tienen un punto en común.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y eje paralelo al eje y es: (x 2 h)2 5 4a (y 2 k) Simetría respecto a los ejes y al origen. Dos puntos son simétricos con respecto a una recta cuando ésta es perpendicular al segmento que une dichos puntos en el punto medio de éste. Dos puntos son simétricos respecto a otro punto cuando éste es el punto medio del segmento que determinan.

169

 Bibliografía

Bibliografía Fuller, Gordon, Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Company, 1993. Kindle, Joseph H., Geometría analítica plana y del espacio, McGraw-Hill, México, 1984. Lehmann, Charles H., Geometría analítica, Limusa, México, 2005. Leithold, Louis, El cálculo con geometría analítica, Harper & Row, 1986. Middlemiss, Ross R., Marks, James R. John L. Smart, Geometría analítica, McGraw-Hill, México, 1990. Rees, Paul, Geometría analítica, Reverté, España, 2008. Rider, Paul R., Geometría analítica, Montaner y Simon, Barcelona, 1966. Swokowski, Earl W., Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 11th edition, Brooks Cole, 2007. Wexler, Charles, Geometría analítica un enfoque vectorial, Montaner y Simon, Barcelona, 1968. Woods, Federico S. y Bailey, Federico H.  Geometría analítica y cálculo infinitesimal, Unión tipográfica Editorial Hispano Americana (UTEHA), México, 1972.

Vínculos en Internet http://www.mathworks.com http://www.wolframresearch.com http://www.geoan.com

170