FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL IISEMESTRE TEMA: ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER Curs
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FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL IISEMESTRE TEMA:
ECUACIONES DIFERENCIALES DE EULER
Curso: MATEMÁTICA III
Docente titular: MG. JULIO NÚÑEZ CHENG
Tutor: ING. ANDRES CAMARGO CAYSAHUANA
IV Ciclo – 2019
GRUPO:
LLANOS CERRÓN LUIS FRAY PAUCAR PALOMINO EFRAIN
Satipo - 2019
DEDICATORIA Este trabajo se lo dedicamos en primer lugar a DIOS por habernos concedido la vida y a nuestros progenitores por siempre apoyarnos para ser personas de bien
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AGRADECIMIENTO El agradecimiento de esta monografía va dirigido primero a Dios ya que sin la bendición y su amor todo hubiera sido un fracaso, también para mi docente que gracias a su conocimiento y ayuda pudimos concluir con éxito, y a nuestros padres que siempre nos apoyaron, y a mis compañeros.
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RESUMEN El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento. Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio del cambio en el mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales como la del problema de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador armónico, la teoría del potencial, las ecuaciones depredador-presa, la mecánica no lineal, el principio de Hamilton o el problema mecánico de Abel..., pues el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para nuestra civilización. La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la otra, y las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus índices de
cambio. Al expresar estas
relaciones mediante símbolos matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales
PALABRAS CLAVES: Ecuaciones Diferenciales
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ABSTRACT
The analysis has been for three hundred years a branch of the most important branches of Mathematics, and the differential equations in the central part of the analysis, in addition to the best way to understand the physical sciences and technique. The questions that pose a source of theory and the ideas that advance thinking. Differential equations appear in almost all areas of Civil Engineering, from Materials Resistance to Hydraulics. But we also aim at it. For all this, applications such as the problem of brachistochrome, Kepler's laws, the harmonic oscillator, the theory of potential, the predator-prey equations, non-linear mechanics, Hamilton's principle or Abel's mechanical problem are exposed. ..., because the mathematical treatment of these problems is a great achievement for our civilization. The reason for this large number of applications is because the derivative can be interpreted as the rate of change of one variable with respect to the other, and the variables that explain the phenomena that are related to each other by their rates of change. By expressing these relationships by mathematical symbols you get a lot of differential equations
KEYWORDS: Differential Equations
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INDICE
Pag.
CARATULA ......................................................................................................................... 1 DEDICATORIA .................................................................................................................... 2 AGRADECIMIENTO ........................................................................................................... 3 RESUMEN ............................................................................................................................ 4 ABSTRACT .......................................................................................................................... 5 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 7 CAPITULO I ....................................................................................................................... 8 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................................. 8 OBJETIVO ............................................................................................................................ 8 GENERAL ............................................................................................................................ 8 Aprender las ecuaciones diferenciales según el método de Euler. ................................... 8 ESPECIFICO ......................................................................................................................... 8 -Identificar las ecuaciones diferenciales según el método de Euler. ............................... 8 -Resolver las ecuaciones diferenciales según el método de Euler ................................... 8 JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................. 8 CAPITULO II ...................................................................................................................... 9 MARCO TEORICO .............................................................................................................. 9 Método de Euler, Método de Euler mejorado .............................................................. 10 CAPITULO III .................................................................................................................. 13 CONCLUSIONES ............................................................................................................. 15 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 16
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INTRODUCCIÓN Las ecuaciones diferenciales aparecen naturalmente al modelar situaciones físicas en las ciencias naturales, ingeniería, y otras disciplinas, donde hay envueltas razones de cambio de una ó varias funciones desconocidas con respecto a una ó varias variables independientes. Estos modelos varían entre los más sencillos que envuelven una sola ecuación diferencial para una función desconocida, hasta otros más complejos que envuelven sistemas de ecuaciones diferenciales acopladas para varias funciones desconocidas. Por ejemplo, la ley de enfriamiento de Newton y las leyes mecánicas que rigen el movimiento de los cuerpos, al ponerse en términos matemáticos dan lugar a ecuaciones diferenciales. Usualmente estas ecuaciones están acompañadas de una condición adicional que especifica el estado del sistema en un tiempo o posición inicial. Esto se conoce como la condición inicial y junto con la ecuación diferencial forman lo que se conoce como el problema de valor inicial. Por lo general, la solución exacta de un problema de valor inicial es imposible ó difícil de obtener en forma analítica. Por tal razón los métodos numéricos se utilizan para aproximar dichas soluciones. En este caso utilizaremos los métodos de Euler
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CAPITULO I PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Supongamos que queremos resolver el problema de valores iniciales 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑦(𝑥0 = 𝑦0 (1) Obviamente usando un ordenador sólo podremos resolver el problema en un intervalo acotado, digamos [𝑎, 𝑏] con 𝑎 = 𝑥0. Para ello vamos a dividir el intervalo en n subintervalos [𝑥0, 𝑥1] ∪ [𝑥1, 𝑥2]∪ · · · ∪ [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛] con 𝑥𝑛 = 𝑏. Supongamos que hemos encontrado los valores de y en los puntos 𝑥0, 𝑥1, ..., 𝑥𝑛, que denotaremos por 𝑦0, 𝑦1, ..., 𝑦𝑛. Entonces, para encontrar una solución aproximada 𝑦̂ (𝑥) podemos unir los puntos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑛 mediante líneas rectas . Es evidente que si el valor 𝑦𝑖 es bastante cercano al valor real 𝑦(𝑥𝑖) para todos los 𝑖 = 0, 1, . . ., 𝑛, entonces, al ser 𝑦e 𝑦 funciones continuas, la solución aproximada 𝑦(𝑥) estará “muy cercana” a la solución real 𝑦(𝑥) en cada uno de los intervalos [𝑥𝑖, 𝑥𝑖+1].
OBJETIVO GENERAL: Aprender las ecuaciones diferenciales según el método de Euler. ESPECIFICO -Identificar las ecuaciones diferenciales según el método de Euler. -Resolver las ecuaciones diferenciales según el método de Euler. JUSTIFICACIÓN
Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio del cambio en el mundo físico. Esta investigación se realiza porque existe la necesidad de aprender acerca de cómo resolver las ecuaciones diferenciales con el método de Euler.
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CAPITULO II MARCO TEORICO HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus comienzos
han
contribuido de manera muy notable a solucionar muchas cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la determinación de una función
que
debe
satisfacer una ecuación en la que aparece su derivada. En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco etapas Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia finales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por John Napier (1 550 – 1 617) cuando inventó los logaritmos. Vistas las tablas confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una ecuación diferencial., donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa iría desde los inicios hasta 1 820 cuando Cauchypublica su teorema de existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La tercera comienza en 1 870 con M. S. Lie (1 842 – 1 899) y la aplicación de la teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1 880 con el trabajo de E. Picard (1 856 – 1 941) y su teorema de existencia. La construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1 930 donde el análisis se hace más general. Ya E. H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con un número infinito numerable de variables; ahora se estudiarán ecuaciones diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el análisis funcional. Leonard Euler obtuvo importantes progresos en la teoría de ecuaciones diferenciales, que utilizó en la resolución de problemas de mecánica celeste y de balística. Sobre el trabajo de Euler en mecánica dijo Lagrange que era el primer gran trabajo en el que se aplica el análisis a la ciencia del movimiento.
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Con él, la teoría de las ecuaciones diferenciales se transforma en una disciplina independiente, con sus dos ramas, ecuaciones diferenciales ordinarias y derivadas parciales. Los resultados fueron recogidos en la magistral obra “Institutiones calculi integralis” en cuatro tomos, publicados los tres primeros entre 1 768 y 1 770 y el cuarto en 1 794, siendo utilizado desde entonces como manual obligado para el estudio de matemáticas. Figura 4: Leonhard Euler (1 707 – 1 783) A él se deben varios cambios de variables, como aquellos que permiten reducir ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden, y creó el concepto de factor integrante que proporciona la forma de integrar directamente algunas ecuaciones diferenciales ordinarias. En 1 735 trabajó las ecuaciones diferenciales mediante series, en 1 739 dio un tratamiento general de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes encontrando una solución exponencial, dando en 1 743 el método más general de la ecuación característica, y resolviendo en 1 753 la ecuación no homogénea.
Método de Euler, Método de Euler mejorado En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:
Consiste en multiplicar los intervalos que va de ancho ; osea:
a
en
subintervalos de
de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:
.
. La condición inicial
, representa el punto
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por
donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como
.
Ya teniendo el punto punto; por lo tanto:
se puede evaluar la primera derivada de
en ese
Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por pendiente
. Esta recta aproxima
y de
en una vecindad de
.
Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:
Se resuelve para
:
Es evidente que la ordenada
calculada de esta manera no es igual a
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,
pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor aproxime
en el punto
sirve para que se
y repetir el procedimiento
anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente: Método de Euler Mejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:
Donde
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:
En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la
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condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto aproximación de Euler mejorada.
como la
CAPITULO III APLICACIÓN DE DESARROLLO
Consideremos el siguiente problema de valor inicial.
La fórmula de Euler para este problema, tomando N puntos en el intervalo [1, 2] (sin contar el punto de partida a = 1), resulta:
(8)
Aplicamos el método de Euler para un paso h = 0,2. Teniendo en cuenta que h = 0,2, la cantidad de puntos en el intervalo resulta ser N = 5, y entonces la tabla de valores obtenida con la fórmula dada en (8) resulta:
i 0 1 2 3 4 5
t 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80
y 2,0000 2,4000 2,9760 3,8093 5,0282
2,00
6,8384
Ahora, aplicamos la fórmula el método de Euler con N = 20 y N = 50. Representamos gráficamente los puntos obtenidos, comparándolos con la solución exacta, dada por la función
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Se ve en los gráficos obtenidos, que a medida que nos alejamos del valor inicial, la solución aproximada pierde precisión (se aleja de la solución exacta), para el paso h = 1/20. Cuando se achica el paso, la solución mejora (h = 1/50).
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CONCLUSIONES No es el más exacto, pero si el más sencillo y simple de explicar, asi como el que marca la pauta para desarrollar los otros métodos. Con el método de Euler se obtiene una solución aproximada de un problema de valor inicial. Su margen de error es muy grande dependiendo al valor del intervalo que se encuentre, mientras mas pequeño sea el valor del intervalo mas exacto será la aproximación al valor verdadero de la función.
RECOMENDACIONES Aplicar de manera sencilla a sistemas de ecuaciones de primer orden y en consecuencia, a ecuaciones de orden superior al primero. Tener claro los errores que se dan en la integración numérica(Error de truncamiento, error de redondeo). Repasar la teoría sobre ecuaciones diferenciales.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Gerald, Curtis F. Análisis numérico. Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1987. 2. Rendón, Manuel Valenzuela. "Ecuaciones diferenciales." (2007). 3. Marshall, Guillermo. "Solución numérica de ecuaciones diferenciales." (1985). 4. Alfaro, V. "Métodos numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)." Departamento de Automática, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Universidad de Costa Rica(2004).
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