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Ejercicios resueltos durante el curso 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

Transformadas de Laplace por definición Transformadas de Laplace utilizando teoremas Transformadas inversas Derivada de transformada Teorema de convolución Ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales (transformada) Ecuaciones integrales Ecuaciones integrodiferenciales Circuitos Sistemas de ecuaciones diferenciales(método de la transformada) Ecuaciones diferenciales (método de las series de potencias) Sistemas de ecuaciones diferenciales (valores propios)

TRANSFORMADAS DE LAPLACE POR DEFINICIÓN: 1) f  T   1 L 1



 e

 ST

0

2) f  T   T



 ST 1 dT   e S

 0

 e  e 0 1   S S S

 ST  e   Te  ST e  ST   Te  ST L T    e  T  dT   dT    2  0 0 S S S S   u  T  du  dT 

dv  e  ST dT  v  3) L

f  T   e aT

e    aT



 ST



0

e

 ST

 0

1 S2

 e  ST S

 e dT   aT



0

e

 ST  aT



dT   e

T  S  a 

0

  e T  S  a   dT     S a 



 0

1 S a

TRANSFORMADAS DE LAPLACE UTILIZANDO TEOREMAS: 1) f  T   sen 2T  cos 2T L  sen 2T 2) L

L

f  T   T 2  6T  3

T

3)

 cos 2T   L  sen2T  + L  cos 2T  =

2



 

 6T  3  L T 2 + 6 L T  - 3 L 1 =

f  T    T  1  T 3  3T 2  3T  1

T

2 S  2 S 4 S 4 2

2 6 3  2  3 S S S

3

3

  

 

 3T 2  3T  1 = L T 3 + 3 L T 2 + 3 L T  + L 1 =

6 6 3 1  3 2  4 S S S S

4) L



f  T   1  e 2T

1  2e

2T





2

 1  2e 2T  e 4T

   

 e 4T = L 1 + 2 L e 2T + L e 4T =





1 2 1   S S 2 S 4

f  T   e T  e T  e 5T  5e 3T  10e T  10e T  5e 3T  e 5T L e 5T  5e 3T  10e T  10e T  5e 3T  e 5T  L e 5T - 5 L e 3T + 10 L e T - 10 L e T + 5 e 3T - L 1 5 10 10 5 1      e 5T = S  5 S  3 S 1 S 1 S  3 S  5 5)





5





 

 

 

 

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1) f  T   e 2T cos 2T L

e

2) L

e



cos 2T  L  cos 2T  S  S  2 

2T

f  T   e sen3T

S S 4 2

 S S 2

S 2

 S  2

2

4



S 2 S  4S  8 2

T

T



sen3T  L  sen3T  S  S 1 

3 S 9 2

 S  S 1

3

 S  1

2

9



3 S  2S  10 2

TRANSFORMADAS INVERSAS:

1 -1  2!  1 2  1 L   = T  3  2!  S 3  2  S  1 -1  3!  1 3  1   2) L-1  L   = T 4  3!  S 4  6  S  48   1  1   48   5   L-1  2  + L-1  5  = T  2T 4 3) L-1  2 S   S  S   S    2 1  2  4 1  4 4 -1  3!  1 -1  5!   4  1!   3   = L-1  2  4  6  = L-1  2    4) L-1   L  L  = 4  6  S S  1!  S  3!  S  5!   S S    S  S  2 1 5 4T  T 3  T 3 120   S  1 3   S 3  3S 2  3S  1 3 3 1   1 -1 5) L-1  = L    = L-1   2  3  4  = 4 4 S S S S   S S     1)L-1

3  2!  1 3 2 1 3  1  1   3!   + 3 L-1  2  + L-1  3  + L-1  4  = 1  3T  T  T 2!  S  3!  S  2 6  S  S  1   1 1 2T   6) L-1    T 1  e 2 S S  2 S   1    1  1  1 1 1 T  4 7) L-1   = L-1    L-1   = e 4 1 1 4 4  4 S  1  S  4  S  4 L-1 

1   1  1  1  1 2 5 -1   e 5T L = L-1      5  S  25  5  5S  2   S  25 



8) L-1 







5  7  5  5   L-1  2   sen7T 7  S  49  7  S  49  S   10S   10) L-1    10 L-1  2   10 cos 4T 2  S  16   S  16  S  6 -1  3   2S  6   11) L-1   = 2 L-1  2   L  2   2 cos 3T  2 sen3T 2 3  S  9  S  9  S  9 9) L-1 

2



 5    S  2  S  3 S  6  

12) L-1 

A B C 5      S 2 S 3 S 6 S  2 S  3 S  6  A S  3 S  6   B  S  2  S  6   C  S  2  S  3  5













A S 2  9 S  18  B S 2  8S  12  C S 2  5S  6  5 A BC  0  9 A  8 B  5C  0 18 A  12 B  6C  5 A  1 2 , B  1 y C 





5

L-1 



 S  2 S  3 S  6  

1 2  S S 4 A BS  C   S S2  4 S

13) L-1 







=

1

2

1 1 -1  1   1   1  2T 3T 6T L    L-1    L-1   = 12 e  e  12 e 2 2  S  2  S  3  S  6



  

1 S2  4



A S  4   BS  C  S  1 2

AS 2  4 A  BS 2  CS  1 A B  0 C 0 4 A  1  A  14  B   A   14 

 1 S  1 1 1  1 1   = L-1    L-1  2  =  cos 2T 2 4  S  4 4 4 4  S  S S 4    1 14) L-1   2 2  S 1 S  4  L-1 











AS  B CS  D 1  2  2 2 S 1 S 4 S 1 S 2  4



  AS  B   S  4   CS  D   S 2

2





1  1

AS  4 AS  BS  4 B  CS  CS  DS 2  D  1 AC  0 BD0 4A  C  0 4B  D  1 A  0 , B  13 , C  0 y D   13 3



2

3

 1 1  1 2  1 1 1   L-1   = L-1  2     senT  sen 2T 2 2 3 6 3  S  1 3 * 2  S  4  S 1 S  4 

L-1 



2





TRANSFORMADAS INVERSAS (1er. TEOREMA DE TRASLACIÓN): 1)L-1





1



 

1 -1  2!  L  3 2!  S 



1 2 T 2



1 2  2T T e 2

S S  2 S S 2   S  2  1 1 1       2) L-1    L-1  2   L-1  2   2  S  6S  10   S  6S  10  1  1  S  6S  9  1   1  1  L-1  = e 3T senT    L-1  2 2  S  1 S  S 3   S  3  1   1 1 1 1     3) L-1    L-1  2   L-1    2 2 2  S  2S  5   S  2S  1  4    S  1  4 

3

2  1  e T sen 2T   S  4  S  S 1 2 2S  5  2S  5 2S  5      4) L-1    L-1  2   L-1  2   2  S  6 S  34   S  6 S  34  25  25   S  6 S  9  25   2 S  5  1  1      2S  6  1 S 3 L-1    L-1    L-1    2 L-1   2 2 2 2   S  3  25    S  3  25    S  3  25    S  3  25    S  1 5  5   1  L-1  2   L-1      2 L-1  2 2 5   S  3  25   S  25  S S 3 5  S  25  S  S 3 L-1





2

1 2e 3T cos 5T  e 3T sen5T 5  2S  1  5) L-1  3 2  S  S  1 

A B C D E 2S  1  2     2 2 3 S S S  1  S  1  S  1 S  S  1 3

AS  S  1  B  S  1  CS 2  S  1  DS 2  S  1  ES 2  2S  1 3

3

2

AS 4  3 AS 3  3 AS 2  AS  BS 3  3BS 2  3BS  B  CS 4  2CS 3  CS 2  DS 3  DS 2  ES 2  2S  1 A  C  0  C   A  C  5 3 A  B  2C  D  0 3 A  3B  C  D  E  0 A  3 B  2  A  2  3B  5

B  1 , D  4 y E   3  2S  1   4   3 2!   5   1  5   L-1  L-1  = L-1  =   L-1  2   L-1    L-1  3 2  3 2 2!  S  S   S  1  S  S  1    S  1    S  1  3 5  T  5e T  4Te T  T 2 e T 2 DERIVADA DE TRANSFORMADA: 1)L T cos 2T  =



  1

 S 2  4  2S 2 d  S  d L T cos 2T  =   1  2     1  2 dS  S  4  dS S2 4 







   

4  s 2  S2 4  2  2 2 S2  4  S 4 

  1 







2) L Tsenh 3T 

  3 2S   d  3  6S d   L  senh3T     1  2     1  2  2 2 dS  S  9  dS S 9  S 9 







2 1  d   2 S  2 d d2     senhT   1  L   T senhT    1 2 2 dS  S 2  1 2 dS  S  1  dS 2 2 S 2  2 S  1   2   8S S 2  1  2 S 2  1  8S 2 S 2  1 6S 2  2   2 4 3 S 2 1 S 2 1 S 2 1

3) L



   1







4) L

Te

  1

S



2

2T



5) L







sen6T    1





















Te

3T







 



2

cos 3T    1

 

S S 2



 4 S  40







d  6  d 2T  2  L e sen6T    1 dS  S  36  dS



  6 2 S  4   d  6 d  6        1     1   2 2  S 2  4S  40 dS   S  2   36  dS  S  4S  40  

12 S  24 2

2



d  S  d 3T cos 3T    1  2  L e dS  S  9  dS

 S  S 3



 2





 



2

 S 2  6 S  18   S  3 2 S  6   d  S 3  d  S 3             1   1   2 2   dS   S  3 2  9  dS  S 2  6S  18  S  6 S  18  

  1



 S 2  6 S  18  2 S 2  12 S  18  

  1 

S



6) L

 6 S  18

2



 

2



S



S 2  6S 2

 6 S  18



2



d3 d3 T   e senhT   1 L T e senhT    1 dS 3 dS 3



  1



3 T

d3 dS 3



3



1



d3 dS 3

    1 

  S  1 2  1  



1    S 1 

1 d2      1  2 dS 2  S  2S   



2

S  S 1

  1 2 S  2   



 S 2  2S 



2

  

   2    2S  2 2 S  2S  2S  2     S  2S   d   S  2 S   2  2 2 S  2  S  2 S   d   S  2 S  2 S  2 S   2 2 S  2        dS  dS  S  2S   S  2 S     d   6 S  12 S  8   S  2S    12S  12    6S  12S  83 S  2S   2S  2     dS   S  2S    S  2S   S  2S    12S  12  3  6S  12S  8 2S  2   36S  108S  108S  36  S  2S   S  2S 

  1





d  S  2 S dS  2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

4

2

3

2

2

2

2

6

3

6

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

4

2

2

6

2

TRANSFORMADAS DE LAPLACE (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

e  aS S 3e 2 S 2) L  3u  T  2   e  2 S L  3  S 3) L Tu  T  a   L   T  a  a  u  T  a    L   T  a  u  T  a    L  au  T  a   1)L  u  T

 a   e  aS L 1 

e  aS L T   ae aS L 1  4) L   T

 1 u  T  1  e  S

e  aS ae  aS  S S2 S e L T   S2

e 2 S S 1 6) L   3T  1 u  T  3   L   3T  1  10  10  u  T  3  L   3T  9  10  u  T  3   5) L

e

2 T







 

u  T  2  L e  T 2  u  T  2   e 2 S L e T 

3e 3 S 10e 3 S  S S2 T 5 T 5 T 5 7) L Te u  T  5  L  T  5  5 e u  T  5  L  T  5 e u  T  5  3 L   T  3 u  T  3  10 L  u  T  3  3e 3 S L T   10e 3S L 1 













L

5e

8) L

T 5



 

 

T u  T  5  e 5 S L Te T  5e 5 S L e 

 T  1 e 3







3 T u  T  1  e  S L T e 

T 1

e 5 S

 S  1 2



5e 5 S S 1

6e  S

 S  1 4

TRANSFORMADAS INVERSAS (2do. TEOREMA DE TRASLACIÓN):

 e 2S  1 -1  2!   2 S 1 2  2 S 1 2  1   L-1  3  e  2 S  e  T e  T u T  2  L  3  3 2! 2 2  S   S   S 

1)L-1 

1  T  2 2 u T  2 2  1  e 2 S 2   1  2e 2 S  e  4 S   1   1  2 S -1 -1  2) L  L    = L-1    2 L-1   e  S  2  S 2  S  2  S  2     1  4 S  e  2T  2e 2T u  T  2   e  2T u  T  4   L-1   e  S  2  2T e  2e 2  T  2  u  T  2  e 2  T 4  u  T  4 







 e S  1  S  = L-1   e  S  S  1   S  S  1  A B 1   S S  1 S  S  1 A S  1  BS  1 A  1  B  1  1   S -1  1  S  1  S   T 1 u  T  1 L-1   e = L   e  L-1   e  u  T  1  e   S S  1 S S  1          2 S e 2 S  1 4) L-1    L-1  2  e 2  S  S  1   S  S  1  A B C 1  2   2 S S S  1 S  S  1 3) L-1 

AS  S  1  B  S  1  CS 2  1

AS 2  AS  BS  B  CS 2  1 AC  0  A B  0 B  1  A  1  C  1   2 S -1   1 1 1 1  2 S  2    1  T  e T u  T  2  L-1   e =L   e 2 S  1  S S  S  S  1 



u  T  2    T  2  u  T  2   e T  2 u  T  2 



TEOREMA DE CONVOLUCIÓN: 1)L

 e senT    d  T



o

f (T )  e T g (T )  senT

 e senT    d  

1  1   2  o  S 1  S 1 T   1  1  -1  1  T  4T   e e  4 T   d  2) L-1    L-1   L    e e 0  S 1  S  4   S  1 S  4   L

T



L

e  L  senT    T

 

e

 4T



T

0

5

e d  e



T

  



0



e e e d  e 



1

4) L-1 



0

2

e  e 4T e 4 d 

T 1  -1  1  T 2T  2  T   d   L    e e  0 e e  S  1  S  2



T

0

e

 3

 e 3 d  e   3

T

 

2T



 e 3T 1  e T e 2T   e      3 3  3 3



2T

0

T 1  -1  1  T T    T   d   L   = e e  0 e e  S  1  S  1

  

  L-1 

  S  1 

T

2T

0

  



  L-1 

2

2T

T

 e 5T 1  e T e  4T     5 5  5 5

0

  S  1 S  2  

T



 e  4T 



1

3) L-1 

 e 5   5

 4T



e  e T e d  e T  d  e T   0  Te T T

T



0

5) L-1 



S



 2



S  -1  1   1   L  2    cos 2T   sen2T    S  4  S  4  2 

  L-1 

2

 S  4  T 1 1 T 0  cos 2  2 sen 2T  2 d  2 0 cos 2  sen2T cos 2  cos 2Tsen 2  d  1 T 1 T 1 T  1  cos 4  sen2T cos 2 2d   cos 2Tsen 2 cos 2d   sen2T   d   2 0 2 2 0 2 0   T T T T 1 1 1 1  1  cos 2 T sen 4  d   sen 2 T d   sen 2 T cos 4  d   cos 2 T   0 0 0 sen4d  2 0 4 4 4  2  2

1 1 T  1  sen2T   0  sen 2T  sen 4  4 4  4  1 4

T

0

1  1   cos 2T  cos 4  4  4 

T

 o

Tsen 2T  161 sen2Tsen 4T  161 cos 2T cos 4T  161 cos 2T  14 Tsen 2T  161  cos 4T  2T   cos 2T  

1 Tsen 2T 4 ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES INICIALES (TRANSFORMADA): y 0  0 1) y   y  1

Sy s  y  0  y s  L 1

y s  S  1 

1 1  ys  S S  S  1

A B 1   S S  1 S  S  1 A S  1  BS  1 A  1  B  1  1  1  T y  T    L-1    L-1    1  e S S  1     y  0   1 2) y   2 y  T Sy s  y  0  2 y s  L T  1 Sy s  1  2 y s  2 S 1 1 s2 y s  S  2  2  1  y s  2 S S  S  2 A B C 1 s2    S S 2 S  2 S 2  S  2

AS  S  2  B S  2   CS 2  1  S 2 AS 2  2 AS  BS  2 B  CS 2  1  S 2 A  C  1 2A  B  0 2 B  1  B  12  A   14  C   3 4 1 1 3  1  1   1   T  e  2T y  T    14 L-1    12 L-1  2   34 L-1    4 2 4  S  S   S  2 3 2T y  0   0 , y  0   0 3) y   4 y   4 y  T e 2 S y s  Sy  0   y  0   4Sy s  4 y  0   4 y s  L T 3 e 2T



S 2 y s  4Sy s  4 y s  ys 



6

 S  2 4

6 6 6   4 2 4  S  4 S  4  S  2  S  2  S  2   S  2 6 2

1 6 -1  5!   T 5 e 2T L  6  5!  S  S  S  2 20 4) y   y  f  T  Sy s  y  0  y s  L  5u  T  1 y T  

y  0   0 , f  T   5u  T  1

5e  S S

y s  S  1 

5e  S 5 ys   e S S  S  1 S  S  1 A B 5    A  5, B  5 S S  1 S  S  1  1  1  S T y  T   5 L-1   e S  5 L-1   e  5u  T  1  5e u  T  1   S  S  1   T 1 5u  T  1  5e u  T  1 y   4 y  f  T  S y s  Sy  0   y  0   4 y s  L 1  u  T  1

5)

y  0   0 , y  0   1 ,  T   1  u  T  1

2

1 e S  S S S 1 e yS S 2  4   1 S S 1 e S yS   1 S S2  4 S S2  4 A BS  C 1  2  2 S S 4 S S 4 A  14 , B  14 y C  0 S  1 1  1 1   1  S 1 y T   L-1  L-1  L-1       e  2 4 4 4 4  S  S  4  S 1 1 1 1 1   cos 2T  u  T  1  cos 2 T  1 u  T  1  sen2T 4 4 4 4 2 S 2 ys  1  4 ys 



















S  S 1 -1  e  L 2  S  4

L-1 

2

y  0   1 , y  0   0 , y  0   1 , y  0   0 y  4  y  0 S 4 y s  S 3 y  0   S 2 y  0  Sy  0   y  0  y S  0

6)

S 4 ys  S 3  S  ys  0





yS S 4 1  S 3  S









S S 2 1 S S 2 1 S   2 4 2 2 S 1 S 1 S 1 S 1  S  y  T   L-1  2   cos T  S  1 yS 



 



ECUACIONES INTEGRALES: 1)

f  T     T    f   d  T T

0



2    S  4 



2

L

f  T  + L

 T    f   d   T

0

L T 

FS 1  2 2 S S S2 1 1   FS  2 2  2  y  T   L-1  2   senT 1  1 S S 1 S 1 S  1  1 2   2 S  S

FS 





F  S  



f  T   2T  4  senf  t    d T

2)

0

2  1   4 2  FS 2 S  S  1 4  2  F  S  1  2   2 S  1 S   S 2 1 4   S2  5 2 2S 2  2        F  S    F S   F S  2   S 2 1  S2 S2 S2 5  S 1    FS 



A B CS  D 2S  2  2  2  2 2 S S S 5 S S 5



2



 







AS S  5  B S  5   CS  D  S 2  2 S 2  2 2

2

AS  5 AS  BS  5B  CS 3  DS 2  2 S 2  2 3

2

A B  0 BD2 5A  0  A  0  C  0 5B  2  B  25  D  85 y T  

 8 5  2 8 2 -1  1   sen 5T L  L-1    T 2  2 5 5 5 5  S  5 5  S  5

f  T   2  f   dc 0 s  T    d  4e T  senT T

3)

0



S  4 1  2    S  1 S  1 S  1

F  S   2F  S 

2

  S  1 2   S 2  2S  1  4 1 4 1  2         F S  2 2 2    S 1 S 1 S 1 S 1 S 1    S 1  4 S 2  1 S 2 1 4S 2  4 1 F S     2 2 3 2  S  1 S  1  S  1 S  1  S  1  S  1 2 F  S  

A B C 4S 2  4    S  1  S  1 2  S  1 3  S  1 3

A S  1  B S  1  C  4 S 2  4 2

A  4, B  8, C  8

   4  8  8  1   L-1   L-1   L1   L-1  2  3 2  S  1     S  1    S  1    S  1  T 2 T T  8Te 4T e  Te



f  T   L-1 ' 

4e T

ECUACIONES INTEGRODIFERENCIALES: T dy  6 y  T   9  y   d  1 y 0  0 0 dT y 1 Sy s  y  0  6 y s  9 s  S S 9 1 S 1  ys  S  6     ys   2 S S S S  6 S  9  S  3 2   1   Te 3T y  T   L-1  2    S  3 

1)



2)



y 0  0

y   1  senT   y   d T

0

y 1 1  2  s S S 1 S 1 1 1 1 S  ys  S     2  ys  2  2 S S S 1 S 1 S 1 2  1 y  T   senT  TsenT 2

Sy s  y  0 





CIRCUITOS: 1)Determine la corriente I(T) de un circuito ¨LRC¨ en serie, cuando L = 0.005 henrios, R =1 y C = 0.02 faradios.

E  T   1001  u  T  1 

I  0  0

dI 1 T  RI   I   d  1001  u  T  1  dT C o dI 1 T 0.05 I I   d  1001  u  T  1  dT 0.02 o  1 e S  50 I s  0.05 SI s  I  0   I s   100  S S   S L

SI s  200 I s 

 1 e S  10000 I s   20000  S S   S

  S  100 2  S 2  200 S  10000   1 e S    20000    I s  I s  S S S S      20000S  1  e  S  20000 20000e  S   Is     S  100 2  S   S  100 2  S  100 2



 1  e S   20000   S  

  

I  T   20000Te 100T  20000Te 100T e  S  20000Te 100T  20000 T  1 e 100 T 1 u  T  1 2)Use la transformada de Laplace para determinar la carga en un capacitor de un circuito en serie (RC) cuando q  0   0 , R = 2.5, C = 0.08 faradios y E(T) = 5u(T-3).

R

dq 1  q  ET  dT c

2.5q   12.5q  5u  T  3  2.5 Sq s  q 0    12.5q s 

5e 3 S S

5e 3 S 2e 3 S  qs  S S  S  5 A B 2   S S  5 S  S  5 AS  5 A  BS  2  A  2 5  B   2 5 2  1  3 S 2 2 2 5 T  3   1 q  T   L-1   e 3 S  L-1  u  T  3  e = u  T  3  e 5 5 5 5  S  S  5 2.5q s  S  5 

3)Aplique la transformada de Laplace para hallar la carga q(T). En el capacitor de un circuito ¨RC¨ en serie cuando q  0   0 , R = 50, C = 0.01 faradios y E(T) = 50u(T-1)-50u(T-3).

dq 1  q  50u  T  1  50u  T  3 dT 0.01 50e  S 50e 3 S 50 Sq s  q  0    100q s   S S S 3 S e e qs   S  S  2 S  S  2  A B 1   S S  2 S  S  2 AS  2 A  BS  1  A  12  B  12 1 1 1  1   S 1  1  3 S 1  1  3 S q T     e S    e    e    e 2 S 2  S  2 2 S 2  S  2 1 1 1 1 q  T   u  T  1  e  2 T 1 u  T  1  u  T  3  e  2 T 3  u  T  3 2 2 2 2 50

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE LA TRANSFORMADA):

dx  x  y x 0   0 dT 1) dy y 0  1  2x dT x   x  y  Sx s  x 0   x s  y s  0   Sy s  y  0   2 x s  0 y  2x  Sx s  x s  y s  0  y s  Sx s  x s

Sy s  1  2 x s  0  S  Sx s  x s   1  2 x s  0  S 2 x s  Sx s  1  2 x s





xs S 2  S  2  1  xs  x T  

3  2 2  2 9  3  S  4



1 1 1  2  9 9 S  S  2 S  S  2  4  4  S  12  2  9 4

 S  S  12

2



2  12T 3 e senh T 3 2

  1 1   y s  Sx x  x s  S  2 2    S  12   9 4   S  12   9 4 1 S  12  12 1 S  12 1 2 ys     2 2 2 2 9 9 9 9 1 1 1 1 1  S  2   4  S  2   4  S  2   4  S  2   4  S  2  2  94 1 3 3 1 3 2 1 3 y  T   e  2T cosh T  e  2T senh T  e  2T senh T 2 4 2 3 2 R/ x  T  

2  12T 3 e senh T y 3 2

yT   e 

1

2T

cosh

3 3 1 3 2 1 3 T  e  2T senh T  e  2T senh T 2 4 2 3 2

dx  x  2y dT 2) dy  5x  y dT

x 0   1 y 0  2

x  x  2 y  Sxs  x 0  xs  2 y s  Sxs  1  xs  2 y s  Sx   Sy   y  5x  y Sys  y 0  5xs  y s  Sy s  2  5xs  ys 

s

 x s  2 y s  1

s

 y s  5xs  2

5 x s  S  1  10 y s  5

 5 x s  S  1  y s  S  1 S  1  2 S  1

 xs  S  1  2 ys  1 5  10 y  y  S  1 S  1  5  2S  2   y 10  S  1  2S  7  5xs  ys  S  1  2 S  1 y  S  9  2S  7 s

s

2

s

2

s

2S 7 7  2  y  T   2 cos 3T  sen3T 3 S 9 S 9 10 x s  2 y s  S  1  4 ys 

2















 xs  S  1  2 ys  1 S  1  xx  SS  11 SS  11  102 yx S11 S 11S41   x  S  1  10  S  5   5xs  ys  S  1  2  2  s s

s

s

2

s

xs 

S 5 5  2  x T    cos 3T  sen3T 2 3 S 9 S 9

R/

y  T   2 cos 3T 

7 sen3T 3

x T    cos 3T 

5 sen3T 3

dx dy   2x  1 dT dT 3) dx dy   3x  3 y  2 dT dT 2

2 x  y   2 x  1    x   y   3 x  3 y  2

x 0   0 y 0  0

2 Sx x  x 0    Sy s  y  0  2 x s 

1 S

Sx s  x 0   Sy s  y  0   3 x s  3 y s 

2 S

S 3 S  2S  x s  S  3 S  S  S  3 y s  S S 3 x s  2 S  1 S  3  S  S  3   2 S  S  3  2S x s 2 S 2  4 S  3  S 2  3S  S S 3 x s S 2  5S  6  S S 3 xs  S  S  3 S  2  2 x s  S  1 S  3  S  S  3 y s 

1  2 x s  S  1  Sy s  S   S  3



 

2   x s  S  3  y s  S  3  S    S   







 





A B C S 3    S S  3 S  2 S  S  3 S  2  A S  3 S  2   BS  S  2   CS  S  3   S  3 AS 2  5 AS  6 A  BS 2  2 BS  CS 2  3CS   S  3 A  12 , B  2, C  5 2 5 1 2 1 5 xs  2   2  x T     2e 3T  e S S 3 S 2 2 2

 1   2 x S  1  Sy   S  3  s   s S     2     x s  S  3  y s  S  3  S    2 S  1    

2 x s  S  1 S  3  S  S  3 y s 

S 3 S

 4 S  1 S S  3 4 S  1 Sy s  S  3  2 S  1 S  3 y s   S S S  3 4 S  1 y s S 2  3S  2 S 2  4 S  3   S S S  3 4 S  1 y s  S 2  5S  6   S S S  3 4 S  1  y s   S  3 S  2     S S 4 S  1 1  3S  1 ys    S  S  3 S  2 S  S  2  S  S  3 S  2   2 x s  S  1 S  3  2 S  1 S  3 y s 

 









A B C  3S  1    S S  3 S  2 S  S  3 S  2 A S  3 S  2   BS  S  2   CS  S  3  3S  1 AS 2  5 AS  6 A  BS 2  2 BS  CS 2  3CS  3S  1 A  16 , B  ys 

1 6



5 5

2

2

,C  

8

3

8

3

 yT   

S 3 S 2 1 5 3T 8 2T R/ y  T     e  e 6 2 3 1 5 x T     2e 3T  e 2 2 S

1 5 3T 8 2T  e  e 6 2 3

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES(MÉTODO DE OPERADORES):

dx  2x  y dT 1) dy x dT Dx  2 x  y  y  2 x  Dx  Dy  2 Dx  D 2 x Dy  x Dy  Dy





2 Dx  D 2 x  x  D 2 x  2 Dx  x  0  x D 2  2 D  1  0 x  D  1 D  1   0  D  1 de multiplicidad 2  x T   C1e T  C 2Te T y  2 x  Dx  2 C1e T  C 2Te T  D C1e T  C 2Te T









y  2C1e  2C 2Te  C1e  C 2Te  C 2 e  y  T   C1e T  C 2Te T  C 2 e T T

T

T

T

T

R/ x T   C1e T  C 2Te T

y  T   C1e T  C 2Te T  C 2 e T

dx  4x  7 y dT 2) dy  x  2y dT Dx 4 x D 2 x 4 Dx Dx  4 x  7 y  7 y  Dx  4 x  y    Dy   7 7 7 7 Dy  x  2 y

Dy  Dy D 2 x 4 Dx 2 Dx 8 x  Dx 4 x    x  2 y  x  2    x  7 7 7  7 7  7 D 2 x 4 Dx 2 Dx 8 x  x  0 7 7 7 7 D 2 x 2 Dx 15 x   0 7 7 7 x D 2  2 D  15  0  x  D  5 D  3   0  D  5 y D  3 x T   C1e 5T  C 2 e 3T D 4 y C1e 5T  C 2 e 3T  C1e 5T  C 2 e 3T 7 7 1 4 4 y  5C1e 5T  3C 2 e 3T  C1e 5T  C 2 e 3T 7 7 7 1 y  T   C1e 5T  C 2 e 3T 7 R/ x T   C1e 5T  C 2 e 3T











y T  

1 C1e 5T  C 2 e 3T 7



d 2x  5x  2 y  0 dT 2 3) d2y  2x   2y  0 dT 2 D 2 x  5 x  2 y  0  x D2  5  2y  0    2 x  D 2 y  2 y  0  2x  y D 2  2  0  4x  2 D 2  2 y  0



 

 x D  x D  5  2 y  0 D  2  x D  2 x  y D  2  0 2  x D x  D





  5 D



    2  4 x  0  2 D  5 D  10  4   0  7 D  6  0  6  D  1   0

x D  5 D  2  2 D2  2 y  0 2 2

2

4

2

4

2

2

2 2

2

2

2

2

 D 2  6  D   6i 

x

 D 2  1  D  i

 x T   C1 cos 6T  C 2 sen 6T  C 3 cos T  C 4 senT









2x D 2  5  4 y  0

x D  5  2 y  0 2   2x  y D  2  0 D  5 2

2

2



     4 y  y  D  2  D  5  0  y 4   D  2 D  5  0  D   6i  y  D  7 D  6   

 2x D 2  5  y D 2  2 D 2  5  0 2

2

4

2

2

2

 D  i



 y  T   C1 cos 6T  C 2 sen 6T  C 3 cos T  C 4 senT

R/ x T   C1 cos 6T  C 2 sen 6T  C 3 cos T  C 4 senT

y  T   C1 cos 6T  C 2 sen 6T  C 3 cos T  C 4 senT

d 2x  4 y  eT dT 2 4) 2 d y  4x  eT 2 dT D 2 x  eT  4 y  y 

D 2 x  4 y  eT D 2 y  4x  eT

D 2 x eT D 3 x eT D 4 x eT   Dy    D2 y   4 4 4 4 4 4

D2 y  D2 y D 4 x eT D4 x 3e T   4x  eT   4x   4 4 4 4 4 T  D  16  3e x   4  4 





x D 4  16  3e T  X p  Ae T  X p  Ae T  X p Ae T  16 Ae T  3e T  A 

 4

 Ae T

1  X p  15 e T 5

X c : D 4  16  0



 D2  D  4 D  4  0   D  2  D  2i  2



2



X c  C1e 2T  C 2 e  2T  C 3 cos 2T  C 4 sen2T

 x T   X c  X p  C1e 2T  C 2 e  2T  C 3 cos 2T  C 4 sen2T  15 e T

y

D 2 x eT D 2   4 4 4



eT 2T  2T C e  C e  C cos 2 T  C sen 2 T  2 3 4  1 5 



eT   4 

D eT  eT 2T  2T 2 C e  2 C e  2 C sen 2 T  2 C cos 2 T  1 2 3 4    4 5 4 1 eT  eT 2T  2T y   4C1e  4C 2 e  4C 3 cos 2T  4C 4 sen 2T    4 5 4 y

eT eT  20 4 eT  C 3 cos 2T  C 4 sen 2T  5

y  C1e 2T  C 2 e  2T  C 3 cos 2T  C 4 sen 2T  y  T   C1e 2T  C 2 e 2T

R/ x T   C1e 2T  C 2 e  2T  C 3 cos 2T  C 4 sen 2T 

y  T   C1e 2T  C 2 e  2T  C 3 cos 2T  C 4 sen 2T 

eT 5

eT 5

ECUACIONES DIFERENCIALES (MÉTODO DE LAS SERIES DE POTENCIAS): 1) y   y  0 

 nC n 1



n

x n 1   C n x n  0

k  n 1

n 0

k n





k 0

k 0

  k  1 C k 1 x k   C k x k 

 x   k  1 C k

k 0

k 1

0

 C k   0  C k 1  

Ck k 1

k  0  C1  C 0

 C1    C 0  C 0   2 2 2  C 2   C0 2   C 0 k  2  C3    3 3 6 C 0  C   6  C0 k  3  C4  3   4 4 24  C 4   C0 24   C 0 k  4  C5    5 5 120 k  1  C2 

2)

y  2 y  0

C0 2 C0 3 C0 4 C0 5 x  x  x  x 2 6 24 120 x2 x3 x4 x5  1 x      2! 3! 4! 5! 

y C 0 C 0 x  

y  C0  



y  C0  n 0

  x n n!

 C0 e  x



 nC n 1



n 1  2 C n x n  0 nx n0

k  n 1 

  k  1 C k 0 

k n 

k 1

x k  2 C k x k  0 k 0

 x   k  1 C k

k 1

k 0

 2C k   0  C k 1 

2C k k 1

k  0  C1  2C 0 2C1  2C 0 2 2C 2 2 2C 0  4C 0 k  2  C3    3 3 3 k  1  C2 

2C 3 2  4C 0  8C 0     4 4 3  12 2C 4 2  8C 0  16C 0 k  4  C5      5 5  12  60 4C 8C 16C 0 5 y  C 0  2C 0 x  2C 0 x 2  0 x 3  0 x 4  x 3 12 60 k  3  C4 

  2x  y  C e 2x 4 8 16 5   y  C0  1  2 x  2 x 2  x 3  x 4  x   C0  0 3 12 60  n!  n 0 3) y   x 2 y  0 n





 nC n x n1  x 2  C n x n  0 n 0

n 0



 nC n 0



n

x n 1   C n x n  2  0 n 0





n 3

n 0

C1  C 2 x   nC n x n 1   C n x n  2  0 k  n3 

  k  3 C k 0 

k 3

x k 2   Ck x k 2  0

 x   k  3 C k 0

k 2

k n



k 0

k 3

 C k   0  C k 3 

Ck k 3

C0 3 C  1  C4  1  0 4 C  2  C5  2  0 5 C C  3  C6  3  0 6 18 C  4  C7  4  0 7 C5  5  C8  0 8 C C  6  C9  6  0 9 162

k  0  C3  k k k k k k 4)

C0 3 C0 6 C0 9 x  x  x 3 18 162  x3 x6 x9  y  C0  1     3 18 162   y  C0 

1  x3   y  C 0   n  0 n!  3  

 C0 e

y   y  0



 n n  1 C n 2

n

x

n 2



  Cn x n  0 n 0

k n2

k n





k 0

k 0

  k  2 k  1C k 2 x k   C k x k 

n

 x   k  2 k  1 C k

k 0

k 2

0

 C k   0  Ck 2 

 C1 6  C2  12  C3  20  C4  30  C5  42  C6  56

 Ck  k  2 k  1

k  1  C3  k  2  C4 k  3  C5 k  4  C6 k  5  C7 k  6  C8

   C0 2  C 0  12 24 C1 C   6    1 20 120 C0   24   C 0   30 720 C1  C1   120    42 5040 C0 C0    720    56 40320 

x3

3

C 0 2 C1 3 C 0 4 C1 5 C 0 6 C0 C x  x  x  x  x  1 x7  x8 2 6 24 120 720 5040 40320 C C C C0 y1  C 0  0 x 2  0 x 4  0 x 6  x8 2 24 720 40320 n 2 4 6 8   x x x x    1 x 2 n y1  C 0  1       C0   C 0 cos x  2n ! 2! 4! 6! 8!  n 0  y  C 0  C1 x 

C1 3 C1 5 C x  x  1 x7 6 120 5040 3 5 7  x x x    1 n x 2 n1  C senx x     C1  1 3! 5! 7!  n  0  2n  1!

y 2  C1 x  

y 2  C1 

 y  y1  y 2  C 0 cos x  C1 senx

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VALORES PROPIOS):

dx  2x  3y  2 3 dT A 1) dy 2 1   2x  y dT 2 3 det  A  I     2   1     6  0 2 1 

2  3  4  0  4    1

   4   1  0    1

 4 

24

3

2

1 4



2

3

2

3

 2k1  3k 2  0

k1  1  2  3k 2  0  k 2 

2k1  3k 2  0 

k1  1 3  3

  Si

2  3  2 3

 3  4T  e  2 2    1 3 3 3   2  1   2 1    1 2 2 K 1  C1 

3k1  3k 2  0 

  Si k 2  1  2k1  2  0  k1  1 2 k1  2 k 2  0    1 T  3   1 T  e  e K 2  C 2  K  C1   e 4T  C 2  1   2 1 

R/

x T   3C1e 4T  C 2 e T

y  T   2C1e 4T  C 2 e T

dx  3 x  18 y dT 2) dy  2 x  9Y dT 3 det  A  I   2

 3  18   2 9

A

 18   3     9     36  0 9

   3 2  0     3 de multiplicidad 2 3    3  18 6  18    3   2  9    3 2  6 6k1  18k 2  0

k1  1  6  18k 2  0  k 2 

2 k1  6 k 2  0 

k1  1 3  3

  Si

1  3  1 3

 3  3T  e  1

K 1  C1 

1 6k1  18k 2  3 k1  1  6  18k 2  3  k 2   6   1 6   Si 2 k1  6 k 2  1  k1  1 6   6   3   6 K 2  C 2    Te 3T    e 3T   1   1  3T 3T x T   3C1e  3C 2Te  6C 2 e 3T

R/

  3  3T  e  C 2   1 

K  C1 

y  T   C1e 3T  C 2Te 3T  C 2 e 3T

dx  6x  y dT 3) dy  5x  4 y dT 6 det  A  I   5

 6  1   5 4

A

1   6    4     5  0 4    5  2i 2  10  29  0      5  2i 6   5  2i   18 1  2i 1    5  2i    5 4   5  2i  5  1  2i 1 1  2i  k1  1k 2  0  1  2i   1 k 2  1  k1  1  2i   Si 5k1    1  2i  k 2  0 k 2  11  2i   1  2i

 3  3T  6  3T    Te    e   1  1 

1  5T  e cos 2T  1  2i  6   5  2i   18 1  2i 1    5  2i    5 4   5  2i  5  1  2i 1 1  2i  k1  1k 2  0  1  2i   1 k 2  1  k1  1  2i   Si 5k1    1  2i  k 2  0 k 2  11  2i   1  2i 1  5T  e sen2T K 2  C 2  1  2 i   1   5T 1  5T  e cos 2T  C 2   e sen2T K  C1  1  2 i 1  2 i     K 1  C1 

Elías Felipe Nij Patzán [email protected] Fecha: 3/1/2003 Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Escuela de Ciencias Matemática Aplicada 1