• Author / Uploaded
• NidiaVivero

• Categories
• Condensador
• Transformada de Laplace
• Inductor
• Red eléctrica
• Corriente eléctrica

Citation preview

ÍNDICE INTRODUCCIÓN..........................................................................................................3 APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN CIRCUITOS..............4 Definición...................................................................................................................4 CIRCUITOS ELECTRICOS RLC..............................................................................4 1ªLEY.....................................................................................................................5 2ªLEY.....................................................................................................................5 FUNCIÓN..................................................................................................................5 Transformaciones..................................................................................................5 Resistencia.........................................................................................................5 Bobina.................................................................................................................5 Condensador......................................................................................................6 APLICACIÓN.............................................................................................................6 Ejemplo 1...................................................................................................................6 Ejemplo 2...................................................................................................................8 Ejemplo 3.................................................................................................................10 BIBLIOGRAFÍA...........................................................................................................12

INTRODUCCIÓN La Transformada de Laplace es muy utilizada en la rama de la ingeniería sobre todo para la resolución de ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos, ya que dichos circuitos y la Transformada de Laplace se nutren de condiciones iniciales para ser resueltos o para reducir la complejidad de sus ecuaciones. La Transformada de Laplace toma una función ƒ(t), que utiliza como variable al tiempo t, para transformarla en una F(s). A continuación, definiremos la Transformada de Laplace como:

El símbolo

denota el operador Transformada de Laplace, donde s es una variable −st

compleja y e

es llamado el núcleo de la transformación.

2

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EN CIRCUITOS 1

La Transformada de Laplace es una herramienta muy poderosa para la resolución

de circuitos RCL. La ecuación diferencial que está en el dominio del tiempo mediante la Transformada de Laplace pasan al dominio de la frecuencia, efectuando las respectivas operaciones algebraicas y si es necesario operar por Thévenin o Norton ordenar el circuito luego aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la respuesta en el domino del tiempo. Las técnicas de Transformada de Laplace son muy útiles para resolver ecuaciones con condiciones iniciales. Definición Para un

la Transformada de Laplace se define como:

CIRCUITOS ELECTRICOS RLC 2

Los circuitos RLC están constituidos por un resistor R (medida en ohm Ω, un

capacitor C (medido en faradios F) y un inductor L (medida en Henry H). Otras variables asociadas a los circuitos RLC son la corriente i(t), medida en ampere, la tensión v(t) medida en volts y el flujo de corriente está relacionado con la carga q (medida en Coulombs) mediante la relación:

1 SlideShare(2010). Aplicación de la Transformada de Laplace en circuitos eléctricos. 2 Nuñez (2012). Aplicación de la Transformada de Laplace para la resolución de circuitos RLC. 3

Los tres elementos tienen un variable en común que es la corriente. Cada uno de estos elementos se puede relacionar mediante las Leyes de Kirchhoff que enunciaremos a continuación: 1ªLEY: La suma de todas las corrientes que entran en un nodo, en un circuito, es cero.

2ªLEY: La suma de las caídas de tensión de cada elemento en un lazo cerrado, en un circuito, es cero. Las caídas de tensión en cada elemento son: En el resistor v(t)= iR. En el capacitor v(t) =

i i(t )dt c∫

di En el inductor v(t) =L dt Utilizando estas leyes, principalmente la segunda ley de Kirchhoff, la Transformada de Laplace, la anti transformada y teniendo en cuenta las condiciones iniciales del circuito se puede proceder a resolver o simplemente analizar un circuito RLC. FUNCIÓN Transformaciones Aplicando la Transformada de Laplace se puede mostrar la equivalencia de una resistencia una bobina y un condensador en función de sus condiciones iniciales Resistencia

4

Bobina

i(0) es la corriente de la bobina en el instante t = 0 − Condensador

v(0) es el voltaje en el condensador en el instante t = 0 − APLICACIÓN Para analizar un circuito RCL usando la transformada de Laplace hay dos métodos: 1º Escribir las ecuaciones temporales, aplicar la transformada de Laplace, resolver en el dominio de Laplace y finalmente volver al dominio del tiempo usando la transformada inversa. 2º Escribir el circuito equivalente en el dominio de Laplace y resolver directamente en él (con atención a las condiciones iniciales). Si el objetivo es conocer la respuesta en frecuencia no es necesario volver al dominio temporal. Ejemplo 1 Hallar

; para

, cuyas condiciones iniciales son

Solución

5

Mediante Fracciones Parciales se tiene:

Desarrollando

Entonces

Aplicando la Transformada Inversa de Laplace obtenemos la solución del problema en el dominio del tiempo

6

Ejemplo 2: 3

Reparto de carga de condensadores.

Enunciado: supongamos dos condensadores: C1 y C2 que contienen una carga inicial expresada por los voltajes vo1 y vo2. Los condensadores están conectados a través de una resistencia R y un interruptor ideal (sin resistencia y que conmuta instantáneamente). Si el interruptor se cierra en el instante t=0, calcular: la corriente máxima y el voltaje final. Solución: La suma de los voltajes a lo largo de la malla ha de ser nula:

Las condiciones iniciales establecen que: 3 Magaña (2015). Transformada de Laplace para circuitos eléctricos. 7

y Al aplicar Laplace se obtiene:

Despejando la corriente I(s) resulta:

Donde

, es decir el equivalente serie de los dos condensadores. Note

que los condensadores están conectados en serie a través de masa. Utilizando una tabla de transformadas inversas se puede volver al dominio del tiempo:

. Ahora ya podemos responder a la primera pregunta: la

corriente en el instante t=0 es

, es decir: la diferencia de voltajes iniciales

entre la resistencia. El voltaje final puede calcularse por el principio de conservación de la carga. Sin embargo, aquí lo vamos a obtener utilizando Laplace. Nótese que la corriente final es cero, es decir, después de un cierto tiempo los voltajes v1 y v2 convergen. Así que podemos calcular el voltaje final a través de v1 o v2 indistintamente. La ecuación para V2(s) es:

Para calcular la transformada inversa hace falta descomponer la primera fracción como se explica en el ejemplo 1. Sin embargo, no es necesario para calcular el valor

8

final

de

v2

puesto

que

podemos

aplicar

el

teorema

del

valor

final

. Al resolver el límite el voltaje final queda:

que es el mismo resultado que se obtiene aplicando el principio de conservación de la carga. Ejemplo 3: El circuito RLC de la figura está formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectado en serie a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar el interruptor en el tiempo t=0, tanto la carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito son cero. Determine la carga q(t) en el capacitor y la corriente resultante i(t) en el circuito en el tiempo t sabiendo que R=160Ω, L=1H, C=10-4F y e(t)= 20v. Aplicando la 2ª ley de Kirchhoff tenemos:

Utilizando

Nos queda

Sustituyendo los valores de R,C,L y e(t)

Aplicando la Transformada de Laplace en los dos miembros

9

Q(s) es la transformada de q(t), estamos suponiendo que q(0) = 0 y

d (q ) ( 0 ) =0 y d (t)

i(0) = 0 Esto reduce la ecuación a

Despejando

Aplicando fracciones simples

Ahora le aplicamos la transformada inversa

Entonces la corriente resultante en el circuito eléctrico

10

11

BIBLIOGRAFÍA 

Magaña, I. (23 de Noviembre de 2015). SlideShare. Obtenido de http://www.slideshare.net/maganus/transformada-de-laplace-para-circuitos-elctricos



Nuñez, R. O. (Agosto de 2012). Universidad Nacional del Sur. Obtenido de http://lcr.uns.edu.ar/fvc/NotasDeAplicacion/FVC-Richard%20Nu%C3%B1ez.pdf



SlideShare. (4 de Noviembre de 2010). Obtenido de https://es.scribd.com/doc/40935407/APLICACION-DE-LA-TRANSFORMADA-DELAPLACE-EN-CIRCUITOS-ELECTRICOS

12