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• Jhon Sanchez Bravo

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Transformadas de Laplace 1. ¿Cuales de las siguientes funciones son continuas por tramos en [0, +∞? f (t) =

t+1 t−1

f (t) = t2 f (t) =

t2

t−2 −t−1

f (t) = e1/t 2. Determinar cual de las siguientes funciones son de orden exponencial f (t) = sen 5t f (t) = t5 3. Hallar la Transformada de Laplace si: f (t) = t2 .cost f (t) = (2t − 3).e

t+2 3

f (t) = e−t .cos2t f (t) = t 4. Demostrar que L{t2 .sen t} =

6s2 − 2 (s2 + 1)3

5. Hallar L{t3 . cos t} 6. Hallar L{cos 5t} { sen 2 t.cost } 7. Hallar L t 8. Hallar L{sen (a + t)} 5 9. Demostrar que L{5} = , s > 0 s 10. Demostrar que L{tn } =

n! sn+1

,s>0

I.- Calcular las siguientes transformadas: a) L{cos2 at} b) L{

sen 2 t } t

c) L{

et − cos t } t

d ) L{t.e2t .f ′ (t)} II.- Calcular las transformadas inversas de: a) f (s) = b) f (s) = c) f (s) = d ) f (s) = e) f (s) = f ) f (s) =

s+3 (s + 1)(s − 3) 1 s2 .(s + 1) s+1 2 9s + 6s + 5 2s2 + 1 s.(s + 1)2 5s − 2 s(s + 2)(s − 1) s3 + 16s − 24 s4 + 20s2 + 64

III.- Calcular las transformadas inversas, usando la formula de Heaviside de: a) f (s) = b) f (s) = c) f (s) = d ) f (s) = e) f (s) =

2s − 11 (s + 2)(s − 3) 19s + 37 (s − 2)(s + 1)(s + 3) 1 (s + 1)(s2 + 1) 3s + 16 2 s −s−6 27 − 12s (s + 4)(s2 + 9)

11. Resolver y ′′ + 4y = 9t donde y(0) = 0, y ′ (0) = 7 12. Resolver y ′′ − 3y ′ + 2y = 4t + 12e−t donde y(0) = 6, y ′ (0) = −1 13. Resolver y ′′ − 4y ′ + 5y = 125t2 donde y(0) = y ′ (0) = 0 14. Resolver y ′′ + 9y = 18t con y(0) = 0, y(0) = 0 15. Resolver y ′′ − 4y ′ + 3y = F (t) donde y(0) = 1, y ′ (0) = 0 16. Resolver t.x′′ − (4t + 1)x′ + 2(2t + 1).x = 0 donde x(0) = 0 17. ¿Para qu´e valores de A y B se tendr´a que F (0) = 1 y F ′ (0) = 3?. Siendo H(s) = y F (t) = L−1 {H(s)}

s2 + As − B s3 − s

18. Resolver el sistema

  x′′ (t) + y ′ (t) + 3.x(t), = 15et  y ′′ (t) − 4x′ (t) + 3y(t), = 15sin(2t)

donde x(0) = 35, x′ (0) = −48, y(0) = 27, y ′ (0) = −55 19. Resolver el sistema

  2x′ (t) + 2x(t) + y ′ (t) − y(t), = 3t  x′ (t) + x(t) + y ′ (t) + y(t), =1

donde x(0) = 35, x′ (0) = −48, y(0) = 27, y ′ (0) = −55donde x(0) = 1, y(0) = 3 20. Resolver el sistema

  x′′ (t) − x(t) + 5y ′ (t), = t  y ′′ (t) − 4y(t) − 2x′ (t), = −2

donde x(0) = 0, x′ (0) = 0, y(0) = 0, y ′ (0) = 0