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Transformada de LAPLACE

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS PROFESOR: LIC. ROMAN TELLO, HUBERT GABINO

Transformada de LAPLACE

Ecuaciones Diferenciales

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Transformada de LAPLACE Ecuaciones Diferenciales

Pierre Simon Marquéz de Laplace (1749-1827) matemático y astrónomo francés tan famoso en su tiempo que se le conocía como el Newton de Francia. Sus principales campos de interés fueron la Mecánica Celeste, o movimiento planetario, la teoría de probabilidades, y el progreso personal. Prueba de sus talentos son 1. Mécanique Céleste monumental tratado en sobre cuestiones de gravitación publicado en cinco volúmenes entre los anos de 1799 y 1825. El principal legado de esta publicación reside en el desarrollo de la teoría de potencial, con implicaciones de largo alcance en ramas de la Física que van desde la gravitación, la mecánica de fluídos, el magnetismo y la física atómica. 2. Théorie Analytique des Probabilités que se considera la más grande contribución a esa parte de las matemáticas. Como anecdota, el libro inicia con palabras que mas o menos dicen "En el fondo, la teoría de probabilidades no es si no el sentido común reducido a cálculos", puede ser que si, pero las 700 páginas que le siguen a esas palabras son un análisis intrincado, en el cual usa a discreción la transformada de laplace, las funciones generatrices, y muchas otras técnicas no triviales.

4. Uno de los defectos principales que se le han atribuido en detrimento de su reputación es la omisión de toda referencia a los descubrimientos de sus predecesores y contemporaneos, dejando entrever que las ideas eran suyas del todo. 5. La ayuda prestada a los jovenes talentos científicos fue un gran acierto; entre esos jovenes se encuentan: el químico Gay-Lussac, el naturalista Humboldt, el físico Poisson, y al joven Cauchy, que estaría destinado a convertirse en uno de los artífices principales de las matemáticas del siglo XIX

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3. Tras la Revolución Francesa, el talento político y la ambición de Laplace alcanzaron su cenit; Laplace se adaptaba demasiado fácilmente cambiando sus principios; yendo y viniendo entre lo republicano y monárquico emergiendo siempre con una mejor posición y un nuevo título.

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Contexto La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada. Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada

Defi nición de la Transformada Sea f una función definida para

, la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge Notas 1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante 2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s 3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función: 1. De orden exponencial 2. Continua a trozos

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Defi nición de la Transformada Inversa

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La Transformada inversa de una función en s, digamos F(s) es una función de t cuya transformada es precisamente F(s), es decir si es que acaso Esta definición obliga a que se cumpla: y

Tabla de Transformadas 1. Obtención

2. Obtención

3. Obtención

4. Obtención Para n entero : 5. Obtención Para

6. Obtención Para s > a

7. Obtención

9. Obtención

10.Obtención

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8. Obtención

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Existencia de la Transformada Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace para de una función cualquiera: 1. Estar definida y ser continua a pedazos en el intervalo 2. Ser de orden exponencial

Propiedades de la Transformada En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de Laplace. Las demostraciones pueden ser obtenidas en el libro de Zill: A first course in Differential Equations with modelling applications 1. Linealidad

Idea La transformada de Laplace se distribuye sobre las sumas o restas y saca constantes que multiplican.

Versión para la inversa:

2. Primer Teorema de Traslación

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donde

1

Idea La transformada de Laplace se convierte un factor exponencial en una traslación en la variable s. Versión para la inversa:

3. Teorema de la transformada de la derivada

Idea La transformada de Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable s.

4. Teorema de la transformada de la integral

5. Teorema de la integral de la transformada

Siempre y cuando exista

6. Teorema de la derivada de la transformada

7. Transformada de la función escalón Si

representa la función escalón unitario entonces

8. Segundo teorema de Traslación

9. Transformada de una función periódica Si f(t) es una función periódica con período T:

Si f * g representa la convolución entre las funciones f y g entonces

Técnicas para la Transformada Inversa 1. Separación de Fracciones, 2. Primer Teorema de Traslación, 3. Fracciones Parciales,

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 Teorema de la Convolución

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4. Segundo Teorema de Traslación, 5. Convolución,

Método de Solución A ED basado en Laplace Pasos 1. Aplicar la transformada de Laplace en ambos miembros de la ED 2. Usar las propiedades de la transformada para tener una expresión en L{y(t)}. Esta expresión se conoce como la Ecuacion Característica 3. Aplicar la transformada inversa de Laplace para despejar y(t)

DEDUCCIONES DE FÓRMULA La razón principal por la cual las demostraciones de las pruebas son incluidas es que hacen uso del teorema de la transformada de la derivada, haciéndolas sencillas y breves.

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente

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y al aplicar el teorema nos queda:

1

de donde : Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda:

de donde y utilizando la obtención 1:

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda:

Por tanto

Deducción de :

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de donde y utilizando la obtención 2 y la linealidad de la transformada:

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En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde y utilizando un razonamiento inductivo:

Por tanto

Deducción de :

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde:

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Por tanto y despejando

1

Deducción de :

:

En esta deducción se utiliza el teorema de la transformada de la derivada usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: de donde: Por otro lado, si ahora utilizamos el mismo teorema de la transformada de la derivada pero usando la función y por consiguiente y al aplicar el teorema nos queda: Si resolvemos este sistema de ecuaciones simultaneas en

y

obtenemos las fórmulas deseadas.

APÉNDICES Apéndice: La Función Escalón Unitario La función Escalón Unitario en a es la función simbolizada como

ó

Es decir, es una función que vale 0 y justo en después del instante t=a la función se activa y su valor cambia a uno. El efecto es el de un switch que está abierto y justo en el instante t=a se cierra. La gráfica de la función escalón queda de la siguiente forma:

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y definida como:

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La función puede ser combinada para construir funciones seccionadas como se ilustra en los ejemplos.

Apéndice: Función Periódica Una función Periódica es una función que se repite. El período de la función es el mínimo intervalo de tiempo donde la función no se repite. Matemáticamente una función es periodica con período T es una función f(t) que cumple:

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Dicho en terminos simples, lo que es o pasa con la función en el intervalo describe o determina totalmente a la función. Gráficamente una función periódica queda

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Apéndice: Convergencia de una Integral Una integral del tipo

es una Integral Impropia del tipo I, se dice que ella converge si existe el límite

Es decir se sustituye el infinito por una nueva variable; se calcula la integral definida, y al resultado se le aplica el límite cuando la variable nueva tiende al infinito.

Apéndice: Continuidad a Pedazos Para motivos prácticos puede pensar a una función así como una función seccionada continua en cada una de las secciones pero que posiblemente no es continua en los puntos donde se unen dichas secciones. Los problemas que tiene la función son puntos aislados; no intervalos. Estas funciones tienen graficas similares a:

Apéndice: Función de Orden Exponencial Una función f(t) se dice de orden exponencial positiva M y un número T que cumplan:

si acaso existe una constante

Lo que establece la condición es que la función f(t) no crece mas rápido que la

Apéndice: Función Gama de Euler Esta función, que es una de las funciones mas importantes de la matemática, se define como:

Para enteros positivos se cumple que:

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función exponencial en el intervalo

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Por lo que esta función puede ser vista como la generalizcación de la función factorial.

Apéndice: Convolución entre dos funciones La convolución entre las funciones f(t) y g(t) es una nueva función de t definida como :

Demostraciones Teorema Sean f(t) y g(t) dos funciones seccionalmente continuas y de orden exponencial, y a y b dos constantes. Entonces

Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

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Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

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Recordando la definición de la transformada para f(t) y para g(t):

Teorema

Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, y a una constante. Entonces para s > a:

Siendo

Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Agrupando las funciones exponenciales:

Si ahora hacemos el cambio de variable S=s-a lo anterior queda:

Este segundo miembro coincide con la transformada de laplace de la función f(t) en la variable S siempre y cuando S > 0 , es decir siempre que s-a > 0, es decir s > a. Resumiendo

Donde

Teorema Sean f(t) una función seccionalmente continua y de orden exponencial, cuya derivada también es así. Entonces

Demostración Recurriendo a la definición de la transformada de Laplace tenemos:

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Si encadenamos esta serie de igualdades

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Recordando la forma como se calculan las integrales impropias y las propiedades de los límites:

Integrando por partes y tomando: por tanto: y la integral anterior nos queda:

Avanzando en los cálculos del segundo miembro:

Asi:

(Ec.I) Como la función f(t) es seccionalmente continua y de orden exponencial:

y además

Por tanto la ecuación (I) queda:

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Y por consiguiente:

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