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TALLER # 3 ECUACIONES DIFERENCIALES (20255) Bucaramanga, sábado, 26 de agosto de 2017. Nombre: ________________________________________ Código: __________ Calificación:

TUTOR: Marcos Chacon TEMA: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. Use el teorema de transformada de Laplace para resolver: 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 1 a) 𝑓 (𝑡) = { 1, 𝑡≥1 b)

2. Use el teorema de transformada inversa para resolver: 4

6

1

a) ℒ −1 {𝑠 + 𝑠 5 − 𝑠+8}

𝑏) ℒ −1 {(𝑠−

𝑠−3

√3)(𝑠+√3)

}

1

𝑐) ℒ −1 {𝑠(𝑠−𝑎)2 }

3. Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado (PVI): 𝑎) 2𝑦 ,,, + 3𝑦 ,, − 3𝑦 , − 2𝑦 = 𝑒 −𝑡 , 𝑦(0) = 0, 𝑦 , (0) = 0, 𝑦 ,, (0) = 1 𝑏) 𝑦 ,, + 4𝑦 , + 13𝑦 = 𝛿 (𝑡 − 𝜋) + 𝛿(𝑡 − 3𝜋), 𝑦(0) = 1, 𝑦 , (0) = 0 4. Considere la batería de voltaje constante 𝐸0 que carga un capacitor. Divida la ecuación 𝑅 1 (20) entre L y defina 2𝜆 = 𝐿 y 𝜔2 = 𝐿𝐶. Use la transformada de Laplace para mostrar que la solución 𝑞(𝑡) de 𝑞,, + 2𝜆𝑞, + 𝜔2 𝑞 =

𝐸0 𝐿

, sujeta a 𝑞(0) = 0, 𝑖 (0) = 0, es: 𝜆 𝐸0 [1 − 𝑒 −𝜆𝑡 (cosh (√𝜆2 − 𝜔 2 𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(√𝜆2 − 𝜔 2 𝑡))] , 𝜆 > 𝜔 2 2 √𝜆 − 𝜔 𝑞(𝑡) = 𝐸0 [1 − 𝑒 −𝜆𝑡 (1 + 𝜆𝑡)], 𝜆=𝜔 𝜆 𝐸0 𝐶 [1 − 𝑒 −𝜆𝑡 (cos (√𝜔 2 − 𝜆2 𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(√𝜔 2 − 𝜆2 𝑡))] , 𝜆 < 𝜔 { √𝜔 2 − 𝜆2 5. Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial dado (PVI): 𝑦 ,, + 4𝑦 , + 3𝑦 = 1 − 𝒰(𝑡 − 2) − 𝒰 (𝑡 − 4) + 𝒰 (𝑡 − 6),

𝑦(0) = 0 , 𝑦 , (0) = 0

6. Utilizando el teorema de Convolución resolver (no calcular la integral antes de transformar) :

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𝑡

a) ℒ {∫0 𝑒 −𝜏 cos(𝜏) 𝑑𝜏} 7. En algunos casos, la transformada de Laplace puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes de variable monomial. Utilizando el teorema derivada de una transformada para reducir la ecuación diferencial dada a una ecuación diferencial lineal de primer orden en la función transformada 𝑌(𝑠) = ℒ {𝑦(𝑡)}. Resuelva la ED de primer orden para 𝑌(𝑠) y después encuentre 𝑦(𝑡) = ℒ −1 {𝑌(𝑠)}. a) 2𝑦 ,, + 𝑡𝑦 , − 2𝑦 = 10,

𝑦 (0) = 𝑦 , (0 ) = 0

8. Use la transformada de Laplace para resolver la ecuación integral o la ecuación integrodiferencial dada: 𝑡

a) 𝑓 (𝑡) = 𝑡𝑒 𝑡 + ∫0 𝜏𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏 9. La ecuación diferencial de 𝐵𝑒𝑠𝑠𝑒𝑙 de orden 𝑛 = 0 es 𝑡𝑦 ,, + 𝑦 , + 𝑡𝑦 = 0 En la sección 5.3 veremos una solución del problema de valor inicial 𝑡𝑦 ,, + 𝑦 , + 𝑡𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦 , (0) = 0 es 𝑦 = 𝐽0 (𝑡), llamada función de Bessel de la primera especie de orden 𝑣 = 0. Usar el procedimiento indicado en las instrucciones para resolver los problemas 17 y 18 y mostrar que: ℒ {𝐽0 (𝑡)} =

1

√𝑠 2 + 1 Sugerencia: Quizá necesite consultar el ejercicio 46 de la sección 4.2 (zill), también se sabe que 𝐽0 (0) = 1. 1

a). 𝑚 = 2 , 𝛽 = 1 , 𝑘 = 5 , f es la función serpenteante descrita en el problema 49 (sección 4.4.3 del Zill ) con amplitud de 10 y 𝑎 = 𝜋, 0 ≤ 𝑡 < 2𝜋.

TALLER # 2 ECUACIONES DIFERENCIALES (20255) Primer Periodo Académico de 2017

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