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• Luis Rául Montaguth Tarazona

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TALLER TRANSFORMADA DE LA PLACE Nicolás Estiben Calderón Reyes - 20161374104 Anderson Alexander Ramirez Yosa - 20162374361

EJERCICIOS 2.12

i) Usar la definición para calcular la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones: 1) ft  e t5 

e

t5



 e st . e t5 dt 0

Usando propiedades de los exponentes: 

 e st . e t . e 5 dt 0

Sacando la constante 

e

5

 e st . e t dt 0

e

5



 e stt dt 0

Aplicando el limite: b

e

5

Lim b  e stt dt 0

Aplicando sustitución: u  st  t  du  s  1 dt  Entonces: e5 s  1

sbb

Lim b



e u du

0

Resolviendo la integral:

du  dt s  1

5  e Lim b s1

e u | sbb 0

5  e Lim b s1

e sbb  e 0

5 5  e 0  1  e s1 s1

2) ft  e 2t4 

e

2t4



 e st . e 2t4 dt 0

Usando propiedades de los exponentes: 

 e st . e 2t . e 4 dt 0

Aplicando el limite y sacando la constante: b

e

Lim b  e st . e 2t dt

4

0 b

e

4

Lim b  e st2t dt 0

Aplicando sustitución: u  2t  st  du  2  s dt 

du  dt 2s

Entonces: e4 2s

2bsb

Lim b



e u du

0

Resolviendo la integral: e 4 Lim b e u | 2bsb  0 2s e 4 Lim b e 2bsb  e 0  2s e 4 Lim b e 2bsb  1 2s e 4 0  1  e 4 2s s2

3) ft  t 2 e 3t 

2 3t

t e  

 e st . t 2 e 3t dt 0

Aplicando el limite y usando propiedades de los exponentes: b

Lim b  t 2 e 3tst dt 0

Aplicando integración por partes: u  t2

dv  e 3tst

du  2t Entonces: Lim b

3tst v e 3s

e 3tst . t 2 | b  2 3s 0 3s

b

 t. e 3tst dt 0

Aplicando integración por partes por segunda vez: dv  e 3tst

ut du  1

Entonces: Lim b

3tst v e 3s

e 3tst . t 2 | b  2 3s 0 3s

e 3tst . t | b  3s 0

b

1 3s

 e 3tst dt 0

Integrando y rompiendo los paréntesis: Lim b

Lim b

 

e 3tst . t 2 | b  2t. e 3tst | b  2e 3tst | b 3  s 0 3  s 2 0 3  s 3 0 e 3bsb . b 2  0  3s

2 3  s 3

4) ft  t sin 2t 

 t sin 2te st dt  0



2 3  s 3

2b. e 3bsb  0 3  s 2



2e 3bsb  2 3 3  s 3  s 3

Resolviendo

 t sin 2te st dt  dv  e st dt se st sin2t  2e st cos2t dx  dt v s2  4 tse st sin2t  2e st cos2t se st sin2t  2e st cos2t  dt  s2  4 s2  4 Resolviendo st  2e st cos2t dt   2 s  e st sin2tdt  2 2  se sin2t 2 s 4 s 4 s 4 Resolviendo xt

 e st cos2tdt

 e st sin2tdt dv  e st st dx  2cos2t v   es e st sin2t 2e st cos2t    dt  s s st x  2cos2t dv   e s st dx  4sin2t v  e2 s e st sin2t 2e st cos2t 4e st sin2t     dt  2 s s s2 e st sin2t 2e st cos2t    42  e st sin2tdt s s2 s st Como la  e sin2tdt aparace en el lado derecho despejo y resuelvo: x  sin2t

se st sin2t  2e st cos2t s2  4 Resolviendo  

 e st cos2tdt

dv  e st st dx  2sin2t v   es e st cos2t 2e st sin2t    dt  s s st x  2sin2t dv   e s st dx  4cos2t v  es 2 e st cos2t 2e st sin2t 4e st cos2t     dt 2 s s s2 e st cos2t 2e st sin2t    42  e st cos2tdt s s2 s st Como la  e cos2tdt aparace en el lado derecho despejo y resuelvo x  cos2t

2e st sin2t  se st cos2t s2  4 Reemplazo la integrales ya resueltas   2 s  e st sin2tdt  2 2  e st cos2tdt s 4 s 4 

sse st sin2t  2e st cos2t 22e st sin2t  se st cos2t  s 2  4 2 s 2  4 2 Reemplazo la integrales ya resueltas tse st sin2t  2e st cos2t se st sin2t  2e st cos2t   dt  s2  4 s2  4 st st st st tse sin2t  2e cos2t sse sin2t  2e cos2t 22e st sin2t  se st cos2t    s2  4 s 2  4 2 s 2  4 2 Simplificando y evaluando e st s 3  4st  s 2  4 sin2t  2s 2  8t  4s cos2t   /0 s 4  8s 2  16  4 4s2 con s  0 s  8s  16 5) ft  t 2 cos 3t 



 t 2 cos 3te st dt  0

Resolviendo

 t 2 cos 3te st dt  dv  e st cos3t 3e st sin3t  se st cos3t dx  2t v s2  9 2 st st t 3e sin3t  se cos3t 2t3e st sin3t  se st cos3t  dt 2 s 9 s2  9 Resolviendo st  se st cos3t  2t3e sin3t dt  2 2  t3e st sin3t  se st cos3tdt 2 s 9 s 9 Resolviendo x  t2

 t3e st sin3t  se st cos3tdt  3te st sin3t  ste st cos3tdt  3  te st sin3tdt  s  te st cos3tdt Resolviendo

 te st sin3tdt dv  e st sin3t se st sin3t  3e st cos3t dx  1 v s2  9 tse st sin3t  3e st cos3t se st sin3t  3e st cos3t   dt  s2  9 s2  9 Resolviendo xt

se st sin3t  3e st cos3t dt s2  9   2 s  e st sin3tdt  2 3 s 9 s 9 Resolviendo



 e st cos3tdt

 e st sin3tdt x  sin3t

dv  e st

st dx  3cos3t v   es e st sin3t 3e st cos3t    dt  s s st x  3cos3t dv   e s st dx  9sin3t v  e2 s e st sin3t 3e st cos3t 9e st sin3t      dt s s2 s2 e st sin3t 3e st cos3t    92  e st sin3tdt s s2 s st Como la  e sin3tdt aparace en el lado derecho despejo y resuelvo

se st sin3t  3e st cos3t s2  9 Resolviendo   e st cos3tdt 

dv  e st st dx  3sin3t v   es e st cos3t 3e st sin3t    dt  s s st x  3sin3t dv   e s st dx  9cos3t v  e2 s e st cos3t 3e st sin3t 9e st cos3t      dt s s2 s2 e st cos3t 3e st sin3t    92  e st cos3tdt s s2 s st Como la  e cos3tdt aparace en el lado derecho despejo y resuelvo x  cos3t

3e st sin3t  se st cos3t s2  9 Reemplazo la integrales ya resueltas   2 s  e st sin3tdt  2 3  e st cos3tdt s 9 s 9 sse st sin3t  3e st cos3t 33e st sin3t  se st cos3t   s 2  9 2 s 2  9 2 Reemplazo la integrales ya resueltas tse st sin3t  3e st cos3t se st sin3t  3e st cos3t   dt 2 s 9 s2  9 tse st sin3t  3e st cos3t sse st sin3t  3e st cos3t 33e st sin3t  se st cos3t    s2  9 s 2  9 2 s 2  9 2 Resolviendo ahora 

 te st cos3tdt dv  e st cos3t 3e st sin3t  se st cos3t dx  1 v s2  9 st st t3e sin3t  se cos3t 3e st sin3t  se st cos3t   dt 2 s 9 s2  9 xt

Resolviendo st st  3e sin3ts 2  se9 cos3t  2 3  e st sin3tdt  2 s s 9 s 9 Resolviendo

 e st cos3tdt

 e st sin3tdt se st sin3t  3e st cos3t s2  9 Resolviendo  e st cos3tdt 3e st sin3t  se st cos3t  s2  9 Remplazo la integrales ya resueltas 3  e st sin3tdt  s  e st cos3tdt 2 2 s 9 s 9 3se st sin3t  3e st cos3t s3e st sin3t  se st cos3t   s 2  9 2 s 2  9 2 Remplazo la integrales ya resueltas t3e st sin3t  se st cos3t 3e st sin3t  se st cos3t   dt  s2  9 s2  9 st st st st 3se sin3t  3e cos3t t3e sin3t  se cos3t s3e st sin3t  se st cos3t    s 2  9 2 s2  9 s 2  9 2 Remplazo la integrales ya resueltas 

3  te st sin3t  s  te st cos3tdt 3tse st sin3t  3e st cos3t 6sse st sin3t  3e st cos3t stse st sin3t  3e st cos3t   2 2 2 s 9 s  9 s2  9 s 2 3e st sin3t  se st cos3t 93e st sin3t  se st cos3t   s 2  9 2 s 2  9 2 Remplazo la integrales ya resueltas 2  t3e st sin3t  se st cos3tdt s2  9 6te st sin3t  3e st cos3t 12se st sin3t  3e st cos3t 2st3e st sin3t  se st cos3t    s 2  9 2 s 2  9 3 s 2  9 2 2s 2 3e st sin3t  se st cos3t 183e st sin3t  se st cos3t   2 3 s  9 s 2  9 3 Remplazo la integrales ya resueltas t 2 3e st sin3t  se st cos3t 2t3e st sin3t  se st cos3t   dt s2  9 s2  9 6tse st sin3t  3e st cos3t 12se st sin3t  3e st cos3t t 2 3e st sin3t  se st cos3t    s 2  9 2 s 2  9 3 s2  9 st st 2 st st st 2st3e sin3t  se cos3t 2s 3e sin3t  se cos3t 183e sin3t  se st cos3t    s 2  9 2 s 2  9 3 s 2  9 3 Simplificando y evaluando e st 3s 4 54s 2 243t 2 12s 3 108st18s 2 54 sin3ts 5 18s 3 81st 2 1622s 4 t2s 3 54s cos3t   /0 s 6 27s 4 243s 2 729 



2s 3 54s  6 s  27s  243s 2  729 s  27s 4  243s 2  729 6

4

2ss 2  27 con s  0 s 6  27s 4  243s 2  729 6) ft  t sinh 3t  

 t sinh 3te st dt  0

Resolviendo 3t

 t sinh 3te st dt   te  1  te 3t  e 3t e st dt 2

 e 3t e st dt 2

Resolviendo

 te 3t  e 3t e st dt   te 6t  1e st3t dt  te 3tst  te st3t dt   te 3tst dt   te st3t dt Resolviendo

 te 3tst dt dv  e 3tst 3tst dx  1 ve s3 3tst 3tst   te   e dt s3 s3 Resolviendo 3tst   se  3 dt  3 1 s 2  e u du u  3t  st du  3  sdt  dt  1 du 3s Resolviendo xt

 e u du  e u Aplico a  a u du lna u

con a  e

Resolviendo 1   e u du s  3 2 3tst eu   e 2 s  3 s  3 2 Reemplazo las integrales ya resueltas 3tst 3tst   te   e dt s3 s3 3tst 3tst   te  e s3 s  3 2 Resolviendo

 te st3t dt xt

dv  e st3t

st3t

v  e s3 st3t st3t te e    dt s3 s3 Resolviendo st3t   es  3 dt  s 13 2  e u du u  st  3t 1 du du  s  3dt  dt  s  3 Resolviendo dx  1

 e u du  e u Aplico a  a u du lna u

con a  e

Reemplazo las integrales ya resueltas st3t 1 eu e u du   e 2  2 s  3 s  3 s  3 2 Reemplazo las integrales ya resueltas st3t st3t   te   e dt s3 s3 st3t st3t   te  e s3 s  3 2 Reemplazo las integrales ya resueltas

 te 3tst dt   te st3t dt 3tst 3tst st3t st3t   te  e  te  e 2 s3 s3 s  3 s  3 2 Reemplazo las integrales ya resueltas 1  te 3t  e 3t e st dt 2 3tst 3tst st3t st3t   te  e  te  e 2 2s  3 2s  3 2s  3 2s  3 2 Simplificando y evaluando s  3 2 s  3t  1e 6t  s  3 2 s  3t  s  3 2 e s3t   /0 2s  3 2 s  3 2 6s 6s  4  con s  0, s  3  0 s  18s 2  81 s  3 2 s  3 2

7)ft 

2t  1, 0  t  1 0,

si t  1

ft  2t  1ut  0  ut  1 ft  2t  1ut  ut  1 ft  2t  1ut  2t  1ut  1 Simplificando ft  ut2t  1  ut  12t  1 

ut2t  1  ut  12t  1e st dt 0

Resolviendo u t2t  1  t  12t  1e st dt

Resolviendo

t2t  1  t  12t  1e st dt dv  e st st dx  2t  2t  1 v   es t2t  1  t  12t  1e st 2t  1  2te st   dt  s s Resolviendo st st  2t  1 s 2te dt   s12  du   su2   2t  1s 2 2te u  2t  1  2te st e st du  s2t  1  2te st  dt   du s2t  1  2t Reemplazo las integrales ya resueltas t2t  1  t  12t  1e st 2t  1  2te st   dt  s s st st t2t  1  t  12t  1e 2t  1  2te   s s2 Reemplazando las integrales ya resueltas x  t2t  1  t  12t  1

u t2t  1  t  12t  1e st dt ut2t  1  t  12t  1e st u2t  1  2te st  s s2 Simplificado y evaluando u2st  s  2e st  s  2u  /0  con s  0 2 s s2 1, 0  t  2 8)ft  1 si t  2 

ft  1ut  0  ut  2  1ut  2 ft  ut  ut  2  ut  2 ft  ut  2ut  2 

ut  2ut  2e st dt 0

Resolviendo

ut  2ut  2e st dt  u t  2t  2e st dt Resolviendo

t  2t  2e st dt x  t  2t  2 dx  1 st t  2t  2e st    es s Resolviendo st  e s   s12  e u du u  st

dv  e st st v   es

du  s  dt   1s du Resolviendo

 e u du  e u Aplico a  a u du lna u

con a  e

Reemplazando las integrales ya resueltas  12  e u du s u st   e2   e 2 s s Reemplazando las integrales ya resueltas st t  2t  2e st    es s st t  2t  2e st  e2  s s Reemplazo las integrales ya resueltas  u t  2t  2e st dt st ut  2t  2e st  ue2 s s Simplificando y evaluando ust  4  1e st  4s  1u  /0   con s  0 2 s s2 ii) Usar las transformadas vistas hasta el momento y las propiedades para calcular ft en cada caso.



1) ft  4t  10 4t  10 Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 4t  101 Entonces:  42  10 s s 2) ft  t 2  6t  5 t 2  6t  5 Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: t 2   6t  51 Entonces:

 23  62  5s s s 3) ft  t  2 3 Desarrolando el cubo del binomio: ft  t 3  6t 2  12t  8 t 3  6t 2  12t  8 Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: t 3   6t 2   12t  81 Entonces: 6  12  12  8 s s4 s3 s2 4) ft  2t  1 2 Desarrollando el cuadrado del binomio: ft  4t 2  4t  1 4t 2  4t  1 Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 4t 2   4t  1 Entonces: 8  4  1 s s3 s2 5) ft  6t 2  2sen3t 6t 2  2sen3t Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 6t 2   2sen3t Entonces: 12  6 s3 s2  9 6) ft  e t  e t  2

Desarrollando el cuadrado del binomio: ft  e 2t  2  e 2t e 2t  2  e 2t  Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: e 2t   21  e 2t  Entonces: 1  1  1 s s2 s2 7) ft  5sen3t  2 cos2t 5sen3t  2 cos2t Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 5sen3t  2cos2t Entonces: 15  2s s2  9 s2  4

8) ft  e t sen3t e t sen3t Es evidente de que se trata de una traslación en el eje s . Usando la fórmula:

e at ft  Fs| ssa  sen3t| ss1 Entonces: 3 3 | ss1  s2  9 s  1 2  9 1

9) ft  t 2

1

 t2 Usando la siguiente fórmula:

1

 t n 2



2n  1!  1

2 n s n 2

Entonces: 1.  3

2. s 2 3

10) ft  t 2 3

 t2 Usando la formula: 3  6

4s 2 iii) Usar las propiedades de la transformada inversa y los pares transformados estudiados hasta ahora para calcular.

1)  1

3 s4

Teniendo en cuenta que:

t n   n! s n1 En este caso n  3 por lo que 3!  6. Multiplicando ft por 2 : 2 3  2 1 1   2 s4 Sacando la constante: 1  1 2

6 s4

 1 t3 2

2s  1 2 s3

2)  1

Desarrollando el cubo del binomio:  1

4s 2  4s  1 s3

Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 1 s

4 1

Multiplicando por 1 s

4 1

1 s2

 4 1

 4 1

2 2

  1

1 s3

la funcion de la ultima tranformada: 1 s2

  1

12  s3

1 2

Entonces: 2 4  4t  t 2

3  2  5 s s2 s6

3)  1

Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 1 s

3 1

 2 1

Multiplicando por 1 s

3 1

 2 1

1 s2 24 24

  1

5 s6

la función de la ultima transformada:

1 s2

 1  1 24

5! s6

Entonces: 5 3  2t  t 24

4)  1

1 3s  1

Multiplicando el numerador y el denominador por 1 : 3  1

1  3s  1

1 3 1 3

  1

Sacando la constante:

1 3 s 1 3

1 3

 1

1 s 1 3

Entonces: 1 e  13 t 3 5)  1

4s s 9 2

Sacando la constante: k3 s s2  9 Entonces: 4 1

 4 cos3t 7 s2  9

6)  1

Sacando la constante: 7 1

1 s2  2

;k 

2

Entonces: 7sen

2t 3s  2 s 2  16

7)  1

Usando la propiedad de la suma y sacando las constantes: 3 1

s s 2  16

  1

Multiplicando por

2 2

2 s 2  16

la segunda función:

3 1

s s  16



1 2

 1

22 s 2  16

3 1

s s 2  16



1 2

 1

4 s 2  16

2

Entonces: 3 cos4t 

1 2

sen4t

s s 2  4s  2

8)  1

Aplicando fracciones parciales: s  A  Bs2  C s2 s 4 s  4s  2 2

s  As 2  4  Bs  Cs  2 Si s  2 entonces: 2  A4  4  2  8A  A   1 4 s  As 2  4A  Bs 2  2Bs  Cs  2C s  s 2 A  B  s2B  C  4A  2C AB  0 2B  C  1 4A  2C  0

B  A  1 4 2

Por lo tanto:

1 4

C  1  C  1 2

s 1   s 2 2 4s  2 4s  4 s 2  4s  2  1

s  4s  2 s 2

  1 

1 4s  2

  1

s2 4s 2  4

Usando las propiedades la suma y sacando las constantes:  1  1 4

1 s2

 1  1 4

 1  1 2 s 4 s 4 Entonces:

s2 s2  4

  1

2 s2  4

1 cos2t  sen2t  1 e 2t 4 4 9)  1

s s 2  2s  3

Factorizando el denominador: s 2  2s  3  s  1s  3

 1  1 4

1 s2

 1

s s  1s  3

Aplicando fracciones parciales: s  A  B s1 s3 s  1s  3 s  As  3  Bs  1 Si s  3 : 3  4B  B  3 4 Si s  1 : 1  4A  A  1 4 Por lo tanto: s 1 3   4s  1 4s  3 s  1s  3  1

s s  1s  3

  1

1 4s  1

Sacando las constantes: 1  1 4

1 s1

 3  1 4

1 s3

Entonces: 1 e t  3 e 3t 4 4

10)  1

1 s  s  20 2

Factorizando el denominador: s 2  s  20  s  5s  4 Entonces:

  1

3 4s  3

 1

1 s  5s  4

Aplicando fraciiones parciales 1  A  B s5 s4 s  5s  4 s  As  4  Bs  5 Si s  5 : 1  9A  A   19 Si s  4 : 1  9B  B  Entonces:

1 9

1 1 1   9s  5 9s  4 s  5s  4  1

1 s  5s  4

  1

1 9s  5

  1

1 9s  4

Sacando las constantes:  1  1 9

1 s5

 1  1 9

1 s4

Entonces: 1 e 5t  e 4t  9

EJERCICIOS 2.22 i.Use fracciones parciales y/o los pares transformados estudiados aquí, para calcular la transformada inversa de cada función. s 2 1) Fs  s 2 2   1  2s  4 2s 2  4 2s 2  4 1 L 1 2

s s2  4

2)Fs 

 L 1

1 s2  4

5  L 1 s 2 s 2  1

 1 cos2t  1 sin2t 2 2

5  5 s2 s2  1

L 1

5 s2

 5L 1

3)Fs 

1 s 1 2

 5t  5 sint

3s  2  3L 1 s 2  6s  25

s  3 s  3 2  16

1 s  3 2  16

 7L 1

 3e 3t cos4t  7 4

completando cuadrado 3s  2 3s  2 3s  2  2 3s  2  2  2 s 2  6s  25 s  6s  25 s  6s  25  9  9 s  6s  25   62  2   62  2



3s  2 3s  2  2 3s  2  s 2  6s  9  25  9 s  6s  9  16 s  3 2  16



3s  3  7 s  3 3 2 s  3  16 s  3 2  16

L 1 3

s  3 s  3 2  16

7

7

1 s  3 2  16

1 s  3 2  16

s  3 s  3 2  16

 3L 1

L 1

s  3 s  3 2  16

 e 3t L 1

s s 2  16

 e 3t cos4t

L 1

1 s  3 2  16

 e 3t L 1

1 s 2  16

 1 e 3t sin4t 4

teniendo en cuenta: L 1 Fs  a  e at ft

4)Fs 

s3  L 1 s  10s  4 2

 e 5t cosh 21 t 

s  5 s  5 2  21

8 e 5t sinh 21 t 21

completando cuadrado

 8L 1

1 s  5 2  21

 7L 1

1 s  3 2  16

s3 s3 s3 s3  2  2  2 10 2 2 s 2  10s  4 s  10s  4  25  25 s  10s  25  25  4 s  10s  4   10     2 2



s  5  8 s  5 s3 s3 1    8 2 2 s  10s  25  21 s  5  21 s  5  21 s  5 2  21 s  5 2  21

L 1

2

s  5 1 8 s  5 2  21 s  5 2  21

 L 1

s  5 s  5 2  21

 8L 1

1 s  5 2  21

teniendo en cuenta L 1 Fs  a  e at ft

L 1

s  5 s  5 2  21

 e 5t L 1

s s 2  21

 e 5t cosh 21 t

L 1

1 s  5 2  21

 e 5t L 1

1 s 2  21



5)Fs 

s4  L 1 s  2s  5 2

s  1 s  1 2  4

1 e 5t sinh 21 t 21

 3L 1

1 s  1 2  4

 e t cos2t  3 e t sin2t 2 completando cuadrado s4 s4 s4 s4  2  2  2 s 2  2s  5 s  2s  5  1  1 s  2s  1  5  1 s  2s  5   22  2   22  2 s  1  3 s  1 s4 1   3 2 2 s  1  4 s  1  4 s  1 2  4 s  1 2  4

L 1

s  1 1 3 s  1 2  4 s  1 2  4

 L 1

s  1 s  1 2  4

 3L 1

1 s  1 2  4

teniendo en cuenta L 1 Fs  a  e at ft

L 1

s  1 s  1 2  4

 e t L 1

s s2  4

 e t cos2t

L 1

1 s  1 2  4

 e t L 1

1 s2  4

 1 e t sin2t 2

6)Fs 

3  3 L 1 13 ss 2  4s  13

1 S

 3 L 1 13

s2 s  2 2  9

 3  3 e 2t cos3t  2 e t sin3t 13 13 13 3  as0  2a 2 s  a 1 ss 2  4s  13 s  4s  13

3  ss 2  4s  13

3s  12 13 13 3s  12   3  s 13s s 2  4s  13 13s 2  4s  13

3 13

3s  12 13s 2  4s  13 1 3s  12  1 3s  12 13 s 2  4s  13 13 s 2  4s  13 completando cuadrado 1 3s  12  1 3s  2  6 13 s  2 2  9 13 s  2 2  9 3 s2 1  6 13 s  2 2  9 13 s  2 2  9

L 1

3  3 s2 1  6 13s 13 s  2 2  9 13 s  2 2  9

 6 L 1 13

1 s  2 2  9

3 L 1 13

1 S

 3 L 1 13

s2 s  2 2  9

 6 L 1 13

1 s  2 2  9

teniendo en cuenta L 1 Fs  a  e at ft

L 1

s  2 s  2 2  9

 e 2t L 1

s s2  9

 e 2t cos3t

L 1

1 s  2 2  9

 e 2t L 1

1 s2  9

 1 e t sin3t 3

3  a 0 s 2  4s  13  sa 2 s  a 1  Con s  0 3  a 0 0 2  40  13  0a 2s  a 1   13a 0 a0  3 13 3  3 s 2  4s  13  sa 2 s  a 1  13 2 3  3s  12s  3  s 2 a 2  sa 1 13 13

3  s2

3  a 2  s 12  a 1  3 13 13

12  a 1  0 13 resolviendo la matriz a 1   12 13 3  a2  0 13

a 2  3 13 ii)Escriba cada una de las siguientes funciones en términos de funciones escalón unitario. 1)ft 

2, si 0  t  3 3

si t  3

ft  2t  0  t  3  3t  3 ft  2t  2t  3  3t  3 transformada de Laplace L2t  2t  3  3t  3  2Lt2Lt  3  3Lt  3 2e 3s 3e 3s  2 s  s  s 1, si 0  t  4 2)ft  0, si 4  t  5 1,

si t  5

ft  1t  0  t  4  0t  4  t  5  1t  5 ft  t  t  4  1t  5 iii) transformada de Laplace Lt  t  4  1t  5  Lt  Lt  4  Lt  5 4s 5  1  e s  es 2 0, si 0  t  1 3)ft  t3, si t  1

ft  0t  0  t  1  t 3 t  1 ft  t 3 t  1 iii) transformada de Laplace Lt 3 t  1 u  t  1;t  u  1 t 3  u  1 3  u 3  3u 2  3u  1  t  1 3  3t  1 2  3t  1  1 Lt  1 3  3t  1 2  3t  1  1t  1 Lt  1 3 t  1  3Lt  1 2 t  1  3Lt  1t  1  Lt  1

s s s s  3e4  6e3  3e2  es s s s sent, si0  t  2 4)ft  0, si t  2

ft  sin tt  0  t  2  0t  2 ft  sin tt  sin tt  2 iii) transformada de Laplace Lsin tt  sin tt  2  Lsin tt  Lsin tt  2 0s 2s 2s  e2  e2  2 1  e2 s 1 s 1 s 1 s 1 5)ft  |t|, donde |t|  n, si n  t  n  1 ft  tt  n  t  n  1 iii) transformada de Laplace

Ltt  n  t  n  1  Ltt  n  Ltt  n  1 ns n1s ns nss  e2  e 2  e2  e 2 s s s s EJERCICIOS 2.33 Solucionar cada una de las ecuaciones diferenciales sujetas a las condiciones iniciales que se indican. 2 1) d 2 yt  5 d yt  6yt  e t dt dt

y0  2, y  0  1

Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación:



d 2 yt dt 2

 5

d yt dt

 6yt   e t

Entonces:

s 2 Ys  2s  1  5sYs  10  6Ys 

1 s1

Despejando los terminos en función de Ys y factorizando:

Yss 2  5s  6 

Despejando Ys :

1  2s  11 s1

Ys 

1  2 2s  2 11 s  1s 2  5s  6 s  5s  6 s  5s  6

Aplicando transformada inversa y sacando las constantes:

yt   1

1 s  1s 2  5s  6

 2 1

s s 2  5s  6

1 s 2  5s  6

 11 1

Aplicando fracciones parciales: 1 1   A  B  C s1 s2 s3 s  1s  2s  3 s  1s 2  5s  6 1 1 1   1  s2 2s  1 2s  3 s  1s  2s  3 Entonces.

 1

1 s  1s 2  5s  6



1 2

 1

1 s1

 1

1 s  1s 2  5s  6



1 2

e t  e 2t 

  1

1 2

1 s2



1 2

 1

e 3t

Aplicando fracciones parciales para la segunda transaformada: s s   A  B s2 s3 s  2s  3 s 2  5s  6 s  2  3 s2 s3 s  2s  3 Entonces:

 1

s s 2  5s  6

 2 1

1 s2

 3 1

1 s3

1 s3

s s 2  5s  6

 1

 2e 2t  3e 3t

Aplicando fracciones parciales para la tercera transformada: 1 1   A  B s2 s3 s  2s  3 s 2  5s  6 1  1  1 s2 s3 s  2s  3 Entonces:

 1

1 s  5s  6

  1

 1

1 s 2  5s  6

 e 2t  e 3t

2

1 s2

  1

1 s3

Por lo tanto:

yt 

1 2

e t  e 2t 

1 2

e 3t  22e 2t  3e 3t   112e 2t  3e 3t 

Simplificando: yt  6e 2t  9 e 3t  1 e t 2 2

2) d yt  2yt  1 dt

y0  1

Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación:



d yt dt

Entonces:

 2yt   1

sYs  1  2Ys  1s Despejando los terminos en función de Ys y factorizando: Yss  2  1s  1 Despejando Ys :

Ys 

1  1 s2 ss  2

Aplicando transformada inversa :

1 ss  2

yt   1

  1

1 s2

Aplicando fracciones parciales para la primer transformada: 1 1  As  B  1  s2 2s ss  2 2s  2

1 ss  2 Entonces:  1

yt 

1 2



1 s

 1

1 2



 1

1 2

Finalmente:

yt 

1 2



1 2

e 2t  e 2t

Simplificando:

 1

1 s



1 s2

1 2

 1

1 s2

  1

1 s2

1 2

yt 

e 2t 

1 2

3) d yt  2yt  cost y0  1 dt Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación:



d yt dt

 2yt  cost

Entonces:

sYs  1  2Ys 

s s2  1

Despejando los terminos en función de Ys y factorizando:

Yss  2 

s 1 s2  1

Despejando Ys :

Ys 

s  1 s2 s  2s 2  1

Aplicando transformada inversa :

yt   1

s s  2s 2  1

  1

1 s2

Aplicando fracciones parciales a la primera transformada inversa: s 2  A  Bs2  C    2s2  1 s2 5s  2 s 1 5s  1 s  2s 2  1

 1

s s  2s 2  1

  2  1 5

1 s2

 1  1 5

2s  1 s2  1

 1

s s  2s 2  1

  2  1 5

1 s2

 1 2 1 5

s s2  1

  1

1 s2  1

Finalmente: yt   2  1 5

1 s2

 1 2 1 5

s s2  1

  1

1 s2  1

  1

yt   2 e 2t  1 2 cost  sent  e 2t 5 5 Simplificando: yt  3 e 2t  1 2 cost  sent 5 5 2 4) d 2 yt  4 d yt  3yt  1 dt dt

y0  2, y  0  1

Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación:



d 2 yt dt 2

 4

d yt dt

 3yt   1

Entonces: s 2 Ys  2s  1  4sYs  8  3Ys  1s Despejando los terminos en función de Ys y factorizando: Yss 2  4s  3  1s  2s  9 Despejando Ys :

1 s2

Ys 

1  2 2s  2 9 ss 2  4s  3 s  4s  3 s  4s  3

Aplicando transformada inversa :

yt   1

1 ss 2  4s  3

 2 1

s s 2  4s  3

 9 1

1 s 2  4s  3

Aplicando fracciones parciales a la primer transformada inversa: 1 1   As  B  C s1 s3  1s  3 ss ss  4s  3 2

1 1 1  0s   2s  1 2s  3 ss  1s  3

 1

1 ss 2  4s  3

 1  1 2

1 s1

 1  1 2

1 s3

Aplicando fracciones parciales a la segunda transformada: s s   A  B s1 s3 s  1s  3 s 2  4s  3 s 1 3   2s  1 2s  3 s  1s  3

 1

s s 2  4s  3

  1  1 2

1 s1

 3  1 2

1 s3

Aplicando fracciones parciales a la tercera transformada inversa: 1 1   A  B s1 s3 s  1s  3 s 2  4s  3 1 1 1   2s  1 2s  3 s  1s  3  1

1 s 2  4s  3

 1  1 2

1 s1

 1  1 2

1 s3

Por lo tanto: 1 1 yt  1  1  1  1 2 s1 2 s3 1 1 9 1  1  1  1 2 s1 2 s3

 2  1  1 2

1 s1

 3  1 2

yt  1 e t  1 e 3t  2  1 e t  3 e 3t  9 1 e t  1 e 3t 2 2 2 2 2 2 Simplificando: yt  2e 3t  4e t 2 5) d 2 yt  4 d yt  3yt  e 3t y0  0, y  0  1 dt dt Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación:



d 2 yt dt 2

 4

d yt dt

 3yt   e 3t

Entonces:

s 2 Ys  1  4sYs  3Ys 

1 s3

Despejando los terminos en función de Ys y factorizando:

Yss 2  4s  3 

1 1 s3

Despejando Ys :

Ys 

1  2 1 s  4s  3 s  3s 2  4s  3

Aplicando transformada inversa :

1 s3

...

yt   1

1 s  3s 2  4s  3

  1

1 s 2  4s  3

Aplicando fracciones parciales a la primer transformada: 1 1   A  B  Cs  D2 s1 s3 s  3s  1s  3 s  3s 2  4s  3 s  3 1 1 1 1    4s  1 4s  3 s  3s  1s  3 2s  3 2

 1

1

2

s  3s  4s  3

 1  1 4

1 s1

 1  1 4

1 s3

 1  1 2

1 s  3 2

Aplicando fracciones parciales a la segunda transformada: 1 1   A  B s1 s3 s  1s  3 s 2  4s  3 1 1 1   2s  1 2s  3 s  1s  3

 1

1 s 2  4s  3

 1  1 2

1 s1

 1  1 2

1 s3

Por lo tanto:

yt  1  1 4

1 s1

 1  1 4

1 s3

 1  1 2

1 s  3 2

yt  1  1 4

1 s1

 1  1 4

1 s3

 1  1 2

1 s 2

yt  1 e t  1 e 3t  1 e 3t t  1 e t  1 e 3t 4 4 2 2 2

 1  1 2

| ss3  1  1 2

1 s1

1 s1

 1  1 2

 1  1 2

Simplificando: yt  3 e t  3 e 3t  1 e 3t t 4 4 2 3 2 6) d 3 yt  3 d 2 yt  2 d yt  6yt  e 2t dt dt dt y  0  0, y  0  0

y0  0,

Aplicando transformada de laplace en ambos lados de la ecuación: d 3 yt dt 3

3

d 2 yt dt 2

2

d yt dt

 6yt  e 2t 

Entonces:

s 3 Ys  3s 2 Ys  2sYs  6Ys  Factorizando:

Yss 3  3s 2  2s  6 

1 s2

1 s2

Despejando Ys :

Ys 

1 s  2s 3  3s 2  2s  6

Aplicando transformada inversa:

yt   1

1 s  2s 3  3s 2  2s  6

Aplicando fracciones parciales: 1 1   A  B  Cs2  D s2 s3 s 2 s  2s 3  3s 2  2s  6 s  2s  3s 2  2

1 1 1    s2 8 30s  2 55s  3 66s  2 s  2s  3s 2  2

 1  1 30

1 s2

 1  1 55

1 s3

 1  1 66

1  1  1 30 s  2s 3  3s 2  2s  6 1  1 s  8 1 2 1 66 s2  2 s 2

1 s2

 1  1 55

1 s3

. . .

 1

1 s  2s  3s 2  2s  6 3

 1

s8 s2  2

Por lo tanto: yt  1  1 30

1 s2

 1  1 55

yt  1 e 2t  1 e 3t  1 cos 55 30 66

1 s3

 1  1 66

2 t  8sen

s s2  2

 8 1

1 s2  2

2t

EJERCICIOS 2.41

Use la transformada de Laplace para resolver cada una de las ecuaciones diferenciales, integrales o integro-diferenciales sujetas a las condiciones iniciales que se indican: 2 1) d 2 yt  yt  t  2, y0  0; y´0  1 dt 2 L d 2 yt  yt  Lt  2 dt 2 L d 2 yt  Lyt  Lt  2 dt 2s Ls 2 Ys  sf0  f´0  LYs  L e s  2s Ls 2 Ys  s0  1  LYs  L e s  2s s 2 Ys  Ys  1   e s 2s Yss 2  1   e s  1 2s Yss 2  1  e s  s e 2s  s 2s s Ys   e 3  s 2 s 1 s s 2s e  s e 2s  s 1 1 L L 3 s s s3  s s3  s

 L 1

e 2s s3  s

 L 1

s s s 3

Yt  Ht  21  cost  2  1  cost Aplicando L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  21  cost  2 donde H(t) es la funcion escalon a  2 L 1

1 s3  s

 1  cost

L 1

e 2s s3  s s s3  s

 Ht  2 cost  2  1

L 1

1  s s s2  1

 L 1

2 2) d 2 yt  yt   t  dt

 2

 1  cost

 t

3 2

, y0  0; y´0  0

d 2 yt  yt  L  t     t  3 2 2 dt 2 2 L d 2 yt  Lyt  L  t  2  L  t  3 2 dt  2 s Ls 2 Ys  sf0  f´0  LYs  L e s  L L

Ls 2 Ys  s0  0  LYs  L 

3



e 2 s s

3

e 2 s

 L

e 2 s

s

s

3

2s  2 s s 2 Ys  Ys  e s  e s 3  2 s  e  2 s Yss 2  1  e S  3 e  2 s  e  2 s S Ys  s2  1  2 s  3 s 2 Ys  e 3 e s s  3  3 e  2 s  e  2 s  e  2 s  e  2 s s3  s s3  s s3  s  2 s  3 s s 2 L 1 e3  e3  L 1 e3 2 s s s s s s Aplicando

 L 1

L 1 e as Fs  Ht  aft  a  H t   2 donde H(t) es la funcion escalon Aplicando L 1 e as Fs  Ht  aft  a  H t  3 2 donde H(t) es la funcion escalon a  3 2

3

e 2 s s3  s

1  cos t   2 1  cos t  3 2



3

 s e 2 s  L 1 e3 2   H t   1  cos t  3 2 s s s s 2 2 d d 3) 2 yt  2 2 yt  1  t  2, y0  0; y´0  1 dt dt 2 2 d L yt  2 d 2 yt  1  Lt  2 2 dt dt 2 2 d L yt  2L d 2 yt  1  Lt  2 2 dt dt 2s 2 Ls Ys  sf0  f´0  2LsFs  f0  1  L e s

L 1

 2

  H t  3 2

2s Ls 2 Ys  s0  1  2LsYs  0  1  es 2s s 2 Ys  1  2sYs  1  es 2s Yss 2  2s  1  1  es 2s Yss 2  2s  1  es  1 2s Yss 2  2s  2  es 2s Yss 2  2s  2s  se 2s  e 2s s Ys  s 2  2s 2s Ys  2s3 e 2 s  2s 2s 2s  e 2s  2s  3e 2 3 2 3 2 s  2s s  2s s  2s 2s e 2s s e 2s 1 1 L 1 3   2L  L s  2s 2 s 3  2s 2 s 3  2s 2 s 3  2s 2 s 1 1 1    4s 4s  2 s 3  2s 2 2s 2 1 1 L 1 1 2   1  1 L 1 12  1 L 1  1 L 1 4s 2 4 s2 4 4s  2 2s s t  1 e 2t  1 2 4 4 Aplicando 2t2 L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  2 t  2  e  1 2 4 4 donde H(t) es la funcion escalon a2

1

1 s

2s 2t2 s  L 1 3 e  2 t  1 e 2t  1    Ht  2 t  2  e  2 2 2 4 4 2 4 s  2s s  2s 2 4) d 2 yt  yt  t  2  t  4, y0  0; y´0  1 dt 2 L d 2 yt  yt  Lt  2  Lt  4 dt 2 L d 2 yt  Lyt  Lt  2  Lt  4 dt 2s 4s 2 Ls Ys  sf0  f´0  LFs  L e s  L e s

2L 1

3

2s

Ls 2 Ys  s0  1  LYs  e s 2s  e 4s s 2 Ys  1  Ys  e s 2s e  e 4s 2 Yss  s  1  s

4s  e s

2s  e 4s  1 Yss 2  s  e s 2s e  e 4s  s 2 Yss  s  s e 2s  e 4s  s s Ys  s 2  s 2s  e 4s  s Ys  e s3  s2 2s 4s e  e  s  e 2s  e 4s  s 3 2 s s s3  s2 s3  s2 s3  s2 2s e 4s  s e 2s e 4s 1 1 L 1 e   L  L s3  s2 s3  s2 s3  s2 s3  s2 s3  s2 Aplicando L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  2t  e t2  2  1 donde H(t) es la funcion escalon a  2

 L 1

Aplicando L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  4t  4  e t4  1 donde H(t) es la funcion escalon a  4 s  12  1  1s s1 s3  s2 s L 1 12  1  1s  t  e t  1 s1 s 2s 4s L 1 e3  L 1 e3 L 3 s 2  2 s s s  s2 s s Ht  2t  e t2  2  1  Ht  4t  4  e t4  1  t  e t  1 2 5) d 2 yt  2 d yt  yt  t  1, y0  0; y´0  1 dt dt 2 L d 2 yt  2 d yt  yt  Lt  1 dt dt 2 L d 2 yt  2L d yt  Lyt  Lt  1 dt dt s 2 Ls Ys  sf0  f´0  2LsFs  f0  LFs  L es s Ls 2 Ys  s0  1  2LsFs  f0  LYs  es s s 2 Ys  1  2sFs  Ys  es s Yss 2  2s  1  1  es s Yss 2  2s  1  es  1 2 Yss 2  2s  1  e s  s e 2  s Ys  2 s s  2s  1 2 Ys  3e 2 s s  2s  s e 2  s  e 2s  3 s2 3 2 3 s  2s  s s  2s 2  s s  2s  s 2s 2s e s 1 L  3  L 1 3 e 2  L 1 3 s 2 3 2 2 s  2s  s s  2s  s s  2s  s s  2s  s Aplicando

s s  s2 3

L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  2e t2 t  2  1 donde H(t) es la funcion escalon a2 s 1  L 1 1   1s  e t  e t t  1 s1 s 3  2s 2  s s  1 2 L 1 12  1  1s  t  e t  1 s1 s 2s e 1 L  L 1 3 s 2  3 s  2s 2  s s  2s  s Ht  2e t2 t  2  1  e t  e t t  1 2 6) d 2 yt  4 d yt  13yt  t    t  3, y0  0; y´0  1 dt dt 2 L d 2 yt  4 d yt  13yt  Lt    Lt  3 dt dt 2 d L yt  4L d yt  13Lyt  Lt    Lt  3 dt dt 2 s 2 Ls Ys  sf0  f´0  4LsFs  f0  13LFs  L e s  L

e 3s s

s 3s Ls 2 Ys  s0  1  4LsFs  f0  13LYs  es  e s s 3s s 2 Ys  1  4sFs  13Ys  es  e s s 3s Yss 2  4s  13  1  e s e s 3s Yss 2  4s  13  e s e 1 s 3s s Yss 2  4s  13  e  e s e s  e 3s  s s Ys  s 2  4s  13 s 3s s Ys  e 3  e 2 s  4s  13s 3s e s e s  e 3s  s  s  3 e 2  3 3 2 3 2 s  4s  13s s  4s  13s s  4s  13s s  4s 2  13s s 3s s L 1 3 e 2  3 e 2  3 s  4s  13s s  4s  13s s  4s 2  13s s 3s s  L 1 3 e 2  L 1 3 e 2  L 1 3 s  4s  13s s  4s  13s s  4s 2  13s Aplicando 2t3 L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht  3 1e cos3t  3 2 e 2t3 sin3t  13 39 donde H(t) es la funcion escalon a  3

Aplicando 2t L 1 e as Fs  Ht  aft  a  Ht   1e cos3t   2 e 2t sin3t   13 39 donde H(t) es la funcion escalon a

s  L 1 s 3  4s 2  13s completando cuadrado

s  4  1 13s 13s 3  4s 2  13s



s  4  13s 3  4s 2  13s

1 13

s  4  s 3  4s 2  13s

1 13

s  4 s  2 2  9

s  2  2 s  2 1  1  1  2 2 13 s  2  9 13 s  2 2  9 13 s  2 2  9 s  2 e 2t cos3t 2e 2t sin3t 1 L 1 1  2  1    1 2 2 13 s  2  9 13 s  2  9 13s 13 39 13s s 3s s L 1 3 e 2  L 1 3 e 2  L 1 3 s  4s  13s s  4s  13s s  4s 2  13s 2t   Ht   1e cos3t   2 e 2t sin3t    1  13 39 12 2t3 Ht  3 1e cos3t  3 2 e 2t3 sin3t  3  1  13 39 12 e 2t cos3t 2e 2t sin3t 1   13 39 13s 2 d d 7) 2 yt  2 yt  2yt  cos tt  3, y0  1; y´0  1 dt dt 2 d L yt  2 d yt  2yt  Lcos tt  3 dt dt 2 2 d L yt  2L d yt  2Lyt  Lcos tt  3 dt dt 2 3s 2 Ls Ys  sf0  f´0  2LsFs  f1  2LFs  L se2 s 1 3s se 2 Ls Ys  s1  1  2LsFs  f1  2LYs  2 s 1 3s se 2 s Ys  s  1  2sFs  2  2Ys  2 s 1 3s se 2 Yss  2s  2  1  s  2  2 s 1 3s se 2 Yss  2s  2  3  s  2 s 1 3s 2 3 2 Ys3s  6s  6  s  2s  2s  se s2  1 3s se Ys5s 2  8s  s 3  6  2 s 1 se 3s s2  1 Ys  2 5s  8s  s 3  6 se 3s Ys  4 3 5 5s  8s  s  6s 2  5s 2  8s  s 3  6 se 3s Ys  4 3 5s  9s  s 5  11s 2  8s  6 se 3s se 3s  4 3 5 2 4 3 5s  9s  s  11s  8s  6 5s  9s  s 5  11s 2  8s  6 3s se L 1 no se puede resolver 5s 4  9s 3  s 5  11s 2  8s  6 t

8) ft  t  fd  t 0

Aplicando convolución:

t

t  fd  t  ft 0

Entonces:

ft  t  ft  t Aplicando transformada de Laplace:

ft  t  ft  t Recordando que:

gt  ft  gtft

Entonces:

ft  tft  t ys  12 ys  12 s s Factorizando y despejando ys: ys 1  12 s

 12 s

2 ys s 2 1 s

 12 s

1 2 s ys  2 s 1 s2

ys 

s2 s 2 s 2 1

Aplicando transformada inversa:

 1 ys   1

1 s2  1

yt  sent t

9) ft  2  f cost  d  4e t  sent 0

Aplicando convolución: t

 f cost  d  cost  ft 0

Entonces: ft  2cost  ft  4e t  sent Aplicando tranformada de Laplace: ft  2cost  ft  4e t   sent  ft  2costft  4e t   sent

 ys 

2s ys  4  1 s1 s2  1 s2  1

Factorizando y despejando ys:

ys 1 

2s s2  1



4  1 s1 s2  1

2  ys s 2 2s  1 s 1



4  1 s1 s2  1

1 4 2 s  1 s  ys  2  2 1 s  2s  1 s  2s  1 s2  1 s2  1

 ys 

4s 2  1 s2  1  2 2 s  1s  2s  1 s  1s 2  2s  1

 ys 

4s 2  1 1  s  1 3 s  1 2

Aplicando transformada inversa:

 1 ys   1

4s 2  1 s  1 3

  1

1 s  1 2

Calculando las inversas independientemente:

 1

4s 2  1 s  1 3

 4 1

s2  1 s  1 3

 4  1

s2 s  1 3

  1

Aplicando fracciones parciales: C s2 B  A   s1 s  1 3 s  1 2 s  1 3 s2 2 1  1   3 2 s  1 s  1 s  1 s  1 3 Entonces:

 1

s2 s  1 3

  1

1 s1

 2 1

1 s  1 2

  1

1 s  1 3

1 s  1 3

 1

s2 s  1 3

2 t  e t  2te t  t e 2

4 1

s2  1 s  1 3

2 t 2 t  4 e t  2te t  t e  t e 2 2

4 1

s2  1 s  1 3

 4e t  2te t  t 2 e t 

Calculando la segunda inversa:

 1

1 s  1 2

 te t

Por lo tanto : yt  4e t  2te t  t 2 e t   te t Simplificando: yt  4e t  7te t  4t 2 e t t

10) d yt  1  sent   yd dt 0

Aplicando convolución: t

 yd  yt  1 0

Entonces: d yt  1  sent  yt  1 dt

y0  0

Aplicando transformada de Laplace:





d yt dt

 1  sent  yt  1

d yt dt

 1  sent  yt1

ys  s ys  1s  2 1  s s 1 Factorizando y despejando ys: ys s  1s

 1s  2 1 s 1

2  ys s s 1

 1s  2 1 s 1

1 1 2 s s  ys  2  21 s 1 s 1 s s  ys 

s s  2 2 ss 2  1 s  1

 ys 

1  s 2 s2  1 s 2  1

Aplicando transformada inversa:

 1 ys   1

1 s2  1

  1

s 2 s 2  1

Resolviendo las inversas de forma independiente:

 1

1 s 1

 1

s 2 s 2  1

2

 sent

Aplicando:

 1 s fs

2a 3 2 s 2  a 2 

 1

 f  t  f0

 senat  at cosat

Entonces:

s 2 s  1

 1



1 2

2

 1

ft 

1 2

132 1 2 s  1 2

  1

132 2 s 2  1



2

1 2

sent  t cost

sent  t cost  f  t 

f0  0 Finalmente :

 1

s 2 2 s  1

Por lo tanto :



tsent 2

tsent 2

yt  sent 

tsent 2 t

11) d yt  6yt  9  yd  1 dt

y0  0

0

Aplicando convolución: t

 yd  yt  1 0

Entonces: d yt  6yt  9yt  1  1 dt Aplicando transformada de Laplace:





d yt dt d yt dt

 6yt  9yt  1  1

 6yt  9yt1  1

ys  s ys  6ys  9 s  1s Factorizando y despejando ys:

ys s  6  9s

 1s

2  ys s  ss  9

 ys 

1 s s2  s  9 s

 1s

 ys 

s ss 2  s  9

 ys 

1 s2  s  9

 ys 

1 s  3 2

Aplicando transformada inversa:

 1 ys   1

1 s  3 2

Por lo tanto: yt  e 3t . t t

12) d yt  cost   y cost  d dt 0

Aplicando convolución: t

 y cost  d  cost  yt 0

Entonces: d yt  cost  cost  yt dt Aplicando transformada de Laplace:



d yt dt

 cost  cost  yt

y0  0

d yt dt



 cost  costyt

s  2 s ys s 1 s 1

 s ys 

2

Factorizando y despejando ys: s s2  1

ys s 

 ys

s3 s 1 2

s s2  1



s s 1



2

s 2 s 1  ys  s3 s2  1

 ys 

ss 2  1 s 3 s 2  1

 ys  12 s Aplicando transformada inversa:

 1 ys   1

1 s2

Por lo tanto:

yt  t Encuentre la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones,usando convolución: 14) Fs  L 1

1 s  5s  4 1 1 L 1 s5 s4

usando at bt e at  e bt  e  e ab 5t 4t e 5t  e 4t  e  e  e 5t  e 4t 54  s 15)Fs  2 s 2  tL 1  ds 2 2 s  25 s s  25

usando L 1 Fs  tL 1 tL 1

1 s 2 25



s

Fsds

 t 15 sin5t

n1 usando v n dn  v n1  s 2  25 21 s 2  25 1 s 2 2 ds  ss  25 ds    2 1 / s  2 1  2 2 2  1 1 s  25 s s  25 s  25 1 16) Fs  2 s  16 2 1 usando L Fs  Gs  L 1 FsL 1 Gs 

s

1 s 2  16 usando L 1

L 1

1 s 2  16

ft  gt 

t

 0 fxgt  xdx

t  sin 4t  sin 4t  1  sinx sin4t  xdx 4 0 t 1 1   cos2x  4t  cos4tdx 4 2 0 1  t cos2x  4tdx  cos4tdx  1 1 sin2x  4t/ t  1 cos4tx/ t 0 0 8 0 8 2 8  1 sin2x  4t/ t0  1 cos4tx/ t0 8 8  1 sin2t  4t  1 sin20  4t  1 cos4tt  0 8 8 8 1 1 t  sin2t  sin4t  cos4t 8 8 8 usando sin A  sin B  1 cosA  B  cosA  B 2 1 17) Fs  s  9 2 usando L 1 Fs  Gs  L 1 FsL 1 Gs

L 1

1 s9 usando

L 1

ft  gt 

 0 fxgt  xdx

t

1 s9

 sin 3t  sin 3t 

t

 0 sinx sin3t  xdx

t  1  cos2x  3t  cos3tdx 2 0 1  t cos2x  3tdx  cos3tdx  1 sin2x  3t/ t  1 cos3tx/ t 0 0 2 0 2 2  1 sin2x  3t/ t0  1 cos3tx/ t0 2 2 1 1  sin2t  3t  sin20  3t  1 cos3tt  0 2 2 2  1 sint  1 sin3t  t cos3t 2 2 2 usando sin A  sin B  1 cosA  B  cosA  B 2 1 18)Fs  ss  6 1 usando L Fs  Gs  L 1 FsL 1 Gs 1 L 1 1s L 1 s6 usando

ft  gt 

 1  e 6t 

t

 0 fxgt  xdx t

 0 e 6t dx  e 6t x/ t0  e 6t t  0  e 6t

EJERCICIOS 2.48 Encuentre la transformada de Laplace de cada una de las funciones cuya gráfica se muestra acontinuación.

ft  1  t

Ta

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 1  e sT

Entonces: a

 e st 1  tdt

1 1  e sa

0

Aplicando integración por partes: dv  e st dt st du  dt v   es 1  te st a 1 1  |0  s s 1  e sa u  1t

a

 e st dt 0

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt Entonces:

1 1  e sa

1  te st a  | 0  12 s s

as

 e u du 0

Integrando:

1 1  e sa 1 1  e sa



1  te st a | 0  12 e u | as 0 s s



e sa 1a s



1 s



1 s2

e as 

1 s2

T

 e st ftdt 0

Simplificando:

1 1  e sa

ft 

ft 



as e sa 1  a  1  e 2 1 s s

0t1

t,

2t 1  t  2

T2

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e 2s

1  1  e 2s

1

e 0

2

 e st ftdt 0

2

st

t dt   e st 2  t dt 1

Resolviendo las integrales de forma independiente: 1

 e st t dt 0

Aplicando integración por partes:

ut du  dt

dv  e st dt st v   es

st   e s t | 10  1s

1

 e st dt 0

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

st   e s t | 10  12 s

s

 e u du 0

Integrando: st   e s t | 10  12 e u | s 0 s

Resolviendo la segunda integral: 2

 e st 2  t dt 1

Aplicando integración por partes: u  2  t du  dt

dv  e st dt st v   es

2  te st 2  |1  s

2

1 s

 e st dt 1

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

2  te st 2  | 1  12 s s

2s

 e u du

s

Integrando:



2  te st 2 | 1  12 e u | 2s s s s

Por lo tanto: st 2  te st 2  e s t | 10  12 e u | s  | 1  12 e u | 2s s 0 s s s



1 1  e 2s



s 1  es  0  2s 1e

Simplificando: 1 ft  1  e 2s

ft 

e s  1 s2 s2

s   es

1  e 2s  2e s s2 s2 s2

t,

si 0  t  1

1,

si 1  t  2

3  t si 2  t  3

T3



1 e 2s  e s s2 s2

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e 3s

1

e

1  1  e 3s

3

 e st ftdt 0

2

st

t dt   e

0

1

3

st

dt  3  te st dt 2

Resolviendo las integrales de forma independiente: 1

 e st t dt 0

Aplicando integración por partes:

ut du  dt

dv  e st dt st v   es

st   e s t | 10  1s

1

 e st dt 0

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

st   e s t | 10  12 s

Integrando:

s

 e u du 0

st   e s t | 10  12 e u | s 0 s

Resolviendo la segunda integral: 2

 e st dt 1

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

  1s

2s

 e u du

s

Integrando:  1s e u | 2s s Resolviendo la tercer integral: 3

3  te st dt 2

Aplicando integración por partes:

u  3t du  dt

dv  e st dt st v   es

e st 3  t 3 1  |2  s s

3

 e st dt 2

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

e st 3  t 3  | 2  12 s s

3s

 e u du

2s

Integrando:



e st 3  t 3 | 2  12 e u | 3s 2s s s

Por lo tanto: st 1 1 u 2s e st t | 1  1 e u | 3s  e s t | 10  12 e u | s 0  s e | s  3s s 0 s 2 2s 1e s



s 1  es   1  e 3s

1 s2

e s 

Simplificando: 1 1  e 3s

e s  e 3s  e 2s  1 s2

ft  |cost|

T

1 s2

  1s e 2s 

1 s

2s

e s    e s



1 s2

e 3s 

1 s2

e 2s

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e s



 e st ftdt 0

 2

e

1  1  e s



st

cost dt 

 e st  cost dt  2

0

Resolviendo las integrales de forma independiente:  2

 e st cost dt 0

Aplicando integración por partes: u  e st dv  costdt st du  se v  sent  2

 e st sent| 0  s  e st sent dt  2

0

Aplicando integración por partes por segunda vez: u  e st dv  sentdt st du  se v   cost  2

 e st sent| 0  s e st cost| 0  s  e st cost dt  2

 2

0

Eliminando parentesis:

 2

 2

 2

e st sent| 0  e st costs| 0  s 2

 e st cost dt 0

Entonces:  2

 e st cost dt  e st sent|0

 2

 2

 2

 e st costs| 0  s 2

0

 e st cost dt 0

 2

Pasando s 2

 e st cost dt al otro lado de la igualdad y factorizando: 0

 2

 e st cost dt 1  s 2   e st sent|0

 2



 e st costs| 02

0

 2

 e st cost dt  0

e st sent 2 e st costs 2 |0  |0 2 1s 1  s2

De forma analoga se resuelve la segunda integral 

st

|  e st  cost dt   e 1 sent  s2

 2

 2



e st costs  | 2 1  s2

Por lo tanto:

1 1  e s 1 1  e s 1  1  e s 

e st sent 2 e st costs 2 e st sent  e st costs  |0  |0  |  | 2 2 2 2 2 1s 1s 1s 1  s2 

e 2 s  0  0  s 2 2 1  s s 1  e  2 s  s  e  2  e s s 1  s2 1  s2

Simplificando:



 s  0 e 2 2 1s

s   e s2  0 1s



s  e s s  2e  2 s 1  s2

1 1  e s

ft 

1  t, si 0  t  1

T2

t  1, si 1  t  2

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e 2s

1  1  e 2s

1

e 0

2

 e st ftdt 0

2

st

1  t dt   e st t  1 dt 1

Resolviendo las integrales de forma independiente: 1

 e st 1  t dt 0

Aplicando integración por partes:

dv  e st dt st v   es

u  1t du  dt

e st 1  t 1 1  |0  s s

1

 e st dt 0

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt e st 1  t 1  | 0  12 s s

s

 e u du 0

Integrando:



e st 1  t 1 | 0  12 e u | s 0 s s

Resolviendo la segunda integral: 2

 e st t  1 dt 1

Aplicando integración por partes:

u  t1 du  dt

dv  e st dt st v   es

e st t  1 2 1  |1  s s

2

 e st dt 1

Aplicando sustitución:

u  st du  s dt  du s  dt

e st t  1 2  | 1  12 s s

2s

 e u du

s

Integrando:



e st t  1 2s | s  12 e u | 2s s du s s

Por lo tanto:

1 1  e 2s



st e st 1  t 1 1 e u | s  e t  1 | 2s  1 e u | 2s du |  s s 0 0 s s s2 s2



1  0  1s 1  e 2s



1 1  e 2s



e s  1 s2 s2

e 2s  0  s

e s  1  1  e 2s  e 2s  e s s s s2 s2

Simplificando: 1 1  e 2s



e 2s  1  e 2s  2e s  1 s s2

1 e 2s  1 e s s2 s2

t2,

ft 

si 0  t  2

t  4 2 , si 2  t  4

T4

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e 4s

1  1  e 4s

2

e 0

2

 e st ftdt 0

4

t dt   e st t  4 2 dt

st 2

2

Resolviendo las integrales de forma independiente: 2

 e st t 2 dt 0

Aplicando el metodo de tabulación:

u

dv

e st st 2t  e s st 2 e2 s st 0 e3 s t2

Entonces: st 2 st st  e s t | 20  e 22t | 20  e 3 2 | 20 s s

Resolviendo la segunda integral:

4

 e st t  4 2 dt 2

Aplicando sustitución:

u  t4 du  dt Entonces: 0

0

u e

2 su4

du  e

2

 u 2 e su du

4s

2

Aplicando tabulación:

u

dv

e su su 2u  e s e su 2 s2 su 0 e3 s u2

Entonces: 2 su su su e 4s  u es | 02  2ue2 | 02  2e 3 | 02 s s

Por lo tanto: st 2 st st 2 su su su 1  e s t | 20  e 22t | 20  e 3 2 | 20  e 4s  u es | 02  2ue2 | 02  2e 3 | 02 4s 1e s s s s



1 e 2s 4  s 1  e 4s



e 2s 4 s2



e 2s 2  2 s3 s3

2s  e   4es



4e 2s s2



2  2e 2s s3 s3



1 4e 2s  4e 2s  2e 2s  2  4e 2s  4e 2s  2e 4s  2e 2s  s s 1  e 4s s2 s3 s2 s3

Simplificando: 2s 4s 1  8e 2  2e 3  2 4s 1e s s

ft 

0ta

1,

1, a  t  2a

T  2a

Usando la fórmula para la transformada de la place de una función periodica:

1 ft  1  e 2as

1  1  e 2as

2a

 e st ftdt 0

a

e

2a st

dt 

0

Aplicando sustitución:

u  st du  sdt  du s  dt

 e st dt a

1 1  e 2as

 1s

as



e du  1s u

0

2as



e u du

as

Integrando: 1  1s e u | as  1s e u | 2as as 0 1  e 2as 1  1s e as  1s 1  e 2as



Simplificando: as 2as 1  2es  e s  1s 2as 1e

1 e 2as  1 e as s s