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• Sotero Monroy

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca

Ecuaciones Diferenciales Tarea 7 Definición 1: La Transformada de Laplace Dada una función f (t) definida para toda t ≥ 0, la transformada de Laplace de f es la función F definida como sigue: Z ∞ F (s) = L {f (t)} = e−st f (t) dt 0

para todos los valor de s en los cuales la integral impropia converge. Problema 1. Para cada una de la siguientes funciones, use la definición, para encuentrar su transformada de Laplace y el conjunto de valores s para los que ésta, está definida: 1. f (t) = 1

7. f (t) = e3t+1

2. f (t) = t

8. f (t) = cos kt

3. f (t) = t2

9. f (t) = sen kt

4. f (t) = tn

10. f (t) = sen2 t

5. f (t) = ta con a > −1

11. f (t) = cosh kt

6. f (t) = eat

12. f (t) = senh kt

Problema 2. Para cada una de la siguientes funciones descritas por medio de su gráfica, use la definición, para encontrar su transformada de Laplace y el conjunto de valores s para los que ésta, está definida:

1)

2)

3)

4)

1

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca Definición 2: Función escalón unitario La función escalón unitario u(t) se define como (

u(t) =

0, t < 0; 1, t ≥ 0.

Además, la función escalón unitario con salto en a se define como ua (t) = u(t − a). Problema 3. Determine la transformada de Laplace de la función escalón unitario con salto en a. Teorema 3: Linealidad de la transformada de Laplace Si a y b son constantes entonces L {af (t) + bg(t)} = aL {f (t)} + bL {g(t)} para toda s tal que la transformada de Laplace tanto de f como de g existan. Problema 4. Utilice las propiedades y la tabla de la transformada de Laplace para calcular las transformadas de Laplace de las siguientes funciones: √ 1. f (t) = t + 3t 7. f (t) = cos2 2t 2. f (t) = 3t5/2 − 4t3

8. f (t) = sen 3t cos 3t

3. f (t) = t − 2e3t

9. f (t) = (1 + t)3

4. f (t) = t3/2 − e−10t

10. f (t) = tet

5. f (t) = 1 + cosh 5t

11. f (t) = t cos 2t

6. f (t) = sen 2t + cos 2t

12. f (t) = senh2 3t

Teorema 4: Existencia de la transformada de Laplace Si la función f es continua por tramos para t ≥ 0, y de orden exponencial cuando t → +∞, entonces su transformada de Laplace F (s) = L {f (t)} existe. De manera más precisa, si f es continua por tramos y satisface la condición dada en (23), entonces F (s) existe para todas ≥ c.

2

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Corolario 5: F (s) para cuando s tiende a infinito Si la función f es continua por tramos para t ≥ 0, y de orden exponencial cuando t → +∞, entonces l´ım F (s) = 0. t→∞

Teorema 6: Unicidad de la transformada inversa de Laplace Supóngase que las funciones f (t) y g(t) son continuas por tramos para t ≥ 0, y de orden exponencial cuando t → +∞ de tal manera que sus transformadas de Laplace F (s) y G(s) existan. Si F (s) = G(s) para toda s ≥ c (para alguna c), entonces f (t) = g(t) siempre que en [0, 1) tanto f como g sean continuas. Definición 7: Transformada inversa de Laplace Si F (s) = L {f (t)}, entonces se llama a f (t) la transformada inversa de Laplace de F (s), y se escribe f (t) = L −1 {F (s)}. Problema 5. Encontrar las transformadas inversas de Laplace de las funciones en las siguientes funciones: 1. F (s) =

3 s4

2. F (s) = s−3/2

6. F (s) =

3s + 1 s2 + 4

7. F (s) =

5 − 3s s2 + 9

3. F (s) =

1 2 − 5/2 s s

8. F (s) =

4. F (s) =

1 s+5

9+s 4 − s2

9. F (s) =

10s − 3 25 − s2

5. F (s) =

3 s−4

10. F (s) = 2s−1 e−3s .

Problema 6. La función escalera unitaria se define como sigue: f (t) = n

si n − 1 ≤ t < n,

n = 1, 2, 3, . . .

1. Dibuje una gráfica de f para observar por qué su nombre es apropiado. 2. Muestre que f (t) =

∞ X i=0

para toda t ≥ 0.

3

u(t − n).

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca 3. Asuma que la transformada de Laplace de la serie infinita del inciso anterior se puede obtener término a término, para mostrar que la transformada de Laplace de la función escalon unitario es 1 L {f (t)} = . s(1 − e−s )

Problema 7.

Figura 1: 1. Muestre que la FIgura 1 esta descrita por la función f (t) =

∞ X

u(t − n).

i=0

2. Utilize el método del ejercicio anterior para mostrar que L {f (t)} =

1 . s(1 + e−s )

Figura 2: Problema 8. 1. La función que se muestra en la Figura 2 se conoce como función de onda cuadrada, determine una expresión para tal función como sumas de la función salto unitario. 2. Utilize el método del ejercicio anterior para mostrar que L {f (t)} =

1 − e−s 1 s = tanh . −s s(1 + e ) s 2

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Ecuaciones Diferenciales Tarea 8 Teorema 8: Transformadas de derivadas Supóngase que la función f (t) es continua y suave por tramos para t ≥ 0, y que es de orden exponencial cuando t → +∞, de manera que existen constantes no negativas M , c y T tales que |f (t)| ≤ M ect

t ≤ T.

para

Entonces, la L {f 0 (t)} existe para s > c, y L {f 0 (t)} = sL {f (t)} − f (0) = sF (s) − f (0). Corolario 9: Transformada de derivadas de orden superior Supóngase que las funciones f , f 0 , f 00 ,. . . , f n−1 son continuas y suaves por tramos para t ≥ 0, y que cada una de estas funciones son suaves por tramos y de orden exponencial con los mismos valores de M y de c. Entonces, la L {f (n) (t)} existe cuando s > c, y L {f (n) } = sn L {f (t)} + sn−1 f (0) + sn−2 f 0 (0) + · · · + sf (n−2) (0) + f (n−1) (0) = sn F (s) + sn−1 f (0) + sn−2 f 0 (0) + · · · + sf (n−2) (0) + f (n−1) (0) Problema 9. Utilice la transformada de Laplace para resolver los siguientes problemas con valores iniciales 1. x00 + 4x = 0

x(0) = 5

x0 (0) = 0

2. x00 + 9x = 0

x(0) = 3

x0 (0) = 4

3. x00 − x0 + 2x = 0

x(0) = 0

x0 (0) = 2

4. x00 + x0 + 15x = 0

x(0) = 2

x0 (0) = −3

5. x00 + x = sen 2t

x(0) = 0

x0 (0) = 0

6. x00 + 4x = cos t

x(0) = 0

x0 (0) = 0

7. x00 + x = cos 3t

x(0) = 1

x0 (0) = 0

8. x00 + 9x = 1

x(0) = 0

x0 (0) = 0

9. x00 + 4x0 + 3x = 1

x(0) = 0

x0 (0) = 0

5

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca 10. x00 + 3x0 + 2x = t

x0 (0) = 2

x(0) = 0

11.

x0 = 2x + y y 0 = 6x + 3y

x(0) = 1 y(0) = −2

12.

x0 = x + 2y y 0 = x + e−t

x(0) = 0 y(0) = 0

13.

x0 + 2y 0 + x = 0 x0 − y 0 + x = 0

x(0) = 0 y(0) = 1

14.

x00 + 2x + 4y = 0 y 00 + x + 2y = 0

x(0) = 0 y(0) = 0

x0 (0) = −1 y 0 (0) = −1

15.

x00 + x0 + y 0 + 2x − y = 0 y 00 + x0 + y 0 + 4x − 2y = 0

x(0) = 1 y(0) = 1

x0 (0) = 0 y 0 (0) = 0

x0 = x + z 16. y 0 = x + y z 0 = −2x − z

x(0) = 1 y(0) = 0 z(0) = 0

Teorema 10: Transformadas de integrales Si f (t) es una función continua por tramos para t ≤ 0 y satisface la condición de orden exponencial |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces L

Z t



f (τ ) dτ

0

1 F (s) = L {f (t)} = s s

para s > c. En forma equivalente, L

−1



F (S) s



=

Z t

f (τ ) dτ.

0

Problema 10. Encuentre la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: 1. F (s) =

1 s(s − 3)

5. F (s) =

2. F (s) =

3 s(s + 5)

6. F (s) =

3. F (s) = 4. F (s) =

1 + 4)

7. F (s) =

2s + 1 s(s2 + 9)

8. F (s) =

s(s2

6

1 + 1)

s2 (s2

1 − 9)

s(s2

1 − 1)

s2 (s2

1 . s(s + 1)(s + 2)

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca Problema 11. Aplique el teorema para la derivada de una función para determinar (o mostrar lo que se pida) la transformada de Laplace de la funciones 1. Mostrar que L {tn eat } =

n L {tn−1 eat }. s−a

2. Deduzca que del inciso anterior que L {tn eat } =

3. L {t cos kt} =

n! (s − a)n+1

para

s2 − k 2 (s2 + k 2 )2

4. L {t senh kt} =

2ks (s2 − k 2 )2

5. L {t cosh kt} =

s2 + k 2 . (s2 − k 2 )2

7

n = 1, 2, 3, . . . .

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Ecuaciones Diferenciales Tarea 9 Teorema 11: Primer teorema de traslación, traslación sobre el eje s Si F (s) = L {f (t)} existe para s > c, entonces L {eat f (t)} existe para s > a + c, y L {eat f (t)} = F (s − a). De manera equivalente L −1 F (s − a) = eat f (t). Así, la traslación s → s − a en la transformada corresponde a la multiplicación de la función original de t por eat . Problema 12. Aplique el primer teorema de traslación para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 3. e−2t sen 3πt

1. t4 eπt

−t/2

4. e

3/2 −4t

2. t

e

1 cos 2 t − π 8 



Problema 13. Use el primer teorema de traslación para obtener las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones: 1. F (s) =

3 2s − 4

4. F (s) =

2. F (s) =

s−1 (s + 1)3

5. F (s) =

3. F (s) =

s2

1 + 4s + 4

6. F (s) =

s2

s+2 + 4s + 5

3s + 5 s2 − 6s + 25 9s2

2s − 3 − 12s + 20

Definición 12: Convolución de dos funciones La convolución f ∗ g de dos funciones continuas por tramos f y g se define para t ≥ 0 como sigue: Z t

(f ∗ g)(t) =

f (τ )(t − τ ) dτ.

0

Problema 14. Muestre que la convolución es conmutativa, es decir (f ∗ g)(t) = (g ∗ f )(t). Problema 15. Encuentre la convolución f (t) ∗ g(t) de las siguientes funciones

8

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca 1. f (t) = t

g(t) = 1

2. f (t) = t

g(t) = eat

3. f (t) = sen t

4. f (t) = t2

g(t) = cos t

5. f (t) = eat

g(t) = eat

f (t) = eat con a 6= b

g(t) = ebt

6.

g(t) = sen t

Teorema 13: La propiedad de convolución Supóngase que f (t) y g(t) son continuas por tramos para t ≥ 0, y que |f (t)| y |g(t)| están acotadas por M ect conforme t → ∞. Entonces la transformada de Laplace de la convolución f (t) ∗ g(t) existe para s > c; más aún, L {f (t) ∗ g(t)} = L {f (t)} · L {g(t)} y L −1 {F (s) · G(s)} = f (t) ∗ g(t). Problema 16. Aplique el teorema de convolución para encontrar la transformada inversa de Laplace de las funciones: 1. 2. 3. 4.

1 s(s − 3)

5.

1 + 4)

6.

1 + 9)

7.

s (s − 3)(s2 + 1)

8.

s s4 + 5s2 + 4

s(s2 (s2

s2 (s2 + 4)2

s2 (s2

1 + k2)

s(s2

1 + 4s + 5)

Teorema 14: Derivación de transformadas Si f (t) es continua por tramos para t ≥ 0 y |f (t)| ≤ M ect conforme t → ∞, entonces L {−tf (t)} = F 0 (s) para s > c. En forma equivalente, 1 f (t) = − L −1 {F 0 (s)}. t Aplicaciones sucesivas de la ecuación anterior proporcionan L {tn f (t)} = (−1)n F (n) (s) para n = 1, 2, 3, . . .

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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca Teorema 15: Integración de transformadas Supóngase que f (t) es continúa por tramos para t ≥ 0, que l´ımt→∞ f (t)/t existe y es finito, y que |f (t)|M ect conforme t → ∞. Entonces f (t) L t 



=

Z ∞

F (τ ) dτ.

s

para s > c. En forma equivalente, f (t) = L −1 {F (s)} = tL −1

Z ∞



F (τ ) dτ .

s

Problema 17. Aplicar los dos teoremas anteriores para hallar la transformada de f (t) 1. f (t) = t sen 3t

6. f (t) =

1 − cos 2t t

7. f (t) =

e3t − 1 t

8. f (t) =

et − e−t t

2. f (t) = t2 cos 2t 3. f (t) = te2t cos 3t 4. f (t) = te−t sen2 t 5. f (t) =

sen t t

Problema 18. Aplique los teoremas anteriores para encontrar la transformada inversa de Laplace de las funciones: 1. f (t) = ln

s−1 s+2

4. f (t) = tan−1

2. f (t) = ln

s2 − 1 s2 + 4

5. f (t) = ln 1 +

3. f (t) = ln

s2 + 1 (s + 2)(s − 3)

6. f (t) =

3 s+2



1 s2



s (s2 + 1)3

Problema 19. Determine una solución no trivial de las siguientes ecuaciones de tal forma que x(0) = 0 1. tx00 + (t − 2)x0 + x = 0

4. tx00 + 2(t − 1)x0 − 2x = 0

2. tx00 + (3t − 1)x0 + 3x = 0

5. tx00 − 2x0 + tx = 0

3. tx00 − (4t + 1)x0 + 2(2t + 1)x = 0

6. tx00 + (4t − 2)x0 + (13t − 4)x = 0

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Ecuaciones Diferenciales Tarea 10 Teorema 16: Segundo teorema de traslación, traslación sobre el eje t Si existe F (s) = L {f (t)} la transformada de Laplace de f para s > c, entonces L {u(t − a)f (t − a)} = e−as F (s) y L −1 {e−as F (s)} = u(t − a)f (t − a) para t > c + a. Problema 20. Encuentre la transformada de Laplace inversa f (t) de cada una de las funciones dadas. Dibuje la gráfica de f . 1. F (s) =

e−3s s2

6. F (s) =

se−s s2 + π 2

2. F (s) =

e−s − e−3s s2

7. F (s) =

1 − e−2πs s2 + 1

3. F (s) =

e−s s+2

8. F (s) =

s(1 − e−2s ) s2 + π 2

4. F (s) =

e−s − e2−2s s−1

s(1 + e−3s ) 9. F (s) = s2 + π 2

5. F (s) =

e−πs s2 + 1

10. F (s) =

2s(e−πs − e−2πs ) s2 + 4

Problema 21. Obtenga las transformadas de Laplace de las funciones dadas. (

1. f (t) = (

2. f (t) =

2, 3,

0≤t 2π

6. f (t) =

t 2π

7. f (t) =

t5

11

t≤1 1≤t≤2 t>2 t2

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO Instituto Tecnológico de Toluca Definición 17: Funciones periódicas La función no constante f (t), definida para t ≥ 0 se dice que es periódica si existe un número p > 0 tal que f (t + p) = f (t) para todo t ≥ 0. El mínimo valor positivo de p (si existe alguno) para el cual la ecuación anterior se cumple, se llama periodo de f. Teorema 18: Transformadas de funciones periódicas Sea f (t) una función periódica con periodo p y continua por tramos para t ≥ 0. Entonces la transformada F (s) = L {f (t)} existe para s > 0 y está dada por Z p 1 e−st f (t) dt. F (s) = −ps 1−e o

Problema 22. Emplee el teorema para la transformada de funciones periódicas para verificar que s . L {cos kt} = 2 s + k2 Problema 23. Emplee el teorema para la transformada de funciones periódicas para verificar que la transformada de Laplace de la función de onda cuadrada f (t) de la Figura 3 es L {f (t)} =

1 . s(1 + e−as )

Figura 3: Gráfica de la función onda cuadrada Problema 24. Emplee el teorema para la transformada de funciones periódicas para verificar que la transformada de Laplace de la función de diente de sierra f (t) de la Figura 4 es L {f (t)} =

1 e−as − . as2 s(1 − e−as )

Problema 25. Sea g(t) la función escalera de la Figura 5. Muestre que g(t) = t/a − f (t), donde f (t) es la función diente de sierra y deduzca que L {g(t)} =

e−as . s(1 − e−as )

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Figura 4: Gráfica de la diente de sierra

Figura 5: Gráfica de la función escalera Problema 26. Suponga que f (t) es una función periódica de periodo 2a con (

f (t) =

0≤t