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Universidad Nacional Experimental del Táchira. Departamento de Ingeniería Electrónica. Núcleo de Instrumentación y Control. Profesor: Tito González. San Cristóbal, Jueves 15 de Octubre del 2009.

EJERCICIOS RESUELTOS DE TRANSFORMADA DIRECTA DE LAPLACE

INTRODUCCION. A continuación se desarrollan una serie de ejercicios de Transformada Directa de Laplace con el objeto de establecer una metodología básica para la solución de esta clase de transformación. Se inicia, con ejercicios muy simples para utilización directa de la tabla de pares de transformada de Laplace, incrementandose posteriormente y de manera gradual el nivel de dificultad a objeto de utilizar la tabla de propiedades de la transformada en conjunto con la regla de la cadena, para finalmente aplicar la tabla de pares de transformada y establecer la solución al problema planteado. En relación al párrafo anterior, el último problema es desarrollado por dos métodos distintos ha objeto de demostrar la importancia de la correcta selección de las propiedades ha aplicar al momento de iniciar la solución de problema (precedencia en las propiedades). Esto con el objeto de tomar el camino más “económico” desde el punto de vista del esfuerzo al momento de resolver el problema. Por otra parte, se han tomado algunos de los problemas mas representativos desde el punto de vista conceptual para mostrar gráficamente el significado, y valores característicos, de la transformación de la variable “tiempo” a la variable compleja “S” por la utilización de gráficas en 2D y 3D. Estos gráficos, se realizaron por medio de scripts en Matlab versión 5.3, los cuales están a disposición del publico en otro apartado, para que el interesado en el área experimente y modifique los parámetros que se encuentran identificados para tal fin al inicio del script. Cada ejercicio se encuentra identificado en su inicio con un nombre código como: TDLE01, el cual significa: Transformada Directa de Laplace Ejercicio 01, de manera tal de no perder el enlace entre el ejercicio resuelto y la codificación en Matlab.

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Ejercicio: TDLE01 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 7t Solución:

L { f ( t )} = L

{ 7t} = 7L { t}

Par 6 n=1

L { f ( t )} = 7⎡⎢⎣ S1!

7 7 ⎤ ( ) = = 1+ 1 ⎥ 2 2 = F s ( S + 0) ⎦ S

L

{ 7t } =

7 S2

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Ejercicio: TDLE02 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 5e − 3t Solución:

L { f ( t )} = L {5e } = 5L {e } − 3t

L L

− 3t

Par 7

σ =3

5 ⎡ 1 ⎤ { f ( t )} = 5⎢ S + 3⎥ = ( S + 3) = F ( s) ⎣ ⎦ 5 − 3t {5e } = ( S + 3)

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Ejercicio: TDLE03 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 2 sen( 4t ) Solución:

L { f ( t )} = L {2sen( 4t )} = 2L {sen( 4t )} L { f ( t )} = 2⎡⎢ S ⎣

2

Par 9

ω =4

4 ⎤ 8 = = F ( s) 2 ⎥ 2 + 4 ⎦ ( S + 16)

L {2sen( 4t )} = (S

8 2

+ 42 )

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Ejercicio: TDLE04 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 3 cos( 5t ) Solución:

L { f ( t )} = L {3 cos(5t )} = 3L {cos(5t )} L

{ f ( t )} = 3⎡⎢

L

{3 cos(5t )} =

Par 10 ω =5

S ⎤ 3S = F ( s) 2 2 ⎥ = 2 ⎣ S + 5 ⎦ ( S + 25) 3S

( S 2 + 52 )

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Ejercicio: TDLE05 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades. 3 f ( t ) = ( t + 2)

Solución:

L { f ( t )} = L {( t + 2) } = L {t 3

3

+ 6t 2 + 12t + 8}

propiedad 1

L { f ( t )} = L {t } + 6L {t } + 12L

{ t} + 8L {1}

L { f ( t )} = L {t } + 6L {t } + 12L

{ t} + 8L {u( t )} n = 3

3

3

2

2

Por Definición u ( t )= 1

Par 6 n= 2 n=1

⎡ 1⎤ ⎡ 1! ⎤ ⎡ 2! ⎤ ⎤ + + + 6 12 8 3+ 1 ⎥ ⎢⎣ S ⎥⎦ ⎢⎣ S 1+1 ⎥⎦ ⎢⎣ S 2 +1 ⎥⎦ ⎦

L { f ( t )} = ⎡⎢⎣ S3! L

{ f ( t )} =

6 12 12 8 + + + S4 S3 S2 S

L {( t + 2) } = 3

6 12 12 8 + + + S4 S3 S2 S

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Ejercicio: TDLE06 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 4t 3 u( t ) Solución:

L { f ( t )} = L {4t u( t )} = 4L {t u( t )} 3

3

propiedad 4 g ( t )= t 3 a=0

L { f ( t )} = 4e L { g( t + a)} = 4(1)L { g( t )} = 4L {t } − aS

3

Par 6 n= 3

L { f ( t )} = 4⎡⎢⎣ S3!

⎤ 24 ( ) 3+ 1 ⎥ = 4 = F s ⎦ S

L {4t u( t )} = 3

24 S4

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Ejercicio: TDLE07 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 6t 2 e − 5t u( t ) Solución:

L

{ f ( t )} = L {6t 2 e −5t u( t )} = 6L {t 2 e −5t u( t )} g(t )= t 2u(t ) propiedad 5 a=5

L { f ( t )} = 6L {e L { g( t )} = L {t L

2

− at

g( t )} = 6G( S + 5) = L

u( t )}

{ f ( t )}

propiedad 4 h( t )= t 2 b= 0

{ g( t )} = L {h( t ) u( t − b)} =

e L − bS

{h( t + b)} = (1)L {h( t )} = L {t 2 }

Par 6 n= 2

L { g( t )} = ⎡⎢⎣ S2!

2 ⎤ ( ) = 2+1 ⎥ 3 = G s S ⎦ * regresando en la regla de la cadena: 2 2 G( s) = 3 ⇒ G( S + 5) = S ( S + 5) 3

L { f ( t )} = 6⎡⎢ ( S +2 5) ⎣

L {6t e 2

− 5t

u( t )} =

⎤ 12 = 3⎥ 3 ⎦ ( S + 5) 12

( S + 5) 3

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Ejercicio: TDLE08 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 10e − 5t sen( 20t ) u( t ) Solución:

L { f ( t )} = 10L {e L

− 5t

sen( 20t ) u( t )} g(t )= e − 5t sen(20t ) propiedad 4 a=0

{ f ( t )} = 10L { g( t ) u( t )} = 10L { g( t )} = 10L

L { f ( t )} = 10L {e

− bt

h( t )} = 10 H ( S + 5) = L

L {h( t )} = L {sen( 20t )} L {h( t )} = (S

20 2

+ 20 2 )

L L

b=5

{ f ( t )}

= H ( s)

]

⎤ 200 ⎥ = 2 ( S + 5) 2 + 20 2 ⎢⎣ ( S + 5) + 20 2 ⎥⎦ 200 {10e −5t sen( 20t )u( t )} = ( S + 5) 2 + 20 2

[

propiedad 5

ω = 20

[

⎡

sen( 20t )} h(t )= sen(20t )

Par 9

* regresando en la regla de la cadena 20 20 ( ) H ( s) = 2 H ⇒ S + 5 = (S + 202 ) ( S + 5) 2 + 20 2

{ f ( t )} = 10⎢

{e

− 5t

20

] [

[

]

]

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Ejercicio: TDLE09 Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f ( t ) = 7e( − 2 t + 4 ) sen( 3t − 6) u( t ) Solución:

L

{ f ( t )} = 7L

{e

( − 2t + 4)

sen( 3t − 6) u( t )} g(t )= e( − 2 t + 4 ) sen(3t − 6) propiedad 4 a=0

L { f ( t )} = 7L { g( t )u( t )} = 7L { g( t )} L { f ( t )} = 7L {e( ) sen( 3t − 6)} = 7L {e e sen( 3t − 6)} − 2t + 4

L { f ( t )} = 7e L {e

− 2t

L { f ( t )} = 7e L {e

− bt

4

4

− 2t

sen( 3t − 6)}

propiedad 5 h( t )= sen( 3t − 6) b= 2

h( t )} = 7e 4 H ( S + 2) = L

L {h( t )} = L {sen( 3t − 6)}

4

{ f ( t )}

Descomposición por ángulo doble

L {h( t )} = L {sen( 3t ) cos( 6) − cos( 3t ) sen( 6)}

propiedad 1

L {h( t )} = cos( 6)L {sen( 3t )} − sen( 6)L {cos( 3t )}

Pares 9 y 10

ω =3

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L {h( t )} = cos( 6) ⎡⎢⎣ S

2

3 ⎤ ⎡ S ⎤ ( ) 6 − sen ⎢⎣ S 2 + 9 ⎥⎦ = H ( s) + 32 ⎥⎦

* regresando en la regla de la cadena H ( s) =

( S + 2) sen( 6) 3 cos( 6) S ⋅ sen( 6) 3 cos( 6) ( ) − ⇒ H S + = − 2 S2 + 9 S2 + 9 ( S + 2) 2 + 9 ( S + 2) 2 + 9

L { f ( t )} = L {7e

( − 2t + 4)

7e 4 [3 cos( 6) − ( S + 2) sen( 6) ]

[( S + 2)

2

+ 32

sen( 3t − 6) u( t )} =

[

] [

]

]

7e 4 [3 cos( 6) − ( S + 2) sen( 6) ]

[( S + 2)

2

+ 32

]

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Ejercicio: TDLE10 - A Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f (t ) = e( − 2 t + 4 ) sen(3t − 6)u(t − 2) Solución:

L { f (t )} = L {e

( − 2t + 4)

}

sen(3t − 6)u(t − 2)

propiedad 4 ( − 2 t + 4 )sen(3t − 6) g ( t )= e a= 2

L { f (t )} = L {g(t )u(t − a )} = e L {g(t + a )} − aS

L { f (t )} = e L {g(t + 2)} = e L {e[ − 2S

− 2S

L { f (t )} = e L {e[ − 2S

L { f (t )} = e L {e − 2S

− 2 t − 4+ 4 ]

− 2t

L {h(t )} = S

]}

}

} ()

sen(3t )

− bt

L {h(t )} = L {sen(3t )}

[

sen 3(t + 2) − 6

sen[3t + 6 − 6] propiedad 5

h t = sen( 3t ) b= 2

L { f (t )} = e L {e h(t )} = e − 2S

− 2 ( t + 2 )+ 4 ]

− 2S

H ( S + 2) = L

{ f (t )}

Par 9

ω= 3

3 = H ( s) 2 +9

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* regresando en la regla de la cadena H ( s) =

3 3 2 ⇒ + = H S ( ) S 3 + 32 ( S + 2) 2 + 32

[

L { f (t )} = e L {e

( − 2t + 4)

− 2S

⎧ 3 ⎪ ⎨ 2 2 ⎪⎩ ( S + 2) + 3

[

}

sen(3t − 6)u(t − 2) =

]

⎫ 3e − 2 S ⎪ ⎬= 2 2 ⎪⎭ ( S + 2) + 3

] [

3e − 2 S

[(S + 2)

2

+ 32

]

]

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Ejercicio: TDLE10 - B Obtenga la Transformada Directa de Laplace,

L { f ( t )} = F ( s) , para la siguiente función haciendo uso

de tablas y propiedades.

f (t ) = e( − 2 t + 4 ) sen(3t − 6)u(t − 2) Solución:

L { f (t )} = L {e(

− 2t + 4)

}

identidad

sen(3t − 6)u(t − 2) ex + y = ex ⋅e y

L { f (t )} = L {e e sen(3t − 6)u(t − 2)} − 2t

4

L { f (t )} = e L {e

− 2t

4

}

sen(3t − 6)u(t − 2)

propiedad 5 a= 2 g ( t )= sen ( 3t − 6 ) u ( t − 2 )

L { f (t )} = e L {e g(t )} = e G( s + a ) L { f (t )} = e G( s + 2) 4

− at

4

4

L {g(t )} = L {sen(3t − 6)u(t − 2)}

identidad descomposición ángulo doble

L {g(t )} = L {[ sen(3t ) ⋅ cos(6) − cos(3t ) ⋅ sen(6)]u(t − 2)}

propiedad 1

L {g(t )} = cos(6)L {sen(3t )u(t − 2)} − sen(6)L {cos(3t )u(t − 2)} L L L L

propiedad 4 b= 2

h ( t )= sen ( 3t ) k ( t )( cos ( 3t ) )

{g(t )} = cos(6)L {h(t )u(t − b)} − sen(6)L {k (t )u(t − b)} {g(t )} = cos(6)e L {h(t + b)} − sen(6)e L {k (t + b)} {g(t )} = e [cos(6)L {h(t + 2)} − sen(6)L {k (t + 2)}] {g(t )} = e [cos(6)L {sen[ 3(t + 2)]} − sen(6)L {cos[ 3(t + 2)]}] − bS

− bS

− 2S

− 2S

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[cos(6)L {sen(3t + 6)} − sen(6)L {cos(3t − 6)}]

L {g(t )} = e

− 2S

L {g(t )} = e

− 2S

[cos(6)L {[ sen(3t ) cos(6) − cos(3t )sen(6)]} − sen(6)L {[ cos(3t ) cos(6) − sen(3t )sen(6)]}]

L {g(t )} = e

− 2S

[cos (6)L {sen(3t )} + cos(6)sen(6)L {cos(3t )} − sen(6) cos(6)L {cos(3t )} + sen (6)L {sen(3t )}]

L {g(t )} = e

− 2S

[cos (6)L {sen(3t )} + sen (6)L {sen(3t )}]

2

2

2

− 2S

2

2

L {g(t )} = e [L {sen(3t )}] − 2S

− 2S

ángulo doble

2

L {g(t )} = e [L {sen(3t )}[cos (6) + sen (6)]]

L {g(t )} = e

identidad descomposición por

⎡ 3 ⎤ ⎢⎣ S 2 + 32 ⎥⎦ =

identidad trigonometrice cos 2 (α )+ sen 2 (α )= 1

par 9

⎡ 3e − 2 S ⎤ ⎢ S 2 + 32 ⎥ = G( s) ⎣ ⎦

regresando en la regla de la cadena

L { f (t )} = e G( S + 2) 4

L

3e4 e − 4 e − 2 S 3e − 2 S − 2( S + 2 ) ⎡ ⎤ = = 3 e { f (t )} = e4 ⎢ S + 2 2 + 32 ⎥ ( S + 2)2 + 32 ( S + 2)2 + 32 ) ⎢⎣ ( ⎥⎦

L {e

− 2t + 4

}

sen(3t − 6)u(t − 2) =

3e − 2 S

[(S + 2)

2

+ 32

]

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