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• NICOLAS FRANCISCO SEPULVEDA MELLA

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Conservación de la Energía y Energía de Deformación. Segundo Teorema de Castigliano. Ley de Betti y Ley de Maxwell de las Deflexiones Reciprocas.

CESAR ASCENCIO MORA MARCELO CACERES VALDIVIA NICOLAS SEPULVEDA MELLA ESTUDIANTES VIVIANA LETELIER GONZALEZ PROFESORA

TEMUCO, 24 DE JULIO DEL 2018

Universidad De La Frontera- Facultad de Ingeniería, Ciencias y Administración-Departamento Ingeniería Civil MECÁNICA ESTRUCTURAL IIO210-1

Índice

Índice ................................................................................................................................................... 2 Introducción ........................................................................................................................................ 3 Conservación de Energía y Energía de Deformación .......................................................................... 4 Teoremas de Reciprocidad .................................................................................................................. 5 Segundo Teorema de Castigliano ........................................................................................................ 9 Conclusión ......................................................................................................................................... 14 Referencias ........................................................................................................................................ 14

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Introducción En análisis de estructuras hay numerosas técnicas para el cálculo de deflexiones que se clasifican bajo el encabezado general de métodos energéticos tales como el Método de Trabajo Virtual y el Teorema de Castigliano. Estos métodos están moldeados en una variedad de formas y se deben al principio de Conservación de Energía, cabe destacar que ambos métodos son muy similares solo que para Trabajo Virtual se ocupa una carga unitaria en vez de una carga P. El cálculo de deflexiones es crucial en el diseño de estructuras debido a que no pueden sobrepasar el límite permisible, porque provocaría daños en la estructura o hasta el colapso de esta misma. Por lo que se debe saber que se puede estimar mediante métodos de energía o métodos geométricos tales como el de Momento-Área o el de Viga Conjugada, pero es necesario tener una idea de cómo se deformara la estructura. Por otra parte el Método de Castigliano(Método de Energía) permite llegar a un mismo resultado con un planteamiento más sencillo utilizando derivadas parciales de la energía interna de deformación. Por lo que es un método muy útil y aplicable a un mayor número de Estructuras Estáticamente Determinadas. El método de Castigliano también es aplicable a Estructuras Estáticamente Indeterminadas, mediante el uso de que no hay deformación en las reacciones, si bien se sabe que una Estructura Indeterminada posee más incógnitas que Ecuaciones. Este método nos brinda más ecuaciones para lograr el cálculo con cuatro o más Reacciones.

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Conservación de Energía y Energía de Deformación El principio de conservación de energía es esencial para los métodos de energía, es decir es la base del Método de Trabajo Virtual y el Teorema de Castigliano, entre otros. Antes de explicar cómo se relaciona este principio a los métodos de energía es necesario comprender el concepto de trabajo, el cual se entenderá como el producto entre la fuerza y el desplazamiento. Sin embargo en la práctica la fuerza y la deformación no son constantes, por lo que en estas situaciones es necesario considerar todas las variaciones de trabajo en las cuales la fuerza pueda suponerse constante, con lo cual el trabajo quedara definido como:

𝑊 = ∫ 𝐹 𝑑𝑥 Retomado el tema central, al aplicar cargas externas a una estructura se producen movimientos en los puntos donde se aplican las cargas, lo cual genera una deformación en los elementos que componen la estructura. Lo que nos plantea el principio de conservación es que el trabajo realizado por las cargas externas We será igual a trabajo generado por las fuerzas internas de la estructura Wi. 𝑊𝑒 = 𝑊𝑖 Cuando ocurre la deformación, el trabajo interno Wi, también denominado como energía de deformación, quedara almacenado al interior de la estructura como energía potencial. Si el límite elástico del material del cual está confeccionada la estructura no se excede, la energía de deformación será suficiente para que la estructura recupera su forma original, cuando se retiren las cargas. Sin embargo se debe considerar que el principio de conservación de la energía es aplicable solo a cargas estáticas aplicadas a sistemas estáticos, ya que si se está en movimiento se perderá trabajo en forma de energía cinética o calor, por lo cual no se cumpliría que We = Wi La Energía Elástica de Deformación es una suma total de las energías de deformación de cada segmento. Para el caso particular de barras elásticas deformadas por flexión, se llega a la siguiente ecuación. 𝑙

𝑀2 𝑑𝑥 𝑊= ∫ 0 2𝐸𝐼

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Teoremas de Reciprocidad Teorema de Maxwell Fue publicado por primera vez en 1864 por James Clerk Maxwell y es conocido como el Teorema de las Deflexiones Reciprocas, se aplica a una estructura que está hecha de un material elástico que obedezca la ley de Hocke. En la siguiente figura de una viga existen dos estados de carga y deformaciones, solo que ambos estados de cargas son unitarios.

P1=1 P2=1

δ₂₁

δ₂₂ De lo que se obtiene:

P1 ∙ δ₁₂ = P2 ∙ δ₂₁ Y siendo ambas cargas unitarias, es decir P1=P2=1

δ₁₂ = δ₂₁ (1) La deflexión en un punto 1 de una estructura debido a una carga aplicada en otro punto B es exactamente la misma que se obtendría en 2 si la misma carga se aplicara en A. Lo anterior es el enunciado del teorema de Maxwell sobre las deflexiones reciprocas que se puede expresar de la forma de la ecuación 1 anteriormente escrita.

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Teorema de Betti-Rayleigh Este teorema conocido como el de Trabajos Recíprocos se realizo a partir del Teorema de Maxwell, la diferencia fue que Maxwell considero una carga unitaria, pero Betti-Rayleigh demostraron matemáticamente de que no es necesario que la fuerza posea un valor igual a 1.

Caso (A), Cuando P1 se aplica primero: 1 1 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 = 𝑃1 × 𝐴1 + 𝑃1 × 𝐴2 + 𝑃2 × 𝐵2 2 2

(1.1)

Caso (B), Ahora se considera que P2 se aplica primero: 1 1 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 = 𝑃1 × 𝐴1 + 𝑃2 × 𝐵1 + 𝑃2 × 𝐵2 2 2

(1.2)

El trabajo realizado es el mismo, tomando en cuenta inicialmente una carga u otra, sin importar el orden de cual se aplica primero, por tanto, igualando las ecuaciones. 1.1 y 1.2 se tienen: 1 1 1 1 𝑃1 × 𝐴1 + 𝑃1 × 𝐴2 + 𝑃2 × 𝐵2 = 𝑃1 × 𝐴1 + 𝑃2 × 𝐵1 + 𝑃2 × 𝐵2 2 2 2 2 𝑃1 × 𝐴2 = 𝑃2 × 𝐵1

(1.3)

(1.3)

Por lo tanto: ‘‘El desplazamiento de un punto A en la dirección de la fuerza P1 cuando en el punto B actúa la fuerza P2, es igual al desplazamiento en el punto B en dirección de la fuerza P2, cuando en el punto A actúa la fuerza P1’’.

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Lo anterior es el enunciado del teorema de Maxwell sobre las deflexiones reciprocas que se puede expresar de la forma: 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 1 × 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑃1 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑃2 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 2 × 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑃2 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑎 𝑎 𝑃1

Ejemplo 1: Una barra de longitud L empotrada en su extremo B, es sometida a dos sistemas de cargas diferentes (Sistema 1 y Sistema 2), tal como se muestra en la ilustración 2. Encuentra las deformaciones para cada sistema para posteriormente utilizar el teorema de Maxwell y Betti de reciprocidad, para encontrar la deformación del Sistema 3, tome en cuenta a L = 1 metro:

Primero debemos encontrar los desplazamientos verticales de cada sistema, para ello se resuelven ocupando el método de la doble integración: Sistema 1) 𝑀₁(𝑥) = 𝐹(𝐿 − 𝑥)

(2.1.1)

𝑀₁(𝑥) 𝐹 (𝐿𝑥 − 𝜃₁(𝑋) = ∫ = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑌₁(𝑋) = ∫ 𝜃(𝑋) =

𝐿𝑥 2 2

𝐹(

−

𝑥2 ) 2

𝑥3 ) 6

𝐸𝐼

1 𝐹 𝑌₁ ( ) = 0.10416 × 2 𝐸𝐼

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(2.1.2)

(2.1.3) (2.1.4)

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Sistema 2) 𝐿 𝑀₂(𝑥) = 𝐹 ( − 𝑥) 2

(2.2.1) 𝐿𝑥

𝑀₂(𝑥) 𝐹 ( 2 − 𝜃₂(𝑋) = ∫ = 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑌₂(𝑋) = ∫ 𝜃₂(𝑋) =

𝐿𝑥 2 4

𝐹(

−

𝑥2 ) 2

(2.2.2)

𝑥3 ) 6

(2.2.3)

𝐸𝐼

𝑌₂(1) = 0.10416 ×

𝐹 𝐸𝐼

(2.1.4)

A continuación, Se pretende resolver ahora el sistema a través del teorema de Maxwell y Betti. Recordando la ecuación 1.3 podemos encontrar la deflexión en el sistema 2 debido a la carga F del sistema 1. Para ello debemos encontrar la deformación del sistema 1 en el punto 0.5 m de la viga. 1 𝐹 × 𝐴2 = 𝐹 × 𝑌₁( ) 2

(1.3)

1

𝐴2 = 𝐹 ×

𝑌₁ (2) 𝐹

(1.3)

1 𝐴2 (𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 1 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝐹 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 2 ) = 𝑌₁ ( ) 2 𝐴2 = 0.10416 ×

(1.3)

𝐹 (1.3) 𝐸𝐼

Lo que anteriormente se había demostrado mediante el método de doble integración.

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Segundo Teorema de Castigliano Este teorema fue publicado en 1879 por Alberto Castigliano, un Ingeniero de los Ferrocarriles Italianos y proporciona un método para el cálculo de deflexiones. En su publicación el presento la siguiente ecuación del Trabajo Interno Total o Energía Elástica de Deformación en toda la estructura: 𝑙

𝑊= ∫ 0

𝑀2 𝑑𝑥 2𝐸𝐼

(1)

Por otra parte, si consideremos una fuerza P1 y un desplazamiento 𝛿1 (o deformación) y multiplicamos estos 2 términos se obtendrá el Trabajo W. 𝑊 = 𝑃1 × 𝛿1 Si la carga P1 toma una pequeña cantidad dP1, entonces esto produciría un pequeño trabajo llamado dW, si luego de esto se despeja la deformación, se tiene que: 𝛿1 =

𝑑𝑊 𝑑𝑃1

Como por lo general se aplica más de una acción a la estructura, se escribe comúnmente como una derivada parcial. 𝛿=

𝜕𝑊 𝜕𝑃

(2)

Ahora sustituimos la Ecuación (1) en la Ecuación (2).

𝜕 𝑀2 𝛿 = ∫ 𝑑𝑥 𝜕𝑃 2 𝐸𝐼 Reescribiendo esta ecuación, para hacerla más sencilla: 𝛿 = ∫(

𝜕𝑀 𝑀 ) 𝑑𝑥 𝜕𝑃 𝐸𝐼

Donde P es una Fuerza que se aplica en una Dirección que depende exclusivamente de lo que necesito saber, si su Deflexión Vertical o Horizontal, y se aplica en el punto donde quiero conocer su deformación. Si existiera una fuerza P1 en ese punto entonces el valor de P tomaría el valor de la fuerza P1, por el contrario si es que no hay fuerza en ese punto, entonces P toma el valor de 0. Por otra parte el sentido en que apunta la flecha generalmente se coloca apuntando en dirección hacia donde se cree que se deformara ese punto de la estructura, pero si se coloca en la otra dirección cambiara el signo del resultado, por lo que no resultaría un problema mayor.

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Ejemplo 2: Calcular la deflexión horizontal en el punto D del marco con el método Castigliano, por lo que se procede a colocar una fuerza horizontal en el punto D con el valor P.

3 Ton

3 Ton

10 Ton/m B

P

D

C

3m 4m E A

Ve eEEEee

Va

Ha

2,5 m

2,5 m

Lo primero es calcular las Reacciones ∑ 𝑀𝐴 : (−4 × 10 × 2) − (3 × 2,5) − (3 × 5) + 5𝑉𝐸 − 4𝑃 𝑉𝐸 = 20,5 +

∑ 𝐹𝑦 :

4 𝑃 5

𝑉𝐴 − 6 + 20,5 +

𝑉𝐴 = −14,5 −

∑ 𝐹𝑥 :

4 𝑃 5

4 𝑃 5

4 × 10 + 𝑃 − 𝐻𝐴

𝐻𝐴 = 40 + 𝑃

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Ahora realizamos el análisis correspondiente para encontrar la ecuación de momento en cada tramo.  𝑇𝑟𝑎𝑚𝑜 𝐴𝐵

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