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• Vanesa Rosales Maguiña

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PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL Este principio fue desarrollado por John Bernoulli en 1717, y en ocasiones se le conoce también como el método de la carga unitaria. Proporciona un medio general para obtener el desplazamiento y la pendiente en un punto específico de una estructura, ya sea una viga, un marco o una armadura. Si se toma una estructura deformable de cualquier forma o tamaño y se le aplica una serie de cargas externas P, se producirán cargas internas u en puntos a través de toda la estructura. Es necesario relacionar las cargas internas y externas mediante las ecuaciones de equilibrio. Como consecuencia de estas cargas, ocurrirán desplazamientos externos ∆ en las cargas P y se presentarán desplazamientos internos ẟ en cada punto de carga interna u. En general, estos desplazamientos no tienen que ser elásticos, y quizá no se relaciones con las cargas; sin embargo, los desplazamientos internos y externos deben estar relacionados por la compatibilidad de los desplazamientos. En otras palabras, si se conocen los desplazamientos externos, los desplazamientos internos correspondientes estarán definidos de manera única. Entonces, el principio del trabajo y los estados de energía puede enunciarse de manera general como sigue: ∑P∆ Trabajo de las cargas externas

=

∑uẟ Trabajo de las cargas internas

Para el principio del trabajo virtual se considera que la estructura tiene una forma arbitraria. Suponga que es necesario determinar el desplazamiento en A en la dirección ∆, el desplazamiento ∆ puede determinarse si se coloca primero una carga “virtual” sobre el cuerpo de modo que esta fuera P’ actúe en la misma dirección que ∆. Por conveniencia se elegirá P’ con una magnitud “unitaria” es decir, P’=1. Para describir la carga se usa el término “virtual” debido a que es imaginaria y en realidad no existe como parte de la carga real. Sin embargo, la carga unitaria (P’) crea una carga virtual interna u en un elemento o fibra representativa del cuerpo. Aquí se requiere que P’ y u se relación en mediante las ecuaciones de equilibrio.

Una vez aplicadas las cargas virtuales, el cuerpo está sometido a las cargas reales P1, P2 y P3. El punto A se desplazará una cantidad ∆, la cual causará que el elemento se deforme una cantidad dL. Como resultado, la fuerza virtual externa P’ y la carga virtual interna u se “pasearán a lo largo” de ∆ y dL, respectivamente, y por lo tanto realizarán un trabajo virtual externo de 1·∆ sobre el cuerpo y un trabajo virtual interno de u·dL sobre el elemento. Si se toma en cuenta que el trabajo externo es igual al trabajo virtual interno realizado en todos los elementos del cuerpo, es posible escribir la ecuación del trabajo virtual como 1 · ∆ = ∑u · dL Donde P’ = 1 = carga virtual externa que actúa en la dirección de ∆. u = carga virtual interna que actúa sobre el elemento en la dirección de dL. ∆ = desplazamiento externo causado por las cargas reales. dL = deformación interna del elemento causada por las cargas reales. De manera parecida si deben determinarse el desplazamiento rotacional o la pendiente de la tangente en un punto sobre una estructura, se aplica un momento de par virtual M’ con magnitud unitaria en el punto. Como consecuencia, este momento de par causa una carga virtual uӨ en uno de los elementos del cuerpo. 1 · Ө = ∑uӨ · dL Donde M’ = momento de un par unitario virtual externo que actúa en la dirección de Ө. uӨ = carga virtual interna que actúa sobre un elemento en la dirección de dL. Ө = desplazamiento rotacional externo o pendiente en radianes causados por las cargas reales. dL = deformación interna del elemento causada por las cargas reales.

MÉTODO DEL TRABAJO VIRTUAL: ARMADURAS

Carga externa. Considere el desplazamiento vertical ∆ de una junta B de una armadura. Si las cargas aplicadas P1 y P2 ocasionan una respuesta material lineal elástica, este miembro se deforma en una cantidad ∆L = NL/AE, donde N es la fuerza normal o axial en el elemento, causada por las cargas. Si se aplica la ecuación del trabajo virtual, entonces 1 · ∆ = ∑nNL/AE Donde

1 = carga unitaria virtual externa que actúa sobre la junta de la armadura en la dirección indicada de ∆. n = fuerza normal virtual interna en un elemento de una armadura causada por la carga unitaria virtual externa. ∆ = desplazamiento externo de la junta causado por las cargas reales sobre la armadura. N = fuerza normal interna en un elemento de la armadura causada por las cargas reales. L = longitud de un elemento. A = área transversal de un elemento. E = módulo de elasticidad de un elemento.

TEOREMA DE CASTIGLIANO En 1879, Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro en el que exponía un método para determinar la deflexión o la pendiente en un punto en una estructura, en una armadura, una viga o un marco. Este método, conocido como el segundo teorema de Castigliano, o el método del trabajo mínimo, sólo aplica a las estructuras que tienen una temperatura constante, soportes que no ceden y respuesta material elástica lineal. Si debe determinarse el desplazamiento de un punto, el teorema establece que éste es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en la estructura con respecto a una fuerza que actpua en el punto y en la dirección de desplazamiento. De una manera parecida, la pendiente en un punto de una estructura es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en la estructura con respecto a un momento de par que actúa en el punto y con la dirección de la rotación. TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS La energía de deformación para un elemento de una armadura está dada por la ecuación Ui = N2L/2AE. Al sustituir esta ecuación en la ecuación ∆i = ∂Ui/∂Pi y si se omite el subíndice i, resulta ∆ = ∂/∂P ∑ N2L/2AE En el caso general L, A y E son constantes para un elemento dado, y por lo tanto puede escribirse así ∆= ∑ N (∂N/∂P) L/AE Donde ∆ = desplazamiento de la junta externa de la armadura. P = fuerza externa aplicada a la junta de la armadura en la dirección de ∆. N = fuerza interna de un elemento causada tanto por la fuera P como por las cargas sobre la armadura. L = longitud de un elemento. A = área de la sección transversal de un elemento. E = módulo de elasticidad de un elemento.

Arroyo Álvarez Carmen