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• Percy Quispe

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Donde: 1

: Carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o marco en la dirección de ∆.

m

: Momento virtual interno en la viga o marco, expresado en función de X Y causado por la carga unitaria virtual externa.

∆

: Desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales actuando sobre la viga o marco.

M

: Momento interno en la viga o marco, expresado en función de X Y causado por las cargas reales.

E

: Modulo de elasticidad del material.

I

: Momento de inercia de la sección transversal calculado respecto al eje neutro.

De manera similar, se debe determinar la rotación de la tangente o ángulo de la pendiente en un punto sobre el área elástica de la viga, se aplica un momento concentrado unitario en el punto, y se determinan los correspondientes momentos “m” internos. Como el trabajo del momento concentrado unitario es 1.Ɵ, se tiene entonces:

TEOREMA DE CASTIGLIANO En 1879, Alberto Castigliano, un ingeniero de ferrocarriles Italiano, publico un libro en el que delineo un método para determinar la deflexión o la pendiente en un punto de una estructura, ya fuese esa una armadura, una viga o marco. Este método llamado también segundo teorema de Castigliano o método del trabajo mínimo es aplicable solo a estructuras con temperatura constante, con soportes sin asentamientos y hechas de material con respuesta elástica lineal. 

Para determinar el desplazamiento de un punto, el teorema establece que este es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación en la estructura con respecto a una fuerza que actúa en el punto y en la dirección del desplazamiento.



Para determinar la pendiente de un punto de una estructura es igual a la primera derivada parcial de la energía de deformación respecto a un momento que actúa en el punto y en la dirección de la rotación.

Para obtener el segundo teorema de Castigliano considere en cuerpo (estructura) de cualquier forma arbitraria sometido a una serie de “n” fuerzas P1, P2,……. Pn. como el trabajo externo hecho por esas cargas el igual a la energía de deformación interna almacenada en el cuerpo podemos escribir.

Ui = Ue

Sin embargo, el trabajo externo es una función de las cargas externas

Ui = Ue = F(P1, P2,….. Pn)

Ahora, si cualquiera de las fuerzas, digamos Pi, se incrementa de una cantidad diferencial dPi, el trabajo interno también se incrementara, de manera que la nueva energía de deformación resulta ser.

Ui = dUe = Ui +

La ecuación (2-1) representa la energía de deformación en el cuerpo determinada apliacando primero las cargas P1, P2,……. Pn luego Dpi.

La ecuación (2.2) representa la energía de deformación determinada aplicando primero dpi y luego las cargas P1, P2,……. Pn U: + du; = U: + DP;∆

TEOREMA DE CASTIGLIANO PARA ARMADURAS La energía de deformación para un miembro de una armadura esta dada por ela ecuación Ui = N2L/2AE. Sustituyendo esta ecuación en la ecuación (2-3) y omitiendo el subíndice i, tenemos:

∑

Como L, A y E son constantes para un miembro dado la ecuación será:

∑