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ANALISIS ESTRUCTURAL 1

Métodos energéticos – Teorema de Castigliano

Catedrático: Ing. Alejandro Vildoso Flores

VIDEOS https://www.youtube.com/watch?v=1ujwJjgqtc4 https://www.youtube.com/watch?v=hiRSnDaEnik https://www.youtube.com/watch?v=mSxTgMq7SHQ

Preguntas • Explicar con tus palabras la diferencia (si la hay) entre el primer teorema y el segundo teorema de Castigliano (usos, limitaciones y afines)

En 1879 Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro donde escribía un método para determinar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante , de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las deflexiones

producidas en una viga a causa de una determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos.

PRIMER TEOREMA. La componente de deflexión del punto de aplicación de una acción sobre una estructura, en la dirección de

dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada.

Si el signo de la respuesta da negativo, quiere decir que la deflexión es opuesta al sentido de la acción con respecto a la cual se tomó la derivada. Si se quiere averiguar la deflexión en un punto donde no hay aplicada ninguna acción, o en una dirección distinta de la

acción aplicada, sencillamente se aplica una acción imaginaria en el sitio y dirección deseados hasta encontrar la derivada parcial de la energía de deformación; luego la acción imaginaria se iguala a cero.

Si se quiere averiguar una deflexión lineal en una armadura, se aplicará la fórmula 6.10

Las deflexiones lineales por flexión se calculan mediante la fórmula 6.11

Cuando sólo se considera el efecto de corte, la deflexión se calcula por la fórmula 6.12

En el caso que se considere sólo el efecto de torsión, se aplicará la fórmula 6.13

En el caso que se desee aplicar todos los efectos posibles que surgen en la estructura, simplemente se aplicarán las fórmulas 6.10 – 6.13, considerando el Principio de superposición, es decir, la suma de los efectos parciales, dependiendo de las fuerzas internas que surjan

en la estructura. Si se quiere averiguar pendientes, en el lado izquierdo de las expresiones anteriores se escribirá y las derivadas parciales se tomarían con respecto a un momento aplicado en el punto de la pendiente deseada.

SEGUNDO TEOREMA. La derivada parcial de la energía interna de deformación de una estructura cargada, con respecto a un componente de reacción, es igual a cero. En cualquier estructura indeterminada sometida a carga, los valores de

las redundantes deben ser tales que hagan mínima la energía total interna de deformación elástica que resulta de la aplicación del sistema de cargas dado.

Si son las incógnitas redundantes, la condición de mínimo hace que: X1,X2....,Xn :

Este teorema proporciona ecuaciones adicionales a las de equilibrio estático, lo que, en general, permite resolver todo tipo de estructuras hiperestáticas.

PROBLEMA • Determinar la deflexión vertical en el nudo C y el desplazamiento horizontal en el apoyo D de la armadura mostrada en la figura 6.43. Considerar E = 2 x 10⁵ MPa y las áreas de las barras AB, AC, CD y BD es 300 cm² y el área de la barra BC es 200 cm².

Ahora, analizamos el caso cuando la carga P está aplicada en forma horizontal

en el apoyo D, tal como se muestra en la figura 6.45. Luego, efectuamos el mismo proceso que en el caso anterior, es decir, llenando los valores en la tabla 6.2 y calculando el desplazamiento horizontal del apoyo.

• Determinar la pendiente en el apoyo A y la deflexión en el centro de la viga, mostrada en la figura 6.46. Considerar E = 20000 N/mm² , b=300 mm y h=400 mm.

• Determinar el desplazamiento horizontal en el punto A y el desplazamiento vertical del punto B del pórtico mostrado en la figura 6.49. Considerar E =29x10⁶ lb/plg² e I = 1200 plg ^ 4.

• Resolver la viga mostrada en la figura 6.62, considerando que es de

rigidez constante.

Fig. 6.62