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• Victor Merlano

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Estudio y demostración de la ecuación general que describe un movimiento armónico simple

Conceptos previos necesarios:    

Ecuación diferencial de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes Identidad de Euler Serie de Taylor Identidades trigonométricas

Según la segunda ley de Newton, la fuerza aplicada sobre un cuerpo, está definida como: 

F  ma (1)

Sabemos que la aceleración de un cuerpo esta definida como la segunda derivada del espacio en función del tiempo, adaptamos a la ecuación (1)



F m

2x (2) t 2

En un movimiento vibratorio armónico simple la fuerza que lo identifica es la fuerza recuperadora que se opone a la elongación y lo lleva a su posición de equilibrio: 

F  kx (3)

Igualamos (2) y (3)



2 x m 2  kx t

despejamos la masa e igualamos a 0 la anterior expresión:



2 x k  x0 t 2 m

Si sabemos que



2 

k m , nos queda:

2 x   2 x  0(4) 2 t

k Si hacemos un breve análisis dimensional de m , podemos concluir:

( Kg )(m) k   m   ( Kg )( s 2 )(m)   k  1  m   s2   Concluimos que esta ecuación es dimensionalmente correcta. (4) es la ecuación diferencial que describe un movimiento armónico simple, esta es una ecuación de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes. ¿Como solucionamos este modelo de ecuación? 

Esta E.D esta descrita de la siguiente forma: ay  by  cy  0(5)

Partimos de la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden y derivamos: y  emx (6) y  me mx 

y  m 2e mx

Remplazamos estas consideraciones en (5): 

a  m 2e mx   b  me mx   c  e mx   0

Sacamos factor común y obtenemos nuestra ecuación característica: 

e mx  am 2  bm  c   0(7) mx

Observamos que e Nunca va a poder ser 0, por ende, estudiamos lo que se encuentra al interior del paréntesis: 

 am

2

 bm  c   0

general cuadrática:

, Para solucionar este trinomio adaptamos y aplicamos ecuación

m1m2 

b  b 2  4ac 2a .

El valor de ambas raíces los remplazamos en la solución de una ecuación diferencial lineal de primer orden. Quedándonos así:

y1  em1 x 

y2  e m2 x

La solución general de la ecuación vendrá dada por la suma de y1 e y2. Multiplicadas por sendas constantes tomadas arbitrariamente:



y  C1e m1 x  C2e m1 x (8)

2 Para nuestro caso de estudio particular, consideramos que: b  4ac  0 .



m1  m2  R

Para este caso, nuestras raíces van a estar descritas de la siguiente manera: 

m1m2    i

Remplazamos los valores de m en nuestras soluciones: y1  e   i  x 

y2  e   i  x

Aplicando nuestros valores de y1 e y2 en (8) 

y  C1e   i  x  C2e   i  x (9)

Partimos de (4), para darle solución:



2 x   2 x  0(4) 2 t

Planteamos una primera sustitución, decimos que: 

x  e mt (10)

Derivamos con respecto a t, para encontrar la aceración:



2 x  m 2 e mt (11) 2 t

Remplazamos (10) y (11) en (4) 

m 2e mt   2e mt  0



m 2 emt   2 e mt



m    2   1

Tenemos que: 

x2  e  it y, x1  eit

Determinos dos constantes y adaptamos a (9) para determinar la solucion de nuestro sistema: 

x  t   C1eit  C2 e it (12)

Para poder solucionar (12), procedemos a utilizar la fórmula de Euler:

eix  cos x  i sin x(13) 

e  ix  cos x  i sin x(14)

¿De dónde sale la fórmula de Euler? 

Demostración por Series de Taylor:

El desarrollo de estas series es los siguientes:

Para demostrarla debemos saber que:

Decimos que x=iz y evualamos en la serie de Taylor que define el valor Euler.

Aplicando (13) y (14) en (12): 

C1eit  C2e it  C1  cos wt  i sin wt   C2  cos wt  i sin wt  (15)

i  C1  C2   N Hacemos una segunda transformación y decimos que C1  C2  M y , obtenemos la siguiente expresión: 

x  M cos t  N sin t (16)

No nos sirve esta expresión, debemos darle un valor a M y N. Aplicamos una tercera transformación. Decimos que M  A cos  y N   A sin  . Operamos: 

x  M cos t  N sin t  A cos  cos t  A sin  sin t (17)

Para simplificar recordamos las siguientes identidades trigonométricos 1 cos       cos       2 1 sin  sin   cos       cos       2 cos  cos  



Operamos teniendo en cuenta las identidades mencionadas anteriormente: 

x

A A cos    t   cos    t     cos    t   cos    t   2 2

Simplificando:

x  A cos  t   