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Fase 3. Aplicar los conocimientos sobre los diedros y poliedros Trabajo colaborativo

Geometría del espacio Grupo 551122_1

Elaborado por: Magda Ximena Sarmiento Gómez. Código 353526940

Presentado a: Tutor: Saúl Henrique Vides

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias de la Educación 1- Noviembre – 2018

Problema 1: Poliedros y cuerpos geométricos

1. Hacer un documento en Word sobre el tema: Poliedros y Cuerpos Geométricos Un poliedro es un sólido que está formado por un número finito de regiones poligonales denominadas caras. Los lados y vértices de las caras se denominan, respectivamente, aristas y vértices. Cada arista de una cara es la arista de exactamente otra cara. Si dos caras se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice. Rojas, C. (2015) p, 40

Imagen obtenida de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p0 0=geometria Los poliedros se nombran de acuerdo con el número de caras, como lo indica la siguiente tabla:

Imagen obtenida de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p0 0=geometria Los poliedros se clasifican según dos criterios que son los convexos y los cóncavos.

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Imagen copiada de. http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria Poliedros regulares, semiregulares e irregulares Un poliedro regular es un poliedro en el que sus todas sus caras son polígonos regulares con el mismo número de aristas y todos los vértices están rodeados por el mismo número de caras. Rojas, C. (2015) p, 42 Entre ellos se encuentran: Imagen obtenida de la web. http://4.bp.blogspot.com/6qSw5ATZlGI/T75Oo9LHSdI/AAAAAAAAAGs/FM LJ66U24Qo/s 1600/poligonos-regulares21.jpg Tetraedro regular tiene tres caras en vértice (triángulo equilátero) Cubo hexaedro regular tiene tres caras en vértice (cuadrado) Octaedro regular tiene 4 caras en vértice (Triángulo equilátero) Dodecaedro regular tiene 3 caras en vértice (Pentágono regular) Icosaedro Regular tiene 5 caras en vértice (triángulo equilátero) Los poliedros regulares estrellados: son poliedros cóncavos obtenidos a partir del pentagrama de los pitagóricos Rojas, C. (2015) p, 43. Existen cuatro poliedros regulares estrellados:

Imagen copiada de. http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria Estos poliedros se conocen también con el nombre de sólidos de Kepler-Poinsot, porque Johann Kepler fue el que afirmó que los dos dodecaedros estrellados cumplen con la definición de sólidos regulares, aunque no fueran convexos como los sólidos platónicos; mientras que los otros dos (gran icosaedro y gran dodecaedro) fueron descritos por Louis Poinsot. Rojas, C. (2015) p,44 Los poliedros semiregulares se clasifican en:

− Sólidos de Arquímedes o poliedros arquimedianos. Son trece. − Sólidos de Catalán o poliedros de catalán. Son trece. Los poliedros irregulares se clasifican en: Prismas - Pirámides Existen otros tipos de poliedros, como los deltaedros (todas sus caras son triángulos equiláteros). De los ocho deltaedros convexos, tres (tetraedro, octaedro e icosaedro) son poliedros regulares convexos; los otros cinco son poliedros irregulares que caen en la familia de los sólidos de Johnson, otra clasificación de sólidos. Un deltaedro cóncavo (el gran icosaedro) es un sólido de Kepler-Poinsot. Rojas, C. (2015) p,44- 45

Imagen copiada de. http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/deta il.action?docID=11125852&p00=geometria Los primas se clasifican en rectos y oblicuos: Un prisma recto es un prisma en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En este prisma, la arista lateral coincide con la altura de prisma. (Ver imagen a continuación)

Imagen obtenida de la web. http://maralboran.org/wikipedia/images/thumb/6/6d/Prismarecto_y_o blicuo.gif/270px-Prismarecto_y_oblicuo.gif Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases. Hay una clase de prismas en el que todas las caras son regiones paralelográmicas: Un paralelepípedo es un prisma cuya base es una región paralelográmica. Un paralelepípedo rectangular es un prisma rectangular recto. Un cubo rectangular es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas son todas congruentes. Rojas, C. (2015) p,46- 47 Pirámides

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Las pirámides se clasifican en oblicuas y rectas, y en regulares y no regulares, no mutuamente excluyentes. Solo definiremos las regulares y no regulares: Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria

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Cuando una pirámide, regular o no regular, se corta totalmente con un plano horizontal, se obtiene un poliedro con dos bases. Consideramos el caso de una pirámide regular: Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria

Cuerpos redondos

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En geometría elemental se consideran tres cuerpos redondos: el cilindro, el cono y la esfera. Se pueden definir como cuerpos redondos o como sólidos de revolución. En este texto definiremos solamente los dos primeros, ambos como como sólidos de revolución. Rojas, C. (2015) p, 49. Un cilindro circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, denominado eje de revolución o eje de giro. El lado opuesto al eje de giro es la generatriz del cilindro y genera la superficie lateral. Rojas, C. (2015) p, 50 Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria

Un cono circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, denominado eje de revolución o eje de giro. El otro cateto describe un círculo y es el radio de la base o radio del cono. Rojas, C. (2015) p, 50 Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria

Como en las pirámides, al cortar por toda la superficie lateral un cono circular con un plano horizontal, se obtiene un cuerpo redondo con dos bases. Rojas, C. (2015) p, 51 Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=g eometria

Problema 2: Poliedros y cuerpos geométricos Calcular el área lateral de un prisma recto, dado que el perímetro de la base y la altura miden: 25 cm y 15cm. Solución: Datos 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 25𝑐𝑚 𝑦 15 𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 𝑃𝑏 ∗ 𝐴 𝐴𝑙 = 25𝑐𝑚 ∗ 15𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 375𝑐𝑚2 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑑𝑒 375𝑐𝑚2

2. Los lados de la base de un pilar hexagonal regular miden 40 cm y la altura 5 m; expresar en metros cuadrados el área de su respectiva superficie. Solución: realizo el dibujo utilizando Geogebra.

Como ya está dibujado así podemos hallar la apotema por el teorema de Pitágoras.

ap.

0,4

0,2 (𝑎𝑝)2 = (0.4)2 − (0.2)2 (𝑎𝑝)2 = 0.16 − 0.4 (𝑎𝑝)2 = 0.12 𝑎𝑝 = √0.12 Para continuar se necesita hallar el perímetro del hexágono base. 𝑝 = 6𝑙

𝑝 = 6𝑥0.4𝑚 𝑝 = 2.4𝑚

Para hallar el área de la superficie del hexágono usamos la siguiente formula. 𝐴𝑇 = 6 𝑥 𝑙(𝑎𝑝 + ℎ). 𝑙 es un lado del hexágono, 𝑎𝑝 la apotema y ℎ la altura del prisma

𝐴𝑇 = 6 𝑥 𝑙(𝑎𝑝 + ℎ). 𝐴𝑇 = 6𝑥0.4𝑚(√0.12𝑚 + 5𝑚) 𝐴𝑇 = 2.4𝑚(5.34𝑚) 𝐴𝑇 = 12.83𝑚2 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝟏𝟐. 𝟖𝟑𝒎𝟐

3. La diagonal de las caras de un cubo mide 4 cm; calcular la diagonal del cubo. Solución

𝑎 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑐 = 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑎 = √2 ∗ 𝑐 4 = √2 ∗ 𝑐 4 √2

=𝑐

𝑐2 =

42 2

√2

𝑐 = √8

Hallar la diagonal 𝑑 2 = 3 ∗ 𝐿2 𝑑 2 = 3 ∗ 82 𝑑 2 = 3 ∗ 64 𝑑 2 = 192 𝑑 = √192 𝑑 = 8√3 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑚𝑖𝑑𝑒 8√3 4. La diagonal de un cubo mide 6 cm; calcular la diagonal de las caras. Para hallar la diagonal de un cubo, podemos usar la siguiente formula 𝐷 = 𝑎√3 Como ya tenemos el valor de 𝐷 = 6𝑐𝑚 Entonces sustituimos en la anterior fórmula para hallar las aristas 6 = 𝑎√3 Ahora despejamos a; 6 √3

=𝑎

por lo tanto 𝑎=

6 √3

= 3.46

Con los valores hallados procedemos a hallar la diagonal de las caras. Por Teorema de Pitágoras ℎ2 = √𝑎2 + 𝑏 2 ℎ2 = √(2,82)2 + 42 ℎ2 = √7,9524 + 16

ℎ2 = √23,9524 ℎ = 4,89

5. La Gran Pirámide de Egipto tiene por base un cuadrado de 232 m de lado, y sus caras laterales son triángulos equiláteros; calcular su área lateral.

232m

Primero calculamos la apotema lateral, usando el Teorema de Pitágoras ℎ2 = √𝑎2 − 𝑏 2 ℎ2 = √(232)2 − (116)2 ℎ2 = √53824 − 13456 ℎ2 = √40368

ℎ = 200.92𝑚

Ahora podemos hallar la altura h, con el Teorema de Pitágoras.

ℎ2 = √(200.92)2 − (13456)2 ℎ2 = √40368.8464 − 13456 ℎ2 = √26912.8464𝑚 ℎ = 164.0513𝑚 Otro dato que necesitamos es el área del triángulo 𝐴𝑡 =

𝑏𝑥ℎ 2

𝐴𝑡 =

(232𝑚)(164.0513𝑚) 2

𝐴𝑡 = 38059.9132𝑚2 Con estos datos ya podemos calcular el área lateral. 𝐴𝑙 = 4(38059.9132𝑚2 ) 𝐴𝑙 = 152239.6528𝑚2 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 152239.6528𝑚2

6. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas sabiendo que los lados de las bases y las aristas laterales miden respectivamente 8, 4 y 9 cm. Como desconocemos la altura del tronco, utilizamos el Teorema de Pitágoras para encontrarla. 𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 (2𝑐𝑚)2 + 𝑏 2 = (9𝑐𝑚)2 𝑏 2 = (9𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2

𝑏 2 = 81𝑐𝑚2 − 4𝑐𝑚2 𝑏 2 = 77𝑐𝑚2 2

𝑏 = √77𝑐𝑚2 𝑏 = 8,7749𝑐𝑚 Calcular el área de una cara lateral

𝑎𝑙 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ∗ℎ 2

𝑎𝑙 =

8𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 ∗ 8,7749𝑐𝑚 2

𝑎𝑙 =

12𝑐𝑚 ∗ 8,7749𝑐𝑚 2

𝑎𝑙 = 6𝑐𝑚 ∗ 8,7749 𝑐𝑚 𝑎𝑙 = 52,6497 𝑐𝑚2 Hallamos el área de las bases 𝑎𝑏 = 𝑏1 + 𝑏2 𝑎𝑏 = (8𝑐𝑚)2 + (4𝑐𝑚)2 𝑎𝑏 = 64𝑐𝑚2 + 16𝑐𝑚2 𝑎𝑏 = 80𝑐𝑚2 Calcular el área total𝑎𝑡 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑙 𝑎𝑡 = 80𝑐𝑚2 + (52,6497𝑐𝑚2 ∗ 4)

𝑎𝑡 = 80𝑐𝑚2 + 210,598 𝑐𝑚2 𝑎𝑡 = 290,598𝑐𝑚2

7. En una pirámide regular de base hexagonal la altura tiene 10 cm y el lado de la base 4 cm; calcular la longitud de las aristas laterales. La base de un hexágono está conformada por 6 triángulos equiláteros.

Obtenida de. http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/tipospiramide-numero-lados.jpg Teniendo esta información podemos calcular la apotema de la base, con el teorema de Pitágoras 𝑎 = √(4)2 − (2)2 𝑎 = √16 − 4 𝑎𝑝 = √12

ap.

4 2

𝑎𝑝 = 3,46 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠: 𝑎𝑝 = 3.46𝑐𝑚

Calcular la apotema lateral, por medio del teorema de Pitágoras 𝑎 = √(10)2 + (3,46)2 10

ap.

𝑎 = √(10)2 + (3,46)2 𝑎 = √100 + 11,97

3,46

𝑎 = √111,97 𝑎 = 10,58𝑐𝑚 Hallar el área de la base y el área de la cara lateral.

𝐴𝑏 =

𝑝 𝑥 𝐴𝑝𝑏 2

𝐴𝑏 =

(6𝑥4) 𝑥 3.46 2

𝐴𝑏 = 41.56𝑐𝑚2 𝐴𝑙 =

𝑏 𝑥 𝐴𝑝𝑙 2

𝐴𝑙 =

4 𝑥 10.58 2

𝐴𝑙 = 21.16𝑐𝑚2 Calcular el área total. 𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 𝐴𝑇 = (21.16 + 41.56)𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 𝐴𝑇 = 62.72𝑐𝑚2 8.

La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero de 4 cm de lado; las aristas laterales miden 6 cm; calcular el área total.

(𝑎𝑝)2 = (6𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2 (𝑎𝑝)2 = 36𝑐𝑚 − 4𝑐𝑚 (𝑎𝑝)2 = 32𝑐𝑚 𝑎𝑝 = √32𝑐𝑚 𝑎𝑝 = 4√2𝑐𝑚

Con esto se puede hallar el área lateral, de la siguiente manera.

𝐴𝑙 =

𝑝𝑏 𝑥 𝑎𝑝 2

𝐴𝑙 =

(4x3)cm x 4√2𝑐𝑚 2

𝐴𝑙 = 33.94𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝐴𝑙 = 33.94𝑐𝑚2

En el triángulo de la base hallaremos la altura con el teorema de Pitágoras

ℎ2 = ℎ2 =

√(4𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2 √16𝑐𝑚 − 4𝑐𝑚

ℎ2 = √12𝑐𝑚 ℎ = √12𝑐𝑚 ℎ = 2√3𝑐𝑚

Ahora hallaremos el área de la base.

𝐴𝑏 =

4𝑐𝑚𝑥2√3𝑐𝑚 2

𝐴𝑏 =

13.85𝑐𝑚2 2

𝐴𝑏 = 6.93𝑐𝑚2

Con los datos obtenidos hallaremos el área total de la pirámide. 𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 𝐴𝑇 = (33.94 + 6.93)𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 𝐴𝑇 = 40.87𝑐𝑚2