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Fase 3. Aplicar los conocimientos sobre los diedros y poliedros Trabajo colaborativo

Geometría del espacio Grupo 551122_1

Elaborado por: Magda Ximena Sarmiento Gómez. Código 353526940 Sndra Mayaris Hidalgo Yaira Argeny Borrero Deisy Lorena Jiménez. Código 1074418139

Presentado a: Tutor: Saúl Henrique Vides

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Escuela de Ciencias de la Educación 1- Noviembre – 2018

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo se presenta el desarrollo a problemas relacionados con los diedros y poliedros; los cuales fueron solucionados mediante fórmulas matemáticas estudiadas en la unidad 2 que comprende temas como: Ángulos Diedros y ángulos Poliedros, Prismas, Pirámides y Poliedros Regulares, Volumen de Poliedros Regulares; los problemas fueron solucionados mediante la comprensión y el análisis. De igual forma tiene como finalidad resaltar la importancia de los poliedros y la manera en que aparecen en diversos campos ya que se desarrollan en varios contextos con gran interés para el ser humano durante la historia y por ende se siguen utilizando para la comprensión y análisis de situaciones de la vida cotidiana y del mundo científico. Además, las matemáticas son esenciales en el desempeño de la vida diaria pues ellas son empleadas para muchas situaciones como parte del mundo social y cultural del entorno que nos rodea, tomando ramas como la geometría que es empleada en los diseños formas y estructuras del espacio. Finalmente, la realidad es que la geometría es la esencia de conocer, entender y comprender que las figuras tienen un sentido una medida, una dirección, un espacio, un ángulo, una cara y que son utilizadas en el medio vivir para muchos objetos, diseños y estructuras que hacen ver las cosas más bonitas y atractivas a toda la sociedad.

Problema 1: Poliedros y cuerpos geométricos

1. Hacer un documento en Word sobre el tema: Poliedros y Cuerpos Geométricos Un poliedro es un sólido que está formado por un número finito de regiones poligonales denominadas caras. Los lados y vértices de las caras se denominan, respectivamente, aristas y vértices. Cada arista de una cara es la arista de exactamente otra cara. Si dos caras se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice. Rojas, C. (2015) p, 40

Imagen obtenida de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geo metria Los poliedros se nombran de acuerdo con el número de caras, como lo indica la siguiente tabla:

Imagen obtenida de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geo metria Los poliedros se clasifican según dos criterios que son los convexos y los cóncavos.

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Poliedros regulares, semiregulares e irregulares Un poliedro regular es un poliedro en el que sus todas sus caras son polígonos regulares con el mismo número de aristas y todos los vértices están rodeados por el mismo número de caras. Rojas, C. (2015) p, 42 Entre ellos se encuentran: Imagen obtenida de la web.http://4.bp.blogspot.com/6qSw5ATZlGI/T75Oo9LHSdI/AAAAAAAAAGs/FMLJ66U24Qo/s 1600/poligonos-regulares21.jpg Tetraedro regular tiene tres caras en vértice (triángulo equilátero) Cubo hexaedro regular tiene tres caras en vértice (cuadrado) Octaedro regular tiene 4 caras en vértice (Triángulo equilátero) Dodecaedro regular tiene 3 caras en vértice (Pentágono regular) Icosaedro Regular tiene 5 caras en vértice (triángulo equilátero) Los poliedros regulares estrellados: son poliedros cóncavos obtenidos a partir del pentagrama de los pitagóricos Rojas, C. (2015) p, 43. Existen cuatro poliedros regulares estrellados:

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de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geo metria Estos poliedros se conocen también con el nombre de sólidos de Kepler-Poinsot, porque Johann Kepler fue el que afirmó que los dos dodecaedros estrellados cumplen con la definición de sólidos regulares, aunque no fueran convexos como los sólidos platónicos; mientras que los otros dos (gran icosaedro y gran dodecaedro) fueron descritos por Louis Poinsot. Rojas, C. (2015) p,44 Los poliedros semiregulares se clasifican en: − Sólidos de Arquímedes o poliedros arquimedianos. Son trece. − Sólidos de Catalán o poliedros de catalán. Son trece. Los poliedros irregulares se clasifican en: Prismas - Pirámides Existen otros tipos de poliedros, como los deltaedros (todas sus caras son triángulos equiláteros). De los ocho deltaedros convexos, tres (tetraedro, octaedro e icosaedro) son poliedros regulares convexos; los otros cinco son poliedros irregulares que caen en la familia de los sólidos de Johnson, otra clasificación de sólidos. Un deltaedro cóncavo (el gran icosaedro) es un sólido de Kepler-Poinsot. Rojas, C. (2015) p,44- 45

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de.http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geo metria Los primas se clasifican en rectos y oblicuos: Un prisma recto es un prisma en el que las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases. En este prisma, la arista lateral coincide con la altura de prisma. (Ver imagen a continuación) Imagen obtenida de la web. http://maralboran.org/wikipedia/images/thumb/6/6d/Prismarecto_y_oblicuo.gif/270pxPrismarecto_y_oblicuo.gif

Un prisma oblicuo es un prisma en el que las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases. Hay una clase de prismas en el que todas las caras son regiones paralelográmicas: Un paralelepípedo es un prisma cuya base es una región paralelográmica. Un paralelepípedo rectangular es un prisma rectangular recto. Un cubo rectangular es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas son todas congruentes. Rojas, C. (2015) p,46- 47 Pirámides

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Las pirámides se clasifican en oblicuas y rectas, y en regulares y no regulares, no mutuamente excluyentes. Solo definiremos las regulares y no regulares: Imagen

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Cuando una pirámide, regular o no regular, se corta totalmente con un plano horizontal, se obtiene un poliedro con dos bases. Consideramos el caso de una pirámide regular: Imagen

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Cuerpos redondos Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geome tria

En geometría elemental se consideran tres cuerpos redondos: el cilindro, el cono y la esfera. Se pueden definir como cuerpos redondos o como sólidos de revolución. En este texto definiremos solamente los dos primeros, ambos como como sólidos de revolución. Rojas, C. (2015) p, 49. Un cilindro circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un rectángulo alrededor de uno de sus lados, denominado eje de revolución o eje de giro. El lado opuesto al eje de giro es la generatriz del cilindro y genera la superficie lateral. Rojas, C. (2015) p, 50 Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geome tria

Un cono circular recto de revolución es un sólido engendrado por la revolución completa de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos, denominado eje de revolución o eje de giro. El otro cateto describe un círculo y es el radio de la base o radio del cono. Rojas, C. (2015) p, 50 Imagen copiada de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geome tria

Como en las pirámides, al cortar por toda la superficie lateral un cono circular con un plano horizontal, se obtiene un cuerpo redondo con dos bases. Rojas, C. (2015) p, 51

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Problema 2: Poliedros y cuerpos geométricos Calcular el área lateral de un prisma recto, dado que el perímetro de la base y la altura miden: 25 cm y 15cm. Solución: Datos 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 25𝑐𝑚 𝑦 15 𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 𝑃𝑏 ∗ 𝐴 𝐴𝑙 = 25𝑐𝑚 ∗ 15𝑐𝑚 𝐴𝑙 = 375𝑐𝑚2 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠 𝑑𝑒 375𝑐𝑚2

2. Los lados de la base de un pilar hexagonal regular miden 40 cm y la altura 5 m; expresar en metros cuadrados el área de su respectiva superficie. Solución: realizo el dibujo utilizando Geogebra.

Como ya está dibujado así podemos hallar la apotema por el teorema de Pitágoras.

ap.

0,4

0,2 (𝑎𝑝)2 = (0.4)2 − (0.2)2 (𝑎𝑝)2 = 0.16 − 0.4 (𝑎𝑝)2 = 0.12 𝑎𝑝 = √0.12 Para continuar se necesita hallar elperímetro del hexágono base. 𝑝 = 6𝑙 𝑝 = 6𝑥0.4𝑚 𝑝 = 2.4𝑚

Para hallar el área de la superficie del hexágono usamos la siguiente formula.

𝐴𝑇 = 6 𝑥 𝑙(𝑎𝑝 + ℎ). 𝑙 es un lado del hexágono, 𝑎𝑝 la apotema y ℎ la altura del prisma

𝐴𝑇 = 6 𝑥 𝑙(𝑎𝑝 + ℎ). 𝐴𝑇 = 6𝑥0.4𝑚(√0.12𝑚 + 5𝑚) 𝐴𝑇 = 2.4𝑚(5.34𝑚) 𝐴𝑇 = 12.83𝑚2 𝐸𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝟏𝟐. 𝟖𝟑𝒎𝟐

3. La diagonal de las caras de un cubo mide 4 cm; calcular la diagonal del cubo. Solución

𝑎 = 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑐 = 𝑎𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑎 = √2 ∗ 𝑐 4 = √2 ∗ 𝑐 4 √2

=𝑐

𝑐2 =

42 2

√2 𝑐 = √8

Hallar la diagonal

𝑑 2 = 3 ∗ 𝐿2 𝑑 2 = 3 ∗ 82 𝑑 2 = 3 ∗ 64 𝑑 2 = 192 𝑑 = √192 𝑑 = 8√3 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑢𝑏𝑜 𝑚𝑖𝑑𝑒 8√3 4. La diagonal de un cubo mide 6 cm; calcular la diagonal de las caras.

Para hallar la diagonal de un cubo, podemos usar la siguiente formula 𝐷 = 𝑎√3 Como ya tenemos el valor de 𝐷 = 6𝑐𝑚 Entonces sustituimos en la anterior fórmula para hallar las aristas 6 = 𝑎√3 Ahora despejamos a; 6 √3

=𝑎

por lo tanto 𝑎=

6 √3

= 3.46

Con los valores hallados procedemos a hallar la diagonal de las caras. Por Teorema de Pitágoras ℎ2 = √𝑎2 + 𝑏 2 ℎ2 = √(2,82)2 + 42 ℎ2 = √7,9524 + 16 ℎ2 = √23,9524 ℎ = 4,89

5. La Gran Pirámide de Egipto tiene por base un cuadrado de 232 m de lado, y sus caras laterales son triángulos equiláteros; calcular su área lateral.

232m

Primero calculamos la apotema lateral, usando el Teorema de Pitágoras ℎ2 = √𝑎2 − 𝑏 2 ℎ2 = √(232)2 − (116)2 ℎ2 = √53824 − 13456 ℎ2 = √40368

ℎ = 200.92𝑚

Ahora podemos hallar la altura h, con el Teorema de Pitágoras.

ℎ2 = √(200.92)2 − (13456)2 ℎ2 = √40368.8464 − 13456 ℎ2 = √26912.8464𝑚 ℎ = 164.0513𝑚 Otro dato que necesitamos es el área del triángulo

𝑏𝑥ℎ 2 (232𝑚)(164.0513𝑚) 𝐴𝑡 = 2 𝐴𝑡 =

𝐴𝑡 = 38059.9132𝑚2 Con estos datos ya podemos calcular el área lateral. 𝐴𝑙 = 4(38059.9132𝑚2 ) 𝐴𝑙 = 152239.6528𝑚2 𝐸𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑖𝑟𝑎𝑚𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑠 𝑑𝑒 152239.6528𝑚2

6. Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas sabiendo que los lados de las bases y las aristas laterales miden respectivamente 8, 4 y 9 cm. Como desconocemos la altura del tronco, utilizamos el Teorema de Pitágoras para encontrarla.𝑎2 + 𝑏 2 = 𝑐 2 (2𝑐𝑚)2 + 𝑏 2 = (9𝑐𝑚)2 𝑏 2 = (9𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2 𝑏 2 = 81𝑐𝑚2 − 4𝑐𝑚2 𝑏 2 = 77𝑐𝑚2 2

𝑏 = √77𝑐𝑚2 𝑏 = 8,7749𝑐𝑚 Calcular el área de una cara lateral 𝑎𝑙 =

𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝐵𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 ∗ℎ 2

𝑎𝑙 =

8𝑐𝑚 + 4𝑐𝑚 ∗ 8,7749𝑐𝑚 2

𝑎𝑙 =

12𝑐𝑚 ∗ 8,7749𝑐𝑚 2

𝑎𝑙 = 6𝑐𝑚 ∗ 8,7749 𝑐𝑚 𝑎𝑙 = 52,6497 𝑐𝑚2 Hallamos el área de las bases 𝑎𝑏 = 𝑏1 + 𝑏2 𝑎𝑏 = (8𝑐𝑚)2 + (4𝑐𝑚)2 𝑎𝑏 = 64𝑐𝑚2 + 16𝑐𝑚2 𝑎𝑏 = 80𝑐𝑚2 Calcular el área total𝑎𝑡 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑙 𝑎𝑡 = 80𝑐𝑚2 + (52,6497𝑐𝑚2 ∗ 4) 𝑎𝑡 = 80𝑐𝑚2 + 210,598 𝑐𝑚2 𝑎𝑡 = 290,598𝑐𝑚2

7. En una pirámide regular de base hexagonal la altura tiene 10 cm y el lado de la base 4 cm; calcular la longitud de las aristas laterales. La base de un hexágono está conformada por 6 triángulos equiláteros.

Obtenida de. http://www.universoformulas.com/imagenes/matematicas/geometria/tipospiramide-numero-lados.jpg

Teniendo esta información podemos calcular la apotema de la base, con el teorema de Pitágoras 𝑎 = √(4)2 − (2)2 𝑎 = √16 − 4

ap.

𝑎𝑝 = √12

4 2

𝑎𝑝 = 3,46 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠: 𝑎𝑝 = 3.46𝑐𝑚

Calcular la apotema lateral, por medio del teorema de Pitágoras 𝑎 = √(10)2 + (3,46)2 10

ap.

𝑎 = √(10)2 + (3,46)2 𝑎 = √100 + 11,97

3,46 𝑎 = √111,97 𝑎 = 10,58𝑐𝑚

Hallar el área de la base y el área de la cara lateral.

𝑝 𝑥 𝐴𝑝𝑏 2 (6𝑥4) 𝑥 3.46 𝐴𝑏 = 2 𝐴𝑏 =

𝐴𝑏 = 41.56𝑐𝑚2 𝐴𝑙 =

𝑏 𝑥 𝐴𝑝𝑙 2

𝐴𝑙 =

4 𝑥 10.58 2

𝐴𝑙 = 21.16𝑐𝑚2 Calcular el área total. 𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 𝐴𝑇 = (21.16 + 41.56)𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 𝐴𝑇 = 62.72𝑐𝑚2 8. La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero de 4 cm de lado; las aristas laterales miden 6 cm; calcular el área total. (𝑎𝑝)2 = (6𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2 (𝑎𝑝)2 = 36𝑐𝑚 − 4𝑐𝑚 (𝑎𝑝)2 = 32𝑐𝑚 𝑎𝑝 = √32𝑐𝑚 𝑎𝑝 = 4√2𝑐𝑚

Con esto se puede hallar el área lateral, de la siguiente manera.

𝐴𝑙 =

𝑝𝑏 𝑥𝑎𝑝 2

𝐴𝑙 =

(4x3)cm x 4√2𝑐𝑚 2

𝐴𝑙 = 33.94𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟𝑙𝑜𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑒𝑙𝐴𝑙 = 33.94𝑐𝑚2

En el triángulo de la base hallaremos la altura con el teorema de Pitágoras

ℎ2 =

√(4𝑐𝑚)2 − (2𝑐𝑚)2

ℎ2 =

√16𝑐𝑚 − 4𝑐𝑚

ℎ2 = √12𝑐𝑚 ℎ = √12𝑐𝑚 ℎ = 2√3𝑐𝑚

Ahora hallaremos el área de la base.

𝐴𝑏 =

4𝑐𝑚𝑥2√3𝑐𝑚 2

13.85𝑐𝑚2 𝐴𝑏 = 2 𝐴𝑏 = 6.93𝑐𝑚2

Con los datos obtenidos hallaremos el área total de la pirámide. 𝐴𝑇 = 𝐴𝑙 + 𝐴𝑏 𝐴𝑇 = (33.94 + 6.93)𝑐𝑚2 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙. 𝐴𝑇 = 40.87𝑐𝑚2

CONCLUSIONES

-Por medio del trabajo realizado se puede concluir que en la geometría del espacio es muy amplia en sus contenidos reforzando así también la geometría plana, siendo la base fundamental de la trigonometría esférica y descriptiva. - Se entiende que un poliedro es una región del plano determinada por un número finito de segmentos a los cuales se les denomina lados o aristas y sus extremos vértices del polígono. Este polígono se llama regular si todos sus lados y ángulos son iguales. -Los poliedros se usan mucho para la elaboración de planos tridimensionales ayudando al desarrollo de varias estructuras o proyectos en la vida cotidiana

BIBLIOGRAFIA

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Julio Profe. (2010). Volumen de un prisma recto. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=lXyeAUx0gd0 Rojas, C. (2015). Introducción a la geometría. Editorial Universidad del Norte. El Libro es una guía para conocer las formulas y aplicación de la geometría del espacio. Recuperado el 2 de febrero de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=11125852&p00=geome tria