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Fase 2. Aplicar los conocimientos sobre rectas y planos en el espacio

Johan García Vanegas CC.: 71748075 Yonnier Rivas Murillo CC.: 1 076 325 180 Yinny Cabrera CC. 17656544 Yuni Rivas CC.: 71255234 Angélica Urrego Vasquez CC.: 1109300490

Curso: Geometría del Espacio Grupo: 551122_8

Tutor: Saúl Enrique Vides

Universidad Nacional Abierta y A Distancia Marzo – 2019

Introducción El siguiente trabajo del curso geometría del espacio, tiene como finalidad presentar aplicabilidad de los conocimientos sobre rectas y planos en el espacio por lo que se resuelven problemas mediante la aplicación de las ecuaciones de la recta y el plano para la comprensión y análisis de situaciones de la vida cotidiana y del mundo científico. Por lo anterior se hace necesario la metodología colaborativa a fin de que cada uno de los estudiantes pueda interactuar y presentar sus pesquisas académicas y por ende poder consolidar el conocimiento y propiciar el aprendizaje a nivel universitario y posteriormente profesional.

Fase 2. Aplicar los conocimientos sobre rectas y planos en el espacio

Resolver los siguientes problemas:

Problema 1: Rectas y planos en el espacio Para hablar de rectas y planos en el espacio es necesario hablar un poco acerca de la geometría y sus inicios para tener una idea raiz epistemológica de lo que nos interesa abordar como es el caso de las rectas y planos en el espacio. Es en Grecia es donde la geometría se establece como ciencia educativa, partiendo de las tesis realizadas por Aristóteles. Euclides es el primero en proponer un sistema de estudio, partiendo de la veracidad de la tesis antes expuesta, en la que los resultados eran intuitivamente claros; Su sistema se observa en la obra Los elementos y explica su modelo sistema axiomático-deductivo. La geometría tridimensional se basa en formas algebraicas que involucran, directa o indirectamente, tres variables llamadas por convención x, y y z. Las figuras que describen las ecuaciones algebraicas se ubican en el espacio tridimensional, que representa la idea inmediata de tridimensionalidad a partir de plano cartesiano.

El plano xy es simplemente el plano cartesiano, que se observa acostado. El eje z sobre sale perpendicularmente de dicho plano y ofrece la idea de profundidad. Al graficar una figura tridimensional, se encuentran puntos en el espacio con coordenadas de tres componentes P (x, y, z). Lo ideal es ubicar al punto p(x, y) sobre el plano xy y luego su profundidad z correspondiente. Existen dos primeras formas de geometría en el espacio; las rectas y los planos. Las rectas y los planos son figuras tridimensionales lineales, pues las variables x, y y z no se elevan a ningún exponente sino 1. El aspecto de estas figuras nunca será curvo. (Diario de cálculo vectorial, 2019). Las rectas en el espacio se comportan igual que cualquier otra recta; es una sucesión infinita y consecutiva de puntos. Pero ahora, los puntos son tridimensionales, así que las rectas pueden la dirección z relacionada con la profundidad. Para encontrar la ecuación de una recta en el espacio, se necesitan dos puntos o bien un punto y un vector que se sepa que es paralelo a la recta en cuestión. Se tiene lo siguiente: P (xo, yo, zo) Q(x, y, z) Se desea encontrar a la recta que contiene a los dos puntos anteriores. Para ello es necesario un vector paralelo a la recta. Todo vector es paralelo a sí mismo, de hecho, un vector es paralelo a ello y es múltiplo escalar del primero. Entonces, el vector que une a ambos puntos es paralelo al vector de la recta, pues son lo mismo. Para obtener el vector paralelo, se restan las componentes correspondientes de los puntos: PQ=(x - xo)i + (y - yo) j + (z - zo) k Los planos superficies rectas en el espacio. Poseen ecuaciones que involucran generalmente a las tres variables x, y y z. La ecuación de los planos se encuentra siguiendo también un método específico. Para encontrar la ecuación de un plano en el espacio se necesitan dos vectores que estén en el plano o bien tres puntos que estén en el plano. Los tres puntos sirven para encontrar dos vectores. La idea general es encontrar un vector perpendicular al plano.

Se tiene un punto P(xo , yo , zo) y Q(x, y, z). Ambos puntos pertenecen a un plano cualquiera. También se conoce un vector perpendicular a dicho plano: n = ai + bj + ck. La ecuación del plano se obtiene por la siguiente operación: (PQ)(n) = 0 Las aplicaciones de las rectas en el espacio tiene que ver con el comportamiento lineal de fenómenos que dependen de dos variables. Aunque es raro que en la naturaleza los eventos ocurran de forma lineal, es posible encontrar caso así. (Diario de cálculo vectorial, 2019).

Problema 2: Círculos 1. Se fija el extremo de un cordel de 5 metros de largo en el techo de un aposento de 4 metros de alto, y en el otro extremo del cordel extendido, se traza una circunferencia en el piso; calcule el área del círculo resultante.

Primero, se debe hallar el lado faltante (radio del círculo) mediante del teorema de Pitágoras 52 = 42 + 𝑟 2 25 − 16 = 𝑟 2 3=𝑟 Una vez hallado el lado faltante (radio), procedemos a hallar el área del círculo Á𝑟𝑒𝑎 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟 2 3.14 ∗ 9 28.26

2. Por el centro de un círculo de 5 cm de radio se traza una perpendicular al plano de dicho círculo; ¿Qué altura ha de tener esta perpendicular para que la distancia de su extremo a la circunferencia sea de 7,5 cm.

Usamos el teorema de Pitágoras para hallar la altura

ℎ2 + 52 = 7.52 56.25 − 25 = ℎ2 31.25 = ℎ2 5.59 = ℎ 3. Tres círculos iguales de radio 8 cm son tangentes entre sí. Encontrar el área de la región comprendida entre los círculos.

Dado que estos círculos son de misma medida y son tangentes, se forma un triángulo equilátero. Por definición de triángulo equilátero, también tiene sus ángulos iguales. Al sumar cada ángulo de cada parte del círculo en el triángulo, estos suman un total de 180°, lo equivalente a medio círculo. Teniendo en cuenta esta información, procedemos a hallar el área de los tres sectores circulares:

𝐴=

𝐴=

𝜋𝑟 2 2

3.14 ∗ 82 2

𝐴 = 100.48 Ahora procedemos a encontrar el área del triángulo equilátero:

𝐴𝑇 =

𝐴𝑇 =

√3 (2𝑟)2 4

√3 (2 ∗ 8)2 4

𝐴𝑇 = 110.86 Finalmente restamos el área de los sectores circulares con el área del triángulo equilátero para hallar el área sombreada. 110.86 − 100.48 = 10.38𝑐𝑚𝑠 2

Problema 3: Rectas

1. Halla la ecuación paramétrica de la recta que pasa por el punto (3, 5,7) y es paralela al vector (1,3, 2). Solución: ⃗⃗ + 𝒕𝒗 ⃗ =𝑷 ⃗ Usaremos la fórmula 𝒓 donde: 𝑃⃗ = (3, 5,7) 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 y 𝑣 = (1,3, 2) 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 Así la ecuación vectorial de la recta es igual a ⃗𝒓 = (3, 5,7) + 𝒕(1,3, 2) de la cual podemos hallar las ecuaciones paramétricas.

(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (3, 5,7) + 𝒕(1,3, 2) (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (3, 5,7) + (1𝑡, 3𝑡, 2𝑡) (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (3 + 1t, 5 + 3t, 7 + 2t) Así las ecuaciones paramétricas serían: 𝒙 = 𝟑 + 𝟏𝒕 𝒚 = 𝟓 + 𝟑𝒕 𝒛 = 𝟕 + 𝟐𝒕 2. Halla las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos (1,4, 8) y (2,3, 6). Solución: 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1 𝑡 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎2 𝑡

Consideremos la siguiente información

𝑧 = 𝑧0 + 𝑎3 𝑡

𝑷𝟏 = (𝟏, 𝟒, 𝟖)

(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 )𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜

𝑷𝟐 = (𝟐, 𝟑, 𝟔)

𝑎 =(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 )𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑖ó𝑛

Donde 𝑎 = 𝑷𝟏 − 𝑷𝟏 𝑎 = (𝟏, 𝟒, 𝟖) − (𝟐, 𝟑, 𝟔) 𝑎 = (−𝟏, 𝟏, 𝟐)

𝑥 = 1−𝑡 𝑦 =4+𝑡

Ecuaciones paramétricas

𝑧 = 8 + 2𝑡

Despejamos “t” 𝑥 = 1 − 𝑡 → 𝑥 − 1 = 𝑡 → 𝑡 = 𝑥 − 1 𝑦 = 4+𝑡 → 𝑦−4=𝑡 →𝑡 = 𝑦−4 𝑧 = 8 + 2𝑡 → 𝑧 − 8 = 2𝑡 →

Ecuaciones simétricas de la recta

𝑥−1=𝑦−4=

𝑧−8 2

=𝑡→𝑡=

𝑧−8 2

𝑧−8 2

Problema 4: Planos 1. Dados los puntos P = (1, 2, 3), Q = (−1, −2, −3) y R = (0, 1, −1) halle las ecuaciones paramétricas y simétricas de del plano que pasa por los puntos dados. Hallamos los números directos

P = (1, 2, 3), Q = (−1, −2, −3) y R = (0, 1, −1) PQ= (-2,-4,-6)

PR= (-1,-1,-4)

𝑖 𝑗 𝑘 PQxPR=−2 −4 −6 −1 −1 −4 = (16-6) i – (8-6) j+ (2-4) k =10i – 2j -2k Entonces tenemos que a= 10

b= -2

c= -2

Ecuaciones paramétricas X=1 + 10t

P = (1, 2, 3), X1, y1, z1

Y= 2 – 2t

Formula X= x1+ at Y= y1 + bt

Z= 3 – 2t

Z= z1 + ct

Ecuaciones simétricas Formula 𝑥−𝑥1 𝑎 𝒙−𝟏 𝟏𝟎

=

=

𝑦−𝑦1 𝑏

𝒚−𝟐 −𝟐

=

=

𝑧−𝑧1 𝑐

𝒛−𝟑 −𝟐

2. Encontrar la ecuación del plano que contiene los puntos (– 2, 4, 1); (3, – 7, 5) y (–1, –2, –1) Nombramos los puntos A= (– 2, 4, 1) B= (3, – 7, 5) C= (–1, –2, –1) Luego encontramos AB= (5, -11, 4)

BC= (1, -6, -2) Calculamos producto vectorial 𝑖 AB X AC= 5 1

𝑗 𝑘 −11 4 = (22 + 24) i – (-10-4) j+ (-30+11) k −6 −2

AB X AC =46i +14j – 19k Donde un vector normal n= 46 + 14 – 19 Remplazamos valores en la ecuación teniendo en cuenta el punto A aX + by +cz + d =0 46x + 14y – 19z + d =0

hallamos el valor de d

46(-2) + 14(4) – 19(1) + d =0 -92 + 56 – 19 + d =0 - 55 + d =0 d = 55 La ecuación del plano es 46x + 14y – 19z + 55 =0

3. Halla la ecuación del plano que contiene el punto dado (–4, 1, 6) y que es ortogonal al vector normal (2, –3, 5) Al Conocer un punto y un vector P = (–4, 1, 6) V= (2, –3, 5) X, y, z

a,

b, c

Podemos hallar la ecuación mediante la formula

aX + by +cz + d =0

remplazamos valores

2x – 3y +5z + d =0 2(-4) – 3(1) +5 (6) +d =0 -8 - 3 +30 + d =0 19 + d =0 d=- 19 La ecuación del plano es 2x – 3y +5z - 19 =0

4. Halla todos los puntos de intersección de los planos 4𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 4 𝑦 3𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 5 Solución 

Para hallar la intersección de los planos dados, debemos hallar el Vector Director v de la recta intersección. El vector v se halla mediante el producto vectorial de los vectores Normales de los planos dados, entonces: 𝑣 = 𝑛1 ∗ 𝑛2 𝑣 = (4,6,3) ∗ (3,2,1) 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ 𝑣 = | 4 6 3| 3 2 7 𝑣 = [42 − 6]𝑖̂ − [28, −9]𝑗̂ + [8 − 18] 𝑘̂ 𝑣 = 36𝑖̂, −19𝑗, ̂− 10 𝑘̂ 𝑣 = (36, −19, −10)





Teniendo el vector director v, nos hace falta un punto común a ambos planos. Para ello necesitamos un punto de paso P. 𝑷𝟎 = (𝑋0 , 𝑌0 , 𝑍0 ), que se obtendrá a través de un sistema de ecuaciones. Eliminamos una de las variables, utilizando el método de reducción y la segunda ecuación la podemos multiplicar por (-3), para eliminar la variable Y.

4𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 4 3𝑥 + 2𝑦 + 7𝑧 = 5 ∗ (−𝟑)

4𝑥 + 6𝑦 + 3𝑧 = 4 −9𝑥 − 6𝑦 − 21𝑧 = −15 −5𝑥 − 18𝑧 = −11 

Tomamos un valor cualquiera para X, en este caso le daremos el valor de 1. Reemplazamos en la ecuación resultante. 𝑿=𝟏 −5(1) − 18𝑧 = −11 −5 − 18𝑧 = −11 −18𝑧 = −11 + 5 −18𝑧 = −6 𝑧=−

6 18

𝒛=− 

𝟏 𝟑

Ya tenemos Z, ahora hallaremos a Y. Reemplazamos en la ecuación 1 1 4(1) + 6𝑦 + 3 (− ) = 4 3 4 + 6𝑦 − 1 = 4 6𝑦 = 4 − 4 + 1 6𝑦 = 1 𝒚=− 1

𝟏 𝟔

1

Entonces el punto de paso 𝑷𝟎 = (1, − 3 , − 6) pertenece a la recta Teniendo el vector director v y un punto de la recta buscada, hallamos la ecuación vectorial de la recta: 𝑃 = 𝑷𝟎 + 𝑡(𝑣) ; 𝑡 ∈ 𝑅

𝟏

𝟏

𝐏 = (𝟏, − 𝟑 , − 𝟔) 𝐭(𝟑𝟔, −𝟏𝟗, −𝟏𝟎) 𝐭 ∈ 𝐑

5. Halla la distancia de (1,−2, 3) al plano 8𝑥 + 3𝑦 + 7𝑦 = 4 Solución Tenemos: el punto 𝑷𝟎 = (𝑿𝟎 , 𝒀𝟎 , 𝒁𝟎 ), el plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0  

Entonces: el punto 𝑷𝟎 = (𝟏, −𝟐, 𝟑), el plano 8𝑥 + 3𝑦 + 7𝑦 = 4 Sumamos los términos semejantes y asignamos 0 a Z y reacomodamos la ecuación del plano de la siguiente manera: el punto 𝑷𝟎 = (𝟏, −𝟐, 𝟑), el plano 8𝑥 + 10𝑦 + 7𝑦 + 0𝑧 − 4 = 0

Para hallar la distancia aplicáramos la fórmula: 𝑑= 

|𝐴(𝑿𝟎 ) + 𝑩(𝒀𝟎 ) + 𝑪(𝒁𝟎 ) + 𝑫| √𝐴2 + 𝐵 2 +𝐶 2

Reemplazamos: 𝑑=

|8(𝟏) + 𝟏𝟎(−𝟐) + 𝟎(𝟑) + (−𝟒)| √82 + 102 +02

𝑑=

|8 − 20 − 4| √64 + 100

𝑑=

𝑑=

|−16| √164 16

√(4 ∗ 41)

𝑑=

𝑑=

16 2√41 8 √41

De esta manera la distancia del punto P (1,−2, 3) al plano 8𝑥 + 3𝑦 + 7𝑦 = 4 es 𝑑 =

8 √41

Conclusión El anterior trabajo del curso geometría del espacio del grupo 551122_8 presento algunas aplicaciones de los conocimientos sobre rectas y planos en el espacio por lo que se resolvieron problemas mediante la utilización de las ecuaciones de la recta y el plano para la comprensión y análisis de situaciones de la vida cotidiana y del mundo científico. Se hicieron

necesarios los aportes de cada uno de los integrantes del grupo

colaborativo del grupo, los cuales cumplieron responsablemente y con asertividad en la dinamización para la construcción y ejercitación algorítmica a la luz de la guía y las indicaciones del tutor.

Referencias bibliográficas Diario de cálculo vectorial. (2019). Obtenido de Diario de cálculo vectorial: https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/rectas-y-planos-en-el-espacio

Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=yLkhbeIhd50

Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=1N8Ls1opAws