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Fase 3 - Aplicar los conocimientos sobre los diedros y poliedros

Geometría del espacio

Pablo Andrés López Docente

Universidad abierta y a distancia UNAD 30 de Marzo del 2020

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INTRODUCCIÓN

Vivimos en un mundo maravilloso, en el cual encontramos gran variedad de formas geométricas, aunque la mayor parte de las veces, pasamos desapercibidos sin darnos cuenta de que las matemáticas están presentes a nuestro alrededor de una forma natural, una forma de comprobarlo sumamente sencilla seria que en este momento prestáramos atención a nuestro entorno, de una forma consciente y podremos observar gran variedad de figuras. La geometría es una rama de la matemática que se enfoca en la medición y la relación entre líneas, ángulos, superficies, sólidos y puntos; en forma general, se encarga del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, superficies entre otros. Ésta tiene su aplicación práctica en numerosas áreas, como lo son la mecánica, astronomía, cartografía, topografía, balística, arquitectura, entre otros. Es útil en la preparación de diseños (como el computacional). Podría decirse que la geometría está infiltrada en cada faceta de nuestra vida cotidiana.

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Desarrollo de la actividad 1. HACER UN DOCUMENTO EN WORD SOBRE EL TEMA: POLIEDROS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. POLIEDROS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS. Si varios ángulos poliedros cierran, conjuntamente, una parte del espacio, el correspondiente cuerpo geométrico se denomina poliedro. El ortoedro es un poliedro formado por ocho triedros, como se observa considerando que, en cada vértice del ortoedro, confluyen tres caras y tres aristas. La pirámide de base cuadrada es un poliedro formado por un ángulo tetraedro (el de la cúspide) y cuatro ángulos triedros. El cono no es un poliedro porque una de sus caras no es plana; esfera, elipsoide o cilindro no son poliedros. Caracterización de poliedros Para caracterizar un poliedro es obligatorio que demos respuesta a las siguientes preguntas: ¿Cuántos vértices, ¿cuántas caras y cuántas aristas tiene? ¿Cuáles son los ángulos poliedros que lo forman y cuánto miden? En este capítulo damos respuesta completa en el caso de los ortoedros. El ángulo triedro más fácil de medir es el llamado triedro recto, que está formado por tres caras mutuamente perpendiculares o tres ángulos diedros rectos. Esto ocurre en casi todos los rincones de una habitación, cuando de ese rincón salen dos paredes verticales, perpendiculares entre sí, y el suelo, perpendicular a esas paredes. El triedro recto tiene un papel esencial en muchos muebles y habitaciones, por eso conviene reconocerlo. La figura 11.2 muestra una foto de un cubo y se ve uno de sus triedros. En un poliedro, el número de ángulos poliedros coincide con el número de sus vértices, pero este número no da información sobre esos ángulos poliedros. El tipo de ángulo poliedro lo da el número de caras o de aristas que llegan a

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cada vértice; este número se llama orden del vértice: en todo triedro, el vértice es de orden tres, en todo ángulo tetraedro, el vértice es de orden cuatro.

Un sólido o cuerpo geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

  Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros y Cuerpos Redondos.

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Poliedros La palabra poliedro proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos (figuras geométricas planas).  Por lo tanto, tienen todas sus caras planas. Los elementos de un poliedro son caras, aristas y vértices. Caras Son las superficies planas que forman el poliedro, las cuales se interceptan entre sí.

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   Aristas La línea que une dos caras se denomina arista. Por ejemplo, en un cubo hay 12 aristas.

Vértices Son los puntos donde se interceptan 3 o más aristas. 

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  CLASIFICACIÓN DE POLIEDROS La clasificación de poliedros la iniciamos ya, sin decirlo así, cuando aprendimos a distinguir entre prismas rectos, ortoedros y cubos. Se distinguen dos clases de poliedros:  Los poliedros regulares:  son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide el mismo número de ellas en cada vértice.  Los poliedros irregulares: Los poliedros son irregulares cuando los polígonos (figuras geométricas planas) que lo forman, no son todos iguales (por ejemplo, una piedra preciosa tallada, o los caireles de una lámpara). La representación gráfica de los cuerpos geométricos en general presenta la dificultad de que, teniendo tres dimensiones, solamente pueden representarse en el plano dos dimensiones; por

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lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva, que permite dar la sensación tridimensional.  Los poliedros regulares Existen solo cinco poliedros regulares: Tetraedro, Cubo, Octaedro, Dodecaedro e Icosaedro.

  A- El tetraedro   Compuesto por cuatro caras con forma de triángulos equiláteros. Tiene cuatro vértices y seis aristas.

B- El cubo 

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Está compuesto por seis caras cuadradas; motivo por el cual se le conoce también con el nombre de hexaedro regular, (hexaedro = cuerpo con 6 caras). Tiene 8 vértices y 12 aristas.

C- El octaedro   Compuesto por ocho caras con forma de triángulos equiláteros, en forma de dos pirámides unidas por sus base. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

   D- El dodecaedro   Compuesto por doce caras con forma de pentágono. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

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E- El icosaedro   Compuesto por veinte caras con forma de triángulos equiláteros, que tiene un eje plano hexagonal. Tiene 12 vértices y 30 aristas.    

Clasificación de poliedros irregulares: Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en: Prisma Pirámide   Los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos. Los prismas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas bases, el resto de sus caras son paralelogramos. Las pirámides tienen una base y el resto de las caras son triángulos.

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 A- El prisma Está constituido por dos bases poligonales e iguales y sus caras laterales son paralelogramos. Según el   número de lados de la base se le da el nombre al prisma. Por ejemplo:  Prismas triangular (sus bases son un triángulo), Prismas cuadrangulares (sus bases son cuadrados), Prisma pentagonal (sus bases son pentágonos), Prisma hexagonal (sus bases son hexágonos), etc.   La altura de un prisma es la distancia entre las bases.   

El prisma es  recto cuando su eje es perpendicular a las bases y oblicuo cuando el ángulo entre el eje y la base es diferente a base 90°. Si el prisma es cortado de tal manera que la sección producida no sea paralela a una de sus bases, recibe el nombre de prisma truncado.  

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  B- La pirámide  Es una figura tridimensional constituida por una base poligonal y por caras laterales cuyas aristas concurren a un punto del espacio llamado cúspide o vértice común, por lo tanto las caras laterales siempre serán triangulares. El eje o altura de la pirámide es la línea que va del vértice al centro de la base. 

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La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.

   La pirámide se llama rectangular cuando el eje es perpendicular al centro de la base, en un caso diferente se llama oblicua. La porción de pirámide comprendida entre la base y la sección producida por un plano que corta sus caras laterales se llama tronco de la pirámide o pirámide truncada.

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    Cuadro comparativo:  Caras, aristas y vértices de los poliedros En el siguiente cuadro podrás ver una comparación de los elementos de cada poliedro:

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Formulario área y volumen cuerpos geométricos

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En la siguiente ilustración podrás ver las distintas fórmulas para obtener el área y volumen de los cuerpos geométricos.

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Problema 2: Poliedros y cuerpos geométricos

5 la Gran Pirámide de Egipto tiene por base un cuadrado de 232 m de lado, y sus caras laterales son triángulos equiláteros; calcular su área lateral. Solución Para ello me he basado en la siguiente formula Área lateral  El área lateral es igual al perímetro del polígono de  la base multiplicado por la altura de una cara lateral (AP o apotema) de la pirámide y dividido entre 2.

Donde: AL = área lateral Pb = perímetro de la base  (suma de los lados) AP = apotema de la pirámide o altura lateral( apotema lateral). Dado que en el ejercicio hace referencia un polígono de 4 lado, en este caso un cuadrado se tiene: Pb= 4 x (232m) = 928 m Ahora para poder encontrar el área lateral, empleamos la siguiente formula:

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Calculamos la apotema lateral de la pirámide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado: Ap^2 =  h^2 + ap^2 o de manera equivalente Ap^2  = √ h2 +ap 2 Donde: Ap = apotema lateral h = altura pirámide aP = apotema de la base

para ello consideremos la mitad de la base, es decir

232 = 116 2

ahora procedemos a calcular la apotema lateral de la pirámide. Ap  = √ h2 +ap 2 Ap  = √ 2322+ 1162 Ap  = √ 53.824+13456 Ap = √ 67280 Luego realizando el proceso de racionalización y simplificando la parte subradical se tiene: 67280 2 33640 2 1680 2

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8410 2 4205

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841

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29

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1 ahora aplicando la propiedades de los exponentes

√ a x b =√ a x √ b con a ≥0, b ≥ 0 asi de esta manera √ 67280= √ 42 x 5 x 292

√ 4 2 x √5 x√ 292 = luego aplicando

la propiedad de los exponentes se tiene que :

√ 24= 2^4/2 = 2^4/2√ 5 x√ 292 ahora aplicando la propiedad de los exponente √ a2 = a Asi de esta manera : √ 292=29 2^4/2√ 5 x 29 116√ 5

finalmente aproximando se tiene que 116√ 5 ̴ ̴

Ahora reemplazando en la formula AL =

9,28 M X 259,38 M 2

259,38m

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9,28 M X 259,38 M = 120352, 32M 2 Asi de esta manera Al = 120,35m 6)Hallar el área lateral y total de un tronco de pirámide regular de bases cuadradas sabiendo que los lados de las bases y las aristas laterales miden respectivamente 8, 4 y 9 cm. Solución Para ello me he basado en las siguientes formulas esenciales: AL = Adicion de las cara laterales Área de cara lateral =

B+ b BXb xa = x ¿¿ 2 2

=

8+4 x¿ 2

=

8+4 x ¿ 2

=

8+4 x (√ 81 cm2−4 cm2 2

Ahora realizando la respectivas sustraccion de los terminus involucrados en la parte subradical

√ 81 cm2−4 cm2 = √ 77 cm2

la raiz cuadrada aproximada de esta es 8,77

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luego se tiene que 12+ 8,77 cm2 2 105,24 cm 2 2 56,62cm¿ 2 Luego el área lateral es de la siguiente forma: 4x (56,62) = 210,48cm 2 De esta manera se tiene que AB = 8cm x 8cm = 64cm2 Ab = 4cm x 4cm = 16cm 2 Asi el área total AT = AL +AB +Ab AT = 210,48cm2 + 64cm2 +16cm2 AT = 290,48cm 2. 7 En una pirámide regular de base hexagonal la altura tiene 10 cm y el lado de la base 4 cm; calcular la longitud de las aristas laterales SOLUCION Aplicando la siguiente formula a 2=h2 +lb 2

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  a= √ h2 +lb 2   a= √ 102 +4 2   a= √ 100+16   a= √ 116 cm2 Ahora realizando simplificación de la parte subradical se tiene que 116 2 58 2 29 29 1

√ 22 cm2 x 29 cm2

luego la propiedad de producto de raíces con igual índices pero diferentes

parte subradical se tiene :

√ 22 cm2 x √ 29 cm2 simplificando

exponentes e índices iguales se tiene que

2x√ 29 cm2 ahora calculando la raíz cuadrada aproximada de 29 se tiene:

√ 29 cm2 ̴ ̴

5,38cm

2x 5,38cm a= 10,76 cm 8 La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero de 6 cm de lado; las aristas laterales miden 8 cm; calcular el área total.

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Primero hallamos la apotema de la pirámide que corresponde a la altura de una de las caras de la pirámide. Por el teorema de Pitágoras calculamos la apotema de la pirámide.

( 8 cm )2=¿ 64 cm2=¿ 64 cm2−9 cm 2=¿ √ 55 cm2 =a p 7,42 cm=a p Luego procedemos hallar el área de las caras laterales A=

(base x altura) 6 cm x 7,42 cm = 2 2

A=

44,52 cm =22,26 cm 2 2

Ahora buscamos las tres caras laterales Al =3 x 22,26 cm2=66,78 cm2 Pasamos hallar el área de la base Para hallar el área de la base de un triángulo equilátero

A=

l2 √3 4

A=

(6 cm)2 √3 4

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A=

36 cm2 √3 4

A=9 cm 2 √ 3=9 √3 cm 2=15,59 cm2 Ahora procedemos a calcular el área total de la pirámide sumando el área de la base más la de los laterales. AT = A L + A B AT =66,78 cm 2 +15,59 cm2 AT =82,37 cm2 Respuesta

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CONCLUSIÓN El desarrollo de los ejercicios nos permiten afianzar los conocimientos geométricos que nos permiten generalizar las relaciones aritméticas dándonos un patrón dado para los ejercicios planteados. Siendo la trigonometría una área de las matemáticas que se encuentra vinculada a la medición su aprendizaje es de vital importancia para lograr la interpretación de diferentes fenómenos físicos que se encuentran en la naturaleza, esta no solo se limita al estudio de los triángulos sino también, para el tratamiento matemático, sino para muchos casos de la vida real y muchos más, como el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica entre otros. La geometría idealiza el espacio en que vivimos, analizando los puntos, rectas, planos y otras figuras definidas sirviendo para solucionar problemas concretos en el mundo de lo visible.

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REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Matemáticas para maestros de educación primaria, edited by Alex, Isidoro Segovia, and Romero, Luis Rico, Difusora Larousse - Ediciones Pirámide, 2015. ProQuest Ebook Central, https://ebookcentral-proquest-com.bibliotecavirtual.unad.edu.co/lib/unadsp/detail.action? docID=4569986. Cuerpos geométricos. (s.f.). Recuperado 18 marzo, 2020, de http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena8/index2_8.ht m Portal Educativo. Cuerpos geométricos. Recuperado 16 marzo, 2020, de https://www.portaleducativo.net/sexto-basico/410/Cuerpos-geometricos