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TRABAJO COLABORATIVO 3 CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR: MARY LUZ PULIDO CC: 1123085702 MAYERLY QUINTERO MURILLO Código 1.122.123.908

PRESENTADO A: TATIANA DEL PILAR POLANIA SERRATO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENIERÍAS ACACIAS 2016

1) Hallar el area sustituida entre las curvas

3

y=x – 1 e y=2 x −1

entre

x=1 y x=2

Sugerencia: elaborar grafica para una mejor comprencion del ejercicio El área está dada por una integral. La función a integrar es f(x) = 2 x³ - 1 - (x - 1) = 2 x³ - x La integral es F(x) = 2 x^4/4 - x²/2 F(1) = 1/2 - 1/2 = 0 F(2) = 1/2 . 16 - 2 = 6 El área es F(2) - F(1) = 6

3. La región limitada por la gráfica de x=

y=x 3 ,

1 2

se gira alrededor del eje x. Hallar el área de la superficie lateral del sólido resultante.

el eje x

y

El área superficial de la función rotada sobre el eje x se halla mediante la expresión b

√

2

A=2 π ∫ f ( x ) 1+ [ fʼ( x) ] . dx a

2 1 x=0=a , x= =b , f ( x ) =x 3 , fʼ ( x )=3 x 2 , [ fʼ( x) ] =9 x 4 2

Reemplazando 1 2

A=2 π ∫ x . √ 1+9 x . dx 3

0

{ } 4

u=1+9 x 3 Sustitución : du=36 x dx 1 3 du=x dx 36

4

1 2

1 2

A=2 π ∫ √u . 0

2π A= 54 El

área

[ ( √1+9 x ) ] = 27π

superficial

[] [ ]

1 2π π u du=A= ∫ u . du= 36 36 0 18 3 2 1 4 3 2 0

de

la

3 1 4 2 2

3 1 2 2

1 2

=

0

π ( 1+ 9 x ) 18 3 2

π 61 61 π −( 1 ) = [ ]= ([ 125 ) ] 27 64 1728 ≅0,11 u 64

función

entre

los

límites

0

2

dados

aproximadamente de 0,11 unidades cuadradas.

5) hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola correspondiente a

x=2

y 2=8 x

y la ordenada

con respecto al eje x, como lo muestra la

figura.

El volumen de un cuerpo de revolución engendrado por la gráfica de f(x) b

girando alrededor del eje X entre x=2 y x=b es

π ∫ [ f ( x ) ¿2 dx| a

b

para g(y) alrededor del eje Y entre y= a y b es:

a) Debemos poner y como función de x

π ∫ [ g ( y ) ¿2 dx| a

y eso mismo

es

y^2 = 8x y = sqrt (8x) No indicas los límites supondré que son a y b

b

V =π ∫ 8 xdx=4 π x 2 ¿ ab=4 π (b2−b2) a

b) Debemos poner x como función de y x =(y^2)/8 Ahora hay que hacer un cambio de variable para que la recta x=2 sea el eje de ordenadas de la función. A la x = 2 vieja le corresponderá la x = 0 nueva, luego x vieja = x nueva + 2 x+2 = (y^2)/8 x = (y^2)/8 - 2 = (y^2 - 16) / 8

y 2 −16 2 ¿ dy=¿ 8 ¿ b

V =π ∫ ¿ a

( y 4 −32 y 2 +256 ) dy=¿ b

π ∫¿ 64 a 5

3

y 32 y + + 256 y ¿ ba=¿ 5 3 π ¿ 64 π [3 ( b5−a 5 )−160 ( b 3−a3 ) +3840 ( b−a ) ] 64 6) El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones? y =X^2 Y y =4, gira alrededor del eje Y,es:

y =x^2, y=4 La parábola y la recta se cortan aquí: Para x^2 =4

x =2

Partimos de la diferencia de las dos ecuaciones: y =x^2 -4 Esta ecuación define el radio de las circunferencias que describen cada uno de los puntos de la función al rotar. La superficie de cada circunferencia: S =pi (x^2 -4)^2 Y el volumen (las circunferencias las vemos como finísimos discos de grosor 'dx') dV =pi (x^2 -4)^2 dx Y la suma de los volúmenes de todos ellos se obtiene con la siguiente integral: integral pi(x^2 -4)^2 dx = = pi integral (x^4 +16 -8x^2) dx = = pi ((1/5) x^5 -(8/3)x^3 +16x +C Pero esta es una integral definida en el intervalo {0, 2} como se vio arriba, la evaluamos en dicho intervalo: Para 'x=0' la función es cero, quedando: V =| 2 pi (1/5)*2^5 -(8/3)*2^3 +16*2| =30.77 u^3

7) hallar el centroide de la región limitada por la gráfica de y=x^2, el eje x y la recta x=2

2 A = ∫ x² dx = 2³/3 - 0³/3 = 8/3 0 2 ∫ x . x² dx = 2⁴/4 - 0⁴/4 = 4 0 x = 4/(8/3) = 4*(3/8) = 3/2 2 ∫ [x²]² dx = 2⁵/5 - 0⁵/5 = 32/5 0 y = 1/2 * 32/5 / (8/3) = 32/10 * (3/8) = 6/5 Solución: ( 3/2 , 6/5 ) 10) Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas. Solución Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje , con su extremo fijo en el origen:

Por la ley de Hooke se sabe que Como

pulgadas cuando

dónde

. libras, entonces

de

.

Luego,

. Se desea calcular el trabajo realizado por esta

fuerza si aumenta la extensión de 8 a 11 pulgadas. Luego: 3

W =∫ 40 xdx 0

¿ 20 x2 ¿30 ¿ 180 pulgadas−libras

12. Si la función demanda es D(q)=1000-0.4q^2 y la función oferta es S(q)=42q Calcule el excedente del productor EP y el excedente del consumidor EC D(q)=1000-0.4q^2 S(q)=42q igualamos la oferta y la demanda para hallar un punto de equilibrio ( este debió ser un dato ) 1000-0.4q^2 = 42q 0.4q^2+42q-1000 = 0

q= 20 ; q = -125 => q = 20 reemplazamos 20 en cualquiera de las 2; 1000- 0.4(20)^2 = 840 este seria el precio ahora integramos para hallar el EP EP = ∫ 840 - 42q ( integral definida de 0 a 20 ) EP = ∫840 - ∫42q EP = 840q - 21q^2 ( evaluado de 0 a 20) EP = 8400 EC = ∫1000-0.4q^2 - ∫840 ( integral definida de 0 a 20 ) EC = ∫1000 - ∫ 0.4q^2 - ∫840 EC = 1000q - (0.4/3)q^3 - 840q( evaluado de 0 a 20) EC = 20000 - (2/15)8000 - 840(20) EC = 2133.3

he asumido que la pregunta como un EP y Ec en un punto de equilibrio