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Fase 2 – Actividad de matrices y solución de sistemas de ecuaciones

Presentado por Juan Pablo Rodríguez Usme 1.005.840.022

Presentado a Andrés Felipe Correa

Licenciatura en Matemáticas Algebra lineal

Universidad Nacional Abierta y a Distancia 3 de octubre de 2019

Tarea 1: Matrices 1 −1 0 1 2 −1 I) Dada las matriz A= 0 1 3 , B= 1 1 0 1 0 1 0 1 0

(

II) Calcular: ( AB ) (AC ) 1 −1 0 1 2 −1 A= 0 1 3 B= 1 1 0 1 0 1 0 1 0

(

) (

) (

−1 1 y C= 2 0 1 3

) ( )

)

La matriz A y B son 3x3 por lo tanto se puede sumar AB11 = 1 + 1 = 2

AB21 = 0 + 1 = 1 AB31 = 1 + 0 = 1

AB12 =-1 + 2 = 1

AB22 = 1 + 1 = 2 AB32 = 0 + 1 = 1

AB13 = 0 – 1 = -1

AB23 = 3 + 0 = 3 AB33 = 1 + 0 = 1

2 1 −1 (AB) = 1 2 3 1 1 1

(

1 −1 0 A= 0 1 3 1 0 1

(

)

−1 1 C= 2 0 1 3

) ( )

AC11 = 1 - 1 = 0 AC12 =-1 + 2 = 0 0 0 ¿ (AC) 2 1 2 3

( )

AC21 = 0 + 2 = 2 AC31 = 1 + 1 = 2 AC22 = 1 + 0 = 1 AC32 = 0 + 3 = 3

III)

Calcular A2 C

1 −1 0 A= 0 1 3 1 0 1

(

−1 1 C= 2 0 1 3

)

( )

A2= A . A A . A=B

1 −1 0 A= 0 1 3 1 0 1

(

1 −1 0 A= 0 1 3 1 0 1

)

(

b11 b12 b 13 B= b 21 b22 b 23 b 31 b32 b 33

(

)

)

b 11=1+0+ 0=1 b 12=−1−1+0=−2 b 13=0−3+ 0=−3 b 21=0+0+3=3 b 22=0+1+0=1 b 23=0+3+3=6 b 31=1+ 0+1=2 b 32=−1+ 0+0=−1 b 33=0+0+1=1 1 −2 −3 6 B= 3 1 2 −1 1

(

)

B.C= D Verificación del producto BC

−1 1 C= 2 0 1 3

( )

B= 3x3 y C= 3x2 , el número de columnas B con el número de filas B, es posible realizar el producto.

d 11 d12 D= d21 d22 d31 d32

−8 −8 D= 5 21 −3 5

( ) ( )

d 11= -1-4-3= -8 d 12= 1 +0 -9 = -8 d 21=-3+2+6 = 5 d 22=3+0+18= 21 d 31=-2-2 +1= -3 d 32=2 + 0 +3= 5

−8 −8 A2 C = 5 21 −3 5

(

)

Tare 2: Matrices inversas

I) Encuentre la matriz inversa de las siguientes matrices: A= 3 7

( 49)

II)

Escribe la matriz aumentada

(37 49) (10 01)

A=

Encuentra el pivote en la columna número 1 dividiendo la fila número 1 entre 3

A= 3 7

4/3 9

(

) (1/30 01 )

Elimina la columna 1 A= 1 4 /3 0 −1/3

(

) (−71 /3/3 01)

Encuentra el pivote número 2 dividiendo la fila número 2 entre -1/3 A= 1 4/3 0 1

(

) (1/37

0 −3

)

Elimina la columna número 2

( 10 01 ) (−97 −34 )

A=

Ahí está la matriz inversa a la derecha A= 1 0 0 1

( ) (−97 −34 )

1 2 3 III) B= 5 2 6 1 3 4

(

)

Escribe la matriz aumentada

1 2 3 1 0 0 B= 5 2 6 0 1 0 1 3 4 0 0 1

(

)( )

Encuentra el pivote en la columna número 1 dividiendo la fila número 1 entre 3 1 2 3 1 0 0 B= 5 2 6 0 1 0 1 3 4 0 0 1

(

)( )

Elimina la columna 1 1 2 3 1 0 0 B= 0 −8 −9 −5 1 0 0 1 4 −1 0 1

(

)(

)

Encuentra el pivote número 2 e intercambia la fila número 3 con la fila número 2

1 2 3 1 0 0 B= 0 1 1 −1 0 0 0 −8 −9 −5 1 1

(

)(

)

Elimina la columna número 2

1 0 1 3 0 −2 B= 0 1 1 −1 0 1 0 0 −1 −13 1 8

(

)(

)

Encuentra el pivote en la columna número 3 fila número 3 (invirtiendo el signo en toda la fila) 1 0 1 3 0 −2 B= 0 1 1 −1 0 1 0 0 1 −13 −1 −8

( )(

)

Elimina la columna número 3

1 0 0 −10 1 6 B= 0 1 0 −14 1 9 0 0 1 −13 −1 −8

(

)(

)

Ahí está la matriz inversa a la derecha

1 0 0 −10 1 6 B= 0 1 0 −14 1 9 0 0 1 −13 −1 −8

(

IV)

)(

1 C= 0 1 1

(

2 2 3 0

3 2 1 0

4 1 0 1

)

)

Escribe la matriz aumentada

1 C= 0 1 1

(

2 2 3 0

3 2 1 0

4 1 0 1

)(

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

)

Encuentra el pivote en la columna número 1 en la fila número 1

1 C= 0 1 1

(

2 2 3 0

3 2 1 0

4 1 0 1

)(

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

)

Elimina la columna número 1

1 2 3 4 1 0 0 2 2 1 0 1 C= 0 1 −2 −4 −1 0 0 −2 −3 −3 −1 0

(

)(

0 0 1 0

0 0 0 1

)

Encuentra el pivote en la columna número 2 e intercambia la fila número 3 con la fila número 2

1 2 3 4 1 0 0 C= 0 1 −2 −4 −1 0 1 0 2 2 1 0 1 0 0 −2 −3 −3 −1 0 0

(

)(

Elimina la columna número 2

0 0 0 1

)

1 C= 0 0 0

(

2 7 12 3 0 −2 0 1 −2 −4 −1 0 1 0 0 6 9 2 1 −2 0 0 −7 11 −3 0 2 1

)(

)

Encuentra el pivote en la columna número 3 dividiendo la fila número 3 entre 6

1 C= 0 0 0

(

0 7 12 3 0 −2 0 1 −2 −4 −1 0 1 0 0 1 3/2 1/3 1 /6 −1/3 0 0 −7 11 −3 0 2 1

)(

)

Elimina la columna número 3

1 C= 0 0 0

(

0 7 1 −2 0 1 0 −7

3/2 2/3 −7/6 1/3 0 −1 −1/3 1/3 1/3 0 3/2 1/3 1/6 −1/3 0 −1/2 −2/3 7/6 −1/3 1

)(

)

Encuentra el pivote en la columna número 4 dividiendo la fila número 4 entre -1/2 1 C= 0 0 0

(

0 7 3/2 2/3 −7/6 1/3 0 1 −2 −1 −1/3 1/3 1/3 0 0 1 3/2 1/3 1/6 −1/ 3 0 0 −7 1 4 /3 −7/3 2/3 −2

)(

Elimina la columna número 4

)

1 C= 0 0 0

(

0 1 0 0

0 0 1 0

0 −4 /3 −7/ 6 −2/3 3 0 1 −2 1 −2 0 −5/3 1 1/3 −4 /3 3 1 4/3 −7 /3 2/3 −2

)(

)

Ahí está la matriz inversa a la derecha

1 C= 0 0 0

(

0 1 0 0

0 0 1 0

0 −4 /3 −7/ 6 −2/3 3 0 1 −2 1 −2 0 −5/3 11 /3 −4 /3 3 1 4/3 −7 /3 2/3 −2

)(

)

V) Halle la matriz escalonada de la matriz A y luego determine si es una matriz invertible. 1 4 3 A= 1 6 6 −1 −8 −12

(

A=

)

1 4 3 1 6 6 −1 −8 −12

(

1 4 3 3 A¿ 0 2 0 −4 −9

(

)

)

1 4 3 A= 0 −4 −9 0 2 3

(

) 1 4 3 0 −4 −9 A= −3 0 0 2

(

)

Problema 4: Aplicación de sistema de ecuaciones:

A) Las edades de un hijo, el padre y el abuelo cumplen las siguientes condiciones. La suma de las edades del padre, del hijo y el doble de la edad del abuelo es 182 años. El doble de la edad del hijo más la del abuelo es 10 años, y la edad del padre es 2 veces la de su hijo. a) Plantee el problema como sistema de ecuaciones. a= Padre

b= hijo

c=abuelo

a + b + 2c = 182 años 2b + c = 100 años a = 2b b) ¿Cuál es la edad de cada uno?

(

1 1 2 182 1 −2 0 0 0 2 1 100

|) (

1 1

2 2 3 1

182 182 3 100

( |) 0 1 0 2

1 1

2 182 2 182 0 1 3 3 −1 −64 0 0 3 3

( |) ECUACION

a + b + 2c = 182

1 1 2 182 0 −3 −2 −182 0 2 1 100

| )

a + 18 + 2(64) = 182

x= 182 – 18 – 128 = 36 años

En esta ecuación nos da la respuesta de las tres edades

64 años la edad del abuelo

18 años la edad del hijo