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“APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES” Cátedra

:

Ecuaciones Diferenciales

Catedrático

:

USCAMAYTA VERÁSTEGUI David

Integrantes

:

MANDUJANO GALARZA Orlando

Semestre

:

III Semestre

Hyo-2015

APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN A PROBLEMAS DE VACIADO DE

TANQUES

I.

RESUMEN

Este módulo tiene como objetivo determinar el tiempo de vaciado y la constante de descarga de un tanque cilíndrico de forma vertical, el cual tiene un orificio circular en el lado lateral y lado inferior del tanque. El procedimiento experimental consistió básicamente en trabajar con este tanque lleno de agua, en la cual tiene subdivisiones referentes a la altura, y se mide el tiempo. Se realizó una comparación entre los valores teóricos y experimentales del tiempo de vaciado y de la constante de descarga, donde se utilizó el modelo matemático teórico para determinar esta constante de forma experimental a través de las mediciones de nivel de altura a cada tiempo .Los resultados obtenidos experimentalmente comparando con lo teórico tienen una diferencia la cual es causada por las pérdidas de descarga y el tapón, lo que se ve reflejado en la constante de vaciado del tanque. La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las prácticas más utilizadas en las industrias. Todo proceso que se lleva a cabo en un tanque incluye un proceso de vaciado del mismo.

II. INTRODUCCIÓN Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente determina el comportamiento físico del agua. Este tema es importante porque nos ayuda a entender los problemas de vaciado de tanques, es decir con esta experiencia podemos entender mejor los conceptos del tiempo de vaciado y la constante de descarga de un tanque. Básicamente

nuestro

modelo

matemático

se

apega

al

procedimiento usual para el vaciado de un tanque aplicando ecuaciones diferenciales Por ello, los primeros pasos en la experiencia del modelado mediante ecuaciones diferenciales se dan observando el trabajo de los expertos, es decir estudiar las suposiciones finas se emplean en los modelos que han trascendido a lo largo del tiempo en la ciencia y en la ingeniería.

III.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

 Determinar metodológicamente el tiempo que se demora en vaciar a una determinada altura con fuga horizontal y al fondo con fuga en el medio del diámetro del cilindro vertical.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Determinar mediante ecuaciones diferenciales la constante después de cierto tiempo de haber comenzado a vaciarse el tanque.  Analizar mediante comparaciones del tiempo de salida del agua en la primera fuga de agua y luego al fondo, calculada por las ecuaciones diferenciales y el tiempo medido por un cronometro sobre los posibles factores que afectan este fenómeno atreves de las ecuaciones diferenciales

IV.

MARCO TEÓRICO

4.1 PLANTEAMIENTO DEL FENÓMENO

Una placa orificio es una placa plana con un orificio. Cuando se coloca en forma concéntrica dentro de una tubería ésta provoca que el flujo se contraiga bruscamente conforme se aproxima al orificio y se expanda nuevamente al diámetro total de la tubería luego de atravesarlo. La corriente que fluye a través del orificio forma una vena contracta y la rápida velocidad del flujo resulta en una disminución de presión aguas abajo del orificio. Es por ello que en la descarga de fluidos a través de sistemas de procesos industriales es necesario tomar la medición correcta y exacta del volumen de líquido que se envasa en un tiempo determinado. Es decir, la medición del caudal real que pasa por el orificio de descarga. El caudal teórico es aquel que relaciona el área del recipiente y la velocidad que tiene el fluido para un instante dado. Generalmente el caudal real se reduce en un 60% del caudal teórico y esa relación da origen al llamado coeficiente de descarga de un orificio. 4.2 VACIDO DE TANQUES En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v del flujo (salida) del agua a través de un orificio en la parte lateral o en el fondo de una tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, v  2 gh donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética, Ec 

mv 2 con la 2

energía potencial, E p  mgh , luego de despejar v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Se desea determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque en el momento t. Si el área transversal del agujero es A, y la velocidad del agua que sale del tanque es v  2 gh , el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es A

2gh . Así, si V (t) representa al volumen del agua

en el tanque en cualquier momento t.

4.2.1

DEFINICIÓN Un tanque de una cierta forma geométrica está inicialmente lleno de agua hasta una altura H. El tanque tiene un orificio en el fondo cuya área es A/m2.Se abre el orificio y el líquido sale

libremente. La razón volumétrica de salida

dv es proporcional dt

al de salida y al área de orificio es decir,

dv   kav dt Donde k depende de la forma de orificio:  Si el orificio es de forma circular, la constante 0  k  1  Si el orificio es de forma triangular, la constante 0.65  k  0.75  Si el orificio es de forma rectangular, la constante k  0.6 4.2.2

Ecuaciones matemáticas Se presentan los modelos matemáticos para determinar los Coeficientes de descarga, velocidad y contracción, y también para determinar el porcentaje de error. Para hallar estos coeficientes se requiere determinar el área del orificio, el área del chorro contraído, la velocidad real, la velocidad teórica, el caudal real y el caudal teórico. A) TEOREMA DE BERNULLI Una forma especial de ecuación de Euler derivada por una corriente natural se llama ecuación de Bernoulli

p1   gy1 

1 2 1  v1  p2   gy2   v22  perdidas 2 2

p  precion

  densidad  Kg m3  g  cons tan te de gravitacion  m s 2  y  elevacion  m  v  velocidad  m s 

B) ECUACION DE CONTINUIDAD Si dentro de un tubo el caudal y flujo de un fluido que va a una velocidad media v1 es:

Q  A1v1 Donde: A=área de la sección transversal del tubo El principio de conservación de la masa en dinámica de fluidos, para flujo en una dirección es:

1v1 A1   2 v2 A2  A

  v  t

En estado estacionario la derivada con respecto al tiempo es cero. Un fluido de densidad constante (como los líquidos) se denomina incomprensible

1v1 A1  2v2 A2 4.2.3

UNIDADES Y NOTACIONES

4.3 MEDICIONES Y ERRORES La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la técnica Para profundizar más sobre lo que son las mediciones primero es necesario saber y conocer que es medir por tanto no haremos la siguiente pregunta:

¿Qué es medir? Medir es el acto que se realiza para obtener de las dimensiones de un objeto respetando un patrón de medida específico. Hay dos tipos de mediciones: a. Medida Directa: El valor de la magnitud desconocida se obtiene por comparación con una unidad desconocida. b. Medida Indirecta: Valor obtenido mediante el cálculo de la función de una o más mediciones directas, que contienen fluctuaciones originadas por perturbaciones diversas .Debido a esto se agrupan en dos clases:

V.

PARTE EXPERIMENTAL 5.1 MATERIALES    

Cronómetro Baldé forma cilíndrica Cinta milimetrada 2 caños de plástico 5.2 REACTIVOS 

Agua 5.3 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

 

VI.

Llenar el recipiente con agua Hacer mediciones del tiempo durante el vaciado del tanque en el orificio horizontal y luego en el orificio vertical

CÁLCULOS Sea h(t ) la altura del líquido en cualquier instante de tiempo (t ) y V (t ) el volumen del agua en ese instante la velocidad ( v ) que sale a través del orificio es v  2 gh En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio por lo que se tendrá:

vk

2 gh

Donde k es el coeficiente de descarga entre 0 y 1

r radio de la circunferencia D diametro de la circunferencia A area de la circunferencia D D  2r  r  2 D A   r 2  A   ( )2 2 La conservación de la energía en el cilindro

E( p )  E( c ) 1 mv 2 2 simplificando

mgh 

v

2 gh

La ley de Torricelli, la razón con la que el agua sale del agujero (variación del volumen V con respecto al tiempo t ) se puede expresar como el área ´´ ´´

a del orificio de salida por la velocidad v del agua drenada, esto es:

dV  av dt



dV  ak 2 gh dt

La ecuación diferencial asociado al problema de vaciado de tanque es:

A( h)

dh a  k dt 2

2 gh

R=15 cm h=10cm

H=30cm h=20cm

r=0.5 cm

6.1 cálculos experimentales CASO 1: Se tiene un recipiente cilindro lleno de agua cuyas medidas son:

h  10 cm D  30 cm Este tiene un pequeño orificio en el lado horizontal de 1 cm de diámetro. Calcular el tiempo total que demora el tanque en vaciarse Datos:

g  980 cm

s2

D  30 cm h  10 cm a

  0.5 cm 

2

2

k ? Para determinar las áreas, en este caso la área de salida será el área del orificio entre 2 por que se puso un caño de plástico y ello en la parte inferior del caño sale con un área de la mitad de la circunferencia

area de (a) 

 r2



 (0.5 cm) 2

2 area de (a)  0.125  cm 2

2

A(h)   r 2  A(h)   (15 cm) 2 A(h)  225 cm2 La ecuación asociada es:

A( h)

dh a   k dt 2

2 gh

Remplazado los datos tenemos

dh 0.25  cm 2  (k ) 2 (980) h dt 2 dh 0.25 2 225 cm 2  cm  (k ) (44.27188724) h dt 2 dh 225   5.533985905 h  k  dt dh 225   5.533985905  k  dt h

225 cm 2

Integramos

(225) 

dh   5.5339585905  k   dt h

450 h   5.5339585905  k  t  c

Para la condición inicial h  10cm

t 0

450 10   5.533985905  k  (0)  c c  1423.024947 Remplazamos c

450 h   5.533985905  k  t 1423.024947 Para condiciones finales h  0 y t  ?

450 (0)   5.5339585905  k  t  1423.024947 5.533985905  k  t 1423.024947

 k  t  257.1428571segundos 257.1428571segundos

1min uto  4.285714286 min utos 60 segundos

 k  t  4.285714286 min utos CASO 2: Se tiene un recipiente cilindro lleno de agua cuyas medidas son:

h  30 cm D  30 cm Este tiene un pequeño orificio en el lado vertical de 1 cm de diámetro. Calcular el tiempo total que demora el tanque en vaciarse Datos:

g  980 cm

s2

D  30 cm h  30 cm

 0.5 cm  a 2

2

  0.125 cm 2 

k ? Para determinar las áreas

area de (a ) 

 r2



 (0.5cm) 2

2 area de (a )  0.125 cm 2 

2

A(h)   r 2  A(h)   (15 cm) 2 A(h)   (225 cm 2 ) La ecuación asociada es:

A( h )

dh a   k dt 2

2 gh

Remplazado los datos tenemos

 (225 cm 2 )

dh   0.125 cm 2  ( k ) 2 (980) h dt

dh   0.125 ( k ) (44.271887) h dt dh (225)   5.533985875  k  h dt dh (225)   5.533985875  k  dt h

(225)

Integramos

(225) 

dh   5.533985875  k   dt h

450 h   5.533985875  k  t  c Para la condición inicial h  30 cm

t 0

450 30   5.533985875  k  (0)  c c  2464.751509 Remplazamos c

450 h   5.533985875  k  t  2464.751509 Para condiciones finales h  0 y t  ?

450 (0)   5.533985875  k  t  2464.751509 5.533985875  k  t  2464.751509

 k  t  445.3844959 segundos 445.3844959 segundos

1min uto  7.423074931min utos 60 segundos

 k  t  7.423074931min utos

VII.

CALCULOS Y RESULTADOS Datos de las condiciones de trabajo Diámetro interior del recipiente (D) = 15 cm 0.15m Diámetro del tubo (d) = 0,1 cm 1.00x10-3 m Longitud del tubo (L) = 5 cm Datos tomados de la experimentación

DATOS EXPERIMENTALES H(cm)

T(minutos)

10

0

9

267

8

534

7

814.2

6

1168.2

5

1494

4

1800

3

215.8

2

2664

1

3127.8

0

3702.00

Tabulando las alturas del experimento en (a), calculamos los respectivos tiempos de descarga:

EXPERIMENTAL

TEORICO

H(cm)

T(segundos)

T(segundos)

0

0

0.00

1

267

2758.74

2

534

3901.44

3

814.2

4778.27

4

1168.2

5517.47

5

1494

6168.72

6

1800

6757.49

7

2215.8

7298.93

8

2664

7802.88

9

3127.8

8276.21

10

3702.00

8723.89

VIII.

CONCLUSIONES



El tiempo de vaciado es de 566 segundos.



La constante proporcional que nos salió es de 0.319



La relación del tiempo de vaciado con la altura es 3

(15.5 − ℎ)2 =𝑘 (0.6525)𝑡

IX.



REFERENCIA BIBLIOGRÁFICAS

Jaime Escobar. “Ecuaciones Diferenciales”.



Cesar Saal- Félix Carrillo- “Ecuaciones Diferenciales” – Primera Edición.



Dennis G.Zill-Michael R. Cullen –“Ecuaciones Diferenciales”.

X.

ANEXOS