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• RobinsonGermánIndalecio

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INTEGRACIÓN ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA ANTIDERIVADA ¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios futuros? ¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a la cual cambia la población para predecir niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a partir de su derivada. Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea f ( x)  4 x3

Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que d  4 x  4 x3 F ( x)  x 4 ya que dx   Esto permite definir lo siguiente. Definición: Una función F es una antiderivada (o una primitiva) de f en un intervalo I si F '( x)  f ( x) para todo x en I . Observación Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La razón es que, por ejemplo, F1 ( x)  x4 , F2 ( x)  x4  3 y F1 ( x)  x4  54

son, todas ellas, antiderivadas de f ( x)  4 x3 . De hecho, para cualquier valor de la constante C , F ( x)  x4  C es antiderivada de f .

Definición: Antiderivada general Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G , de f en I es de la forma G( x)  F ( x)  C , para todo x en I

donde C denota una constante. Observación: Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino una familia dé funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso de hallar todas las antiderivadas de f ( x) se denomina integración indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo



, llamado signo de integración, la expresión

de f ( x) con respecto a x . INTEGRAL INDEFINIDA Definición:

1

 f ( x)dx se lee la integral indefinida

Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) en un intervalo I , entonces a su antiderivada general G( x)  F ( x)  C se le denota por

 f ( x)dx  F ( x)  C

x  I

Llamada la integral indefinida de f ( x) con respecto a x . Propiedades Sean f , g funciones derivables y k constante, entonces: a) b)

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx

Ejemplos: 1)

  3x

3



 2 x  5 dx

Solución:

  3x

3



 2 x  5 dx   3x3dx   2 xdx   5dx  3 x3dx  2 xdx  5 dx  x4   x2  3  3    2    5 x  C  x 4  x 2  5 x  C 4  4   2 

2)

 y



 y 4  2 dy

2

Solución:

 y 3)

2



 y 4  2 dy   y 2 dy   y 4 dx   2dx 

y3 y 4   2x  C 3 4

2

 y3 dy Solución:

2

y 4)

dy  2 y 3dy  2 3

y 2 1  C   y 2  C   2  C 2 y

 (2sin x  3cos x)dx Solución:

 (2sin x  3cos x)dx   2sin xdx   3cos xdx  2cos x  3sin x  C FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN Sea u  u( x) una función diferenciable en x , entonces:

u n1 C n 1

1.

n  u du 

2.

u

3.

 e du  e

du u

 ln u  C u

C

2

4. 5.

au  C, a  0  a  1 ln a du 1 u  u 2  a2  a arctan  a   C, a  0 u  a du 

du

1

ua

du

1

ua

6.

 u 2  a2  2a ln u  a  C

7.

 a2  u 2  2a ln u  a  C

a0 a0

Integrandos que contienen raíces cuadradas 8.



9.



10.



11.

u

12.

du u a du

2

u a

2

2

2

 ln u  u 2  a 2  C a  0  ln u  u 2  a 2  C a  0

u  arcsin    C a  0 a a u du

2

2

u 1  arcsec    C a  0 a u 2  a2 a du



u 2  a 2 du 

u 2 a2 u  a 2  ln u  u 2  a 2  C 2 2

13.



u 2  a 2 du 

u 2 a2 u  a 2  ln u  u 2  a 2  C 2 2

14.



a 2  u 2 du 

u 2 a2 u u  a 2  arcsin    C 2 2 a

Integrandos que contienen funciones trigonométricas 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

 sin udu   cos u  C  cos udu  sin u  C  tan udu   ln cos u  C  cot udu  ln sin u  C  sec udu  ln sec u  tan u  C  csc udu  ln csc u  cot u  C  csc udu  ln csc u  cot u  C 2  sec udu  tan u  C 2  csc udu   cot u  C  sec u tan udu  sec u  C  csc u cot udu   csc u  C 3

Integrandos que contienen funciones hiperbólicas 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33.

 sinh udu  cosh u  C  cosh udu  sinh u  C  tanh udu  ln cosh u  C  coth udu  ln sinh u  C 2  sech udu  tanh u  C 2  csch udu   coth u  C  sech u tanh udu   sech u  C  cosh u coth udu   csch u  C

Integrandos que contienen funciones trigonométricas inversas 34.

 arcsin udu  u arcsin u 

1  u2  C

35.

 arccos udu  u arccos u 

1 u2  C

36.

 arctan udu  u arctan u  2 ln(1  u

37.

 arccot udu  u arccot u  2 ln(1  u

38.

 arcsec udu  u arcsec u  ln u 

u2 1  C

39.

 arccsc udu  u arccsc u  ln u 

u2 1  C

1

1

2

)C

2

)C

Formulas útiles de integración

40.

n  (ax  b) dx 

1 (ax  b)n1 C a n 1

1 ax b e C a dx 1  ln ax  b  C 42.  ax  b a 1 43.  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 1 44.  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a

41.

e

ax b

dx 

Ejemplos Halle las siguientes integrales 3 1)  2 dx x Solución: 4

3

x 2)

dx  3 x 2 dx  3 2

 (2  tan

2

x 3 1  C   x 3  C   3  C 3 x

θ ) dθ

Solución:

 (2  tan 3)

2

θ )dθ   2dθ   tan 2 θdθ  2θ  sec θ  C

z 4  10 z 2  25  z3  5z dz Solución:





2





z2  5 z2  5  z2 5  z 4  10 z 2  25 dz  dz  dz   z3  5z  z z2  5  z   z  z dz  





5 5 z2 1     z  dz   zdz   dz   5 dz z z 2 z 



4)



20 x 4  3x 2  15 x

5x2 Solución:



dx

20 x 4  3x 2  15 x 5x2

z2  5ln z  C 2

 20 x 4 3x 2 15 x  3 3  dx     2  2  dx    4 x 2    dx 2 5 x 5x 5x    5x

3 3 4 3 1   4 x 2 dx   dx   dx  x3  x  3 dx 5 x 3 5 x 4 3  x3  x  3ln x  C 3 5 5)

2x  5 dx x2 Solución: 2x  5 2x  4  1 1  1   2x  4  2( x  2)  x  2 dx   x  2 dx    x  2  x  2 dx    x  2  x  2 dx



1  1   2  dx  2 x  ln x  2  C dx   2dx   x2 x2 

6)

x 1

 2 x  1dx Solución: Primera forma: 2x 2 1  (2 x  2) x 1 1 2x  2 1 2x  2  3  3 2 2 2 dx  dx   2 x  1  2 x  1  2 x  1 dx  2  2 x  1dx  2  2 x  1 dx 1 2x  1  3 1  2x  1 3  1  3    dx     dx   1  dx 2 2x  1 2  2x  1 2x  1  2  2x 1  5



1 3 dx 1 3 1 1 3 dx    x   ln  2 x  1  C  x  ln  2 x  1  C  2 2 2x  1 2 2 2 2 4

Segunda forma: Dividamos x  1 entre 2 x  1 usando el método tradicional

x 1  x  1/ 2

2x 1 1/ 2

3/ 2 Recuerde que

D

d

r

q

 D  qd  r

Así

1 3 x 1 1 3 x  1  (2 x  1)     2 2 2 x  1 2 2(2 x  1) Entonces 1

x 1

3



1

3

1

3

dx

 2 x  1dx    2  2(2 x  1) dx   2 dx   2(2 x  1) dx  2  dx  2  2 x  1 

7)

x

1 x

1 3 1 1 3 x   ln  2 x  1  C  x  ln  2 x  1  C 2 2 2 2 4

dx

Solución: x x 11 1  1   x 1   1  x dx   1  x dx    1  x  1  x dx   1  x  1 dx   dx  

8)

1

3x

2/3

1 dx  x  ln  x  1  C x 1

( x  1) dx

Solución: 1 2/3 1 1 1/3 1 2/3 1/3 2/3  3 x ( x  1) dx  3  x  x dx  3  x dx  3  x dx





1  x 4/3  1  x1/3  1 4/3 1/3        C  x  x  C 3 4 / 3  31/ 3  4

9)

 e3 x    3  2sin x dx   Solución:  e3 x  e3 x 1 3x  2sin x dx     3  3 dx   2sin xdx  3  e dx  2 sin xdx  

1  e3 x   3 3

 1 3x   2cos x  C  e  2cos x  C 9 

6

10)

e

e

0.02t

0.13t



 4 dt

Solución:

e

e

0.02t

0.13t







 4 dt   e0.15t  4e0.02t dx   e0.15t dt   4e0.02t dt

e0.15t 20 e0.02t  4 e0.02t dt   e0.15t  4 C 0.15 3 0.02 20   e0.15t  200e0.02t  C 3



11)

  tan

2



x  3cos x dx

Solución:

  tan

2







x  3cos x dx   tan 2 xdx   3cos xdx   sec2 x  1 dx   3cos xdx

  sec2 xdx   dx  3 cos xdx  tan x  x  2sin x  C

12)

2



  x  2sin  2x  dx Solución: 2 1 2    x  2sin  2 x  dx   x dx   2sin  2 x dx  2 x dx  2 sin  2 x dx

 2ln x  2

13)

cos(2 x)  C  2ln x  cos(2 x)  C 2

 3z 2  2 z  3  dz   z   Solución:  3z 2  2 z  3   3z 2 2 z 3  3  dz    dz    3z  2  dz       z z z z     z

3 1   3zdz   2dz   dz  3 zdz  2 dz  3 dz z z 3  z 2  2 z  3ln z  C 2 14)

t

1/2

t

2



 t  2 dt

Solución:

t

1/2

t

2







 t  2 dt   t 3/2  t1/2  2t 1/2 dt   t 3/2 dt   t1/2 dt   2t 1/2 dt

t 5/2 t 3/2 2 2 t1/2   2 t 1/2 dt  t 5/2  t 3/2  2 C 5/ 2 3/ 2 5 3 1/ 2 2 2  t 5/2  t 3/2  4t1/2  C 5 3 

15)

x

3



1   2 x 2   5 dx x  7

Solución:

x

3











1   2 x 2   5 dx   x 2  5 x3  2 x  10 x 2 dt   5 x3  11x 2  2 x dt x     5x3dx  11x2 dx   2 xdx  5 x3dx  11 x2 dx  2 xdx



5 4 11 3 x  x  x2  C 4 3

1   16)   x3   2 2 x   Solución: 1 1  3   3/2    x  2 x  2 dx    x  2 x1/2  2  dx

1 x5/2 1 1/2   x3/2 dx   x 1/2 dx   2dx   x dx  2  dx 2 5/ 2 2 2 2  x1/2  2 5/2 4 1/2  x5/2     2 x  C  x  x  2 x  C 5 3 1/ 2  5 3

17)

 x 2  3x  2    x  2 dx   Solución:  x 2  3x  2   x  2 x  1   x  2 dx   x  2 dx    x  1dx  

  xdx   dx  18)

  3x

2



 5 x  2 dx

Solución:

  3x

x2  xC 2

2



 5 x  2 dx   3x 2 dx   5 xdx   2dx

 x3   x3/2   3 x 2 dx  5  x1/2 dx  2 dx  3    5    2 x  C  3 3/ 2

 x3 

2 5 3/2 x  2x  C 3

4  19)    5et dt t  Solución: 4 1 4 t t t t   t  5e dt   t dt   5e dt  4 t dt  5 e dt  4ln t  5e  C

20)

 1

  3x 

5   e x /2 dx x 

Solución: 8

 1

5 1 1 1   e x /2 dx   dx  5 1/2 dx   e x /2 dx 3 x x x 

  3x 

 x1/2  1 1  x /2 1  x /2  ln x  5 x 1/2 dx  e  ln x  5    2e 3 1 / 2 3 1/ 2 

1  ln x  10 x1/2  2e x /2 3 21)

  2sinh x  5cosh x) dx Solución:

  2sinh x  5cosh x) dx  2 sinh xdx  5 cosh xdx  2cosh x  5sinh x  C 22)

23)

tan x  cot x dx sin x Solución: tan x  cot x tan x cot x  sin x dx   sin x dx   sin x dx   sec xdx   cot x csc xdx  ln sec x  tan x  csc x  C





1  sin x



1  sin x

cos 2 x Solución:

dx

sin x  sin x 1   1  dx     dx    sec2 x  dx 2 2  cos x cos x  cos x  cos x cos x   2





  sec2 x  tan x sec x dx   sec2 xdx   tan x sec xdx

 tan x  sec x  C

24)

x2

 x2  2dx Solución: x2

 x2  2

dx  

 x2  2 2  2   dx   2  2 dx   1  2 dx  2 x 2 x 2   x 2 x 2

x2  2  2

  dx    x

25)

1 2

2 x 2 2

ln

dx  x  2

x 2 x 2

dx x  2 2

2

 x2

1 2 2

ln

x 2 x 2

C

C

(1  x) 2

 x(1  x2 )dx Solución: (1  x)2

 x(1  x2 )

dx  

 1  x2 x2  2 x  1 2x  2  1 dx   dx      dx  2 2 2   x(1  x )  x 1  x2   x(1  x ) x(1  x ) 

1 dx   dx  2  ln x  2arctan x  C x 1  x2

9

26)



3  x2  1

x2  1 Solución:

dx

3  x2  1 3 x2  1 dx dx dx  dx   x2  1  x2  1  x2  1 dx  3 x2  1   x2  1

 3arctan x  ln x  x 2  1  C

27)

2

 x2 ( x2  2)dx Solución: 2

 x2 ( x2  2)

dx  

 x2  2  x2 dx    dx  2 2 2 2 2 2  x ( x  2)  x ( x  2) x ( x  2) 

x2  2  x2

1  dx 1 1 dx  1   2  2 dx     dx   2   2 2 x x 2 x x 2 x x2  2 1 1  x    arctan  C x 2  2

28)

x2  2

 x2 ( x2  4)dx Solución: Expresemos x 2  2 de la siguiente forma, 1 1 1 1 1 x 2  2  x 2  ( x 2  4  x 2 )  x 2  ( x 2  4)  x 2  x 2  ( x 2  4) 2 2 2 2 2 Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene, 1 2 1 2 x  ( x  4) x2  2 1 x2 1 ( x 2  4) 2 2 dx  dx  dx  dx  x2 ( x2  4)  x2 ( x2  4) 2  x 2 ( x 2  4) 2  x 2 ( x 2  4)

29)



30)



1 dx 1 dx 1 dx 1   2  2   x 2 dx  2 2 2 x 4 2 x 2 x 2 2



1 11 1  x 1 x  x 1 arctan     C  arctan    C 22 4  2  2 1  2  2x

dx

x2  4 Solución: dx





x 4 2

 ln x  x 2  4  C

dx

 x  8x  8 Solución: 2

Completemos cuadrados en la expresión  x2  8x  8 , 10

 x 2  8 x  8  ( x 2  8 x)  8   ( x  4)2  16  8  ( x  4) 2  8

Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene, dx dx dx   x2  8x  8   8  ( x  4)2   2 8  ( x  4)2  x4  arcsin  C  8 

31)



dx

x  4x  7 Solución: 2

Completemos cuadrados en la expresión x2  4 x  7 , x2  4 x  7  ( x  2)2  4  7  ( x  2)2  3

Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene, dx dx dx  x2  4 x  7   ( x  2)2  3   2 ( x  2)2  3

 ln x  2  ( x  2)2  3  C  ln x  2  x 2  4 x  7  C

32)



x 2  11



x 2  11

x2  4 Solución: x2  4

dx

dx  

 x2  4  7 dx     dx  2 2 x2  4 x  4 x  4  

x2  4  7

x2  4



x2  4

dx  

7 x2  4

dx   x 2  4dx  7

dx x 2  22

1 4 x x 2  4  ln x  x 2  4  7ln x  x 2  4  C 2 2 1  x x 2  4  9ln x  x 2  4  C 2 

33)



3  x2  3  x2

dx 9  x2 Solución: Simplifiquemos primero el integrando

3  x2  3  x2 9  x4





3  x2  3  x2 (3  x 2 )(3  x 2 )

1





3  x2 3  x2 3  x2



3  x2 3  x2 3  x2

1

3 x 3  x2 Remplazando esta última expresión en la integral, se tiene



3  x2  3  x2 9  x2

2

 1 1 dx      2 3  x2  3 x

 1 1 dx   dx dx   2 2 3  x 3  x 

11

 x  2  arcsin    ln x  3  x  C  3

APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL EJERCICIOS RESUELTOS 1) Un fabricante determina que el costo marginal es 3q 2  60q  400 dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las primeras 2 unidades es $900. ¿cuál es el costo total de producción de las primeras 5 unidades? Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,

dC  3q 2  60q  400 dq y por tanto, C debe ser la antiderivada de

C (q)  

dC , es decir dq

dC  (3q 2  60q  400)dq  q3  30q 2  400q  k dq 

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que C (2)  900 . En particular, 900   2   30  2   400  2   k 3

2

 k  212

De aquí, C (q)  q3  30q 2  400q  212

y el costo de producción de las primeras 5 unidades es C (5)   5  30  5  400  5  212  $1587 3

2

2) Se ha determinado que la población P(t ) de una cierta colonia de bacterias, t horas después de iniciar la observación, tiene un razón de cambio dP  200e0.1t  150e0.03t dt Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas después? Solución: dP La población P(t ) se encuentra antiderivando como se muestra a continuación: dt dP P(t )   dt   (200e0.1t  150e0.03t )dt dt



200e0.1t 150e0.03t  c 0.1 0.03

 2000e0.1t  5000e0.03t  c 12

Como la población es de 200000 cuando t  0 , se tiene que P(0)  200000  2000e0  5000e0  c

 200000  3000  c  c  203000

Así, P(t )  2000e0.1t  5000e0.03t  203000

Entonces, después de 12 horas, la población es

P(12)  2000e0.1(12)  5000e0.03(12)  203000  206152 3) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses? Solución: Sea S (t ) el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado después de t meses es de 10000  2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es dS  costo mensual  número de      0.01(10000  2000t ) dt  por kilogramo  kilogramos  Se deduce que S (t ) es una antiderivada de 0.01(10000  2000t )  100  20t

Es decir,

dS dt   (100  20t )dt  100t  10t 2  c dt Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento (cuando t  0 ) no hay costo, por lo que S (t )  

0  100(0)  10(0)2  c  c  0

De aquí, S (t )  100t  10t 2

Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será S (5)  100(5)  10(5)2  $250

4) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por completo? Solución: Sea s(t ) la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como el automóvil desacelera a 22pies/s 2 , se tiene que a(t )  22 ; es decir,

dv  a(t )  22 dt Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por v(t )   22dt  22t  C1

13

Para calcular C1 , observe que v  66 cuando t  0 , de modo que

66  v(0)  22(0)  C1  C1  66 Por lo que la velocidad en el momento t es v(t )  22t  66 . A continuación, para encontrar la distancia s(t ) , se inicia con el hecho de que

ds  v(t )  22t  66 dt E integrando se tiene que s(t )   (22t  66)dt  11t 2  66t  C2

Como s(0)  0 , se deduce que C2  0 y s(t )  11t 2  66t

Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene cuando v(t )  0 , lo cual sucede cuando v(t )  22t  66  0 Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido s(3)  11(3)2  66(3)  99pies

5) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de t meses la población P(t ) de una cierta ciudad cambiará a razón de P '(t )  4  5t 2/3 personas por mes. Si la población actual es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses? Solución: dP La población P(t ) se encuentra antiderivando como se muestra a continuación: dt P(t )  

 t 5/3  dP 5/3 dt   (4  5t 2/3 )dt  4t  5    C  4t  3t  C dt 5/ 3

Como la población es de 10000 cuando t  0 , se tiene que P(0)  10000  4  0   3  0 

5/3

C

 C  10000

Así, P(t )  4t  3t 5/3  10000

Entonces, después de 8 meses, la población es P(8)  4 8  38

5/3

 10000  10128

6) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma memorizar aspectos de una lista dada. Sea M (t ) el número de aspectos que puede memorizar en t minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como M '(t )  0.4t  0.005t 2

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos? b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo t  10 al t  20 )? Solución: dM El número de aspectos M (t ) que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando como se dt muestra a continuación: 14

M (t )  

 t3   t2  dM dt   (0.005t 2  0.4t )dt  0.005    0.4    C dt 3 2

0.005 3 t  0.2t 2  C 3 Como M (t ) es 0 cuando t  0 (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún aspecto de la 

lista dada), se tiene que 0  M (0)

0.005 3  0  0.2  02  C 3  C 0 0

Así,

0.005 3 t  0.2t 2 3 a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es 0.005 M (10)   103  0.2 102  18.33 3 b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos es ΔM  M (20)  M (10) M (t )  

0.005  0.005    203  0.2  202     103  0.2 102  3 3      66.66  18.33  48.33 7) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será R '(q)  200q 1/2 dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q unidades. Se ha determinado que el costo marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es $2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando el nivel de producción sea de 36 unidades? Solución: Recuerde que utilidad marginal  ingreso marginal  costo marginal Así, si P '(q)  utilidad marginal R '(q)  ingreso marginal C '(q)  costo marginal

Entonces P '(q)  R '(q)  C '(q)  200q 1/2  0.4q

Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P( x) . Entonces,

dP  200q 1/2  0.4q dq y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de P( q)  

dP , así dq

 q1/2   q2  dP   200q 1/2  0.4q dq  200    0.4    k dq 1/ 2   2 





 400q1/2  0.2q 2  k

para alguna constante k . 15

El valor de k se determina por el hecho de que P(25)  2000 . Así, 2000  P(25) 2000  400  25

 0.2  25   k

1/2

2

 k  125

De aquí, la función utilidad es P( x)  400q1/2  0.2q2  125

y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es P(36)  400  36 

1/2

 0.2  36   125 2

 $2265.8

8) TERAPIA CONTRA EL CANCER. Un nuevo procedimiento médico se aplica a un tumor canceroso que tiene un volumen de 30 cm3, y t días después se determina que el volumen cambia a la tasa V '(t )  0.15  0.09e0.006t cm3 /día

a) Determine una fórmula del volumen del tumor después de t días. b) ¿Cuál es el volumen luego de 60 días? ¿Cuál es después de 120 días? c) A fin que el procedimiento sea exitoso, no deberán transcurrir más de 90 días para que el tumor comience a disminuir. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento? Solución: dV El volumen V (t ) del tumor canceroso, se encuentra antiderivando como se muestra a dt continuación: dV 0.09 0.006t V (t )   dt   (0.15  0.09e0.006t )dt  0.15t  e C dt 0.006

 0.15t  15e0.006t  C Como el volumen del tumor es V  30cm3 cuando t  0 , se tiene que 30  V (0) 30  0.15  0  15e

0.006 0

C

 C  45

Así, a) La fórmula del volumen del tumor es V (t )  0.15t  15e0.006t  45

b) El volumen del tumor luego de 60 días es V (60)  0.15  60   15e

0.006 60

 45

 32.5cm3

El volumen del tumor luego de 120 días es V (120)  0.15 120   15e

0.006120

 45

 32.18cm3

c) El volumen del tumor luego de 90 días es V (90)  0.15  90   15e

0.006 90

 45

 32.75cm3

Por lo tanto el procedimiento no es exitoso ya que el tumor no ha disminuido, más bien ha aumentado 2.75cm3 con respecto al volumen inicial. 16

9) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas más tarde se incrementaba a una tasa de T '(t )  7e0.35t o C/h

a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas. b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas? c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que se descongela la carne? Solución: dT La temperatura T (t ) de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando como se dt muestra a continuación: dT 7 T (t )   dt   (7e0.35t )dt  e0.35t  C dt 0.35

 20e0.35t  C Como la temperatura de la carne es T  4 o C cuando t  0 , se tiene que 4  T (0) 0.35 0

4  20e  C  16

C

Así, a) La fórmula para la temperatura de la carne es T (t )  20e0.35t  16

b) La temperatura de la carne después de 2 horas es

T (2)  20e

0.35 2

 16  6.068 C

c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele, resolvamos la siguiente ecuación T (t )  20e0.35t  16  10   20e0.35t  6

 e0.35t 



3 10



3  ln e0.35t  ln    10 

3   0.35t ln e  ln    10   3   0.35t  ln    10   3 ln   10  t   0.35  t  3.4399hrs 10) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal forma que su altura h(t ) después de t años cambia a una razón de h '(t )  0.2t 2/3  t pies/año

17

Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años? Solución: dh La altura h(t ) de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando como se muestra a dt continuación: h(t )  

 t 5/3   t 3/2  dh dt   (0.2t 2/3  t )dt  0.2       C dt 5/ 3 3/ 2

2  0.12t 5/3  t 3/2  C 3 Como la altura del árbol es h  2 cuando t  0 , se tiene que 2  h(0)

2  0.12  0 

5/3



2 3/2  0  C 3

 C2

De aquí,

2 h(t )  0.12t 5/3  t 3/2  2 3 y la altura del árbol dentro de 27 años es 2 5/3 3/2 h(27)  0.12  27    27   2  124.69m 3 11) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto bien es C '(q)  3q2  24q  48 dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades? Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,

dC  3q 2  24q  48 dq y por tanto, C (q) debe ser la antiderivada de

C (q)  

dC , así dq

dC 24   (3q 2  24q  48)dq  q3  q 2  48q  k dq 2

 q3  12q 2  48q  k

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que C (10)  5000 . En particular, 5000  C(10)

5000  10   12 10   48 10   k 3

2

 k  4720

De aquí, la función del costo total es C (q)  q3  12q 2  48q  4720

y el costo de producción de 30 unidades es C (30)   30  12  30  48  30   4720  $22360 3

2

18

12) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto artículo es R '(q)  4q  1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades? Solución: Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso R(q) . Entonces,

dR  4q  1.2q 2 dq y por tanto, R(q) debe ser la antiderivada de

R(q)  

dR , así dq

dR 1.2 4  (1.2q 2  4q)dq   q3  q 2  C  0.4q3  2q 2  C dq 3 2

para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que R(20)  30000 . En particular, 30000  R(20) 30000  0.4  20   2  20   C 3

2

 C  32400

De aquí, el ingreso total es R(q)  0.4q3  2q 2  32400

y el ingreso por la producción de 40 unidades es R(40)  0.4  40   2  40   32400  $10000 3

2

13) UTILIDAD MARGINAL. La utilidad marginal de un bien es P '(q)  100  2q cuando se producen q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700. a) Determine la función utilidad. b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima? Solución: a) Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P(q) . Entonces,

dP  100  2q dq y por tanto, P(q) debe ser la antiderivada de

P( q )  

dP , así dq

dP 2  (2q  100)dq   q 2  100q  C  q 2  100q  C dq 2

para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que P(10)  700 . En particular, 700  P(10) 700   10  100 10  C 2

 C  200

De aquí, la función utilidad es P(q)  q 2  100q  200

19

b) Para determinar el nivel de producción q que proporciona la utilidad máxima, se debe de igualar la utilidad marginal a cero y resolver la ecuación para q , es decir P '(q)  0  100  2q  0  q  50

Para verificar si justamente el valor hallado proporciona la utilidad máxima se hace uso del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segundo derivada y reemplazar q  50 en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces q  50 sería el nivel de producción que proporciona la máxima ganancia. En efecto P ''(q)  2 Podemos notar que la segunda derivada es negativa para cualquier valor de q , e particular para q  50 . Por lo tanto el nivel de producción que maximiza la utilidad es q  50 y la utilidad

máxima es P(50)    50   100  50   200 2

 2500  5000  200  $ 2300

14) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es P '( x)  4  6 x  3x2 , y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentra la función de utilidad. Solución: Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad P( x) . Entonces,

dP  3x 2  6 x  4 dx

dP , así dx dP 3 6 P( x)    (3x2  6 x  4)dx  x3  x 2  4 x  C  x3  3x 2  4 x  C dx 3 2 para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que P(0)  40 . En particular, y por tanto, P( x) debe ser la antiderivada de

40  P(0) 40   0  3 0   4  0   C 3

2

 C  40

De aquí, la función utilidad es P( x)  x3  3x2  4 x  40

15) Si el costo marginal mensual de un producto es C '( x)  x2  110 x  2800 , Encuentre la función del costo total, si el costo fijo es de $5000. Solución: Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,

dC  x2  110 x  2800 dx y por tanto, C ( x) debe ser la antiderivada de

C ( x)  

dC , así dx

dC x3 110 2   ( x 2  110 x  2800)dx   x  2800 x  k dx 3 2

20

x3  55 x 2  2800 x  k 3 para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión con la función del costo C ) El valor de k se determina por el hecho de que Costo fijo  C (0)  5000 . En particular, 

5000  C (0) 3 0  5000   55

3  k  5000

 0 2  2800  0   k

De aquí, la función del costo total es

C ( x) 

x3  55 x 2  2800 x  5000 3

16) Si el ingreso marginal mensual por un producto es R '( x)  1,5x  30 , Encuentre la función del ingreso total. Solución: Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso R( x) . Entonces,

dR  1.5 x  30 dx y por tanto, R( x) debe ser la antiderivada de

R( x)  

dR , así dx

dR 1.5 2  (1.5x  30)dx   x  30 x  C  0.75x 2  30 x  C dx 2

para alguna constante C . El valor de C se determina por el hecho de que R(0)  0 . En particular, 0  R(0)

0  0.75  0   30  0  C 2

 C 0

De aquí, la función del ingreso es R( x)  0.75x2  30 x

17) La Dewitt Company ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio de su producto es de 1 100 C '( x)   2 , donde x es el número de unidades y el costo se da en dólares. El costo promedio de 4 x producir 20 unidades es de 40 dólares. a) Encuentre la función de costo promedio del producto. b) Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto. Solución: a) Recuerde que la razón de cambio del costo promedio es la derivada de la función del costo promedio C ( x) . Entonces,

dC 1 100   dx 4 x 2 y por tanto, C ( x) debe ser la antiderivada de

dC , así dx

21

C ( x)  

dC  1 100  1 100    2 dx   dx   2 dx dq 4 x 4 x 

1 x x 1 x  100 x 2 dx   100 k 4 4 1 x 100   k 4 x para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión 

con la función del costo promedio C ) El valor de k se determina por el hecho de que C (20)  40 . En particular, 40  C (20)

20 100  k 4 20  k  30 40 

De aquí, la función del costo promedio es x 100 C ( x)    30 4 x b) El costo promedio de 100 unidades es 100 100 C (100)    30  $56 4 100

22

TECNICAS DE INTEGRACION I. SUSTITUCION ALGEBRAICA O CAMBIO DE VARIABLE. En esta sección estudiaremos una técnica para integrar funciones compuestas, la cual es el cambio de variable. PRIMITIVA DE UNA FUNCION COMPUESTA Sea g una función compuesta cuyo recorrido es un intervalo I , y sea f una función continua en I . Si

g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I , entonces

 f  g ( x) g '( x)dx  F  g ( x)   C Si u  g ( x) , entonces du  g '( x)dx y

 f  g ( x) g '( x)dx   f u  du  F (u)  C ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE 1. Elegir una sustitución u  g ( x) . En general, conviene elegir la parte interna de alguna función compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia. 2. Hallar du  g '( x)dx . 3. Reescribir la integral dada en términos de u . 4. Hallar la resultante en u . 5. Sustituir u por g ( x) para obtener la primitiva en términos de x . 6. Verificar la respuesta por derivación (opcional). EJERCICIOS RESUELTOS 1) Hallar  sin 2 3x cos3x dx Solución: En primer lugar, sea u  sin3x . Su diferencial es du  3cos3x dx . Ahora, puesto que cos3x dx es parte de la integral dada, podemos escribir du  cos3x dx 3 du Finalmente sustituyendo u y en la integral dada se obtiene 3 2 2  du  integral en términos de u  sin 3x cos3x dx   u  3 



1 2 u du 3

1  u3      C 3 3 

1  u3  C 9 1 3   sin 3x   C 9 1  sin3 3x  C 9

primitiva en términos de u

primitiva en términos de x

2) Hallar  e1 x dx 23

Solución: En primer lugar, sea u  1  x . Su diferencial es du  dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir dx  du Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene 1 x

e

dx   eu  du 

integral en términos de u

  eu du   eu  C

 

primitiva en términos de u

 e1 x  C

primitiva en términos de x

3) Hallar  (ax  b)n dx Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, 1 u  ax  b  du  adx  dx  du a Reemplazando en la integral dada, se tiene

1 n 1 u n1 1 (ax  b)n1 n n 1 ( ax  b ) dx  u du  u du    C  C   a a a n 1 a n 1 4) Hallar

dx

 (ax  b)

Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, 1 u  ax  b  du  adx  dx  du a Reemplazando en la integral dada, se tiene dx 11 1 du 1 1  (ax  b)   u adu  a  u  a  ln u  C  a ln ax  b  C 5) Hallar  eax b dx Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, 1 u  ax  b  du  adx  dx  du a Reemplazando en la integral dada, se tiene 1 u 1 u 1 ax b ax b u 1  e dx   e adu  a  e du  a  e  C  a e  C 6) Hallar  sin(ax  b)dx Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, 1 u  ax  b  du  adx  dx  du a Reemplazando en la integral dada, se tiene 24

1

1

1

1

 sin(ax  b)dx   sin u adu  a  sin udu   a  cos u  C   a cos(ax  b)  C 7) Hallar  cos(ax  b)dx Solución: Hágase el siguiente cambio de variable, 1 u  ax  b  du  adx  dx  du a Reemplazando en la integral dada, se tiene 1 1 1 1  cos(ax  b)dx   cos u adu  a  cos udu  a  sin u  C  a sin(ax  b)  C 8) Hallar

  2 x  5

5

dx

Solución: Por el ejercicio 3) se tiene, 5   2 x  5 dx 

9) Hallar



1 (2 x  5)6 (2 x  5)6 C  C 2 6 12

2 x  1dx

Solución: Por el ejercicio 3) se tiene,



3x  1dx   (3x  1)1/2 dx 

1 (3x  1)1/21 1 (3x  1)3/2 C  C 3 1/ 2  1 3 3/ 2

2  (3x  1)3/2  C 9

10) Hallar  cos(7 x  3)dx Solución: Por el ejercicio 7) se tiene, 1  cos(7 x  3)dx  7 sin(7 x  3)  C 11) Hallar

x

2 x  1dx

Solución: En primer lugar, sea u  2 x  1 . Su diferencial es du  2dx , de aquí dx  contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así u 1 u  2x 1  x  2 Ahora sustituyendo, se obtiene

x

1  u  1   du  1 1/2 3/2 1/2 2 x  1 dx    du  u      u  1 u du   u  u 4  2   2  4



1  u 5/2 u 3/2  1  2u 5/2  1  2u 3/2       C     C 45/ 2 3/ 2 4  5  4  3 

25



du . Como el integrando 2



12) Hallar

1 1  2 x  15/2   2 x  13/2  C 10 6

2 x4

 x5  1 dx

Solución: En primer lugar, sea u  x5  1 . Su diferencial es du  5x 4 dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir du dx  4 5x du Finalmente sustituyendo u y 4 en la integral dada se obtiene 5x 2 x4

 x5  1

13) Hallar





x2





2 x 4  du  2 du 2 2   ln u   C  ln x5  1  C  4   u  5x  5 u 5 5

dx  

x3  5



2

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x3  5 . Su diferencial es du  3x 2 dx . Ahora, puesto que x 2 dx es parte de la integral dada, podemos escribir du x 2 dx  3 du Finalmente sustituyendo u y en la integral dada se obtiene 3



x2

x

3

5



2

dx  

1

x

5

3



2

x 2 dx  

1  du  1 du 1 2   u du    u2  3  3 u2 3

1  u 1  1 1  1 1      C      C    3 C 3  1  3 u  3 x  5 

14) Hallar

2 3  x  x  1

3/4

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x3  1 . Su diferencial es du  3x 2 dx . Ahora, puesto que x 2 dx es parte de la integral dada, podemos escribir du x 2 dx  3 du Finalmente sustituyendo u y en la integral dada se obtiene 3 3/4 3/4 2 3 3 2 3/4  du  1 3/4  x x  1 dx   x  1 x dx   u  3   3  u du









1  u 7/4  4 7/4 4 3   x 1   C  u  C  3 7 / 4  21 21



26



7/4

C

15) Hallar

  x  1  x

2

 2x  5



12

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x2  2 x  5 . Su diferencial es du   2 x  2 dx  2  x  1 dx . Ahora, puesto que  x  1 dx es parte de la integral dada, podemos escribir

du 2

 x  1 dx 

Finalmente sustituyendo u y

  x  1  x

2

 2x  5



12

dx  



du en la integral dada se obtiene 2 12  du  1 x 2  2 x  5  x  1 dx   u12     u12 du  2  2



1  u13  1 13 1 2   x  2x  5   C  u  C  2  13  26 26



16) Hallar  2 xe x

2



13

C

1

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x 2  1 . Su diferencial es du  2 x dx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

 2xe

x2 1

17) Hallar

dx   e x

  3x

2

2

1



1 ex

2 xdx   eu du  eu  C  e x

3

x

2

1

C

dx

Solución:





En primer lugar, sea u  x3  x . Su diferencial es du  3x 2  1 dx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

  3x

2

18) Hallar



1 ex



3

x

dx   e x

10 x3  5 x x4  x2  6

3

x

3x  1 dx   e du  e 2

u

u

 C  ex

3

x

C

dx

Solución:









En primer lugar, sea u  x4  x2  6 . Su diferencial es du  4 x3  2 x dx  2 2 x3  x dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir du dx  2 2 x3  x





Finalmente sustituyendo u y



10 x3  5 x x4  x2  6



 5 2x  x

du

2 2 x3  x



3

dx  

x4  x2  6

dx  5

en la integral dada se obtiene

 2x

3

x u





du

2 2 x3  x





5 1/2 5  u1/2  1/2 4 2 u du     C  5u  C  5 x  x  6  2 2 1/ 2 



27

5 du 2 u



1/2

C

19) Hallar

x3

 3 x2  6 x  5 dx

Solución: En primer lugar, sea u  x2  6 x  5 . Su diferencial es du   2 x  6 dx  2  x  3 dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir du dx  2  x  3 Finalmente sustituyendo u y x3

 3 x2  6 x  5 dx  

du en la integral dada se obtiene 2  x  3

x  3 du 1 du 1   3   u 1/3du 3 u 2  x  3 2 u 2

1  u 2/3  3 2/3 2     C  u  C  5 x  6 x  5 2 2/ 3 4



20) Hallar



2/3

C

6x  3

 4 x2  4 x  1 dx

Solución: En primer lugar, sea u  4 x2  4 x  1 . Su diferencial es du  8x  4 dx  4  2 x  1 dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir du dx  4  2 x  1 Finalmente sustituyendo u y

du en la integral dada se obtiene 4  2 x  1

3  2 x  1

6x  3

 4 x2  4 x  1 dx   4 x2  4 x  1 dx  3 

21) Hallar



u

du 4  2 x  1





3 du 3 3   ln u   C  ln 4 x 2  4 x  1  C  4 u 4 4

3x  3



 2 x  1

x2  2x  6



2

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x2  2 x  6 . Su diferencial es du   2 x  2 dx  2  x  1 dx . Ahora, puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir du dx  2  x  1 Finalmente sustituyendo u y



3x  3

x

2

 2x  6



dx   2

x

du en la integral dada se obtiene 2  x  1

3  x  1 2

 2x  6



dx  3 2

 x  1 du 3 du 3   2   u 2 du 2  u  2  x  1 2 u 2

3  u 1  3 1  3 1      C      C    2 C 4  1  4u  4  x  2x  6 

28

22) Hallar

x

 3 4  3x dx

Solución: En primer lugar, sea u  4  3x , de donde du  3dx , de aquí dx  

du . Como el integrando contiene 3

el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así 4u u  4  3x  x  3 Ahora sustituyendo, se obtiene 4u x 4  u  du  1 4u 3  du   3 4  3x dx   3 u   3    33 u  3    9  3 u du  

23) Hallar



x

1 1 1  u 2/3 u 5/3  1/3 1/3 2/3 4  u u du   4 u  u du      4 C 9 9 9  2 / 3 5 / 3 





1 1  3u 5/3  2 1 2/3 5/3 6u 2/3     C    4  3x    4  3x   C 9 9 5  3 15







1



x 1

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x  1 . Su diferencial es du 

dx 2 x

. Ahora, puesto que dx es parte de la

integral dada, podemos escribir

dx  2 xdu xdu en la integral dada se obtiene 1 du 2 xdu  2  2ln u  C  2ln x  1  C u x u 

Finalmente sustituyendo u y



x



24) Hallar

1



x 1



dx  

2 x ln( x 2  1) x2  1





dx

Solución: En primer lugar, sea u  ln( x 2  1) . Su diferencial es du 

2 xdx

x2  1 Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene



2 x ln( x 2  1) x2  1



.



x2  1 u2 2 dx   ln( x  1) 2 dx   udu  C  2 2 x 1

1 1  25) Hallar  2   1 x x  Solución:

2x

2

C

2/3

dx

1 dx  1 . Su diferencial es du   2 . Ahora, puesto que dx es parte de la x x integral dada, podemos escribir En primer lugar, sea u 

dx   x2 du 29

Finalmente sustituyendo u y  x 2 du en la integral dada se obtiene

1 1   x2  x  1

2/3

dx  

1 x

2

 u 2/3   x2 du    u 2/3du

1  3   1 5/3 u x   C   5/3 5 26) Hallar



3 2 x 4 x



1/2

5/3

C

dx

Solución: En primer lugar, sea u  4  x2 , de donde du  2 xdx , de aquí dx  

du . 2x

Ahora sustituyendo, se obtiene 3 2  x 4  x 

1/2

dx   x3  u 

1/2 

du  1 2 1/2       x u du 2  2x 

Como el integrando contiene el factor x 2 , debemos de expresar x 2 en términos de u , así

u  4  x2  x2  4  u Finalmente reemplazando x 2 en la última integral, se tiene 1/2 1 1 1 3 2 dx    x 2u 1/2 du      4u 1/2  u1/2 du x 4 x 2 2 2









1   u1/2  u 3/2  1  1/2 2 3/2     4    C   8u  u   C   2   1 / 2  3 / 2  2 3 



1  4u1/2  u3/2  C  4 4  x 2 3 27) Hallar

1/3 2/3  x  x  1

3/2



1/2





1 4  x2 3



3/2

C

dx

Solución: En primer lugar, sea u  x2/3  1 , de donde du 

2 1/3 3 x dx , de aquí dx  x1/3du . 3 2

Ahora sustituyendo, se obtiene





1/3 2/3  x x 1

3/2

3/2  3 1/3

dx   x1/3  u 

3 2/3 3/2  3 1/3 3/2 1/3  x du    x u x du   x u du 2 2  2

Como el integrando contiene el factor x 2/3 , debemos de expresar x 2/3 en términos de u , así

u  x2/3  1  x2/3  u  1 Finalmente reemplazando x 2/3 en la última integral, se tiene 3/2 3 2/3 3/2 3 3 1/3 2/3 3/2 5/2 3/2  x x  1 dx  2  x u du  2   u  1 u du  2  u  u du









3  u 7/2 u 5/2  3  2 7/2 2 5/2     C   u  u C 2 7 / 2 5 / 2 2 7 5 









7/2 5/2 3 3 3 3  u 7/2  u5/2  C  x 2/3  1  x 2/3  1 C 7 5 7 5



28) Hallar  e2 x 1  e x



2

dx

30

Solución: En primer lugar, sea u  e x  1 , de donde du  e x dx , de aquí dx  e x du . Ahora sustituyendo, se obtiene 2x x  e 1  e 

2





dx   e2 x  u  e x du   e xu 2 du 2

Como el integrando contiene el factor e x , debemos de expresar e x en términos de u , así

u  ex  1  ex  u  1 Finalmente reemplazando e x en la última integral, se tiene 2x x  e 1  e 

2





29) Hallar



dx   e xu 2 du    u  1 u 2 du   u 3  u 2 du









4 1 3 u 4 u3 1   C  ex  1  ex  1  C 4 3 4 3

e2 x

 1  e x dx

Solución: En primer lugar, sea u  e x  1 , de donde du  e x dx , de aquí dx  e x du . Ahora sustituyendo, se obtiene

e2 x

1 e

dx   x





e2 x  x ex e du   du u u

Como el integrando contiene el factor e x , debemos de expresar e x en términos de u , así

u  ex  1  ex  u  1 Finalmente reemplazando e x en la última integral, se tiene e2 x

1 e

dx   x

ex u 1  1 du   du   1   du u u  u

 u  ln u  C  e x  1  ln e x  1  C

30) Hallar  (sin3 e x )(cos e x )(e x )dx Solución: En primer lugar, sea u  sin e x . Su diferencial es du  e x cos e x dx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

 (sin

e )(cos e x )(e x )dx   (sin e x )3 (cos e x )(e x )dx   (u)3 du

3 x



31) Hallar



u4 1  C  sin e x 4 4



4

1  C  sin 4 e x  C 4

(2ln x  1)

 x(ln 2 x  ln x)dx

Solución:

 2ln x 1   2ln x  1    dx   En primer lugar, sea u  ln 2 x  ln x . Su diferencial es du    dx . x x  x   Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene (2ln x  1) 1 (2ln x  1) 1  x(ln 2 x  ln x)dx   (ln 2 x  ln x) x dx   u du 31





 ln u  C  ln ln 2 x  ln x  C

32) Hallar

sin 2 x

 1  cos2 x dx

Solución: En primer lugar, sea u  1  cos2 x . Su diferencial es du  2cos x sin xdx , 2cos x sin xdx  du . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene sin 2 x 2sin x cos x 1  1  cos2 x dx   1  cos2 x dx   1  cos2 x 2sin x cos xdx 1 1    du    du   ln u  C   ln 1  cos2 x  C u u





33) Hallar  asin x cos xdx Solución: En primer lugar, sea u  sin x . Su diferencial es du  cos xdx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene sin x u  a cos xdx   a du 

34) Hallar

au asin x C  C ln a ln a

t 2 dt

 (a  bt 3 )2

Solución: En primer lugar, sea u  a  bt 3 . Su diferencial es du  3bt 2 dt , de aquí t 2 dt  Finalmente sustituyendo u y



t 2 dt

 a  bt 

3 2

 

35) Hallar



1

 a  bt 

3 2

du en la integral dada se obtiene 3b

t 2 dx  

1 du 1   u 2 du (u )2 3b 3b

1  u 1  1 1 1 a  bt 3    C   u  C   3b  1  3b 3b



e x  sin x e x  cos x



1

C

dx

Solución:





En primer lugar, sea u  e x  cos x . Su diferencial es du  e x  sin x dx . Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene



e x  sin x e x  cos x

dx  

1 e x  cos x

  u 1/2 du 

e

x



 sin x dx  



1 u

u1/2  C  2 e x  cos x 1/ 2

32

du



1/2

C

du . 3b

de

aquí

36) Hallar

earctan x

 1  x2

dx

Solución: Hágase el siguiente cambio de variable dx u  arctan x  du  1  x2 Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

earctan x

 1  x2

dx   eu du  eu  C  earctan x  C

PROBLEMAS RESUELTOS 1) Se estima que el precio p (dólares) de cada unidad de un cierto artículo cambia a una tasa de dp 135 x  dx 9  x2 Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de unidades compradas a ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades ( x  4 ) cuando el precio es de $30 por unidad. a) Determine la función de la demanda b) ¿A qué precio se demandaran 300 unidades? ¿A qué precio no se demandara ninguna unidad? c) ¿cuántas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad? Solución: a) El precio por unidad demandada p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Para

efectuar esta integración, se emplea la sustitución 1 u  9  x 2 ,  du  2 xdx,  xdx  du , 2 y se obtiene p ( x)  

135 x 9  x2

dx  

135  1  135 1/2 135  u1/2  du  u du   C   2  2  1 / 2  u1/2  2 

 135 9  x2  C

Como p  30 cuando x  4 , se tiene que p(4)  30

135 9  42  C  30

C  30  135 25  705 Por tanto p( x)  135 9  x2  705

b) Cuando se demandan 300 unidades, x  3 y el precio correspondiente es p(3)  135 9  32  705  $132.24 por unidad

No se demanda ninguna unidad cuando x  0 y el precio correspondiente es p(0)  135 9  02  705  $300 por unidad

c) Para determinar el número de unidades demandadas a un precio unitario de $20 , se necesita resolver la ecuación 33

135 9  x2  705  20  135 9  x2  685



9  x2 

685 135

 9  x2  25.75  x 2  16.75

 x  4.09

Es decir, se demandaran aproximadamente 409 unidades cuando el precio sea de $20 por unidad. 2) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una tasa de 1 1 metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué altura  x  12 tenía cuando se trasplantó? Solución: La altura del árbol, h( x) , se determina integrando h '( x)  1 

1

 x  12

con respecto a x . Así

 1  dx dx dx   dx   h( x)   h '( x)dx   1   x 2 2   x  1   x  1  x  12   Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución (al segundo miembro del lado derecho) u  x  1,  du  dx ,

y se obtiene

h( x )  x  

dx

 x  12

 x

du

 u 2

 u 1   x   u 2 du  x     C  1 

1 1 C  x C u x 1 El valor de C se determina por el hecho de que h(2)  5 . Así,  x

5  h(2)

1 C 2 1 1  52 C 3 5  5 C 3 10  C 3 De aquí, 1 10 h( x )  x   x 1 3 Por lo tanto, la atura del árbol cuando este se trasplantó es 1 10 10 7 h(0)  0    1   m 0 1 3 3 3  52

34

3) VENTAS AL MENUDEO. En cierta sección del país, se estima que dentro de t semanas, el precio del pollo crecerá a una tasa de p '(t )  3 t  1 centavos por kilogramo por semana. Si actualmente el pollo cuesta $3 por kilogramo, ¿cuánto costará dentro de 8 semanas? Solución: El precio del pollo , p( x) , se determina integrando p '(t )  3 t  1 con respecto a t . Así p(t )   p '(t )dt  3 t  1 dt

Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución u  t  1  du  dt , y se obtiene  u 3/2  p(t )   3 t  1 dt  3 u dt  3 u1/2 du  3    C 3 / 2  

 2u3/2  C  2  t  1

3/2

C

Por dato del problema, p  300 (pues el precio está dado en centavos) cuando t  0 , así se tiene 300  p(0)

 300  2  0  1

3/2

C

 300  2  C  C  298

De aquí, p(t )  2  t  1

3/2

 298

Por lo tanto, el precio del pollo después de 8 semanas es p(8)  2  8  1

3/2

 298  2  9 

3/2

 298  2  27  298

 352centavos  $3.52

4) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será

R '( x)  50  3.5xe0.01x dólares por unidad, donde R( x) es el ingreso en dólares. 2

a) Determine R( x) , suponiendo que R(0)  0 . b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? Solución: a) El ingreso R( x) se determina integrando R '( x) con respecto a x . Así





R( x)   R '( x)dx   50  3.5 xe0.01x dx   50dx   3.5 xe0.01x dx 2

2

 50 x  3.5 xe0.01x dx 2

Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitución du u  0.01x 2 ,  du  0.02 xdx  xdx   , 0.02 y se obtiene 2 2  du  R( x)  50 x  3.5 xe 0.01x dx  50 x  3.5 e 0.01x xdx  50 x  3.5 eu     0.02  2 3.5 u  50 x  e du  50 x  175eu  C  50 x  175e 0.01x  C  0.02

El valor de C se determina por el hecho de que R(0)  0 . Así, 0  R(0)

35

 0  50  0   175e

0.01 0 

2

C

 0  175  C

 C  175

Por tanto

R( x)  50 x  175e0.01x  175 2

b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es R(1000)  50 1000   175e

0.011000

2

 175

 $50175

5) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma aproximadamente circular, con radio R(t ) pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio crece a una tasa de

21 pies/min 0.07t  5 a) Determine una expresión para el radio R(t ) , suponiendo que R  0 cuando t  0 . R '(t ) 

b) ¿Cuál es el área A  πR2 del derrame después de 1 hora? Solución: a) El radio R(t ) se determina integrando R '(t ) con respecto a t . Así

 21  R(t )   R '(t )dt    dt  0.07t  5  Para realizar a integración, se emplea la sustitución du u  0.07t  5,  du  0.07dt  dt  , 0.07 y se obtiene  21   1  du  21 du R(t )    dt  21      0.07t  5   u  0.07  0.07 u  300ln u  C  300ln  0.07t  5   C

El valor de C se determina por el hecho de que R(0)  0 . Así, 0  R(0)

 0  300ln  0.07  0   5  C  0  300ln  5  C

 C  482.83

Por tanto R(t )  300ln  0.07t  5  482.83 b) La función área es A(t )  π  R(t )  π 300ln  0.07t  5  482.83 Así el área del derrame después de una hora (60 minutos) es 2

2

A(60)  π 300ln  0.07  60   5  482.83  4144581.89 pies2

36

2

6) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración C (t ) en miligramos por centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de 0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de C '(t ) 

0.01e0.01t

e

0.01t



1

mg/cm3 por minuto.

2

Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm3. a) Determine una expresión para C (t ) . b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora? Solución: a) El concentración C (t ) se determina integrando C '(t ) con respecto a t . Así C (t )   C '(t )dt  

0.01e0.01t





e0.01t  1

2

dt

Para realizar a integración, se emplea la sustitución u  e0.01t ,  du  0.01e0.01t dt ,

y se obtiene C (t )  

0.01e0.01t





e0.01t  1

dt   

2

1





e0.01t  1

2

0.01e0.01t dt   

1

 u 2

du

u 1 1 1  C   C  0.01t C 1 u e 1 Por dato del problema, C  0.5 cuando t  0 , así se tiene 0.5  R(0)    u 2 du  

 0.5 

1 0.01 0 

e 1 1  0.5   C 2  C 0

C

Por tanto C (t ) 

1 e

0.01t

1

b) La concentración después de una hora (60 minutos) es 1 C (60)  0.01 60  0.354 mg/cm3   e 1 7) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor V (t ) de una hectárea de tierra cultivable crecerá a una tasa de

V '(t ) 

0.4t 3

0.2t 4  8000 dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea. a) Determine V (t ) b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años? Solución: a) El valor V (t ) se determina integrando V '(t ) con respecto a t . Así 37

0.4t 3

V (t )   V '(t )dt  

dt 0.2t 4  8000 Para realizar a integración, se emplea la sustitución u  0.2t 4  8000,  du  0.8t 3dt ,  t 3dt 

du , 0.8

y se obtiene

V (t )   

0.4t 3 0.2t 4  8000

dt  0.4

1 0.2t 4  8000

t 3dt  0.4

1  du    u  0.8 

0.4 du 1 1/2 1  u1/2  1/2   u du     C  u  C  0.8 u 2 2 1/ 2 

 0.2t 4  8000  C

Por dato del problema, V  500 cuando t  0 , así se tiene 500  V (0)  500  0.2  0   8000  C 4

 500  8000  C

 C  410.55

Por tanto V (t )  0.2t 4  8000  410.55

b) El valor de la tierra dentro de 10 años será V (10)  0.2 10   8000  410.55  $510.55 4

8) CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono L(t ) a las 7:00 a.m. es de 0.25 partes por millón (ppm). Una predicción del clima anticipa que el nivel de ozono t horas más tarde cambiará a una tasa de 0.24  0.03t L '(t )  36  16t  t 2 partes por millón por hora (ppm/h). a) Exprese el nivel de ozono L(t ) como una función de t . b) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Cuál es el nivel máximo? Solución: a) El nivel de ozono L(t ) se determina integrando L '(t ) con respecto a t . Así L(t )   L '(t )dt  

0.24  0.03t

dt 36  16t  t 2 Para realizar a integración, se emplea la sustitución

u  36  16t  t 2 ,  du  16  2t  dt  2(8  t )dt ,  (8  t )dt 

du , 2

y se obtiene 0.24  0.03t 0.03(8  t ) 1 L(t )   dt   dt  0.03 8  t dt 2 2 36  16t  t 36  16t  t 36  16t  t 2

38

 0.03

1 du 0.03 1/2 0.03  u1/2  1/2  u du     C  0.03u  C 2  2  1 / 2  u 2

 0.03 36  16t  t 2  C

Por dato del problema, L  0.25 cuando t  0 (pues las 7:00 a.m. es la hora de inicio), así se tiene 0.25  L(0)  0.25  0.03 36  16  0    0   C 2

 0.25  0.03 36  C

 C  0.07

Por tanto L(t )  0.03 36  16t  t 2  0.07

b) Para determinar cuando ocurre el nivel máximo de ozono, se debe de igualar la tasa de variación de ozono a cero, es decir 0.24  0.03t 0.24 L '(t )  0    0  0.24  0.03t  0  t  8 2 0.03 36  16t  t Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel máximo de ozono, se hace uso del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segunda derivada de L(t ) y reemplazar

t  8 en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces en t  8 se alcanza el nivel máximo de ozono y este nivel máximo se determina reemplazando t  8 en L(t ) . En efecto L ''(t )  

3 3

t 2  16t  36 Reemplazando t  8 en L ''(t ) , se tiene L ''(8)  

3   8  16 8   36 2

3

 0.003

Por lo tanto el nivel máximo de ozono ocurre cuando t  8 , es decir a las 3 p.m. Así el nivel máximo de ozono es L(8)  0.06 36  16 8  8  0.11  0.49 ppm 2

9) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por x p '( x)   x  3 2 dólares por unidad, donde p( x) es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las x unidades se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad. a) Determine la función de oferta p( x) (precio). b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar para que se vendan todas las unidades? Solución: a) El precio p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Así

p( x)   p '( x)dx 

x

 x  3 2

dx

Para realizar a integración, se emplea la sustitución 39

u  x  3,  du  dx,

y se obtiene

p( x)  

x

 x  3

2

dx  

x

 u 2

du

Como el integrando contiene el factor x , debemos de expresar x en términos de u , así u  x 3 x  u 3 Finalmente reemplazando u  3 en la última integral, se tiene u 3 1 3 1 3  p( x)   2 du     2 du   du   2 du  ln u  3 u 2 du u u u u u   u 1  3 3  ln u  3  C   C  ln u   C  ln  x  3  u x3  1  Por dato del problema, p  2.20 cuando x  5 , así se tiene

2.20  p(5)

 2.20  ln 5  3 

3 C 53

3  2.20  ln 8   C 8  C  0.254 Por tanto

p( x)  ln x  3 

3  0.254 x3

b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( x  10 ) alimentos es

p(10)  ln 10  3  p(10)  ln 13 

3  0.254 10  3

3  0.254 13

p(13)  $2.54

10) DEMANDA. El gerente de una zapatería determina que el precio p (dólares) por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de 300 x p '( x)  3/2 x2  9





cuando los consumidores demandan x (miles) de pares. Cuando el precio es de $75 por par, son demandados 4000 pares ( x  4 ). a) Determine la función de demanda p( x) (precio). b) ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué pecio no se demandarán zapatos deportivos? c) ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de $90 por par? Solución: a) El precio p( x) se determina integrando p '( x) con respecto a x . Así

40

p( x)   p '( x)dx  

300 x



x2  9



3/2

dx

Para realizar a integración, se emplea la sustitución du u  x 2  9,  du  2 xdx,  xdx  2 y se obtiene 300 x 1 1  du  p ( x)   dx  300 xdx  300 3/2   3/2 3/2 u   2  x2  9 x2  9









 u 1/2  300  150 u 3/2 du  150  C    C  u  1 / 2  Por dato del problema, p  75 cuando x  4 , así se tiene

300 x2  9

C

75  p(4)

300

 75 

 75 

 4 300 25

2

9

C

C

 C  15

Por tanto p ( x) 

300 x2  9

 15

b) Para que se demanden 500 pares de zapatos ( x  0.5 ), el precio que se debe cobrar es 300 p(0.5)   15  $113.64  0.52  9 Para que ningún par de zapatos se demande ( x  0 ), el precio que se debe cobrar es 300 p(0)   15  $115 2  0  9 c) Para encontrar la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a un precio de 90, resolvemos la siguiente ecuación 90  p( x)  90   75 

300 x2  9 300

 15

x2  9

 75 x 2  9  300



x2  9 

300 75

 x2  9   4

2

 x2  7  x  7  2.646

41

Por lo tanto, la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a este precio será aproximadamente 2646

II.

POR PARTES En esta sección estudiaremos una técnica muy importante de integración, llamada integración por partes. Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es particularmente eficaz para integrandos donde aparecen productos de funciones algébricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona muy bien para resolver integrales como

 x ln xdx,

 x e dx, 2 x

e

x

sin xdx

La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto d dv du  uv   u  v  uv ' vu ' dx dx dx Donde u y v son funciones derivables de x . Si u ' y v ' son continuas, podemos integrar ambos lados para llegar al resultado uv   uv ' dx   vu ' dx   udv   vdu

Reescribiendo esta ecuación se obtiene el siguiente teorema. TEOREMA: Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces

 udv  uv   vdu Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y de dv , puede ocurrir que la segunda integral sea más fácil que la original. Como las elecciones de u y de dv son críticas para la buena marcha del método, damos unas indicaciones sobre como proceder ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES 1. Para el cálculo de la integral

 f ( x)dx , donde el integrando,

f ( x) , es de la forma mostrada abajo, se

escoge u y dv como sigue: a) Si f ( x)  p( x)e x  u  p( x); dv  e x dx b) Si f ( x)  p( x)ln( x)  u  ln( x); dv  p( x)dx c) Si f ( x)  p( x)  sin x,cos x   u  p( x); dv  sin x,cos x  dx d) Si f ( x)  e x  sin x,cos x   u   sin x,cos x  ; dv  e x dx

2. Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica de integración y como u el factor restante del integrando 3. Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y como dv el factor restante del integrando. EJERCICIOS RESUELTOS Calcular las siguientes integrales 42

1)

 xe dx x

Solución: Según la estrategia 1. a), se elige u y dv como sigue   u  x du  dx    x v  e x dx  e x   dv  e dx   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así

 xe dx  xe   e dx  xe x

2)

x

2

x

x

x

 ex  C

ln xdx

Solución: Según la estrategia 1. b), se elige u y dv como sigue dx  du   u  ln( x )  x      2 3  dv  x dx v  x 2 dx  x  3   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así 2  x ln xdx  ln( x)

3)

x3 x3 dx x3 1 x3 x3   ln( x)   x 2 dx  ln( x)   C 3 3 x 3 3 3 9

 x sin xdx Solución: Según la estrategia 1. c), se elige u y dv como sigue  u  x du  dx    v  sin xdx   cos x dv  sin x dx    Se sabe que

 udv  uv   vdu Así

 x sin xdx   x cos x    cos x dx   x cos x   cos x dx   x cos x  sin x  C 4)

e

x

cos xdx

Solución: Según la estrategia 1. d), se elige u y dv como sigue   u  cos x du   sin x dx    x v  e x dx  e x   dv  e dx   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así 43

e

x

cos x dx  cos( x) e x   e x ( sin x dx)  cos( x) e x   e x sin x dx

Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración por partes, así haciendo   u  sin x du  cos xdx    x v  e x dx  e x   dv  e dx  

Se tiene

e

x



cos x dx  cos( x) e x   e x sin x dx  cos( x) e x  sin( x)e x   e x cos x dx



por lo tanto

e

x

cos x dx   e x cos x dx  cos( x) e x  sin( x)e x

 2 e x cos x dx  cos( x) e x  sin( x)e x



x  e cos x dx 

cos( x) e x  sin( x)e x C 2

e x (1  x ln x) dx  x Solución: En primer lugar separemos las integrales, es decir

5) Hallar

e x (1  x ln x) ex x dx    x dx   e ln xdx x Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la técnica de integración por partes. Elijamos u y dv como sigue 1  u  ln x du  x dx   x dv  e dx v  e x dx  e x   Así, e x (1  x ln x) ex ex   x x x 1 dx  dx  e ln xdx   x   x dx   ln( x) e   e x dx  x  e x ln( x)  C

6)

 ln(sin x)cos xdx Solución: Se elige u y dv como sigue

cos x  u  ln(sin x) du  sin x dx    dv  cos x dx v  cos xdx  sin x   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así

cos x

 ln(sin x)cos xdx  ln(sin x)sin x   sin x sin x dx  ln(sin x)sin x   cos x dx  sin x ln(sin x)  sin x  C

7)

 (2 x  1)e

2 x 3

dx

44

Solución: Se elige u y dv como sigue

du  2dx u  2 x  1     e 2 x 3 2 x 3 2 x 3 dx dx  dv  e v   e 2  Se sabe que

 udv  uv   vdu Así 2 x 3  (2 x  1)e dx  (2 x  1)

 (2 x  1)

8)

e 2 x 3 e 2 x 3 e 2 x 3  2dx  (2 x  1)   e2 x 3dx 2 2 2

e 2 x 3 e 2 x 3  C 2 2

 (3x  2)ln(5x)dx Solución: Se elige u y dv como sigue dx  du   u  ln(5 x) x     2 dv  (3x  2)dx v  (3x  2)dx  3 x  2 x  2  

Se sabe que

 udv  uv   vdu Así  x2   x2  dx (3 x  2)ln(5 x ) dx  ln(5 x ) 3  2 x      3  2 x    2    2  x  x2   x   ln(5 x)  3  2 x     3  2  dx   2   2  3x 2  3x 2  ln(5 x)   2 x    2x  C  2  4

9)

 ln(5x)dx Solución: Se elige u y dv como sigue

dx  u  ln(5 x) du  x    dv  dx v  dx  x   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así

 ln(5x)dx  ln(5x) x   x 10)

 ln

2

dx  x ln(5x)   dx  x ln(5x)  x  C x

(5 x)dx

45

Solución: Se elige u y dv como sigue

dx  u  ln 2 (5 x) du  2ln(5 x) x    dv  dx v  dx  x   Se sabe que

 udv  uv   vdu Así

 ln

2

(5 x)dx  ln 2 (5 x) x   x2ln(5)

dx  ln 2 (5 x) x  2 ln(5 x)dx x

 ln 2 (5x) x  2  x ln(5x)  x   C  x ln 2 (5x)  2 x ln(5x)  2 x  C

11)

 (2x

3

 2 x)ln( x)dx

Solución: Se elige u y dv como sigue dx  du   u  ln x  x      3 4 2 4  dv  (2 x  2 x)dx v  (2 x3  2 x)dx  2 x  2 x  x  x 2  4 2 2   Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

 x4  x4 3 2 2  dx (2 x  2 x )ln( x ) dx  ln x  x      2    2  x  x    

 x4   x3     x 2  ln x     x  dx  2   2   x4  x4 x2    x 2  ln x   C 8 2  2 

12)

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx

Solución: Se elige u y dv como sigue   u  x 2  3x  1 du  (2 x  3)dx    v  sin xdx   cos x   dv  sin xdx  

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx  ( x 2  3x  1)cos( x)   ( cos x)(2 x  3)dx  ( x2  3x  1)cos( x)   (2 x  3)cos xdx

Para la segunda integral del lado derecho,

(1)

 (2 x  3)cos xdx , apliquemos nuevamente integración por

partes, así haciendo  u  2 x  3 du  2dx    v  cos xdx  sin x dv  cos xdx   

46

y usando la fórmula de integración por partes, se tiene

 (2x  3)cos xdx  (2x  3)sin x   sin x(2dx)  (2 x  3)sin x  2 sin xdx  (2 x  3)sin x  2cos x  C

(2)

Reemplazando (2) en (1), resulta

 (x

 3x  1)sin( x)dx  ( x 2  3x  1)cos( x)   (2 x  3)cos xdx

2

 ( x2  3x  1)cos( x)  (2 x  3)sin x  2cos x  C

13)

 (2x

2

 3x  2)e x dx

Solución: Se elige u y dv como sigue 2 du  (4 x  3)dx  u  2 x  3x  2     x v  e x dx  e x   dv  e dx  

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

 (2x

2

 3x  2)e x dx  (2 x 2  3x  2)e x   e x (4 x  3)dx

Para la segunda integral del lado derecho,

e

x

(1)

(4 x  3)dx , apliquemos nuevamente integración por

partes, así haciendo du  4dx  u  4 x  3     x v  e x dx  e x   dv  e dx   y usando la fórmula de integración por partes, se tiene

e

x

(4 x  3)dx  (4 x  3)e x   e x (4dx)  (4 x  3)e x  4 e x dx  (4 x  3)e x  4e x  C

(2)

Reemplazando (2) en (1), resulta

 (2x

2

 3x  2)e x dx  (2 x 2  3x  2)e x   e x (4 x  3)dx



 (2 x 2  3x  2)e x  (4 x  3)e x  4e x  C



 (2 x2  3x  2)e x  (4 x  3)e x  4e x  C

14)

e

x

dx

Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo  2mdm  dx m2  x    m  x Se tiene

e

x

dx   em 2mdm  2 mem dm

Aplique ahora integración por partes, así tomando u y dv como sigue   u  m du  dm    m v  em dx  em   dv  e dx   y usando la fórmula de integración por partes, se tiene

47

e 15)

x





dx  2 mem dm  2 mem   em dm  2mem  2em  C  2 xe

 ln( x 

x

 2e

x

C

1  x 2 )dx

Solución: Se elige u y dv como sigue dx   du  u  ln( x  1  x 2 ) 1  x2     v  dx  x dv  dx  

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene dx 2 2 (1)  ln( x  1  x )dx  ln x  1  x x   x 1  x2 xdx Para la segunda integral del lado derecho,  , apliquemos la técnica del cambio de variable, así 1  x2 haciendo  2udu  2 xdx  xdx  udu u 2  1  x2   2  u  1  x se tiene xdx udu 2 (2)  1  x2   u  du u  C  1  x  C





Reemplazando (2) en (1), resulta

 ln( x 

16)

  ln  x   ln  x 

 1dx x 1 x  x   1 x  C  1 x  x  1 x  C

1  x 2 )dx  ln x  1  x 2 x   x

2

2

2

2

2

 arcsin xdx Solución: Se elige u y dv como sigue dx  du  u  arcsin x 1  x2    dv  dx  v  dx  x  

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene dx (1)  arcsin xdx  (arcsin x) x   x 1  x2 xdx Para la segunda integral del lado derecho,  , apliquemos la técnica del cambio de variable, así 1  x2 haciendo

48

 2udu  2 xdx  xdx  udu u 2  1  x2   2  u  1  x

se tiene xdx



udu    du   u  C   1  x 2  C u



(2) 1  x2 Reemplazando (2) en (1), resulta dx 2  arcsin xdx  (arcsin x) x   x 1  x2  (arcsin x) x   1  x  C



 (arcsin x) x  1  x 2  C

17)

 x arctan xdx Solución: Se elige u y dv como sigue

dx  du   u  arctan x  1  x2    2 dv  xdx v  xdx  x   2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

x2 x 2 dx x 2 1 x 2 dx   (arctan x )  2 2 1  x2 2 2  1  x2

 x arctan xdx  (arctan x)  (arctan x)

x2 1  x2  1  1    dx 2 2   1  x 2 

 (arctan x)

x2 1  x2  1 1      dx 2 2 2  1  x 1  x 2 

 (arctan x)

x2 1  1   1  dx 2 2   1  x2 

 (arctan x)

x2 1  1     dx   dx  2 2 2 1 x 

 (arctan x)

x2 1   x  arctan x   C 2 2

 (arctan x)

18)

x 2 x arctan x   C 2 2 2

 x arcsin xdx Solución: Se elige u y dv como sigue dx  du   u  arcsin x  1  x2    dv  xdx x2  v  xdx   2   Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

49



 x arcsin xdx  (arcsin x)

x2 x 2 dx x 2 1 x 2 dx   (arcsin x)   2 2 1  x2 2 2 1  x2

Para la segunda integral del lado derecho,



x 2 dx 1  x2

(1)

, apliquemos nuevamente la técnica de integración

por partes, así haciendo u  x du  dx   x x   dv  dx v dx   1  x 2    2 2 1 x 1 x  

se tiene



x 2 dx 1 x

2

  x 1  x 2    1  x 2 dx   x 1  x 2   1  x 2 dx

x 1 1  x 2  arcsin x  C 2 2 x 1   1  x 2  arcsin x  C 2 2 Reemplazando (2) en (1), resulta   x 1  x2 

 x arcsin xdx  (arcsin x)

19)

(2)

x 2 1 x 2 dx  2 2  1  x2

 (arcsin x)

x2 1  x 1     1  x 2  arcsin x   C 2 2 2 2 

 (arcsin x)

x2 x 1  1  x 2  arcsin x  C 2 4 4

xearctan x

 (1  x2 )3 2 dx Solución: Se elige u y dv como sigue

x dx   du  u   (1  x 2 )3 2   1  x2    arctan x earctan x  v  e arctan x dv  dx  1  x2 dx  e   1  x2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

xearctan x

 (1  x2 )3 2 dx 

x 1 x

2

earctan x   earctan x

Para la segunda integral del lado derecho,

dx (1  x 2 )3 2 earctan x

(1)

 (1  x2 )3 2 dx , aplique nuevamente la técnica de integración

por partes, así haciendo 1 xdx   du   u   (1  x 2 )3 2   1  x2    arctan x earctan x  v  e arctan x dv  dx    1  x 2 dx e 1  x2 se tiene

50

earctan x

 (1  x2 )3 2 dx  

1 1 x 1

2

(1  x 2 )3 2

earctan x   earctan x

xdx (1  x 2 )3 2

earctan x   earctan x

dx

1 x Reemplazando (2) en (1), resulta

xearctan x

 (1  x2 )3 2 dx 

2

x 1 x

 xdx

earctan x   earctan x

2

(2)

(1  x 2 )3 2

 1 xdx  earctan x   earctan x   earctan x   2 (1  x 2 )3 2  1  x2  1 x x 1 xdx  earctan x  earctan x   earctan x (1  x 2 )3 2 1  x2 1  x2 

x

por lo tanto

2 

20)



xearctan x (1  x )

2 32

dx 

x 1 x

2

earctan x 

1 1 x

2

earctan x

 xearctan x 1 x 1 arctan x  earctan x   C  (1  x2 )3 2 dx  2  1  x2 e  1  x2  

x arctan x

dx 1  x2 Solución: Se elige u y dv como sigue dx  u  arctan x du  1  x 2   x   dv  dx x  v   dx  1  x 2 1  x2  2  1 x Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene x arctan x dx 2 2 dx 2  1  x2 dx  (arctan x) 1  x   1  x 1  x2  (arctan x) 1  x   1  x2

 (arctan x) 1  x 2  ln x  1  x 2  C

21)

arcsin x

 (1  x2 )3 2 dx Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo dx  dt  t  arcsin x   1  x2  x  sin t 

Y reemplazando en la integral dada, se tiene arcsin x arcsin x dx t t 2  (1  x2 )3 2 dx   (1  x2 ) (1  x2 )1 2   1  sin 2 t dt   cos2 t dt   t sec t dt Ahora intégrese por partes  t sec2 t dt , para ello elija u y dv como sigue 51

du  dt  u  t     2 v  sec2 t dt  tan t  dv  sec tdt   

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene arcsin x 2  (1  x2 )3 2 dx   t sec t dt  t  tan t    tan t dt  t  tan t   ln sec x  C

  arcsin x 

22)

arcsin x

 (1  x)1 2

 1  ln   2 1  x2  1 x x

   C 

dx

Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo t  x  x  t 2  dx  2tdt

y reemplazando en la integral dada, se tiene arcsin t t arcsin t  (1  t 2 )1/2 2tdt  2 (1  t 2 )1/2 dt Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue

dt  u  arcsin t du    1 t2  t dv  dt  t  v dt   1  t 2 (1  t 2 )1/2    (1  t 2 )1/2 Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

 arcsin t t arcsin t dt 2 2 2 tdt  2 dt  2   arcsin t 1  t    1  t  (1  t 2 )1/2  (1  t 2 )1/2 1 t2   2 1  t 2 arcsin t  2 dt  2 1  t 2 arcsin t  2t  C

 2 1  x arcsin x  2 x  C

23)



x 2 arctan x

dx 1  x2 Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo dx  dt  t  arctan x   1  x2  x  tan t  Y reemplazando en la integral dada, se tiene



x 2 arctan x 1 x

2





dx   tan 2 t tdt   t tan 2 t dt

Ahora intégrese por partes  t tan 2 t dt , para ello elija u y dv como sigue du  dt  u  t     2 v  tan 2 t dt  tan t  t  dv  tan tdt   

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene 52

  



x 2 arctan x 1 x

2

dx   t tan 2 tdt  t (tan t  t )   (tan t  t )dt

 t (tan t  t )   tan tdt   tdt  t tan t  t 2  ln sec t   (arctan x) x  arctan 2 x  ln  x arctan x 

24)

 sec

3

arctan 2 x  ln 2







x2  1 

t2 C 2

arctan 2 x C 2



x2  1  C

xdx

Solución: Primero escriba la integral dada de la siguiente manera

 sec

3

xdx   sec2 x sec xdx   (1  tan 2 x)sec xdx   sec xdx   tan 2 x sec xdx  ln sec x  tan x   tan 2 x sec xdx

(1)

Ahora, intégrese por partes,  tan 2 x sec xdx , para ello elija u y dv como sigue 2  u  tan x du  sec xdx    dv  tan x sec xdx  v   tan x sec xdx  sec x Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

 tan

2

x sec xdx  tan x sec x   sec x sec2 xdx  tan x sec x   sec3 xdx

(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene

 sec

3

xdx  ln sec x  tan x   tan 2 x sec xdx

 ln sec x  tan x  tan x sec x   sec3 xdx

por lo tanto 2 sec3 xdx  ln sec x  tan x  tan x sec x



25)

 sec

3

xdx 

1  ln sec x  tan x  tan x sec x   C 2

x 2 dx

  x cos x  sin x 2 dx Solución: Primero escriba la integral dada de la siguiente manera x 2 dx

  x cos x  sin x 2



x 2 sin xdx sin x  x cos x  sin x 

2



x x sin xdx sin x  x cos x  sin x 2

Ahora, elija u y dv como sigue sin x  x cos x x   dx du  u  sin x sin 2 x      x sin xdx x sin xdx 1 dv  v    2 2    x cos x  sin x   x cos x  sin x  x cos x  sin x   Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene x 2 dx

x

1

1

  x cos x  sin x 2  sin x x cos x  sin x   x cos x  sin x 53

sin x  x cos x sin 2 x

dx



x 1 x cos x  sin x  2 dx sin x x cos x  sin x sin x  x cos x  sin x 

x 1 1 x 1   2 dx   csc2 xdx sin x x cos x  sin x sin x x cos x  sin x  sin x x   cot x  C sin x  x cos x  sin x  

26)

x  sin x

 1  cos x dx Solución: Por trigonometría se sabe que

 x  x  x cos x  2cos 2    1 y sin x  2sin  cos   2 2 2 Así, reemplazando en la integral se tiene  x  x  x  x x  2sin   cos   x  2sin   cos   x  sin x 2  2 dx  2  2 dx  1  cos x dx    x x     1  2cos 2    1 2cos 2   2 2   x  x 2sin   cos     x 2  2  dx    x x       2 2cos 2     2cos  2    2  



1  x  x x sec2  dx   tan  dx  2 2 2

Ahora, intégrese por partes

 x sec

(1)

2

x  dx , para ello elija u y dv como sigue 2

u  x du  dx       x 2 x 2 x dv  sec  2  dx v   sec  2  dx  2 tan  2          Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene 2

x  x x  dx  2 x tan     2 tan   dx  C 2 2 2 Reemplazando (2) en (1), resulta x  sin x 1  x 2 x  1  cos x dx  2  x sec  2 dx   tan  2 dx

 x sec

(2)

1  x  x   x   2 x tan     2 tan   dx    tan  dx  C 2 2 2      2

 x  x tan    C 2

27)



cos x  x sin x  1 (sin x  x) 2

dx

Solución: Por trigonometría se sabe que

sin 2 x  cos2 x  1 54

Así, reemplazando en la integral se tiene



cos x  x sin x  1 (sin x  x)2

dx  

cos x  x sin x  sin 2 x  cos 2 x (sin x  x)2



cos x  cos 2 x  x sin x  sin 2 x



cos x(1  cos x)  sin x( x  sin x)



cos x(1  cos x)

(sin x  x)2

dx

(sin x  x)2 (sin x  x)

2

dx  

 

cos x(cos x  1)

 

cos x(cos x  1)

(sin x  x) (sin x  x)

Ahora, intégrese por partes



2

2

dx

dx

sin x( x  sin x) (sin x  x) 2

dx

dx  

sin x(sin x  x)

dx  

sin x dx (sin x  x)

cos x(cos x  1) (sin x  x) 2

(sin x  x)2

dx (1)

dx , para ello elija u y dv como sigue

u  cos x du   sin xdx   1 dv  cos x  1 dx  v  cos x  1 dx    2 2   sin x  x (sin x  x) (sin x  x)   Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene cos x(cos x  1) 1 1  (sin x  x)2 dx   cos x sin x  x    sin x  x ( sin xdx)

cos x sin x  dx sin x  x sin x  x Reemplazando (2) en (1), resulta cos x  x sin x  1 cos x(cos x  1) sin x  (sin x  x)2 dx   (sin x  x)2 dx   (sin x  x) dx 

(2)

cos x sin x sin x       dx    dx sin x  x  (sin x  x)  sin x  x

28)



cos x sin x sin x  dx   dx sin x  x sin x  x (sin x  x)



cos x C sin x  x

 sin  ln x  dx Solución: Aplique primero un cambio de variable, así haciendo t  ln x  x  et  dx  et dt

y reemplazando en la integral dada, se tiene

 sin  ln x  dx   e sin tdt t

(1)

Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue du  cos t dt  u  sin t     t v  et dt  et   dv  e dt   Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene

55

 e sin tdt  sin(t )e   e cos tdt t

t

t

Para la segunda integral del lado derecho, aplíquese nuevamente integración por partes, así haciendo du   sin tdt  u  cos t     t v  et dt  et   dv  e dt  

Se tiene

 e sin tdt  sin(t )e   e t

t

t



cos tdt  sin(t )et  cos(t )et   et sin tdt



 sin(t )et  cos(t )et   et sin tdt

así

 e sin tdt  2 sin(t )e 1

t

t



 cos(t )et  C

(2)

Reemplazando (2) en (1), se tiene 1 t t t  sin  ln x  dx   e sin tdt  2 sin(t )e  cos(t )e  C 1  sin(ln x)eln x  cos(ln x)eln x  C 2 1   sin(ln x) x  cos(ln x) x   C 2 x   sin(ln x)  cos(ln x)   C 2









METODO TABULAR En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el trabajo, como indica el siguiente ejemplo. Este método funciona bien en integrales de los tipos y

 p( x)e

ax b

dx ,

 p( x)sin(ax  b)dx

 p( x)cos( ax  b)dx

Ejemplos: Calcular las siguientes integrales 1)

 (2x

2

 3x  2)e x dx

Solución: Como de costumbre empiece haciendo u  2 x2  3x  2 y dv  e xdx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados

u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas



2 x 2  3x  2

ex



4x  3

ex



4

ex



0

ex

56

Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así

 (2x

2

 3x  2)e x dx  (2 x 2  3x  2)e x  (4 x  3)e x  4e x  C  (2 x2  x  1)e x  C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 13 de esta sección, compare ambos procedimientos. 2)

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx

Solución: Como de costumbre empiece haciendo u  x2  3x  1 y dv  sin xdx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados

u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas



x 2  3x  1

sin x



2x  3

 cos x



2

 sin x



0

cos x

Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así

 (x

2

 3x  1)sin( x)dx  ( x2  3x  1)( cos x)  (2 x  3)( sin x)  2cos x  C  ( x2  3x  1)cos x  (2 x  3)sin x  2cos x  C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 12 de esta sección, compare ambos procedimientos. 3)

 (3x

3

 2 x  1)cos(2 x)dx

Solución: Como de costumbre empiece haciendo u  3x3  2 x  1 y dv  cos2 xdx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue.

57

Signos alternados

u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas



3 x3  2 x  1

cos 2x

9 x2  2

sin 2 x 2









18x



cos 2 x 4

18



sin 2 x 8

cos 2 x 16

0

Derivar hasta obtener una derivada nula La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así

 (3x

3

 sin 2 x   cos 2 x  2  2 x  1)cos(2 x)dx  (3x3  2 x  1)    (9 x  2)    4   2  

  sin 2 x   cos 2 x  18 x    18  C  8   16 



4)

 (2x

4

3 x3  2 x  1 9 x2  2 9x 9 sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  C 2 4 4 8

 2 x)e3x 2 dx

Solución: Como de costumbre empiece haciendo u  2 x4  2 x y dv  e3x2 dx . A continuación elabore una tabla de tres columnas como sigue. Signos alternados

u y sus derivadas

dv y sus antiderivadas



2 x4  2 x

e3 x  2

8 x3  2

e3 x  2 3

24x 2

e3 x  2 9





58

48x

e3 x  2 27

48

e3 x  2 81





e3 x  2 243

0

La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos productos siguiendo los signos alternados. Así 4 3x2 4  (2 x  2 x)e dx  (2 x  2 x)

48 x

III.

e3 x  2 e3x  2 e3x  2  (8 x3  2)  24 x 2 3 9 27

e3 x  2 e3 x  2  48 C 81 243

SUSTITUCION TRIGONOMETRICA Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen potencias de las funciones trigonométricas, podemos utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan los radicales

a2  u 2 ,

a2  u 2

u 2  a2

y

El propósito de estas sustituciones (o cambio de variable trigonométrico) es eliminar los radicales. Eso se consigue con las identidades pitagóricas

cos2 θ  1  sin 2 θ ,

sec2 θ  1  tan 2 θ

y

tan 2 θ  sec2 θ  1

Por ejemplo, si a  0 , hacemos u  a sin θ , donde π / 2  θ  π / 2 . Entonces

a2  u 2  a2  a2 sin 2 θ

 a 2 (1  sin 2 θ )  a 2 cos2 θ

 a cos θ Ahora daremos un criterio para calcular estos tipos de integrales, para esto consideremos los siguientes casos: 1. Primer caso: En integrales que contienen

a 2  u 2 , hacer

u  a sin θ Así

a 2  u 2  a cos θ , donde

π / 2  θ  π / 2 59

a 2  u 2 , hacer

2. Segundo caso: En integrales que contienen

u  a tan θ Así

a 2  u 2  a sec θ , donde

π / 2  θ  π / 2

3. Tercer caso: En integrales que contienen

u 2  a 2 , hacer

u  a sec θ Así

u 2  a 2  a tan θ , donde

0θ π/2 o π/2θ π Tomar el valor positivo si u  a y el negativo si u  a

Nota: las restricciones sobre θ garantizan que la función que determina la sustitución es inyectiva. De hecho, son los mismos intervalos sobre los que arcsin , arctan y arcsec están definidas

EJERCICIOS RESUELTOS 1) Hallar

x

dx 2

9  x2

Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que

a 2  u 2 . Por tanto, hacemos la sustitución x u  a sin θ  x  3sin θ  sin θ  3

de la forma

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  3cos θdθ y

9  x2  3cos θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

x

dx 2

9  x2







3cos θdθ cos θdθ 1 dθ   2 2 (3sin θ ) (3cos θ ) 9sin θ cos θ 9 sin 2 θ





1 1 1  9  x2 csc2 θdθ   cot θ  C    9 9 9 x 





9  x2 C 9x 60

 C  

9  x2  32  x2 es

adycente 9  x2 se obtuvo del triángulo dado arriba.  opuesto x

Nota: la cot θ 

2) Hallar

 (9  x ) dx

2 3/2

Solución: Observemos primero que



dx  (9  x 2 )3/2



dx 32  x 2

3

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que tanto, hacemos la sustitución

u  a sin θ  x  3sin θ  sin θ 

32  x 2 es de la forma

a 2  u 2 . Por

x 3

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  3cos θdθ y

9  x2  3cos θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

 (9  x ) dx

2 3/2





dx 9  x2

3



3cos θdθ

3cos θdθ

3



Nota: la tan θ 

3) Hallar



1

3

1 1 1 x sec2 θdθ  tan θ  C    9 9 9  9  x2 x  C 2 9 9 x 

dθ

 (3cos θ)   27 cos θ  9  cos θ 2

   C 

adycente x se obtuvo del triángulo dado arriba.  2 opuesto 9 x

dx 4 x2  1

Solución: Observemos primero que



dx 4 x2  1





dx (2 x) 2  12

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir

(2 x)2  12 es de la forma

u 2  a 2 . Por tanto,

sustitución

u  a tan θ  2 x  tan θ  tan θ  61

2x 1

que hacemos

la

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

2dx  sec2 θdθ y

(2 x)2  12  sec θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



dx 4 x2  1





dx (2 x)2  12





1 sec2 θ 2

sec θ

dθ 

1 1  ln sec θ  tan θ  C  ln 2 2 4) Hallar

x



1 sec θdθ 2

4 x2  1  2 x  C

dx x2  1

Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que la forma

x2  1  x2  12 es de

u 2  a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución u  a sec θ  x  sec θ  sec θ 

Utilizando

derivación

y

el

triángulo

x 1

mostrado,

obtenemos

dx  sec θ tan θdθ y tan θ  x2  9 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al resultado

x

dx x2  1

5) Hallar





siguiente

sec θ tan θdθ

 (sec θ)(tan θ)   dθ  θ  C  arcsec x  C

x x 2  25

dx

Solución: Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que

x2  25  x2  52 es de la forma

u 2  a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución u  a sec θ  x  5sec θ  sec θ 

x 5

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  5sec θ tan θdθ y 5 tan θ  x2  25 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



x x  25 2

dx 

5sec θ

 5 tan θ 5sec θ tan θdθ  5 sec θdθ  5 tan θ  C 2

 x2  25  C

6) Hallar



u 2  a2 du u

Solución: 62

Hacemos la sustitución

u  a sec θ  sec θ 

u a

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

du  a sec θ tan θdθ y a tan θ  u 2  a 2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



u 2  a2 du  u

a tan θ

 a sec θ a sec θ tan θdθ  a tan θdθ  a (sec θ  1)dθ  a sec θdθ  a dθ  a tan θ  aθ  C    2

2

2

u  u 2  a 2  a arcsec    C a 7) Hallar

x

dx 2

16  9 x 2

Solución: Observemos primero que

x

dx 2

16  9 x

2



x

dx 2

4  (3x)2 2

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que

42  (3x)2 es de la forma

Por tanto, hacemos la sustitución

u  a tan θ  3x  4 tan θ  tan θ 

3x 4

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

3dx  4sec2 θdθ y

42  (3x)2  4sec θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

x

dx 2

16  9 x

2











x 16 9

dx 2

4  (3x) 2

4 sec 2 θ 3 2

2

tan θ (4sec θ )



(

dθ 

4 3

4 sec2 θ 3 2

tan θ ) (4sec θ )



1 sec θ 3 16 tan 2 θ 9

dθ

sec θ 3 dθ  cot 2 θ sec θdθ 2 16 tan θ

16 3



3 cos2 θ 1 3 cos θ dθ  dθ 2 16 sin θ cos θ 16 sin 2 θ 3 cos θ 1 3  dθ  cot θ csc θdθ 16 sin θ sin θ 16





 





3 3 16  9 x 2 csc θ  C   C 16 16 3x 63

dθ

a2  u 2 .

16  9 x 2  C 16 x Nota: la csc θ 

8) Hallar



hipotenuza 16  9 x 2  se obtuvo del triángulo dado arriba. opuesto 3x

x2 dx (16  x 2 )1/2

Solución: Observemos primero que



x2 dx  (16  x 2 )1/2



x2 42  x 2

dx

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que tanto, hacemos la sustitución

u  a tan θ  x  4 tan θ  tan θ 

42  x 2 es de la forma

a 2  u 2 . Por

x 4

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  4sec2 θdθ y

42  x2  4sec θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



x2 dx  (16  x 2 )1/2

x2

(4 tan θ )2 4sec2 θdθ  16 tan 2 θ sec θdθ 4sec θ

 4 x    16 (sec θ  1)sec θdθ  16 (sec θ  sec θ )dθ    16 sec θdθ  16 sec θdθ   2

2

dx 

2

3

3

1   16   tan θ sec θ  ln tan θ  sec θ   16ln tan θ  sec θ  C 2 

 8tan θ sec θ  8ln tan θ  sec θ 16ln tan θ  sec θ  C  8 tan θ sec θ  8ln tan θ  sec θ  C x 16  x 2 x 16  x 2  8   8ln  C 4 4 4 4



9) Hallar

x

x 16  x 2 x  16  x 2  8ln C 2 4

dx 3

x2  9

Solución: En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que de la forma

u 2  a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución 64

x2  9  x2  32 es

u  a sec θ  x  3sec θ  sec θ 

x 3

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  3sec θ tan θdθ y 3tan θ  x2  9 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

x

dx 3

x2  9



3sec θ tan θdθ  (3sec θ )3 (3tan θ )





sec θ 1 dθ dθ  3 27 sec2 θ 27sec θ



1 1 1  cos 2θ 1 cos2 θdθ  dθ  (1  cos 2θ )dθ 27 27 2 54 1 1 1 sin 2θ   dθ  cos 2θdθ   θ  C    54 54  54 2  x arcsec   1 1  3   1  2sin θ cos θ  C  θ sin 2θ  C  54 108 54 108  x arcsec   2  3   1  x 9  3 C  54 54 x x  x arcsec   2  3   x 9 C  54 18 x 2

 



10) Hallar









u 2  a2 du u

Solución: Hacemos la sustitución

u  a tan θ  tan θ 

u a

Utilizando derivación y el triángulo mostrado,

obtenemos

du  a sec2 θdθ y a sec θ  u 2  a 2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



u 2  a2 du  u

a sec θ sec θ a sec2 θdθ  a (tan 2 θ  1)dθ a tan θ tan θ 1 sec θ  a sec θ tan θdθ  a dθ  a sec θ  a cos θ dθ sin θ tan θ cos θ cos θ 1  a sec θ  a dθ  a sec θ  a dθ cos θ sin θ sin θ











   a sec θ  a csc θdθ  a sec θ  a ln csc θ  cot θ  C  65

11) Hallar

 u 2  a 2  a ln

u2  a2 a  C u u

 u 2  a 2  a ln

u 2  a2  a C u

x2  1 du x



Solución: Observemos primero que



x2  1 du  x



x 2  12 du x

Fíjese ahora que este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, en donde u  x y a 1 Entonces para calcular la integral dada, haremos uso de la fórmula que se ha conseguido en el ejercicio anterior, así



x2  1 du  x 2  12  ln x

 x 2  1  ln

12) Hallar

x2



4  x2

x 2  12  1 C x

x2  1 1 C x

dx

Solución: Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir

4  x2  22  x2 es de la forma

que

a 2  u 2 . Por tanto,

hacemos

sustitución

u  a sin θ  x  2sin θ  sin θ 

x 2

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  2cos θdθ y 2cos θ  4  x2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



x2 4  x2

dx 

 

(2sin θ )2 1  cos 2θ 2cos θdθ  4sin 2θdθ  4 dθ 2cos θ 2









 2 (1  cos 2θ )dθ  2 dθ  2 cos 2θdθ  2θ  2

 2θ  sin 2 2θ  C  2θ  2sin θ cos θ  C x 4  x2  x  2arcsin    2 C 2 2 2 2  x  x 4 x  2arcsin    C 2 2

66

sin 2θ C 2

la

13) Hallar



x x2  2 x  5

dx

Solución: Primero completemos cuadrados en la expresión del radicando, así

x2  2 x  5  ( x  1)2  12  5  ( x  1)2  4  ( x  1)2  22 Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que forma

x2  2 x  5  ( x  1)2  22 es de la

u 2  a 2 . Por tanto, hacemos la sustitución

u  a tan θ  x  1  2 tan θ  tan θ 

x 1 2

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  2sec2 θdθ y 2sec θ  ( x  1)2  22 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



x x2  2 x  5

dx 



x ( x  1)2  22

dx 





2 tan θ  1 2sec2θdθ 2sec θ





 (2 tan θ  1)sec θdθ  2 tan θ sec θdθ  sec θdθ

 2sec θ  ln sec θ  tan θ  C ( x  1)2  22 x  1  C 2 2

 ( x  1)  2  ln 2

2

 x 2  2 x  5  ln

14) Hallar



x2  2 x  5  x  1 C 2

u 2  a2 du u2

Solución: Hacemos la sustitución

u  a tan θ  tan θ 

u a

Utilizando derivación y el triángulo mostrado,

du  a sec2 θdθ y a sec θ  u 2  a 2 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado



u 2  a2 a sec θ du  a sec2 θdθ  2 2 u (a tan θ )





a sec θ a sec2 θdθ 2 2 a tan θ 67

obtenemos



a sec θ a sec2 θdθ  2 2 tan θ

a 

 sec θdθ 

sec θ

 tan θ (tan θ 1)dθ 2

2

sec θ dθ  ln sec θ  tan θ  2 θ

 tan



1 cos θ dθ sin 2 θ cos 2 θ

cos2 θ dθ cos θ sin 2 θ cos θ  ln sec θ  tan θ  dθ sin 2 θ cos θ 1  ln sec θ  tan θ   dθ sin θ sin θ

    ln sec θ  tan θ  cot θ csc θdθ   ln sec θ  tan θ 

 ln sec θ  tan θ  csc θ  C  ln

u 2  a2 u u 2  a2   C a a u

 ln

u 2  a2  u u 2  a2  C a u

15) La razón de cambio del ingreso en dólares por la venta de x unidades de calculadoras de escritorio es

R '( x) 

1000 x 2  25

. Encuentre el ingreso total por la venta de las primeras 20 calculadoras.

Solución: La función ingreso, R( x) , se halla integrando la razón de cambio del ingreso, R '( x) , así



R( x)  R '( x)dx 



1000 x 2  25

dx

Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos

x  5 tan θ  tan θ  Utilizando

derivación

y

el

x 5

triángulo

mostrado,

dx  5sec2 θdθ y 5sec θ  x2  52 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

R( x) 



1000 x 2  25

dx 





1000 5sec2 θdθ  1000 sec θdθ 5sec θ

 1000ln sec θ  tan θ  C  1000 ln

x 2  52 x  C 5 5 68

obtenemos

Bien se sabe, que cuando no se vende ninguna calculadora, el ingreso es cero, así

R(0)  0

 1000ln

0 2  52 0  C  0 5 5

 1000ln 1  C  0

C 0 Por lo tanto, la función ingreso es

R( x)  1000ln

x 2  52 x  5 5

Así, el ingreso por las 20 primeras calculadoras es

R( x)  1000ln

202  52 20   2.09 5 5

16) La razón (en horas por artículo) a la que un trabajador, en cierto trabajo, produce x ésimo artículos es

h '( x)  x 2  16 . ¿Cuál es el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos? Solución: La expresión para el número de horas, h( x) , en función al número de artículos producidos, se halla integrando h '( x) , así



h( x)  h '( x)dx 



x 2  16 dx

Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos

x  4 tan θ  tan θ  Utilizando

derivación

y

el

x 4

triángulo

mostrado,

obtenemos

dx  4sec2 θdθ y 4sec θ  x2  42 Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

h( x) 







x 2  16 dx  (4sec θ )4sec2 θdθ  16 sec3 θdθ

 16 

1  sec θ tan θ  ln sec θ  tan θ   C 2

 8  sec θ tan θ  ln sec θ  tan θ   C

 x 2  42 x  8   ln  4 4   x x 2  42  8  ln  16 

x 2  42 x   C 4 4  x 2  42  x  C 4  

Se sabe que cuando aún no se ha producido ningún artículo, no se ha empleado ningún tiempo, así

h(0)  0 69

 0  02  42  8  ln  16 

02  42  0  C  0 4  

 8ln 1  C  0

C 0 Por lo tanto, la expresión para el número de horas es

 x x 2  42 h( x )  8   ln  16 

x 2  42  x  4  

Así, el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos es

 7 7 2  42 h( x )  8   ln  16 

7 2  42  7 4

   38.83hrs  

17) La empresa dedicada a la extracción de minerales "Buenaventura", en Junta de Gerentes decidió aumentar sus operaciones mineras, para de esta forma continuar con el incremento proyectado en la demanda de países europeos de oro, plata, cobre, entre otros. Los planes contemplan el incremento de la producción anual de estos (minerales) en:

16  x 2 Millones de toneladas métricas por año, durante los próximos 5 años. La producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas. En la Junta de Gerentes se pide determinar una función que describa la producción total de minerales en la empresa al final de x años. Solución: La función que describe la producción total de minerales, P( x) , se halla integrando

P( x) 



16  x 2 dx

Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico. Hagamos

x  4sin θ  sin θ 

x 4

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

dx  4cos θdθ y

16  x2  4cos θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

P( x) 







16  x 2 dx  (4cos θ )4cos θdθ  16 cos 2 θdθ 1  cos 2θ

1

cos 2θ 

 2 dθ  16  2  2  dθ 1 cos 2θ  16 dθ  16 2  2 dθ  8 dθ  8 cos 2θdθ

 16

sin 2θ sin θ cos θ  C  8θ  4  C 2 2  8θ  2sin θ cos θ  C  8θ  8 

70

16  x 2 , así

x 16  x 2  x  8arcsin    2   C 4 4 4 2  x  x 16  x  8arcsin    C 8 4

Por dato del problema, la producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas, así

P(0)  15 2  0  0 16  0  8arcsin     C  15 8 4  C  15

Por lo tanto, la expresión para la producción total de minerales es 2  x  x 16  x h( x)  8arcsin     15 8 4

71

IV.

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES Consideremos dos funciones polinómicas:

P( x)  bm xm  bm1xm1  ...  b1x  b0 y Q( x)  an xn  an1xn1  ...  a1x  a0 Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir:

R( x) 

P( x) Q( x)

Esta técnica de integración se aplica en el cálculo de integrales de funciones racionales, es decir se aplica para el cálculo de integrales de la forma,

 Q( x)dx P( x)

Para el cálculo de estos tipos de integrales existen dos casos y estos dependen de los grados de los polinomios P( x) y Q( x) . CASO 1: Grado( P( x))  Grado(Q( x)) a) Cuando en la integral

P( x)

 Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores todas

lineales y distintas, es decir:

Q( x)  ( x  b1)( x  b2 ) A la función racional

( x  bn )

P ( x) se expresa como una suma de fracciones simples: Q( x)

A A A P( x) P( x)   1  2  ....  n Q( x) ( x  b1 )( x  b2 )...( x  bn ) x  b1 x  b2 x  bn Integrando en ambos lados se tiene



 A A  A P( x) dx   1  2  ....  n dx Q( x ) x  bn   x  b1 x  b2



P( x) dx  Q( x )





A1 dx  x  b1



A2 dx  x  b2





An dx x  bn

Donde: A1, A2 ,..., An son constantes que se van a determinar.

72

b) Cuando en la integral

P( x)

 Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores lineales

algunas repetidas, suponiendo que x  b es el factor lineal que se repite p veces, es decir:

Q( x)  ( x  b)( x  b)...( x  b) ( x  bp1 )...( x  bn )  ( x  b) p ( x  bp1)...( x  bn ) p veces

A la función racional

P ( x) se expresa como una suma de funciones simples. Q( x)

P( x) P( x)  p Q( x) ( x  b) ( x  bp 1 )...( x  bn )



A1 A2   1 ( x  b) ( x  b ) 2



Ap ( x  b)

p

Ap1



 .... 

x  bp 1

An x  bn

Integrando en ambos lados se tiene

 A1 A2    1 2 ( x  b ) ( x  b ) 

Ap



P( x) dx  Q( x )



A1 A2 P( x) dx  dx  dx  1 Q( x ) ( x  b) ( x  b) 2







( x  b) p





Ap 1



x  bp 1

Ap

 ( x  b)

p

 .... 

dx 

An  dx x  bn 

Ap 1

 xb

dx 



p 1



An dx x  bn

Donde: A1, A2 ,..., An son constantes que se van a determinar.

c) Cuando en la integral

P( x)

 Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores lineales

y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir:





Q( x)  a1x2  b1x  c1 a2 x 2  b2 x  c2 A la función racional



p

2



 bp x  c p ( x  bp1 )...( x  bn )

P ( x) se expresa como una suma de funciones simples Q( x)

P( x)  Q( x) a1x 2  b1x  c1 a2 x 2  b2 x  c2



 a x



P( x)

 a x p

A1x  B1 A2 x  B2   2 a1x  b1x  c1 a2 x 2  b2 x  c2

Integrando en ambos lados se tiene

73



2



 b p x  c p ( x  b p 1 )...( x  bn )

Ap x  B p a p x  bp x  c p 2



Ap1 x  bp 1

 .... 

An x  bn



P( x) dx  Q( x )



P( x) dx  Q( x )





 AxB A2 x  B2 1  21    a1x  b1x  c1 a2 x 2  b2 x  c2 



A1x  B1 A2 x  B2 dx  dx  2 a1x  b1x  c1 a2 x 2  b2 x  c2





Ap 1

 xb

dx 



p 1

Donde: A1, A2 ,..., An , B1, B2 ,

d) Cuando en la integral



Ap x  B p a p x 2  bp x  c p





Ap 1 x  bp 1

Ap x  B p

a x p

2

 bp x  c p

 .... 

An  dx x  bn 

dx

An dx x  bn

, Bp son constantes que se van a determinar.

P( x)

 Q( x)dx , la función polinómica Q( x) se descompone en factores lineales

y cuadráticos irreducibles repetidos, es decir:





Q( x)  ax 2  bx  c ax 2  bx  c

  ax

2



 bx  c ( x  bp 1 )...( x  bn )

p veces



 ax 2  bx  c A la función racional



p

( x  bp1 )...( x  bn )

P ( x) se expresa como una suma de funciones simples Q( x)

P( x) P( x)  p Q( x) ax 2  bx  c ( x  bp 1 )...( x  bn )







A1x  B1 A2 x  B2   2 1 (ax  bx  c) (ax 2  bx  c)2



Ap x  B p (ax  bx  c ) 2

p



Ap 1 x  bp1

 .... 

An x  bn

Integrando en ambos lados se tiene

 

 A1x  B1 Ap x  B p Ap 1 An  A2 x  B2      ....   dx 2 2 2 x  bn  (ax 2  bx  c) p x  bp 1  (ax  bx  c) (ax  bx  c) Ap x  B p A1x  B1 A2 x  B2 P( x) dx  dx  dx   dx Q( x ) ax 2  bx  c (ax 2  bx  c)2 (ax 2  bx  c ) p

P( x) dx  Q( x )









Ap 1

 xb

p 1

dx 





 x  b dx An

n

74

Donde: A1, A2 ,..., An , B1, B2 ,

Ejemplo: Halle

, Bp son constantes que se van a determinar.

4 x2  9 x 1  x3  2 x2  x  2dx

Solución Factoricemos la función polinómica del denominador

Q( x)  x3  2 x2  x  2  ( x  1)( x  1)( x  2) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que

4 x2  9 x 1 4x2  9x 1 A B C     3 2 x  2 x  x  2 ( x  1)( x  1)( x  2) x  1 x  1 x  2 A( x  1)( x  2)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1)( x  1)  ( x  1)( x  1)( x  2)

(1)

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

4 x2  9 x 1  A( x 1)( x  2)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1)( x  1) Ordenando y agrupando

4 x2  9 x  1  ( A  B  C ) x2  ( A  3B) x  2 A  2B  C De aquí, se tiene

A  B  C  4   A  3B  9 2 A  2 B  C  1  Resolviendo, se tiene A  3 , B  2 y C  1 Reemplazando en (1), se tiene

4 x2  9 x  1 3 2 1    x3  2 x 2  x  2 x  1 x  1 x  2 Integrando en ambos lados, tenemos



4 x2  9 x 1 2 1  3  3 dx     dx  dx  3 2 x 1 x  2x  x  2  x  1 x 1 x  2   3ln x  1  2ln x  1  ln x  2  c



 ln





2 dx  x 1



1 dx x  21

( x  1)3 ( x  1)2 c x2

Nota: Hay 2 formas para calcular las constantes de la descomposición de la función racional, A, B, C, . Una es la que ya se ha visto en el ejercicios anterior, llamada método de los coeficientes, la cual consiste en agrupar los términos que tengan el mismo grado, comparar con la expresión del lado izquierdo y establecer un sistema de ecuaciones, dando como solución de este sistema los valores de A, B y C . La otra forma es más práctica y consiste en dar valores a la variable x tal que anule a cada factor que se obtuvo después del proceso de factorización (es decir es conveniente tomar 75

x  b1 , donde b1 son raíces de Q( x) ), este valor, se remplaza en la expresión que se tenga, tanto en la parte izquierda como derecha, y esto dará de forma directa los valores de A, B, C, , o también asignar valores pequeños como 0, 1, 2,...,etc . Ejemplo: En el caso:

4 x2  9 x  1 A B C    3 2 x  2x  x  2 x  1 x 1 x  2 

A( x  1)( x  2)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1)( x  2)

Los valores de x se sustituyen en la ecuación:

4 x2  9 x  1  A( x 1)( x  2)  B( x  1)( x  2)  C ( x  1)( x  1) Así, Si x   1   6   2 A  A  3 Si x  1  12  6B  B  2 Si x   2   3  3C  C   1 Loa cuales son los mismos valores hallados en el ejercicio anterior con el método de los coeficientes.

CASO 2: Grado( P( x))  Grado(Q( x)) En este caso lo primero que se debe de hacer es realizar la división P( x)  Q( x) y esta división transformará la expresión dada en otra equivalente en donde será posible aplicar el caso 1. Es decir,

P( x) Q( x) R( x) C ( x)

 



P( x) R( x)  C ( x)  Q( x ) Q( x ) 

R( x) 

 Q( x) dx    C( x)  Q( x) dx P( x) R( x) dx  C ( x)dx   Q( x )   Q( x)dx P( x)

Nota: La primera integral del lado derecho se calcula de forma directa ya que esta es un polinomio, pero en la segunda integral es donde se debe de aplicar el caso 1 si es que esta no se puede integrar de forma directa o usando un cambio de variable. Ejemplo: 76

Halle I 

x2  1  x2  3x  2dx

Solución: Primero dividamos

x2  0 x  1

x 2  3x  2

 x 2  3x  2



1

3x  1

x2  1 3x  2  1 2 2 x  3x  2 x  3x  2

Así

x2  1 3x  2  3x  2  dx   1  2 dx dx   dx   2 2 x  3x  2 x  3x  2  x  3x  2  3x  2  x 2 dx x  3x  2 3x  2 dx , usando fracciones parciales. Resolvamos la integral  2 x  3x  2 I 

Separando en fracciones parciales el integrando, se tiene que

3x  2 3x  2 A B A( x  1)  B( x  2)     ( x  2)( x  1) x  3x  2 ( x  2)( x  1) x  2 x  1 2

Así, ara que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

3x  2  A( x 1)  B( x  2)  3x  2  Ax  A  Bx  2B  3x  2  ( A  B) x  ( A  2B)

De aquí, se tiene

A B  3   A  2 B   2 Resolviendo, se tiene A  4 y B  1 Por lo que

3x  2 4 1   x  3x  2 x  2 x  1 2

Integrando en ambos lados, tenemos



3x  2 1  4 1  4 dx    dx  dx dx  x2 x 1 x  3x  2  x  2 x 1  1 1 4 dx  dx  4ln x  2  ln x  1 x2 x 1



2









Reemplazando en (1), se tiene

I 

x2  1 3x  2 dx  x  dx  x  4ln x  2  ln x  1  C  x 2  3x  2 x 2  3x  2

EJERCICIOS RESUELTOS Aplique el método de fracciones parciales, para hallar las siguientes integrales:

1) I  

dx x  25 2

Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador 77

(1)

x2  25  ( x  5)( x  5) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que

1 1 A B A( x  5)  B( x  5)     ( x  5)( x  5) x 2  25 ( x  5)( x  5) x  5 x  5

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

1  A( x  5)  B( x  5)  1  Ax  5 A  Bx  5B  0 x  1  ( A  B) x  (5 A  5B)

De aquí, se tiene

A  B  0  5 A  5B  1 Resolviendo, se tiene

A  1/10 y B   1/10

Por lo que

1 1/10  1/10   x5 x  25 x  5 2

Integrando en ambos lados, tenemos



1 1/10 1/10 1  1/10 1/10  dx    dx  dx  dx  x 5 x5 10 x  25  x 5 x 5  1 1  ln x  5  ln x  5  C 10 10



2

2) I  







dx 1  x  5 10



dx x5

dx 64  x 2

Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador

64  x2  (8  x)(8  x) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que

1 1 A B A(8  x)  B(8  x)     2 (8  x)(8  x) 8  x 8  x (8  x)(8  x) 64  x

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

1  A(8  x)  B(8  x)  1  8 A  Ax  8B  Bx  0 x  1  ( A  B) x  (8 A  8B)

De aquí, se tiene

A  B  0  8 A  8B  1 Resolviendo, se tiene

A  1/16 y B  1/16

Por lo que

1 1/16 1/16   2 8 x 8 x 64  x Integrando en ambos lados, tenemos



1 1/16 1/16 1 dx 1 dx  1/16 1/16  dx   dx  dx  dx     8 x 8 x 16 8  x 16 8  x 64  x 2  8 x 8 x  1 1   ln 8  x  ln 8  x  C 16 16







78





3) I  

x 1 dx x  3x  2 2

Solución: Factoricemos la función polinómica del denominador

x2  3x  2  ( x  1)( x  2) Así, separando en fracciones parciales, se tiene que

x 1 x 1 A B A( x  2)  B( x  1)     ( x  1)( x  2) x  3x  2 ( x  1)( x  2) x  1 x  2 2

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

x  1  A( x  2)  B( x 1)  x  1  Ax  2 A  Bx  B  x  1  ( A  B) x  ( 2 A  B)

De aquí, se tiene

A  B 1   2 A  B  1 Resolviendo, se tiene

A  2 y B  3

Por lo que

1 2 3   x  3x  2 x  1 x  2 2

Integrando en ambos lados, tenemos

x

2

4) I  

1 3   2 dx    dx   3x  2  x 1 x  2    2ln x  1  3ln x  2  C



2

 x 1 dx   x  2 dx   2 x 1  3 x  2 3

dx

dx

2x  4 dx ( x  1)2

Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que

2x  4 A B A( x  1)  B    2 2 x  1 ( x  1) ( x  1) ( x  1)2

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

2 x  4  A( x  1)  B  2 x  4  Ax  A  B

De aquí, se tiene

A  2  A  B  4 Resolviendo, se tiene A2 y B2 Por lo que

2x  4 2 2   2 x  1 ( x  1)2 ( x  1)

Integrando en ambos lados, tenemos



 2 2x  4 2  dx   dx   2 ( x  1)2  x  1 ( x  1) 



 x  1 dx   ( x 1) 2



3

 2ln x  1  3 ( x  1)  2 dx  C  2ln x  1  3 79

2

dx 2

 x  1  3 ( x 1)

( x  1) 1 C 1

dx

dx

2

 2ln x  1 

5) I  

3 C ( x  1)

4x dx ( x  1)( x 2  2 x  3) 2

Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que

4x Ax  B Cx  D ( Ax  B)( x 2  2 x  3)  (Cx  D)( x 2  1)    ( x 2  1)( x 2  2 x  3) x 2  1 x 2  2 x  3 ( x 2  1)( x 2  2 x  3) Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

4 x  Ax3  2 Ax2  2 Ax  Bx2  2Bx  3B  Cx3  Cx  Dx 2  D  0 x3  0 x2  4 x  0  ( A  C ) x3  (2 A  B  D) x2  (2 A  2B  C ) x  (3B  D) De aquí, se tiene

A  C  0 2 A  B  D  0   2 A  2 B  C  4 3B  D  0 Resolviendo, se tiene A  1 , B  1, C  1 y D  3 Por lo que

4x x 1 x  3  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 2

Integrando en ambos lados, tenemos

 (x

2

4x x  3  x 1 x  3  x 1 dx   2  2 dx  dx dx  2 2 2  1)( x  2 x  3) x 1 x  2x  3  x 1 x  2x  3  x 1 x3  dx  2 dx 2 x 1 x  2x  3 x 1 x 1 2  dx  dx  dx x2  1 x2  1 x2  2 x  3 1 x 1 2    ln x 2  1  arctan x   2 dx  dx  2 2 x  2x  3   x  2x  3 1  1 2  ln x 2  1  arctan x   ln x 2  2 x  3  dx  2 ( x  1)2  1  3  2 1  1 2   ln x 2  1  arctan x   ln x 2  2 x  3  dx 2 2 2  2 ( x  1)  2   1 1 1  x 1    ln x 2  1  arctan x   ln x 2  2 x  3  arctan    C 2 2  2  2















 







1 1 1  x 1   ln x 2  1  arctan x  ln x 2  2 x  3  arctan  C 2 2 2  2 

6) I  

x2  x  1 dx x 1

Solución: 80

Primero dividamos

x2  x  1  x2  x

x 1 

x

x2  x  1 1  x x 1 x 1

1 Así

I 

7) I  

x2  x  1 1  1 x2  dx    x  dx  xdx  dx   ln x  1  C    x 1 x 1 x 1  2 

( x 2  x  1) dx (2 x  1)( x 2  1)

Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que

( x 2  x  1) A Bx  C A( x 2  1)  ( Bx  C )(2 x  1)    (2 x  1)( x 2  1) 2 x  1 x 2  1 (2 x  1)( x 2  1) Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

x2  x  1  A( x2  1)  ( Bx  C )(2 x  1)

 x2  x  1  Ax2  A  2Bx2  Bx  2Cx  C  x2  x  1  ( A  2B) x2  ( B  2C ) x  ( A  C ) De aquí, se tiene

 A  2B  1   B  2C  1 A  C 1  Resolviendo, se tiene

1 2 3 A , B y C  5 5 5 Por lo que

( x 2  x  1) 3 / 5 1/ 5 x  2 / 5   2 (2 x  1)( x  1) 2 x  1 x2  1 Integrando en ambos lados, tenemos



( x 2  x  1) 3/ 5 1/ 5 x  2 / 5  3 / 5 1/ 5 x  2 / 5  dx   dx  dx  dx   2x  1 (2 x  1)( x 2  1) x2  1  x2  1  2x 1 3 1 1 x2 3 1  x 2   dx  dx  ln 2 x  1   2  dx  2 2 5 2x 1 5 x 1 5 5  x 1 x 1  3 1 x 1 2  ln 2 x  1  dx  dx 5 5 x2  1 5 x2  1 3 1 1 2 1  ln 2 x  1   ln x 2  1  dx 5 5 2 5 x2  1 3 1 2  ln 2 x  1  ln x 2  1  arctan x  C 5 10 5

















8) I  



9 x 2  25 x  10 dx x3  4 x 2  5 x 81

Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que

9 x 2  25 x  10 9 x 2  25 x  10 A B C     3 2 x( x  5)( x  1) x x  5 x  1 x  4 x  5x A( x  5)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  5)  x( x  5)( x  1)

(1)

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales

9 x2  25x 10  A( x  5)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  5) Así, Si x  5  9(0)2  25(0)  10  A(0  5)(0  1)  B(0)(0  1)  C(0)(0  5)

  10   5 A  A  2 Si x   1  9( 1)2  25( 1)  10  A( 1  5)( 1  1)  B( 1)( 1  1)  C( 1)( 1  5)  24  6C  C  4 2 Si x  5  9(5)  25(5)  10  A(5  5)(5  1)  B(5)(5  1)  C(5)(5  5)  90  30B  B  3 Reemplazando en (1) se tiene

9 x 2  25 x  10 2 3 4    3 2 x x  5 x 1 x  4 x  5x Integrando en ambos lados, tenemos



9 x 2  25 x  10 3 4  2 2 dx     dx  dx  3 2 x x  4 x  5x  x x  5 x 1  dx dx dx 2 3 4 x x 5 x 1  2ln x  3ln x  5  4ln x  1  C









 x  5 dx   x  1 dx 3

4



2 x 2  25 x  33 9) I   dx ( x  1)2 ( x  5) Solución: Separando en fracciones parciales, se tiene que

2 x 2  25 x  33 A B C    ( x  1)2 ( x  5) x  1 ( x  1) 2 x  5

(1)

A( x  1)( x  5)  B( x  5)  C ( x  1)2  ( x  1)2 ( x  5) Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

2 x2  25x  33  A( x  1)( x  5)  B( x  5)  C( x  1)2 Calculemos los valores de A, B y C Si x   1  2( 1)2  25( 1)  33  A( 1  1)( 1  5)  B( 1  5)  C( 1  1)2

  6   6B  B  1 Si x  5  2(5)  25(5)  33  A(5  1)(5  5)  B(5  5)  C(5  1) 2   108  36C  C   3 2 Si x  0  2(0)  25(0)  33  A(0  1)(0  5)  B(0  5)  C(0  1) 2   33   5 A  5  3  A  6 2

Reemplazando en (1) se tiene

2 x 2  25 x  33 6 1 3    2 2 x 5 ( x  1) ( x  5) x  1 ( x  1) 82

Integrando en ambos lados, tenemos



 6 2 x 2  25 x  33 1 3  6 1 dx     dx  dx  dx  2 2 x 5 x 1 ( x  1) ( x  5) ( x  1) 2  x  1 ( x  1) dx dx 6  ( x  1) 2 dx  3 x 1 x 5 1 ( x  1)  6ln x  1   3ln x  5  C 1 1  6ln x  1   3ln x  5  C x 1





10)









3 dx x 5



(5 x  7)dx

 ( x  3)( x2  x  2) Solución Separando en fracciones parciales, se tiene que

(5 x  7) (5 x  7) A B C     2 ( x  3)( x  x  2) ( x  3)( x  2)( x  1) x  3 x  2 x  1 A( x  2)( x  1)  B( x  3)( x  1)  C ( x  3)( x  2)  ( x  3)( x  2)( x  1)

(1)

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

5x  7  A( x  2)( x  1)  B( x  3)( x  1)  C( x  3)( x  2) Calculemos los valores de A, B y C Si x   1  5( 1)  7  A( 1  2)( 1  1)  B( 1  3)( 1  1)  C( 1  3)( 1  2)   12  12C  C   1 Si x  2  5(2)  7  A(2  2)(2  1)  B(2  3)(2  1)  C(2  3)(2  2)  3   3B  B   1 Si x  3  5(3)  7  A(3  2)(3  1)  B(3  3)(3  1)  C(3  3)(3  2)  8  4A  A  2 Reemplazando en (1) se tiene

(5 x  7) 2 1 1    2 ( x  3)( x  x  2) x  3 x  2 x  1

Integrando en ambos lados, tenemos



(5 x  7) 1 1  2  2 dx    dx  dx    x 3 ( x  3)( x 2  x  2)  x  3 x  2 x 1  1 1 1 2 dx  dx  dx x 3 x2 x 1  2ln x  3  ln x  2  ln x  1  C











1 dx  x2



1 dx x 1



( x  3)2  ln C ( x  2)( x  1)

11)

dx

 6 x3  7 x 2  3 x Solución Como 6 x3  7 x2  3x  x(2 x  3)(3x  1) , entonces la integral dada puede expresarse como

dx

dx

A

B

C 

 6 x3  7 x2  3x  x(2 x  3)(3x  1)   x  2x  3  3x  1  dx 83

(1)

Ahora calculamos las constantes A, B y C

1 A B C A(2 x  3)(3x  1)  Bx(3x  1)  Cx(2 x  3)     2 x(2 x  3)(3x  1) 6 x  7 x  3x x 2 x  3 3x  1 3

Igualando los numeradores se tiene

1  A(6 x2  7 x  3)  B(3x2  x)  C (2 x 2  3x) Ordenando y agrupando

0 x2  0 x  1  (6 A  3B  2C ) x2  (7 A  B  3C ) x  3 A

6 A  3B  2C  0  Por identidad de polinomios se tiene: 7 A  B  3C  0 3 A  1 



1  A   3  4  B  33  9  C  11 

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1) se tiene

1 dx 4 dx 9 dx  1/ 3 4 / 33 9 /11       dx     x 2 x  3 3x  1  3 x 33 2 x  3 11 3x  1

dx

 6 x3  7 x2  3x   

1 2 3   ln x  ln 3x  3  ln 3x  1  C 3 33 11

12)

xdx

 x 4  3x 2  2 Solución Como: x4  3x2  2  ( x2  2)( x2  1)  ( x  2)( x  2)( x  1)( x  1) , entonces la integral dada puede expresarse como

xdx

xdx 2)( x  2)( x  1)( x  1) A B C D  (    )dx ( x  2) ( x  2) ( x  1) ( x  1) Ahora calculamos las constantes A, B, C y D x A B C D     4 2 x  3x  2 ( x  2) ( x  2) ( x  1) ( x  1)

 x 4  3x 2  2   ( x 



(1)

A( x  2)( x 2  1)  B( x  2)( x 2  1)  C ( x 2  2)( x  1)  D( x 2  2)( x  1) ( x  2)( x  2)( x  1)( x  1)

Igualando los numeradores se tiene:

x  A( x3  2 x2  x  2)  B( x3  2 x2  x  2)  C( x3  x2  2 x  2)  D( x3  x 2  2 x  2) x  ( A  B  C  D) x3  ( 2 A  2B  C  D) x 2  ( A  B  2C  2D) x  2 A  2B  2C  2D Por identidad de polinomios se tiene:

84

A  B  C  D  0   2 A  2B  C  D  0   A  B  2C  2 D  1  2 A  2 B  2C  2 D  0 



1  A  B   2  C  D   1  2

Luego reemplazando los valores de A, B, C y D en (1), se tiene

xdx

1/ 2

 x 4  3x 2  2   ( x  

2)

dx  

1/ 2

x  2

dx  

1/ 2 1/ 2 dx   dx ( x  1) ( x  1)

  1 dx dx dx dx     2   ( x  2)  x  2  ( x  1)  ( x  1)   







1 ln x  2  ln x  2  ln x  1  ln x  1   C  2

1 x2  2  ln 2 C 2 x 1

13)

(2 x 2  1)dx  ( x  1)2 ( x  3) Solución A la integral dada expresemos en la forma:

 A (2 x 2  1)dx B C   ( x  1)2 ( x  3)    x  1  ( x  1)2  x  3 dx

(1)

Ahora calculando las constantes A, B y C

(2 x 2  1) A B C A( x  1)( x  3)  B( x  3)  C ( x  1) 2     ( x  1)2 ( x  3) x  1 ( x  1)2 x  3 ( x  1)2 ( x  3) Igualando los numeradores se tiene: 2 x2  1  A( x2  2 x  3)  B( x  3)  C ( x 2  2 x  1) Ordenando: 2 x2  1  ( A  C ) x 2  (2 A  B  2C ) x  3 A  3B  C Ahora por identidad de polinomios se tiene:

85

A  C  2  2 A  B  2C  0 3 A  3B  C  1 



13   A  16  3  B   4  19  C  16 

Luego reemplazando los valores de A, B y C en (1), se tiene

 2x  1 dx 2

 13 /16

 ( x  1)2 ( x  3)    

x 1



3 / 4 19 /16  13 dx 3 dx 19 dx      dx   2 2 x 3  16 x  1 4 ( x  1) 16 x  3 ( x  1)

13 3 19 ln x  1   ln x  3  C 16 4( x  1) 16

86

1)

Se estima que dentro de x años, el valor de un acre de tierra cultivable aumentará a razón de: V '( x) 

2x 1 dólares por año. En la actualidad el acre de tierra cuesta US$500. 3x 2  27

¿Cuánto costará el acre de tierra en 10 años? Solución: Para calcular el costo de acre en función del número de años, hay que integrar V '( x) con respecto a x , así

V ( x)   V '( x)dx  

2x 1 2x 1 1 2x 1 dx   dx   2 dx 2 2 9 x 9 3x  27 3( x  9)

(1)

Para calcular esta última integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así

2x 1 2x 1 A B    2 x  9 ( x  3)( x  3) x  3 x  3 A( x  3)  B( x  3)  ( x  3)( x  3)

(2)

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que

2 x  1  A( x  3)  B( x  3)

Calculemos ahora las constantes A y B Si x   3   5   6 B  B  Si x  3  7  6 A  A 

5 6

7 6

Reemplazando estos valores en (2), se tiene

2x 1 7 / 6 5 / 6   x2  9 x  3 x  3

Integrando en ambos lados, se tiene

2x 1

 7/6

5/6 

7/6

5/6

7

1

5

1

 x2  9 dx    x  3  x  3 dx   x  3 dx   x  3dx  6  x  3 dx  6  x  3dx 7 5  ln x  3  ln x  3 6 6 Reemplazando en (1), se tiene

V ( x) 

1 2x 1 17 5 7 5  dx   ln x  3  ln x  3   C  ln x  3  ln x  3  C  2 9 x 9 96 6 54 54 

Además, por dato del problema

V (0)  500 7 5  ln 0  3  ln 0  3  C  500 54 54 7 5  ln 3  ln 3  C  500 54 54  C  499.7558

Por lo tanto

V ( x) 

7 5 ln x  3  ln x  3  499.7558 54 54

Así, el costo del acre de tierra después de 10 años es,

87

V (10) 

2)

7 5 ln 10  3  ln 10  3  499.7558  500.245 dólares 54 54

Suponga que la función del costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:

dC 100q 2  4998q  50 , donde C es el costo total en dólares cuando se  dq q 2  50q  1

producen q unidades. Si los costos fijos son de 10 000 dólares, encuentre el costo total de producir 50 unidades. Solución: Para calcular el costo total, hay que integrar

C (q)  

dC con respecto a q , así dq

dC 100q 2  4998q  50 dq   dq dq q 2  50q  1

Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales. Como el grao del numerador es igual al grado del denominador, entonces lo que primero que se debe de hacer es dividir estos polinomios, así

100q 2  4998q  50

q 2  50q  1

 100q 2  5000q  100

100

2q  50



100q 2  4998q  50 2q  50  100  2 2 q  50q  1 q  50q  1 Así

C (q)  

 100q  

 100q 2  4998q  50 2q  50  2q  50 dq  100  dq  100 dq  dq      2 2 q 2  50q  1 q  50 q  1 q  50 q  1  

2q  50 dq q 2  50q  1

(1)

Para calcular esta última integral, usemos la técnica de cambio de variable. Así haciendo

u  q2  50q  1  du  (2q  50)dq Por lo que

2q  50

1

1

 q2  50q  1 dq   q2  50q  1 (2q  50)dq   u du  ln u  ln q Reemplazando este resultado en (1), se tiene

C (q)  100q  ln q 2  50q  1  C Además, por dato del problema

C (0)  10000

 100(0)  ln (0)2  50(0)  1  C  10000

 C  10000 Por lo tanto

C (q)  100q  ln q 2  50q  1  10000

88

2

 50q  1

Así, el costo total de producir 50 unidades es,

C (50)  100(50)  ln (50)2  50(50)  1  10000  15000

3)

El propietario de la cadena de perros calientes estima que el precio en dólares de su nuevo producto, salchichas, cambia a razón de: P '( x) 

30 x cuando se ofrecen x ( x  1)( x  3)2

miles de salchicha por compra. Si el precio actual es $ 2,25 por salchicha. ¿A qué precio se ofrecerá 4 000 salchichas adicionales? Solución: Para calcular precio, hay que integrar P '( x) con respecto a x , así

P( x)   P '( x)dx  

30 x dx ( x  1)( x  3)2

Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así

30 x A B C    2 x  1 x  3 ( x  3)2 ( x  1)( x  3)



(1)

A( x  3)2  B( x  1)( x  3)  C ( x  1) ( x  1)( x  3)2

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que

30 x  A( x  3)2  B( x  1)( x  3)  C ( x  1) Calculemos ahora las constantes A y B Si x   3   90   2C  C  45 15 Si x   1   30  4 A  A   2 15  15  Si x  0  0  9 A  3B  C  0  9     3B  45  B  2  2  Reemplazando estos valores en (1), se tiene

30 x 15 / 2 15 / 2 45    2 x 1 x  3 ( x  3) 2 ( x  1)( x  3)

Integrando en ambos lados, se tiene

30 x

 15 / 2 15 / 2 45  15 / 2 15 / 2 45   dx  dx  dx  dx     x 1 x  3 ( x  3)2  x 1 x3 ( x  3)2

 ( x  1)( x  3)2 dx   

15 1 15 1 dx   dx  45 ( x  3)2 dx  2 x 1 2 x3 15 15 ( x  3)1   ln x  1  ln x  3  45 C 2 2 1 15 15 45   ln x  1  ln x  3  C 2 2 x3



Así

89

P( x)  

15 15 45 ln x  1  ln x  3  C 2 2 x3

Además, por dato del problema

P(0)  2.25 15 15 45   ln 0  1  ln 0  3   C  2.25 2 2 03 15  ln 3  15  C  2.25 2  C  9.01

Por lo tanto

P( x)  

15 15 45 ln x  1  ln x  3   9.01 2 2 x3

Así, el precio a la que se ofertarán 4000 salchichas adicionales es

P(4)  

15 15 45 ln 4  1  ln 4  3   9.01  $5.1 2 2 43

90