• Author / Uploaded
• Claudia Echevarria

Citation preview

Escuela de Ingeniería Civil Curso: Matemática IV Docente: Alex Neri Gutierrez Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Mediante el método de separación de variables resolver, las siguientes ecuaciones diferenciales. 1.

dy dx

6. (4y + yx2 )dy − (2x + xy 2 )dx = 0

= (x + 1)2

2. dx + e3x dy = 0

7. 2y(x + 1)dy = xdx
y+1 2 8. y ln x dx = dy x

dy 3. (x + 1) dx =x+6 y3 x2

4.

dy dx

=

5.

dx dy

= e3x+2y

9. ln y 0 = x 0

10. ey = x

Mediante el método del factor integrante resolver, las siguientes ecuaciones diferenciales. 1.

dy dx

+ 5y = 20,

y(0) = 2

6.

2. y 0 = 2y + x(e3x − e2x ), 3. y dx − x = 2y 2 , dy

5.

dQ dx

= 5x4 Q,

= k(T − 50),

T (0) = 200

7. xdy + (xy + 2y − 2e−x )dx = 0, y(1) = 0

y(0) = 2

dy + y = ln x, 8. (x + 1) dx

y(1) = 5

4. y 0 + (tan x)y = cos2 x,

dT dt

9. xy 0 + y = ex ,

y(0) = −1

y(1) = 2

dy 10. x3 dx + 2x2 y = 10 sin x,

Q(0) = −7

y(1) = 10

y(1) = 0

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x = 0 a 2: dy = yx2 − 1,1y dx donde y(0) = 1. Grafique la solución. 2. Utilice el método de Euler con h = 0.5 y 0.25, para resolver el problema 1. Grafique los resultados en la misma gráfica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso. 3. Repita los problemas 1 − 2, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el intervalo de x = 0 a 1: dy √ = (1 + 2x) y, y(0) = 1 dx 4. Utilice el método de Euler para resolver: d2 y − 0,5t = 0 dt2 donde y(0) = 2 y y 0 (0) = 0. Resuelva de x = 0 a 4, con h = 0,5. Compare los métodos por medio de gráficar las soluciones.

5. Las dinámicas del crecimiento de la población son importantes en varios estudios de planeación tales como el transporte y la ingeniería de los recursos hidráulicos. Uno de los modelos más simples de dicho crecimiento incorpora la suposición de que la tasa de cambio de la población p es proporcional a la que existe en cualquier momento t: dp = Gp dt donde G = tasa de crecimiento (anual). Este modelo tiene sentido intuitivo porque entre mayor sea la población más grande será el número de padres potenciales. Al tiempo t = 0, una isla tiene una población de 6 000 personas. Si G = 0,075 por año, emplee el método de Euler para predecir la población en t = 10 años, con el uso de un tamaño de paso de 0,5 años. Grafique p versus t, en papel estándar y semilogarítmico. Determine la pendiente de la línea sobre la gráfica semilogarítmica. Analice sus resultados. 6. La razón de cambio del número de coyotes N (t) en una población es directamente proporcional a 650 − N (t), donde t es el tiempo en años. Cuando t = 0, la población es 300, y cuando t = 2, la población se incrementó a 500. Encontrar la población cuando t = 3, mediante: a) Solución analítica. b) El método de euler de orden 1, con k = 0,4236. c) El método de euler de orden 2, con k = 0,4236. 7. La ley de Torricelli establece que el agua fluirá desde una abertura en la parte inferior del tanque con la misma velocidad que alcanzaría al caer desde la superficie del agua a la abertura. Una de las formas de la ecuación de Torricelli es A(h)

p dh = −k 2gh dt

donde h es la altura del agua en el tanque, k es el área de la abertura de la parte inferior del tanque, A(h) es el área de la sección transversal a la altura h, y g es la aceleración debida a la gravedad (g ≈ 32 pies/s2 ). Un tanque de agua hemisférico tiene un radio de 6 pies. Cuando el tanque está lleno, una válvula circular con un radio de 1 pulgada se abre en la parte inferior, como se muestra en la figura.

Se desea calcular: El tiempo necesario para que el tanque se vacíe completamente.

Aproximar h(4), mediante el método de euler de orden 1. 8. Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t = 1 h se determina que el número de bacterias es 23 P0 . Si la razón de crecimiento es proporcional al número de bacterias P (t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. 9. Un reactor de cría convierte uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años, se ha determinado que 0,043 % de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad que queda. 10. FECHADO CON CARBONO Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que utiliza al carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría del fechado con carbono, se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmósfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isótopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmósfera. Cuando muere un organismo cesa la absorción del C-l4 sea por respiración o alimentación. Así, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil con la razón constante que hay en la atmósfera, es posible obtener una estimación razonable de la edad del fósil. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-l4 radiactivo es de aproximadamente 5 600 años. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de química en 1960. El método de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto y la tela del enigmático sudario de Turín. Ejemplo: Se encuentra que un hueso fosilizado contiene la centésima parte de la cantidad de C-14 encontrada en la materia viva. Determine la edad del fósil. 11. Un reactor de cría convierte al uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se ha desintegrado el 0,043 % de la cantidad inicial, A0 , de una muestra de plutonio. Calcule el periodo medio de ese isótopo, si la razón de desintegración es proporcional a la cantidad presente. 12. Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 300◦ F . Después de 3 minutos, 200◦ F . ¿En cuanto tiempo se enfriará hasta la temperatura ambiente de 70◦ F ? 13. a) El problema de valor inicial dA/dt = kA, A(0) = A0 es el modelo de desintegración de una sustancia radiactiva. Demuestre que, en general, el periodo medio de vida, T , de la sustancia es T = −(ln 2)/k. b) Demuestre que la solución del problema de valor inicial en la parte a) se puede escribir A(t) = A0 2−2t/T 14. Una ecuación diferencial que describe la velocidad v de una masa m en caída sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantánea es: m

dv = mg − kv dt

en que k es una constante de proporcionalidad positiva. a) Resuelva la ecuación, sujeta a la condición inicial v(0) = v0 .

b) Calcule la velocidad límite (o terminal) de la masa. c) Si la distancia s se relaciona con la velocidad por medio de ds/dt = v, deduzca una ecuación explícita para s, si también se sabe que s(0) = s0 . 15. La razón con que se disemina una medicina en el torrente sanguíneo se describe con la ecuación diferencial: dx = r − kx dt r y k son constantes positivas. La función x(t) describe la concentración del fármaco en sangre en el momento t. Determine el valor límite de x(t) cuando t → ∞. ¿En cuánto tiempo la concentración es la mitad del valor límite? Suponga que x(O) = 0. 16. La ecuación diferencial:

dP = (k cos t)P dt en que k es una constante positiva, se usa con frecuencia para modelar una población que sufre fluctuaciones estacionales anuales. Determine P (t) y grafique la solución. Suponga que P (0) = P0 .

17. Suponga que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a su escuela, donde hay 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de alumnos infectados, sino también a la cantidad de alumnos no infectados, determine la cantidad de alumnos infectados seis días después, si se observa que a los cuatro días x(4) = 50. 18. Un cadáver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 70◦ F . Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadáver se determinó de 85◦ F . Una hora después una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 80◦ F . Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t = 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 98,6◦ F . Determine ¿cuántas horas pasaron antes de que se encontrara el cadáver? [Sugerencia: Sea que t1 > 0 denote el tiempo en que se encontró el cadáver.] 19. Los arqueólogos utilizan piezas de madera quemada o carbón vegetal, encontradas en el lugar para fechar pinturas prehistóricas de paredes y techos de una caverna en Lascaux, Francia. Precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinó que 85,5 % de su C-l4 encontrado en los árboles vivos del mismo tipo se había desintegrado. 20. Inicialmente había 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó 3 %. Si la razón de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda después de 24 horas. 21. Ejercicio: Buscar una aplicación de EDO a la Ingeniería Civil.