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• Nick Ramírez

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ECUACIONES DIFERENCIALES

BITACORA JUAN ESTEBAN MONTOYA VALENCIA

PROFESOR GUILLERMO LEON

MEDELLIN 2019 1

EJERCICIO PLANTEADO NUMERO 1 La población de una región determinada era de T 0 habitantes en un tiempo inicial t=0 , esta crece a una razón proporcional a su tamaño y a una tasa de inmigración constante de N personas por año, deducir un modelo matemático que exprese la relación entre la población T en cualquier tiempo t , la población inicial y el número de personas que entran en la región

SOLUCION 1) Planteamiento de la ecuación diferencial Las variables toman los siguientes valores:

dT =K∗T + N dt



dT dt



K

= la constante de proporcionalidad



N

= tasa de inmigración de personas

= la razón de cambio de crecimiento

2) Pasamos toda la ecuación a un solo lado e igualamos la ecuación a cero dT ∗1 dt =0 K∗T + N 3) Aplicamos integración por separación de variables

1

∫ K∗T + N

dT dt=∫ 1 dt dt

 Separación de variables

1

∫ K∗T + N dT=∫ 1 dt u=K∗T + N



aplicamos cambio de variable



como

du=K dt

1 du=dt K 1 ∗1 u ∫ K du=∫ 1dt

1 es constante puede salir K de la integral 2

1 du=¿∫ 1dt u 1 ∫¿ K



aplicamos la integral de Logaritmo natural



la integral de 1 es t



nos devolvemos en el cambio de variable por la expresión original



pasamos a multiplicar a K



aplicamos la definición de logaritmo natural



tomamos a



aplicamos las condiciones iniciales

( K∗T 0 + N ) = A(2)



nombramos a la ecuación como 2

( K∗T 0 + N ) =( K∗T 0 + N ) e Kt



operamos algebraicamente reemplazamos (2)

1 ln |u|=t + c K 1 ln |K∗t+ N|=t+ c K 1 ln ( K∗T +N )=t+c K ln ( K∗T +N ) =Kt +c e ln ( K∗T + N )=e Kt+c

( K∗T + N )=e Kt∗e C e C= A

e C como

A

( K∗T 0 + N ) =e Kt∗A ( K∗T 0 + N ) =e K (0)∗A

y

( K∗T 0 + N ) =K T 0 e Kt + N e Kt

( K∗T 0 ) =K T 0 e Kt + N e Kt −N e (¿¿ Kt −1) Kt ( K∗T 0 ) =K T 0 e +N ¿ e ( ¿¿ Kt−1) K N ( T 0 )= T 0 e Kt + ¿ K K e ( ¿¿ Kt−1) Kt N T ( t )=T 0 e + ¿ K

 la población depende del tiempo 3

4) aplicamos las siguientes condiciones T 0=3.000 .000 K=0.001 2 t 1 =1 año=10 3 t 2 =2 año=10

t 3 =3 año=104 4 t 1 =4 año=10 4 t 1 =5 año=10 4 t 1 =6 año=10

e (¿¿ (0.001)(1)−1)=3003101.551 102 (0.001)(1) T ( 1 )=3.000 .000 e + ¿ ( 0.001) e (¿¿( 0.001)(2)−1)=3008008.005 103 (0.001)(2) T ( 2 )=3.000.000 e + ¿ ( 0.001) e (¿¿( 0.001)(3)−1)=3039058.559 104 T ( 3 ) =3.000.000 e (0.001)(3 )+ ¿ (0.001)

5) para mayores a 3 años se estabiliza son los siguientes resultados e (¿¿ (0.001)(1)−1)=3003101.551 102 T ( 1 )=3.000 .000 e(0.001)(1) + ¿ ( 0.001) e (¿¿( 0.001)(2)−1)=3008008.005 103 T ( 2 )=3.000.000 e(0.001)(2) + ¿ ( 0.001) e (¿¿( 0.001)(3)−1)=3039058.559 104 T ( 3 ) =3.000.000 e (0.001)(3 )+ ¿ (0.001) e (¿¿ (0.001)(4)−1)=3052104.139 10 4 T ( 4 )=3.000.000 e (0.001)(4) + ¿ (0.001) e (¿¿ (0.001)(5)−1)=3065162.771 104 T ( 5 ) =3.000.000 e (0.001)(5 )+ ¿ (0.001) 4

e (¿¿ (0.001)( 6)−1)=3078234.469 10 4 T ( 6 )=3.000 .000 e(0.001)(6) + ¿ (0.001) e (¿¿(0.001)(7)−1)=3091319.244 10 4 T ( 7 )=3.000 .000 e(0.001)(7) + ¿ (0.001) e (¿ ¿(0.001)(8)−1)=3104417.112 10 4 T ( 8 )=3.000 .000 e(0.001)(8) + ¿ (0.001) e (¿¿ (0.001)(9)−1)=3117528.083 10 4 T ( 9 )=3.000 .000 e(0.001)(9) + ¿ (0.001) e ( ¿¿(0.001)(10)−1)=3130652.172 104 T ( 10 ) =3.000.000 e (0.001)(10) + ¿ (0.001) e (¿¿ (0.001)(11)−1)=3143789.392 10 4 T ( 11 )=3.000 .000 e(0.001)(11) + ¿ (0.001) e (¿¿ (0.001)(12)−1)=3156939.755 10 4 T ( 12 )=3.000 .000 e(0.001)(12) + ¿ (0.001)

NOTA: ¿Qué pasa cuando se ingresa el valor de la ecuación a Excel?

5

6) grafica la función de la población dependiendo del tiempo



El valor de la función cuando



Color verde representa los valores que toma la función Esta tiene un comportamiento exponencial

t=1 

6

EJERCICIO PLANTEADO NUMERO 2 Empleando el comando de Campo Direccional de algún software de modelación, en especial de Geómetra hallar el campo direccional del siguiente mapa de derivadas

dy =0.2 xy { x ∈ [ 5,5 ] , y ∈ [ 5,5 ] } dx

SOLUCION 1) Planteamiento para solucionar al ecuación diferencial dy =0.2 xy dx



1 dy =0.2 x y dx



1 dy



∫ y dx dx=∫ 0.2 x dx 1

∫ y dy=∫ 0.2 x dx 1

∫ 0.2 x dx =0.2∫ x dx=0.2

x2 1 =0.1 x 2= x2 +C 2 2 10

C2 +C 1=K ln | y|+C 1=

procedemos a integrar



integral respecto a la variable y



integral respecto a la variable x



renombramos la constantes para más adelante



aplicamos definición de las leyes del logaritmo natural

1 2 x + C2 10 1

e ln| y|+C =e 10 1

separación de variables

integración por separación de variables 

dy =ln| y|+C1 y

∫ y dy=∫

ecuación diferencial

2

x +C 2

C1

e ln| y|∗e =e

1 2 x 10

∗e

K

e =C 1

x



leyes de los exponentes (pasamos al otro lado de la ecuación el valor de e K =C por ser constantes



C como constante por no variar, por no estar en términos de las variables

K

2

e ln| y|=e 10 ∗C 1

y=C e 10

x

2

2) Grafica campos direccionales



SOLUCION IMPLICITA GENERAL DE LA ECUACION DIFERENCIAL

CAMPO DIRECCIONAL 1, PARA VALORES DE C=-2

CAMPO DIRECCIONAL 2, PARA VALORES DE C= 3

NOTA: ¿Qué pasa cuando se ingresan valores a Geogebra?



Deja ingresar el comando campo direccional pero no deja ingresar el comando resolver ecuación diferencial ordinaria

EJERCICIO PLANTEADO NUMERO 3 Resolver analíticamente la siguiente ecuación diferencial dy ( y−1)(x−2)( y +3) = dx (x−1)( y −2)(x +3)

SOLUCION 1) Planteamiento para solucionar al ecuación diferencial ( y−2) ( x−2) dy = ( y +3)( y−1) dx ( x−1)(x+ 3)

( y −2)



pasamos a cada lado las variables relacionadas con respecto a la dependencia de la derivada este caso las y a la izquierda y las x a la derecha

dx=∫ dx ∫ ( y +3)( y −1) dy dx ( x−1)( x+3) (x−2)



( y−1 )−1

dy

( x −1 )−1

∫ ( y +3)( y −1) dx dx=∫ ( x−1)( x+3) dx

integramos por separación de variables