Nº 1 METODO EDO. Variables Separables. Son aquellas que mediante los procesos algebraicos se pueden separar las variabl
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Nº 1
METODO EDO. Variables Separables. Son aquellas que mediante los procesos algebraicos se pueden separar las variables.
PASOS a)
EJEMPLOS Se escribe
dx f (t ) g ( x) dt
b) Se separan las variables:
c)
dx g ( x)
Se integra:
dx f (t )dt g ( x)
dx t3 6 dt x 1 Se
g ( x)
f (t )dt
identifican
las
funciones:
Nota: Todo cero (toda raíz) x = a de g(x) da lugar a la solución constante x(t) a
Sea F(y,t). Entonces, Su diferencial total es
1 x 1
F F dy dt 0 y esto y t
Se integra:
Queda
x
6
1 dx t 3dt
1 7 1 x x t4 C 7 4
integral
de
m
respecto
a
y,
entonces,
F ( y, t ) Mdy (t ) 2.
función t se incluye la constante de integración. 1.
F y 2 ' (t ) t
2.
Como N
Al ser M una diferencial parcial, se ha de integrar solo respecta a y, por lo que t se trata como una constante.
igualan
Es una ecuación diferencial
3
2 2 2ytdy + y dt = 0. Aquí: M = 2yt, N = y . Entonces: F 1. Sea M . Esto significa que F contendrá la y F ( y, t ) 2 ytdy (t ) y 2t (t ) . En la
F F dF ( y, t ) dy dt y t
Si se iguala a cero
3
t;
6
6
EDO. EXACTAS
=
Se separan las variables: (x + 1)dx = t dt
d) Se calculan las dos integrales
2
f(t)
F 2 , esto significa que N = y . Se t
entonces
(2)
y
(3)
y
queda
exacta porque su primer miembro es la diferencial de la función F(y,t).
3.
Para hallar t se usa N
F t 3.
M
Se
integra
F , y
Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer orden mediante la sustitución y=g(x,u), donde u se considera una función de la variable x. Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera.
queda
2
4.
El resultado de F(y,t) será y t + k
5.
La solución es F(y,t) = C.. Sustituyendo queda 2
y (t ) Ct ED0. POR SUSTITUCIÓN
y
y t + k = C1. Como C = C1 – k, entonces
F . N t
3
’t
(t ) ' (t )dt 0dt k
En general, una ecuación diferencial Mdy + Ndt = 0 es exacta si y solo si existe F(y,t) tal que
y 2 y 2 ' (t ) y ’t = 0
Si una ecuación en la forma diferencial : M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 tiene la propiedad que M(tx, ty) = t nM(x, y) y N(tx, ty) = t nN(x, y), entonces decimos que es de coeficientes homogénea o que es una E.D. homogénea. Siempre que se tenga una E.D. homogénea podrá ser reducida por medio de una sustitución adecuada a una ecuación en variables separables. Método de solución: dada la ecuación M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 donde M(x, y) y N(x, y) son funciones homogéneas del mismo grado; mediante la sustitución y = ux ´o x = yv (donde u ´o v son nuevas variables dependientes), puede transformarse en una ecuación en variables separables.
1 2
, C es arbitraria.
4
EDO. DE BERNOULLI. Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
(1) Reconozca que la ecuación diferencial es una ecuación de Bernoulli. Entonces encuentre el parámetro n de la ecuación;
Tenemos una ecuacion de Bernoulli con n = 3; la nueva función ; (3) Con la diferenciación fácil, encuentre la nueva ecuación Considere (2) Substituya
satisfecha por la nueva variable v . Usted puede desear recordar la forma de la nueva ecuación:
La nueva ecuación satisfecha por v es
;
(4) Solucione la nueva ecuación lineal para encontrar v ;
Donde y son (5) Vaya de nuevo a la vieja función y a través de la Esto es una ecuacion lineal: funciones continuas en un sustitución intervalo el factor que integra es (6) Si n > 1, agrega la solución y = 0 a las usted obtuvo adentro (4).
(7) Si usted tiene un PVI, utilice la condición inicial para
tenemos la solución general se da cerca
encontrar la solución particular.
De nuevo a la función y : tenemos que Todas las soluciones están de la forma
, da
5
ED. LINEALES.
Como primer paso, resolveremos primero la ecuación homogénea Y ′ = a(x)y:
y′ = yx + x:
Resolvemos primero la ecuacion homogenea Las ecuaciones lineales de y′ = yx: primer orden son de la forma Esta ecuación es de variables separadas y nos dara una y′ = a(x)y + b(x) solución de la forma
y = K f(x): Para resolver la ecuación original, cogeremos una función de la forma y = K(x)f(x) y la sustituiremos en la ecuación original para determinar K(x).
Esta ecuacion es precisamente la que hemos resuelto en el Ejemplo 4 por lo que la solucion es de la forma y = Ce^x2/2: Consideremos una funcion de la forma y = C(x)e x2/2. Tendremos entonces que y′ = C′(x)e^x2/2 + 2xC(x)e^x2/2: Sustituyendo en la ecuacion que queremos resolver C′(x)ex2=2 + xC(x)e^x2/2 = y′ = yx + x = C(x)e^x2/2x + x de donde deducimos que C′(x)e^x2/2 = x y por tanto C(x) = ∫xe^−x2/2dx = −e^−x2/2 + K Asi que y = C(x)e^x2/2 = (−e−x2=2 + K)e^x2/2 = −1 + Ke^x2/2