Ecuacion de Difusion de Calor en Coordenadas Esfericas
Universidad Nacional De Trujillo FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA “ECUACION DE DIFUSIÓ
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Universidad Nacional De Trujillo FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA MECÁNICA
“ECUACION DE DIFUSIÓN DE CALOR EN COORDENADAS ESFÉRICAS” CURSO
: TRANSFERENCIA DE CALOR
DOCENTE
: Ing. GUAYAN HUACCHA, Eli
ALUMNO
:
CICLO
: Sétimo
TRUJILLO – PERÚ 2012
Escriba aquí la ecuación. INDICE ANALÍTICO FUNDAMENTACION Y EXPLICACION…………………………………………………………3
DESARROLLO…………………………………………………………………………………..…4 SUPUESTOS TEORICOS DE TRABAJO………………………………………………4 VOLUMEN DE CONTROL………………………………………………………………..4 CALCULO DE AREAS DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN…………..5 BALANCE DE ENERGÍA………………………………………………………………5-10
RESULTADO DE ECUACIÓN DEL CALOR EN COORDENADAS ESFÉRICAS…………10
GRÁFICOS DE AREAS………………………………………………………………………….10
CONCLUSIONES Y APRECIACION CRÍTICA………………………………………………..11
MAPA CONCEPTUAL……………………………………………………………………………11
BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………………………12
ANEXOS……………………………………………………………………………………….12-13
2
Escriba aquí la ecuación. FUNDAMENTACIÓN: Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras. Lo que se quiere dar a entender es que se desea conocer la distribución de temperaturas, que representa como la temperatura está variando con la posición en el medio. Una vez que se conoce este campo, el flujo de calor por conducción por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier. En esta perspectiva se abordara el análisis de conducción no en coordenadas cartesianas que se está acostumbrado a realizar, si no en coordenadas esféricas, ya que en la realidad muchas veces nos encontramos con máquinas u objetos no en forma cuadrada ni rectangular, si no en formas esféricas (tanques que guardan combustible en forma esférica) la cual se nos complicaría resolver un análisis de conducción tratado como coordenadas cartesianas.
EXPLICACION: Para determinar esta ecuación de difusión de calor en coordenadas esféricas seguimos la siguiente metodología: 1. Asumimos hipótesis de trabajo. 2. Definimos nuestro volumen de control diferencial, en base a nuestras coordenadas en este caso esféricas. 3. Realizamos el balance de energía al volumen de control. 4. Llevamos estos datos a la ecuación de conservación de energía, en un diferencial de tiempo. 5. Resolvemos la ecuación, ayudándonos de nuestra base de matemática y de la ley de Fourier.
3
Escriba aquí la ecuación. DESARROLLO: SUPUESTOS TEÓRICOS DE TRABAJO:
El sólido es homogéneo e isotrópico lo que implica una densidad constante y propiedades físicas no dependen de dirección.
La variación de su volumen debido al cambio de temperatura se considera despreciable (material no se dilata ni contrae al cambio de temperatura).
Propiedades físicas no cambian con temperatura.
El sistema tiene una fuente interna de calor uniformemente distribuido.
VOLUMEN DE CONTROL: Se elige el siguiente volumen de control (
)
4
Escriba aquí la ecuación. CÁLCULO DE AREAS DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN: (Ver imágenes de áreas en gráficos pag. ) Según la dirección radial ( ) :
(
)
Según la dirección ( ) :
Según dirección ( ) :
(
)
BALANCE DE ENERGÍA: Realizando el respectivo balance de energía al volumen de control obtenemos:
5
Escriba aquí la ecuación. Sea la energía calorífica neta impartida por la transferencia de calor a través de sus superficies más la energía calorífica impartida por las fuentes internas de calor debe ser igual a la variación de la energía interna del volumen elemental considerado (ver imagen anterior). Por la primera ley de la termodinámica tenemos: ( ) Dónde: ( ) ̇
(
) (
)
Donde es la cantidad neta de calor introducido en el elemento diferencial por conducción, y es la cantidad de calor “liberada” por las fuentes internas de calor, representa la variación de la energía interna de la sustancia contenida en el elemento de análisis, es densidad y es el calor especifico. Realizaremos la cantidad neta de calor en dirección del eje radial: ( ) ….. (*) De la densidad de flujo de calor tenemos: ̇
̇
Entonces tenemos: ̇
̇ ̇
̇
(
Por serie de Taylor tenemos:
)
̇ ( ̇
̇
) (
̇ ̇
)
6
Escriba aquí la ecuación. Reemplazando los términos anteriores en la ecuación (*): ̇
( ̇ ̇
̇
̇
) (
) ̇
̇
̇ ̇
( ̇ ̇
( ̇ ( ̇
(
)
)
))
Realizaremos la cantidad neta de calor en dirección del ángulo azimutal: ( ) ….. (*) Entonces tenemos: ̇
̇ ̇
̇
Por serie de Taylor tenemos: ̇ ( ̇
̇
̇ ̇
)
Reemplazando los términos anteriores en la ecuación (*): ̇
( ̇
̇
)
̇
7
Escriba aquí la ecuación. Realizaremos la cantidad neta de calor en dirección del ángulo zemital: ( ) ….. (*) Entonces tenemos: ̇
̇ ̇
( ̇
)
Por serie de Taylor tenemos: ̇ ̇
( ̇
)
(
̇
) ( ̇
̇
̇ ̇
̇
)
(
̇
̇
̇
̇ ̇
( ̇ ̇
( ̇
(
)
( ̇
)
)
))
De la ley de Fourier tenemos: Nota: La constante de conductividad térmica se da en
⁄
por lo tanto cuando se da
el gradiente para una coordenada angular debe expresarse en términos del cambio diferencial de longitud de arco. ̇ ̇ ̇ 8
Escriba aquí la ecuación. Con esto tenemos: (
(
))
(
(
)
(
))
Finalmente reemplazando en la ecuación ( ): (
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
(
(
(
))
)
)))
Realizaremos análisis para la generación de energía (por la fuente): (
)
̇ Usando el jacobiano para una transformación de coordenadas de cartesianas a esféricas, se obtiene el diferencial de volumen el cual introducido en la ecuación anterior obtenemos ̇ Realizaremos análisis para la variación de la energía interna: (
)
Reemplazando todos estos términos obtenidos en la ecuación ( ) (
(
)
(
)
(
(
)))
̇
9
Escriba aquí la ecuación.
(
(
)
(
(
(
)
)
(
(
(
)
)))
(
(
̇
)))
̇
RESULTADO DE ECUACIÓN DEL CALOR EN COORDENADAS ESFÉRICAS
𝛼(
𝜕 𝜕𝑇 ( 𝑟) 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑟
𝜕 𝑇 𝜃 𝜕
𝑟
𝜕 𝜕𝑇 ( ( 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃
𝜃)))
𝑞̇ 𝑓 𝜌 𝐶𝑝
𝜕𝑇 𝜕𝑡
Lo que se muestra en la parte superior es la llamada ecuación de difusión de calor expresada en coordenadas esféricas.
GRÁFICOS DE AREAS:
AREA NORMAL A DIRECCION RADIAL
AREA NORMAL A DIRECCION ANGULAR ASIMUTAL
AREA NORMAL A DIRECCION ANGULAR ZEMITAL
10
Escriba aquí la ecuación.
CONCLUSIONES Y APRECIACION CRÍTICA:
La ecuación a simple vista parece muy compleja y claro que es compleja, pero con las restricciones, condiciones iniciales y de frontera, que presentara el problema que se afronte esta ecuación se simplificara volviéndose más factible a resolver.
La distribución de Temperaturas en el medio y frontera para un cuerpo expresado en coordenadas esféricas, resulta más simple analizarlo con esta ecuación descrita anterior que con la ecuación del calor en coordenadas cartesianas.
MAPA CONCEPTUAL
ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE CALOR EN COORDENADAS ESFÉRICAS
HIPÓTESIS DE TRABAJO
VOLUMEN DE CONTROL
BALANCE ENERGÉTICO
RESOLUCIÓN
RESULTADO
11
Escriba aquí la ecuación. BIBLIOGRAFÍA:
Fundamentos de Transferencia de Calor, Frank P. Incropera - David P. De Witt, Cuarta Edición, 2 Capitulo (Introducción a la conducción) , Ecuación de difusión del calor (pag. 52-57)
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_esfercicas
PDF, Universidad Nacional de Quilmes, Ingeniería de automatización y control industrial (PROCESOS Y MAQUINAS INDUSTRIALES II).
ANEXOS: DETERMINACION DE DIFERENCIAL DE AREAS: Para las áreas normales a la dirección radial tenemos: (
(
)
( )
(
(
( )
(
(
)
(
)
(
(
)
)
)
)
(
)
(
)
) (
) (
)
) (
)
) (
( )
(
)
12
Escriba aquí la ecuación.
Para las áreas normales a la dirección angular azimutal tenemos: (
)
Para las áreas normales a la dirección angular zemital tenemos: (
)
(
( (
(
)
(
)
(
(
(
)
)
)
(
)
(
(
)
)
)
NOTA: Tener en cuenta lo siguiente:
13
)
)