• Author / Uploaded
• Gerson

• Categories
• Sistema coordinado
• Geometria plana)
• Esfera
• Integral
• Línea (geometría)

Citation preview

MATEMATICAS II para Ciencias e Ingenier´ıa F´elix Carrillo Carrascal 10 de julio de 2013

2

´Indice general 1. C´ alculo con Funciones Vectoriales

5

2. C´ alculo Diferencial de Varias Variables

7

3. Integraci´ on M´ ultiple 3.1. Cambio de Variables en Integrales Triples . . . . . . . . . 3.2. Aplicaciones de las integrales dobles y triples a la F´ısica 3.2.1. Centro de masa de un sistema de part´ıculas . . . 3.2.2. Centro de masa de un cuerpo continuo . . . . . . 3.2.3. Centro de masa de una l´amina plana . . . . . . . 3.2.4. Momento de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

9 9 33 33 35 44 50

4

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 C´ alculo con Funciones Vectoriales

5

6

´ CAP´ITULO 1. CALCULO CON FUNCIONES VECTORIALES

Cap´ıtulo 2 C´ alculo Diferencial de Varias Variables

7

8

´ CAP´ITULO 2. CALCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES

Cap´ıtulo 3 Integraci´ on M´ ultiple 3.1.

Cambio de Variables en Integrales Triples

La f´ormula del cambio de variables en integrales dobles es generalizado a las integrales triples. En este caso se necesitan tres ecuaciones de transformaci´on: x = X(u, v, w) ,

y = Y (u, v, w) ,

z = Z(u, v, w)

(3.1)

donde (u, v, w) es un punto cualquiera de una regi´on T en el espacio tridimensional determinado por el sistema de ejes rectangulares u, v y w. La imagen de T ser´a una regi´on S en el espacio tridimensional determinado por el sistema de ejes x, y y z. As´ı, Z Zrectangulares Z si la regi´on S es la regi´on de integraci´on de la integral triple

f (x, y, z) dV , entonces

S

se verifica la siguiente equivalencia: ZZZ ZZZ f (x, y, z) dV = f (X(u, v, w), Y (u, v, w), Z(u, v, w))|J(u, v, w)| dudvdw (3.2) S

T

donde J(u, u, w) es el Jacobiano de la Transformaci´on: ∂x ∂u ∂(x, y, z) J(u, v, w) = = ∂y ∂(u, v, w) ∂u ∂z ∂u

∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v

∂x ∂w ∂y ∂w ∂z ∂w

(3.3)

El diferencial de volumen, que en el sistema xyz es dV = dxdydz, es equivalente a dV = |J(u, v, w)|dudvdw Ejemplo 3.1.1 Calcular de desigualdades:

ZZZ

(y+2z−x) dV , donde S es la regi´on definida por el sistema

S

−1 ≤ x − z ≤ 1 ,

0≤y+z ≤2 ,

1≤x+z ≤3

Soluci´ on: Deducimos que el s´olido S est´a limitado por 6 planos, pero estos planos no son paralelos a los ejes coordenados. Consideremos las ecuaciones de transformaci´on: 9

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

10 u =x−z

,

v =y+z

w =x+z

,

(1)

Con estas ecuaciones de transformaci´on el sistema de desigualdades que definen a S se transforma en: −1 ≤ u ≤ 1 ,

0≤v≤2 ,

1≤w≤3

(2)

Este sistema de digualdades define una caja rect´angular de lados paralelos a los ejes coordenados en el espacio uvw. Resolviendo las ecuaciones (1) para x, y y z, se obtienen: x=

u+w 2

,

y=

u + 2v − w 2

,

z=

w−u 2

(3)

que son las ecuaciones de la transformaci´on inversa de la transformaci´on (1). La caja rectangular ser´a la imagen del s´olido S. Igualmente, diremos que la transformaci´on (1) es la inversa de la transformaci´on (3) y que S es la imagen de la caja rectangular. El Jacobiano de la transformaci´on (3) es: J(u, v, w) =

∂x ∂u

∂x ∂v

∂y ∂u

∂y ∂v

∂z ∂u

∂z ∂v

∂x ∂w ∂y = ∂w ∂z ∂w

1 2

1 2

0

1

1 2

1 0 = 2 1 2

−

1 1 − 2 2

As´ı, dV = dxdydz = 12 dudvdz. Por otra parte, el integrando es equivalente a: y + 2z − x =

u + 2v − w + 2w − 2u − u − w = v−u 2

Entonces: ZZZ

S

(y + 2z − x) dV

=

Z

3

1

Z

3

Z

2 0 2

Z

Z

1

−1

(v − 1) 21 dudvdw

1 − 14 (v − u)2 dvdw −1 1 0 Z 3Z 2 Z 3 2 1 2 = vdvdw = v dw = 4 2

=

1

0

1

0

Dos son las transformaciones m´as importantes en integrales triples: coordenadas cil´ındricas y coordenadas esf´ericas. Las coordenadas cil´ındricas son aplicadas generalmente cuando la regi´on de integraci´on tiene simetr´ıa respecto de una recta (eje de simetr´ıa), escogiendose dicha recta como uno de los ejes coordenados. En cambio, las coordenadas esf´ericas son usadas cuando la regi´on de integraci´on tiene simetr´ıa respecto de un punto, escogiendose dicho punto como el origen de coordenadas. A continuaci´on pasamos a describir ambos sistemas de coordenadas.

11

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES Coordenadas Cil´ındricas

Un punto P est´a completamente determinado por sus coordenadas cartesianas (x, y, z), donde x , y y z son las distancias dirigidas z del punto P a los planos yz, xz y xy, respectivamente. Dicho punto puede ser expresado tambi´en determinando su proyecci´on Q en el plano xy (ver Figura 3.63) y expresando luego dicho punto Q en coordenadas polares por el par (r, θ). Entonces el punto P queda completamente determinado por la terna (r, θ, z) y se dice est´a expresado en coordenadas cil´ındricas. Ambos sistemas est´an relacionados por las ecuaciones:

x = r cos θ

,

P b

(x, y, z) (r, θ, z)

z x

x

θ y

y

r Q

Fig. 3.63

y = r sen θ

,

z=z

(3.4)

Las dos primeras ecuaciones implican a su vez las dos siguientes ecuaciones: x2 + y 2 = r 2

,

y = tan θ x

(3.5)

Consideremos ahora que en las ecuaciones de transformaci´on (3.1), en vez de usar las letras u, v y w usemos las letras r, θ y z, y que las ecuaciones de transformaci´on coinciden exactamente con las ecuaciones (3.4). Adem´as, para que la transformaci´on sea univalente, consideramos las siguientes restricciones: r > 0 y θ0 ≤ θ < θ0 + 2π. El Jacobiano de dicha transformaci´on es: ∂x ∂x ∂x ∂r ∂θ ∂z cos θ −r sen θ 0 ∂y ∂y ∂y J(r, θ, z) = = sen θ r cos θ 0 = r cos θ ∂r ∂θ ∂z ∂z ∂z ∂z 0 0 1 ∂r ∂θ ∂z

As´ı, dV = dxdydz = rdzdrdθ. Entonces la ecuaci´on (3.2) queda expresado de la forma: ZZZ ZZZ f (x, y, z) dV = f (r cos θ, r sen θ, z)rdzdrdθ (3.6) S

T

A´ un cuando se ha dicho que debe tomarse r > 0, esta equivalencia es v´alida tambi´en para r = 0 (plano en el espacio rθz) debido a que r = 0 implica x = 0 = y; es decir, la imagen de dicho plano es el eje z y los puntos del eje z determina volumen nulo. Consideremos ahora que la regi´on T es la regi´on rectangular definida por las desigualdades: T : 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ a , 0 ≤ z ≤ h (3.7)

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

12

Para determinar cu´al ser´ıa la imagen de T en el espacio xyz, determinaremos antes la imagen del plano θ = α, donde α es una constante entre 0 y 2π. Reemplazando en la segunda de las ecuaciones (3.5) se obtiene y = (tan α)x , ecuaci´on que en el espacio xyz corresponde a un semiplano perpendicular al z plano xy y que pasa a travez del eje z. En efecto, dependiendo en que cuadrante est´a α, x = cos α es solo positivo o solo negativo. Lo mismo sucede con y = sen α. Esto implica que la imagen del plano θ = α es el semiplano que pasa por el eje z y forma con la porci´on del plano y = 0 en que x ≥ 0 el ´angulo α, tal como muestra la Figura 3.64. Como θ = 0 implica x = r ≥ 0, y = 0, z ∈ R, deducimos que la imagen del plano θ = 0 es justamente

y=0 (θ = 0)

y = (tan α)x (θ = α) α

y

x Fig. 3.64

el semiplano y = 0 , x ≥ 0 (semiplano xz). La imagen del plano θ = 2π es nuevamente este semiplano. De todo esto deducimos que la imagen de la regi´on definida por la relaci´on 0 ≤ θ ≤ 2π es la regi´on que se obtiene haciendo rotar el semiplano xz , x ≥ 0 alrededor del eje z. Al dar una vuelta completa se generar´a todo el espacio xyz. Deducimos que la imagen de la regi´on definida por la relaci´on 0 ≤ θ ≤ 2π es todo el espacio xyz. Hallaremos ahora la imagen del plano r = a, donde a es una constante positiva. Reemplazando en la primera de las ecuaciones (3.5) se obtiene x2 + y 2 = a2 , ecuaci´on que como sabemos corresponde a un cilindro circular recto de radio a y eje el eje z. Como la imagen del plano r = 0 es el eje z, deducimos que la imagen de la regi´on definida por la relaci´on 0 ≤ r ≤ a es la regi´on encerrada por el cilindro x2 + y 2 = a2 . Finalmente, como de las ecuaciones (3.5), z = z, deducimos que las im´agenes de los planos z = 0 y z = h del espacio rθz, son tambi´en los planos z = 0 y z = h en el espacio xyz. Finalmente diremos que de todo lo anterior concluimos que la imagen de la regi´on rectangular T , definida en la ecuaci´on (3.7), es la regi´on s´olida S encerrada por el cilindro x2 + y 2 = a2 y los planos z = 0 y z = h, tal como muestra la Figura 3.65. Entonces la ecuaci´on (3.6) es equivalente a: Z 2π Z a Z h ZZZ f (x, y, z) dV = f (r cos θ, r sen θ, z) rdzdrdθ (3.8) 0

S

0

0

donde los l´ımites son los que corresponden a la regi´on T . z

z=h

z z=h

θ = 2π θ

x = r cos θ y = r sen θ z=z

x2 + y 2 = a2

y r

r=a

x Fig. 3.65 Transformaci´on mediante coordenadas cil´ındricas.

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

13

En forma m´as general consideremos que la regi´on T es la regi´on en el espacio rθz limitada lateralmente por los planos θ = α, θ = β, los cilindros r = λ1 (θ) y λ2 (θ), inferiormente por la superficie z = F1 (r, θ) y superiormente por la superficie z = F2 (r, θ); es decir, definida por el sistema de desigualdades: T :

α≤θ≤β

,

0 ≤ λ1 (θ) ≤ r ≤ λ2 (θ) ,

F1 (r, θ) ≤ z ≤ F2 (r, θ)

(3.9)

Si S es la imagen de este s´olido, entonces la ecuaci´on (3.6) en este caso ser´a equivalente a: ZZZ Z β Z λ2 (θ) Z F2 (r,θ) f (x, y, z) dV = f (r cos θ, r sen θ, z) rdzdrdθ (3.10) α

S

λ1 (θ)

F1 (r,θ)

donde los l´ımites son determinados de la regi´on T . En la pr´actica es la regi´on S en el espacio xyz lo que se tiene y no la regi´on T de la cual es su imagen. Sin embargo, como las ecuaciones de transformaci´on se determinan del mismo espacio xyz, los l´ımites para T se determinan del mismo s´olido S. Para encontrar la forma de calcular dichos l´ımites, analizaremos como son las im´agenes de las superficies que limitan al s´olido T . Por medio de las ecuaciones de transformaci´on encontramos que las im´agenes de los planos θ = α y θ = β son los semiplanos y = (tan α)x e y = (tan β)x, planos que como ya vimos, son perpendiculares al plano xy. Igualmente, determinamos que las im´agenes de los
 cilin2 dros r = λ1 (θ) y r = λ2 (θ) son las superficies de ecuaciones x2 + y 2 = λ1 arctan xy y
  2 y x2 +y 2 = λ1 arctan x , respectivamente. Como estas ecuaciones no contienen la variable z corresponden a cilindros perpendiculares al plano xy. Como las ecuaciones z = F1 (r, θ) y z = F2 (r, θ) se transforman tomando las formas z = φ1 (x, y) y z = φ2 (x, y), respectivamente, donde: p p y y x2 + y 2, arctan x2 + y 2 , arctan φ1 (x, y) = F1 , φ2 (x, y) = F2 x x

deducimos que la imagen de la superficie z = F2 (r, θ) es otra superficie cuyos puntos est´an m´as arriba (mayor coordenada z) que la de la superficie que es imagen de la superficie z = F1 (r, θ). De todo lo anterior concluimos que el s´olido S est´a limitado lateralmente (en forma perpendicular al plano xy) por los semiplanos y = (tan α)x, y = (tan β)x y los dos cilindros mencionados, inferiormente por la superficie z = φ1 (x, y) y superiormente por la superficie z = φ2 (x, y). M´as directamente se dice que las ecuaciones en coordenadas cil´ındricas de los dos semiplano son: θ = α y θ = β; de los dos cilindros son r = λ1 (θ) y r = λ2 (θ); y de las dos superficies que lo limitan inferiormente y superiormente son z = F1 (r, θ) y z = F2 (r, θ), respectivamente. Entonces se dice que el s´olido S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por el sistema de desigualdades: S:

α≤θ≤β

0 ≤ λ1 (θ) ≤ r ≤ λ2 (θ) , F1 (r, θ) ≤ z ≤ F2 (r, θ) ZZZ y ser´an los l´ımites para calcular f (x, y, z) dV en coordenadas cil´ındricas. ,

(3.11)

S

Observaci´ on: Notese que de las dos primeras desigualdades de la ecuaci´on (3.11) se deduce que la proyecci´on del s´olido S en el plano xy es una regi´on como la que muestra la Figura 3.51(b). As´ı, para determinar directamente del s´olido S los l´ımites en coordenadas cil´ındricas, se proyecta el s´olido sobre el plano xy. De dicha proyecci´on, expresandola en coordenadas polares, se determinan los l´ımites de r y θ. Si por cada punto de la proyecci´on se hace pasar una recta paralela al eje z se observar´a a que superficie interseca inferiormente y a que superficie superiormente. De esta manera se determina los l´ımites de la variable z.

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

14

Ejemplo 3.1.2 Sea S p el s´olido encerrado encerrado por el cilindro x2 + y 2 = 4 y los conos p z = x2 + y 2 y z = 2 x2 + y 2 + 3. Calcular ZZZ p I= x2 + y 2 dV S

Soluci´ on: Las ecuaciones de los conos en coordenadas cil´ındricas son z = r y z = 2r + 3, respectivamente, y la del cilindro es r = 2. Si suponemos que los conos se intersectan, entonces z = r = 2r + 3 implica r = −3. Como r no puede ser negativo, concluimos que los conos no se intersectan. Adem´as, es notorio que el cono z = 2r + 3 est´a siempre m´as arriba que el cono z = r. Deducimos que el s´olido S est´a limitado lateralmente por el cilindro r = 2, inferiormente por el cono z = r y superiormente por el cono z = 2r + 3. Deducimos tambi´en que la proyecci´on del s´olido en el plano xy es el c´ırculo r ≤ 2 (ver Figura 3.66). As´ı, dicho s´olido est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las siguientes desigualdades:

S:

0 ≤ θ ≤ 2π

,

0≤r≤2 ,

r ≤ z ≤ 2r + 3

Entonces el c´alculo de la integral triple I, usando coordenadas cil´ındricas, es: I =

Z

2π

0

=

Z

2π

0

Z

2π

Z

Z

Z

2 0

Z

2r+3

r(rdzdrdθ)

r

2

0

x2 + y 2 = 4 (r = 2)

2r+3 r 2 drdθ z r

0 2

(r 3 + 3r 2 )drdθ 0 0 Z 2π Z 2π 2 1 4 3 12dθ = 24π r + r dθ = = 4

=

y

0

0

x

Fig. 3.66

Ejemplo 3.1.3 Calcular el volumen del s´olido S encerrado por las superficies: x2 + y 2 = 2x , x2 + y 2 = 4x , z = x2 + y 2 , x + y = 0 , x − y = 0 , z = 0

Soluci´ on: De las ecuaciones dadas, deducimos que el s´olido S est´a limitado lateralmente

15

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

y

por los planos x + y = 0, x − y = 0 y por los cilindros x2 + y 2 = 2x y x2 + y 2 = 4x, inferiormente por el plano z = 0 y superiormente por el paraboloide z = x2 + y 2. Completando cuadrados las ecuaciones de los cilindros pueden reescribirse de la formas (x−1)2 +y 2 = 1 y (x − 2)2 + y 2 = 4, respectivamente. La proyecci´on de los planos y de los cilindros en el plano xy encierran la regi´on sombreada que muestra la Figura 3.66. Transformando las ecuaciones a coordenadas polares encontramos que dicha regi´on est´a limitada por las rectas θ = − π4 y θ = π4 y por las circunferencias r = 2 cos θ y r = 4 cos θ.

θ=

π 4

r = 4 cos θ

r = 2 cos θ

x

θ = − π4

Fig. 3.67

La ecuaci´on del paraboloide en coordenadas cil´ındricas es z = x2 + y 2 . As´ı, el s´olido est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las siguientes desigualdades: S:

−

π π ≤θ≤ 4 4

2 cos θ ≤ r ≤ 4 cos θ

,

0 ≤ z ≤ r2

,

El volumen de S, calculada en coordenadas cil´ındricas, es: V (S) =

ZZZ

Z

dV =

π 4

− π4

S

Z

4 cos θ

2 cos θ

Z

r2

rdzdrdθ = 2

Z

0

0

π 4

Z

4 cos θ

Z

r2

rdzdrdθ

0

2 cos θ

por la simetr´ıa del s´olido con respecto al plano xz. Integrando sucesivamente, V (S) = 2

Z

π 4

0

= 2

Z

π 4

0

Z

4 cos θ

2 cos θ 4 cos θ

Z

r 2 z rdrdθ 0

1 r drdθ = 2 3

2 cos θ

Por identidades trigonom´etricas, se tiene que 4

cos θ =



1 + cos 2θ 2

2

1 = 4

Z

0

π 4

Z 4 cos θ r dθ = 120 4

2 cos θ

π 4

cos4 θdθ

0

  1 + cos 4θ 3 cos 2θ cos 4θ 1 + 2 cos θ + = + + 2 8 2 8

Reemplazando, π 4

 3 cos 2θ cos 4θ V (S) = 120 dθ + + 8 2 8 0   3θ sen 2θ sen 4θ π4 15 = 120 + + = (3π + 8). 8 4 32 0 4 Z



´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

16

Ejemplo 3.1.4 Determinar el volumen del s´olido S limitado por las superficies dadas en coordenadas cil´ındricas: r=2 ,

z + r2 = 4 ,

(z − 8)2 + r 2 = 4

y en la regi´on en que x + y ≥ 0 y z ≤ 8. Soluci´ on: Pasando cada ecuaci´on a coordenadas cartesianas identificamos que r = 2 corresponde al cilindro x2 + y 2 = 4; z + r 2 = 4 corresponde al paraboloide z = 4 − x2 − y 2 z cuyo v´ertice est´a en el punto (0, 0, 4) y se abre hacia abajo; (z − 8)2 + r 2 = 4 corresponde a la esfera x2 + y 2 + (z − 8)2 = 4 cuyo centro es el punto (0, 0, 8). Por la condici´on y z ≤ 8, se toma solo el hemisferio debajo del r=2 plano z = 8. Notese que el radio de la superficie esf´erica es 2 y coincide con el radio del cilindro. Notese tambi´en que el paraboloide x intersecta al plano xy en una circunferencia tambi´en de radio 2. Sin tomar en cuenta toy x+y =0 davia la condici´on x + y ≥ 0, diremos que hay un s´olido limitado lateralmente por el el x cilindro, inferiormente por el paraboloide y Fig. 3.68 ∗ superiormente por la superficie esf´erica. Si denotamos por S a este s´olido, entonces la Figura 3.68 muestra a S ∗ . Notese que la proyecci´on de este s´olido en el plano xy es el c´ırculo x2 + y 2 ≤ 4. Tomando en cuenta ahora la condici´on x + y ≥ 0, entonces el s´olido S ser´a solo la porci´on de S ∗ que se proyecta sobre la parte del c´ırculo que est´a arriba de la recta x + y = 0, tal como muestra tambi´en la Figura 3.68. Podemos decir entonces que el plano x + y = 0 tambi´en limita lateralmente al s´olido S. As´ı, el volumen del s´olido S es: V (S) =

Z

3π 4

− π4

=

Z

3π 4

− π4

=

Z

=

Z

3π 4

− π4

3π 4

− π4

Z Z

2

√ 8− 4−r 2

rdzdrdθ

4−r 2

0 2 0

Z

i h √ 4r − r 4 − r 2 + r 3 drdθ

i 2 h 1 4 1 2 32 2 2r + 3 (4 − r ) + 4 r dθ 0

28 dθ 3

=

28π 3

En muchas aplicaciones de integrales triples encontramos que la regi´on de integraci´on es un s´olido de revoluci´on. Para dichos s´olidos puede resultar conveniente utilizar coordenadas cil´ındricas y, a´ un cuando te´oricamente existen 6 ordenes de integraci´on diferentes, dos son los principales ordenes de integraci´on m´as usados. Estos ordenes son: dzdrdθ y drdzdθ. Para el primer caso se procede como en los ejemplos ya vistos: para hallar los l´ımites de r y θ se proyecta el s´olido en el plano xy. Para el segundo caso no es necesario proyectar el

17

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

s´olido en ning´ un plano. A continuaci´on deduciremos los l´ımites de integraci´on a partir de las ecuaciones de las curvas que rotan para generar las superficies de revoluci´on que limitan al s´olido. Como paso previo, consideremos que el punto Q = (0, y, z) es un punto del plano yz que verifica y ≥ 0. Si este punto rota alrededor del eje z se genera una circunferencia cuyo centro est´a en el punto (0, 0, z) del eje z y cuyo radio coincide con la coordenada y del punto Q (ver Figura 3.70). Deducimos que todos los puntos de la circunferencia generada tienen la misma coordenada z que el punto Q. Puesto que la distancia de un punto al eje z determina la coordenada r de coordenadas cil´ındricas, deducimos tambi´en que todos los puntos de dicha circunferencia tienen la misma coordenada r e igual a la coordenada y del punto Q. Todas estas consideraciones nos permiten establecer las siguientes conclusiones:

z

r=y

z

Q(0, y, z)

r P (r, θ, z)

y

x

Fig. 3.70 Conclusiones: 1o ) Si la curva en el plano yz, definida por las ecuaciones: z = φ(y) , x = 0 , y ≥ 0 , rota alrededor del eje z se genera una superficie de revoluci´on cuya ecuaci´on en coordenadas cil´ındricas es z = φ(r) . 2o ) Si la curva en el plano yz, definida por las ecuaciones: y = λ(z) , x = 0 , y ≥ 0 , rota alrededor del eje z se genera una superficie de revoluci´on cuya ecuaci´on en coordenadas cil´ındricas es r = λ(z) . Consideremos ahora que R es una regi´on en el plano yz del Tipo I (ver Figura 3.71(a)), definida por las relaciones: 0≤a≤y≤b ,

φ1 (y) ≤ z ≤ φ2 (y) ,

x=0

Si R rota alrededor del eje z se genera un s´olido S de revoluci´on. Para obtener las superficies que limitan a dicho s´olido, basta cambiar en las ecuaciones de las rectas y curvas que limitan a R, todas las y por r. As´ı, el s´olido de revoluci´on generado est´a limitado lateralmente por los cilindros r = a y r = b, inferiormente por la superficie z = φ1 (r) y superiormente por la superficie z = φ2 (r), tal como muestra la Figura 3.71(b). Notese que la proyecci´on del s´olido en el plano xy es la regi´on interior a la circunferencia r = b y exterior a la circunferencia r = a. Deducimos que el s´olido S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las siguientes relaciones: S:

0 ≤ θ ≤ 2π

,

a≤r≤b ,

φ1 (r) ≤ z ≤ φ2 (r)

(3.12)

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

18

z z

r=a z = φ2 (r)

z = φ2 (y) y=a R

y=b

r=b

z = φ1 (y) z = φ1 (y)

y y (a)

x

(b)

Fig. 3.71

Si ahora consideramos que una funci´on f es integrable en la regi´on S, entonces la integral triple de dicha funci´on sobre S, expresada en coordenadas cil´ındricas en el orden de integraci´on dzdrdθ, es: ZZZ

f (x, y, z) dV =

2π

Z

0

S

Z bZ a

φ2 (r)

f (r cos θ, r sen θ, z) rdzdrdθ

(3.13)

φ1 (r)

En forma similar se determina que si la regi´on R en el plano yz fuera del Tipo II, es decir definida por las relaciones: c≤z≤d ,

λ1 (z) ≤ y ≤ λ2 (z) ,

x=0 ,

y≥0

entonces el s´olido de revoluci´on S generado por la rotaci´on de R alrededor del eje z estar´a limitada inferiormente por el plano z = c, superiormente por el plano z = d, y lateralmente por las superficies r = λ1 (z) y r = λ2 (z). Estas dos u ´ ltimas superficies envuelven al eje z verific´andose que los puntos de la superficie r = λ1 (z) est´an m´as pr´oximos al eje z que los puntos sobre la superficie r = λ2 (z), tal como muestra la Figura 3.72(a). As´ı, el s´olido S est´a definido por las relaciones: S:

0 ≤ θ ≤ 2π

,

c≤z≤d ,

λ1 (z) ≤ r ≤ λ2 (z)

(3.14)

Entonces la integral triple de la funci´on f sobre S, expresada en coordenadas cil´ındricas en el orden de integraci´on drdzdθ, es: ZZZ

f (x, y, z) dV = S

Z

0

2π

Z

c

d

Z

λ2 (z)

f (r cos θ, r sen θ, z) rdrdzdθ λ1 (z)

(3.15)

19

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES z z

z=d

r = λ1 (z) d

R

r = λ2 (z)

y = λ2 (z)

y = λ1 (z)

c

y

y z=c

(a)

(b)

x

Fig. 3.72 Observaci´ on:Si el s´olido de revoluci´on se obtiene por la rotaci´on de una regi´on del Tipo I, que lleva a integrar en el orden dzdrdθ, no es necesario identificar cuales son las curvas que han rotado para determinar los l´ımites. Basta pasar las ecuaciones cartesianas a coordenadas cil´ındricas y proyectar el s´olido en el plano xy, tal como se hizo en los ejemplos 3.5.2, 3.5.3, 3.5.4 y 3.5.5. La deducci´on de las desigualdades dadas en la ecuaci´on 3.12 y la aplicaci´on de la ecuaci´on (3.13) es una alternativa de soluci´on. Si el s´olido de revoluci´on se obtiene por la rotaci´on de una regi´on del Tipo II, que lleva a integrar en el orden drdzdθ, entonces no es de utilidad la proyecci´on del s´olido en el plano xy. En este caso resulta de mayor utilidad la determinaci´on de las curvas que han de rotar para la determinaci´on de los l´ımites en la integral triple. Sin embargo, esto tampoco es necesario. En efecto, en la Figura 3.72 los l´ımites de θ y z est´an claramente determinados. Para determinar los limites de r tomamos en cuenta que si de un punto del eje z, entre los planos z = c y z = d, se traza una recta perpendicular al eje z, dicha recta intersecta primero a la superficie r = λ1 (z), atravieza al s´olido, y sale por la superficie r = λ2 (z). Los valores de r en dichas superficies determinan los l´ımites inferior y superior de r, respectivamente. Ejemplo p 3.1.5 Sea S el s´olido encerrado por la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 10z y el cono z = x2 + y 2 . a) Calcular el volumen de S. ZZZ p b) Calcular la integral triple I = x2 + y 2 + z 2 dV . S

Soluci´ on: La ecuaci´on de la superficie esf´erica puede reescribirse de la forma x2 + y 2 + (z − 5)2 = 25. Encontramos que su centro est´a en el punto (0, 0, 5) y que su radio es 5.

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

20

z

En los puntos de intersecci´on se cumple: 2z 2 = 10z, esto es, z = 0 o z = 5. Con estos valores encontramos que ambas superficies se intersectan en el origen y en la circunferencia

10

x2 + y 2 = 25 , z = 5

z =5+

√ 25 − r2

5

Deducimos que el s´olido est´a limitado inferiormente por el cono y superiormente por la mitad superior de la superficie esf´erica, tal como muestra la Figura 3.73. Observamos que la proyecci´on del s´olido en el plano xy es el c´ırculo encerrado por la circunferencia: x2 + y 2 = 25 en dicho plano.

z=r

y

x

Fig. 3.73

Pasando la ecuaci´on√de la superficie esf´erica a coordenadas cil´ındricas y despejando z √ se obtiene: z = 5 ± 25 − r 2 . Para la mitad superior corresponde z = 5 + 25 − r 2 . La ecuaci´on del cono en coordenadas cil´ındricas es z = ±r. Para la mitad superior corresponde z = r. As´ı, el s´olido S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las relaciones:

0 ≤ θ ≤ 2π

0≤r≤5 ,

,

r ≤z ≤5+

√

25 − r 2

(1)

Estas mismas relaciones se obtienen al considerar que S es un s´olido de revoluci´on que se puede obtener por la rotaci´on de la regi´on R en el primer cuadrante del plano yz, encerrada por la circunferencia y 2 + (z − 5)2 = 25, la recta z = y y el eje z, alrededor del eje z. Dicha regi´on, mostrada en la Figura 3.74(a), es una regi´on del Tipo I definida por las relaciones:

0≤y≤5

y ≤z ≤5+

,

p

25 − y 2

x=0

,

(2)

√ Cambiando todos los y por r se obtiene las relaciones: 0 ≤ r ≤ 5 y r ≤ z ≤ 5 + 25 − r 2 , que son los l´ımites para r y z en el s´olido de revoluci´on generado y son los mismos que muestra las dos u ´ ltimas relaciones de la ecuaci´on (1). As´ı, a) El volumen del s´olido S es:

V (S) =

Z

2π

0

=

Z

2π

0

=

Z

0

2π

Z

Z

5

Z

√ 5+ 25−r 2

r dzdrdθ

r

0 5 0

5 2 r 2



5+

√

25 −

r2



− r rdrdθ

5 − 31 (25 − r 2 )3/2 − 13 r 3 dθ = 125π 0

21

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES z

z p z = 5 + 25 − y 2

10

y=

10

√

10z − z 2

R2 R

5

5 R1

z=y

y=z

y

y (b)

(a)

Fig. 3.74 b) La expresi´on de I ser´a:

I=

ZZZ p

x2 + y 2 + z 2 dV =

S

Z

2π 0

Z

5

0

Z

√ 5+ 25−r 2

√

r 2 + z 2 rdzdrdθ

r

Encontramos que la integraci´on primero respecto de z no es inmediata. En cambio, si es inmediata la integraci´on primero respecto de r.La regi´on R no es del Tipo II por lo que se hace necesario dividirlo en dos regiones R1 y R2 de este tipo, tal como muestra la Figura 3.74(b). La regi´on R1 est´a definida por las desigualdades: 0≤z≤5

,

0≤y≤z

(3)

Si R1 rota alrededor del eje z se genera un s´olido de revoluci´on S1 . En este s´olido la coordenada θ var´ıa de 0 a 2π y la coordenada z de 0 a 5. Para hallar los l´ımites de r cambiamos en (3) y por r. As´ı, el s´olido S1 est´a definido por las desigualdades: 0 ≤ θ ≤ 2π

0≤z≤5 ,

,

0≤r≤z

La regi´on R2 est´a definida por las desigualdades: 5 ≤ z ≤ 10

,

0≤y≤

√

10z − z 2

(4)

Si R2 rota alrededor del eje z se genera un s´olido de revoluci´on S2 . En este s´olido tambi´en la coordenada θ var´ıa de 0 a 2π y la coordenada z de 5 a 10. Para hallar los l´ımites de r cambiamos en (4) y por r. As´ı, el s´olido S2 est´a definido por las desigualdades: 0 ≤ θ ≤ 2π

,

5 ≤ z ≤ 10 ,

0≤r≤

√

10z − z 2

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

22

Ovbiamente, S = S1 ∪ S2 . Notese que el plano z = 5 divide a S en S1 y S2 . As´ı, ZZZ p ZZZ p I = x2 + y 2 + z 2 dV + x2 + y 2 + z 2 dV S1

=

Z

=

Z

0

2π Z

2π

0

=

Z

=

Z

2π

0

0

Z Z

0

S2

5Z

r2

+

z 2 rdrdzdθ

+

Z z 1 2 2 3/2 (r + z ) dzdθ + 3 0

0 5

1 (2 3

Z

2π

0

0

5

0

√

z

√ 2 − 1)z 3 dzdθ +

Z 5 2π √ 1 4 (2 2 − 1)z dθ + 12 0

0

Z

0

2π

1 3

2π 0

Z

Z

10

Z

5

√

10z−z 2

√

r 2 + z 2 rdrdzdθ

0

5

10

1 2 (r 3

5

2π

Z

10

√10z−z 2 dzdθ

2 3/2

+z )

0

√
10 10z 3/2 − z 3 dzdθ

1 3

√ 5/2 1 4
10 4 10z − 4 z dθ 5

Evaluando en los l´ımites de z, integrando respecto de θ y simplificando, ZZZ p √ x2 + y 2 + z 2 dV = 125(8 − 2)π I= S

RRR x2 +y2 Ejemplo 3.1.6 Calcular I = ds S e z dV , donde S es el s´olido limitado por las superficies: z 2 = 4(x2 + y 2 ) , 2z = x2 + y 2 , z = 2 en la regi´on en que z ≤ 2 . Soluci´ on: Identificamos las dos primeras ecuaciones como de un cono y un paraboloide, respectivamente. Ambas superficies se intersectan cuando z = 0 y cuando z = 8. As´ı, hay dos s´olidos limitados por las 3 superficies. Una arriba del plano z = 2 y otra debajo de dicho plano. El s´olido S es esta u ´ ltima y es como muestra la Figura 3.75(a). z

z z=2

z=2

y=

r= r=

√

z 2

y=

2z

y

z 2

y

(a)

(b)

x

Fig. 3.75 En coordenadas cil´ındricas, Z Z Z r2 Z Z Z r2 Z Z Z x2 +y2 z z dV = e rdzdrdθ = e z rdrdzdθ e S

S

S

√ 2z

23

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

Observamos que la integraci´on en el orden dzdrdθ es imposible. En cambio, es posible la integraci´on en el orden drdzdθ. Como S es un s´olido de revoluci´on que tienen al eje z como eje de rotaci´on, deducimos que el s´olido S es generado por la rotaci´on de la regi´on en el primer cuadrante del plano yz encerrada por la recta z = 2y, la par´abola 2z = y 2 y la recta z = 2, alrededor del eje z. Dicha regi´on es del Tipo II (ver Figura 3.75(b)) y est´a definida por las relaciones: √ z 0≤z≤2 , ≤ y ≤ 2z , x = 0 2 Entonces el s´olido S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las relaciones: √ z ≤ r ≤ 2z 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 2 , 2 As´ı, Z 2π Z 2 Z √2z r2 e z rdrdzdθ I = 0

2

Como el diferencial de rz es Z 2π Z I = 0

=

Z

0

2π

Z

0

z 2

2rdr , entonces multiplicando z √ 2z r 2 2Z
z · 2 dzdθ e z 2rdr z z

y dividiendo por z2 , se tiene:

2

2

0

0

Z √2z 1 z e z · 2 dzdθ = 2

2π

r2 z

2

0

Z

2

0

Integrando por partes, Z 2π  Z  2 z z 4 4 1 2 2 1 1 e z − 4ze + 16e dθ = 2 I = 2 2 0

0

Finalmente,

  z e2 z − ze 4 dzdθ

0

2π

√ (2e2 + 8 e − 16) dθ


√ I = π 2e2 + 8 e − 16

Ejemplo 3.1.7 Sea S el s´olido encerrado por el cono y 2 + z 2 = x2 y los planos x = 1 y x = 2. Calcular: ZZZ I= (2x + 2y + 2z)dV S

Soluci´ on: El eje del cono es el eje x y los planos x = 1 y x = 2 son paralelos al plano yz. x

Por lo tanto, para mejor visualizaci´on, conviene dibujar el plano yz horizontal. La Figura 3.76 muestra los ejes coordenados y al s´olido S. Utilizaremos coordenadas cil´ındricas pero considerando al plano yz como el plano polar (donde se mide r y θ). Es decir, consideramos que las ecuaciones de transformaci´on son: y = r cos θ ,

z = r sen θ

,

x=1

r=x

z

x=x

As´ı, el s´olido S est´a limitado por el cono x = r y los planos x = 1 y x = 2. La integral triple es equivalente a:

x=2

y

Fig. 3.76

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

24 I=

ZZZ

(2x + 2y + 2z)dV = S

ZZZ

2xdV +

S

ZZZ

2ydV +

S

ZZZ

2zdV

(1)

S

Observamos que S tiene simetr´ıa respecto de los planos xz y xy, pero no tiene simetr´ıa respecto del plano yz. Como el integrando RRR 2y es impar respecto de y y por la simetr´ıa de S respectoRRRdel plano xz, deducimos que 2ydV = 0. En forma an´aloga deducimos S tambi´en que S 2zdV = 0. As´ı, el valor de I es equivalente a a la siguiente integral triple: ZZZ I= 2xdV (2) S

Puede integrarse en los ordenes: dxdrdθ y drdxdθ. En el primero tendr´ıamos que dividir el s´olido en dos partes lo que har´ıa el c´alculo laborioso. En cambio, para el segundo orden, el s´olido est´a totalmente definido por las relaciones: 0 ≤ θ ≤ 2π

1≤x≤2 ,

,

0≤r≤x

y el c´alculo de I, seg´ un la ecuaci´on (2), es: I = = =

Z Z Z

Coordenadas esf´ ericas

2π 0

0

2

1

2π 0

Z

Z

1

Z

x

2x(rdrdxdθ)

0

2

x 2

r xdxdθ 0

2 2π 1 4 x dθ = 4 1

15π 2

Un punto P , expresado en coordenadas cartesianas por la terna (x, y, z), puede tambi´en

ser expresado por la terna (ρ, φ, θ), donde ρ es la longitud del segmento que une P con el origen O, φ el menor ´angulo que forma dicho segmento con el eje z positivo, y θ el ´angulo que forma el eje x positivo con el segmento OQ (proyecci´on del segmento OP sobre el plano xy) (ver Figura 3.79). A dicha terna se le denomina coordenadas esf´ ericas del punto P . Notese que la coordenada θ es la misma que la de coordenadas cil´ındricas y tambi´en que la longitud del segmento OQ coincide con la coordenada r del punto P en

z P b

(x, y, z) (ρ, φ, θ)

ρ φ x

x

z

O θ

y

r

y

Q

Fig. 3.79

coordenadas cil´ındricas. De la figura hallamos que r = ρ sen φ, entonces las ecuaciones que relacionan las coordenadas cartesianas con coordenadas esf´ericas son: x = ρ sen φ cos θ

,

y = ρ sen φ sen θ

,

z = ρ cos φ

(3.16)

25

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES De estas ecuaciones se obtienen las siguientes tres ecuaciones: x2 + y 2 + z 2 = ρ2

x2 + y 2 = ρ2 sen2 φ = r 2

,

y = tan θ x

,

(3.17)

Consideremos ahora que en las ecuaciones de transformaci´on (3.1), en vez de usar las letras u, v y w usemos las letras ρ, φ y θ, y que las ecuaciones de transformaci´on coinciden exactamente con las ecuaciones (3.16). Adem´as, para que la transformaci´on sea univalente, consideramos las siguientes restricciones: ρ > 0, 0 ≤ φ ≤ π y θ0 ≤ θ < θ0 +2π. El Jacobiano de dicha transformaci´on es: ∂x ∂x ∂x ∂ρ ∂φ ∂θ sen φ cos θ ρ cos φ cos θ −ρ sen φ sen θ ∂y ∂y ∂y = sen φ sen θ ρ cos φ sen θ ρ sen φ cos θ = ρ2 sen φ J(r, θ, z) = ∂ρ ∂φ ∂θ ∂z ∂z ∂z cos φ −ρ sen φ 0 ∂ρ ∂φ ∂θ

As´ı, dV = dxdydz = ρ2 sen φdρdφdθ. Entonces la ecuaci´on (3.2) queda expresado de la forma: ZZZ ZZZ f (x, y, z) dV = f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ)ρ2 sen φdρdφdθ (3.18) S

T

z

θ θ = 2π

x2 + y 2 + z 2 = a2 φ=π φ

ρ

ρ=a

x = ρ sen φ cos θ y = ρ sen φ sen θ z = ρ cos φ

y

x

Fig. 3.80 Transformaci´on mediante coordenadas esf´ericas. A´ un cuando se ha dicho que debe tomarse ρ > 0, esta equivalencia es v´alida tambi´en para ρ = 0 (plano en el espacio ρφθ) debido a que ρ = 0 implica x = 0 = y = z; es decir, la imagen de dicho plano es el origen de coordenadas y este punto determina volumen nulo. Consideremos ahora que la regi´on T es la regi´on rectangular definida por las desigualdades: T : 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ θ ≤ 2π (3.19) La Figura 3.80 muestra la regi´on T . Tengase presente que si en este espacio a un punto se le asigna la terna (ρ, φ, θ), entonces dicha terna denota las coordenadas cartesianas de tal punto. A continuaci´on, determinaremos la imagen de T en el espacio xyz. Las imagenes de los planos de la forma θ = α, donde α es una constante en el intervalo [0, π], son las mismas que en coordenadas cil´ındricas: semiplanos perpendiculares al plano xy que pasan sobre el eje z. Para hallar las im´agenes de los planos de la forma φ = γ, donde γ es una constante en el intervalo [0, π], reemplazamos dichos valores constantes en las ecuaciones

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

26

(3.16). As´ı, si φ = 0, entonces x = 0 = y y z = ρ. Estas ecuaciones definen al semieje z positivo. Concluimos que este semieje es la imagen del plano φ = 0 del espacio ρφθ. En forma an´aloga, determinamos que la imagen del plano φ = π es el semieje z negativo. Para φ = π2 se obtienen: z = 0 y x2 + y 2 = ρ2 . Al variar ρ en el intervalo [0, +∞i se genera todo el plano xy. As´ı, el plano xy es la imagen del plano φ = π2 . Para cualquier otro valor φ = γ reemplazado en las ecuaciones (3.5), se obtienen las ecuaciones: x2 + y 2 = ρ2 sen2 γ y z 2 = ρ2 cos2 γ. Eliminando ρ de estas ecuaciones se obtiene la ecuaci´on: x2 + y 2 = (tan γ)2 z 2

(3.20)

Las ecuaciones de esta forma corresponde a conos circulares rectos con v´ertice en el origen y cuyas generatrices forman con el eje z positivo el ´angulo γ. Si γ ∈ h0, π2 i entonces z > 0 y el cono se abre hacia arriba. Si γ ∈ h π2 , 0i entonces z < 0 y el cono se abre hacia abajo. As´ı, al variar φ desde 0 hasta π, las im´agenes (los conos) generan todo el espacio xyz. La imagen del plano ρ = 0 se halla reemplazando este valor en la primera de las ecuaciones (3.17) obteniendose x2 + y 2 + z 2 = 02 , ecuaci´on que corresponde al origen de coordenadas. En forma similar se halla que la imagen del plano ρ = a es x2 + y 2 + z 2 = a2 . Deducimos que al variar ρ desde 0 hasta a equivale a generar superficies esf´ericas centradas en el origen cuyos radios var´ıan desde 0 hasta a. Teniendo en cuenta todo lo anterior deducimos que la imagen de la regi´on rectangular, definida por las desigualdades (3.19), es la esfera x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , raz´on por la cual al sistema se le denomina coordenadas esf´ericas. Si ahora consideramos que una funci´on f es integrable en la regi´on S, entonces de la ecuaci´on (3.18), Z 2π Z π Z a ZZZ f (x, y, z) dV = f (ρ sen φ cos θ, ρ sen φ sen θ, ρ cos φ)ρ2 sen φdρdφdθ S

0

0

0

(3.21) Observaci´ on: Que la imagen de los planos φ igual a una constante son conos era de esperarse por la definici´on inicial de la coordenada φ en el mismo espacio xyz. En efecto, si el segmento OP de la Figura 3.79 se hace rotar alrededor del eje z se genera un cono circular recto. Se verifica que todas las generatrices de dicho cono forman con el eje z positivo el mismo ´angulo φ. A´ un cuando tambi´en existen 6 ordenes de integraci´on, consideramos solo aplicaciones que llevan a integrar en el orden dρdφdθ. Para este tipo de aplicaciones la regi´on S en el espacio xyz es imagen de la regi´on T definida por las relaciones: α≤θ≤β

,

γ1 ≤ φ ≤ γ2

,

F1 (φ, θ) ≤ ρ ≤ F2 (φ, θ)

(3.22)

Estas relaciones dan los l´ımites de ρ, φ y θ. En la pr´actica es la regi´on S en el espacio xyz lo que se tiene y no la regi´on T de la cual es su imagen. Sin embargo, al igual que en coordenadas cil´ındricas, no es necesario determinar cu´al es la regi´on T de la que S es su imagen. De la misma regi´on S se determinan dichos l´ımites. La interpretaci´on de S como imagen de cierta regi´on T en otro espacio es solo para la valid´ez de la ecuaci´on (3.18). En forma m´as directa se considera que los semiplanos, que son im´agenes de los planos θ = α y θ = β, tienen por ecuaci´on en coordenadas esf´ericas justamente las ecuaciones θ = α y θ = β. Igualmente, los conos que son im´agenes de los planos φ = γ1 y φ = γ2 , tienen por ecuaciones en coordenadas esf´ericas justamente las ecuaciones φ = γ1 y φ = γ2 . La im´agenes de las superficies ρ = F1 (φ, θ) y ρ = F2 (φ, θ) ser´an dos superficies a las que podemos denominar como S1 y S2 . Debe verificarse que si del origen de coordenadas

27

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

se traza una recta hacia el s´olido, dicha recta intersectar´a primero a S1 y luego a S2 . Tambi´en diremos que ρ = F1 (φ, θ) y ρ = F2 (φ, θ) son las ecuaciones en coordenadas esf´ericas de S1 y S2 , respectivamente. As´ı por ejemplo, si en el espacio xyz consideramos la superficie x2 + y 2 = z 2 , que como sabemos corresponde a un cono circular recto, entonces transformando a coordenadas esf´ericas su ecuaci´on se obtiene: tan2 φ = 1

=⇒

φ=

π 4

o

φ=

3π 4

Deducimos que la mitad superior del cono es la imagen del plano φ = π4 del espacio ρφθ, y que la mitad inferior, la imagen del plano φ = 3π de dicho espacio. En forma m´as directa 4 diremos que φ = π4 y φ = 3π son las ecuaciones en coordenadas esf´ericas de las mitades 4 superior e inferior del cono, respectivamente. En los siguientes ejemplos describiremos la forma de hallar los l´ımites de ρ, φ y θ, directamente del s´olido S. Ejemplo 3.1.8 Determinar el volumen del s´olido interior al cono z = la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 4.

p

x2 + y 2 e interior

Soluci´ on: La Figura 3.81 muestra el s´olido. Est´a limitado inferiormente por el cono y superiormente por la superficie esf´erica. Si usamos coordenadas esf´ericas, entonces pasando z

las ecuaciones a dicho sistema se obtiene que la ecuaci´on del cono se transforma en φ = π4 y la ecuaci´on de la superficie esf´erica en ρ = 2. Como es un s´olido de revoluci´on, entonces en el s´olido la coordenada θ var´ıa de 0 a 2π. Para obtener los l´ımites de φ observamos que hay puntos del eje z positivo que pertenecen al s´olido. Si ahora nos imaginamos como que el eje z positivo se va transformando en conos circulares que se van abriendo cada vez m´as (como un abanico), observaremos

x2 + y 2 + z 2 = 4 (ρ = 2)

z=

p x2 + y 2
φ = π4

y

x

Fig. 3.81

que dichos conos contienen puntos del s´olido hasta cuando coincida con el cono φ = π4 . Si se siguen abriendo m´as se observar´a que ya los conos no contienen puntos del s´olido (salvo el origen de coordenadas ya incluido en los conos anteriores). Por lo tanto, deducimos que en el s´olido la coordenada φ var´ıa de 0 a π4 . Para determinar los l´ımites de ρ nos imaginamos l´ıneas rectas que parten del origen hacia el s´olido. Como el origen pertenece al s´olido, entonces el m´ınimo valor de ρ es 0. Luego estas l´ıneas atraviesan al s´olido aumentando su distancia al origen y por lo tanto el valor de ρ. Finalmente salen por la superficie esf´erica en donde toma su m´aximo valor dado por la ecuaci´on de esta superficie: ρ = 2. Por lo tanto, deducimos que en el s´olido ρ var´ıa de 0 hasta 2. Concluimos que el s´olido est´a definido por las siguientes desigualdades: 0 ≤ θ ≤ 2π

,

0≤φ≤

π 4

,

0≤ρ≤2

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

28 y el volumen del s´olido es: Z 2π Z V (S) = 0

=

Z

0

π 4

0

2π

Z

0

π 4

Z

2

ρ2 sen φdρdφdθ 0

2 1 3 ρ 3 0

sen φdφdθ =

− 83

Z

2π

0

π 4 cos φ dθ = 0

8π (2 3

−

√

2)

Ejemplo 3.1.9 Resolver nuevamente el ejemplo 3.5.6 utilizando coordenadas esf´ericas. Soluci´ on: Pasaremos las ecuaciones a coordenadas esf´ericas. La ecuaci´on x2 +y 2 +z 2 = 10z (superficie esf´erica) se transforma en: ρ2 = 10ρ cos φ

=⇒

φ = 0 o ρ = 10 cos φ

La ecuaci´on ρ = 0 corresponde solo al origen de coordenadas, punto que tambi´en se obtiene z

de la ecuaci´on ρ = 10 cos φ cuando φ = π2 . Por lo tanto, la ecuaci´on ρ = 10 cos φ corresponde a toda la superficie esf´erica. La ecuap 2 2 ci´on del cono z = x + y se transforma en φ = π4 . La Figura 3.82 muestra nuevamente el s´olido S del ejemplo 3.5.6. con las ecuaciones en coordenadas esf´ericas de las superficies que lo limitan. Como es un s´olido de revoluci´on, con el eje z como eje de revoluci´on, deducimos que los l´ımites de θ son desde 0 hasta 2π. Como el eje z positivo contiene puntos del s´olido y todo el s´olido est´a en la

10

ρ = 1 − cos φ

5 φ=

π 4

y

x

Fig. 3.82 regi´on interior al cono, deducimos que φ var´ıa desde 0 hasta π4 . Adem´as, si desde el origen se traza una recta cualquiera hacia el s´olido, esta recta atravieza al s´olido y sale por la superficie esf´erica. Como el origen pertenece al s´olido y en la superficie esf´erica ρ = 10 cos φ, entonces ρ var´ıa desde 0 hasta 10 cos φ. As´ı, el s´olido S est´a definido en coordenadas esf´ericas por las desigualdades: π 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ φ ≤ , 0 ≤ ρ ≤ 10 cos φ 4 Entonces el volumen del s´olido es: Z 2π Z π Z 10 cos φ 4 V (S) = ρ2 sen φdρdφdθ 0

= = =

Z

0

0

1000 3

0

π 4

2π Z

0 2π

Z

− 250 3

0

10 cos φ 1 3 ρ 3 0

Z

π 4

sen φdφdθ

cos3 φ sen φdφdθ

0

Z

0

2π

π 4 cos φ dθ = 125π 4

0

29

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES ZZZ p La integral triple x2 + y 2 + z 2 es: S

I =

Z

=

Z

2π

0

0

π 4

Z

0 π 4

2π Z

0

= 2500

Z

2π

0

Z

10 cos φ

ρ3 sen φdρdφdθ 0

10 cos φ 1 4 ρ 4 0 Z

π 4

sen φdφdθ

4

cos φ sen φdφdθ = −500

0

2π

Z

0

π √ 4 cos5 dθ = 125(8 − 2)π 0

Encontramos que tanto el volumen de S como el valor de I, coinciden con lo hallado en el ejemplo 3.5.6,utilizando coordenadas cil´ındrica. Comparando el grado de dificultad en las dos formas de c´alculo, encontramos que casi no hay diferencia al calcular el volumen. En cambio, el c´alculo de I es m´as inmediato utilizando coordenadas esf´ericas. No quiere decir que coordenadas esf´ericas es mejor que coordenadas cil´ındricas. Es mejor en este caso, pero en otro podr´ıa ser mejor utilizar coordenadas cil´ındricas u otro tipo de coordenadas. Ejemplo 3.1.10 Calcular el valor de I, si Z √ Z Z √ 2

4−x2

−2

√ − 4−x2

I=

4−x2 −y 2

−

√

e(x

2 +y 2 +z 2 )3/2

dzdydx

(1)

4−x2 −y 2

Soluci´ on: Observamos que la integraci´on en coordenadas cartesianas resulta muy complicada. De los l´ımites de z observamos el s´olido est´a limitado por las mitades superior e inferior de la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 4. La regi´on encerrada por esta superficie se proyecta en el plano xy√sobre el c´ırculo√x2 + y 2 ≤ 4, c´ırculo que est´a definido por las relaciones −2 ≤ x ≤ 2 , − 4 − x2 ≤ y ≤ 4 − x2 (ver Figura 3.83) y que son justamente los l´ımites de x e y en la integral triple I. Deducimos que la regi´on de integraci´on es la regi´on encerrada por la superficie esf´erica x2 + y 2 + z 2 = 4. Esta regi´on est´a definida en coordenadas esf´ericas por las desigualdades: y √ y=

0 ≤ θ ≤ 2π

,

0≤φ≤π

As´ı, (1) es equivalente a: Z 2π Z π Z I= 0

0

,

4 − x2

0≤ρ≤2 x

2

3

eρ ρ2 dρdφdθ

√ y = − 4 − x2

0

Fig. 3.83

Como los l´ımites son constantes y el integrando puede agruparse, separando las variables, entonces la expresi´on anterior es equivalente a:  Z 2π  Z π  Z 2 1 ρ3 2 e 3ρ dρ I = dθ sen φdφ 3 0

0

0

  π   2  2π 1 ρ3 − cos φ e = 43 π(e8 − 1) = θ 3 0

0

0

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

30

Ejemplo 3.1.11 Calcular el volumen del s´olido encerrado por la superficie (x2 + y 2 + z 2 )2 = a3 x ,

a>0

Soluci´ on: Pasando la ecuaci´on a coordenadas esf´ericas, se tiene: (ρ2 )2 = a3 ρ sen φ cos θ

ρ3 = a3 sen φ cos θ

=⇒

(1)

Como el primer miembro de (1) es no negativo, entonces el segundo miembro tambi´en. Como sen φ es mayor o igual a 0, para todo el intervalo [0, π], entonces debe verificarse: cos θ ≥ 0; es decir, θ ∈ [− π2 , π2 ]. As´ı, en los puntos de la superficie definida por la ecuaci´on (1), φ ∈ [0, π], θ ∈ θ ∈ [− π2 , π2 ]. Entonces en la regi´on encerrada por la superficie, tambi´en las variables φ y θ toman losp mismos valores de estos intervalos, respectivamente. Despejando 3 ρ de la ecuaci´on (1), ρ = a3 sen φ cos θ. Notese que el menor valor de ρ en esta ecuaci´on es 0 (corresponde al origen de coordenadas) cuando φ = 0 o θ = π2 . As´ı, el s´olido est´a definido por las desigualdades: p π π − ≤θ≤ , 0 ≤ φ ≤ π , 0 ≤ ρ ≤ 3 a3 sen φ cos θ 2 2 El volumen del s´olido es: 3 Z π Z πZ √ a3 sen φ cos θ 2 ρ2 sen φdρdφdθ V = − π2

= = =

1 3 a 3

1 3 a 3

Z

1 3 a 6

0

0

Z

π 2

− π2 π 2

Z

π

sen2 φ cos θdφdθ

0

cos θdθ

− π2



Z

π

0

1 (1 2

π   2 sen θ π φ− −2

− cos 2φ)dφ

π  sen 2φ 2 0

Ejemplo 3.1.12 Sea S el s´olido encerrado por la superficie cular: I=

ZZZ p

= 13 πa3 

z2 x +y + 4 2

2

3

= yz . Cal-

4x2 + 4y 2 + z 2 dV

S

Soluci´ on: Consideremos previamente la transformaci´on lineal: x = x′

,

y = y′

,

z = 2z ′

As´ı, dx = dx′ , dy = dy ′ , dz = 2dz ′ . Adem´as, dV = dxdydz = 2(dx′ dy ′ dz ′ ) = 2dV ′ . La ecuaci´on de la superficie se transforma en 3

[(x′ )2 + (y ′)2 + (z ′ )2 ] = 2y ′z ′

(1)

y la integral triple es equivalente a: ZZZ p (x′ )2 + (y ′ )2 + (z ′ )2 dV ′ I =4 S′

donde S ′ es el s´olido encerrado por la superficie definida por la ecuaci´on (1). Pasando ahora a coordenadas esf´ericas: x′ = ρ sen φ sen θ la ecuaci´on (1) se transforma en:

,

y ′ = ρ sen φ cos θ ,

z ′ = ρ cos φ

31

3.1. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES (ρ2 )3 = 2ρ2 sen φ cos φ sen θ

ρ4 = 2 sen φ cos φ sen θ

=⇒

(2)

El segundo miembro de (2) debe ser positivo. Por lo tanto, cos θ sen θ ≥ 0 o bi´en, cos φ y sen θ deben ser ambos positivos o ambos negativos. As´ı, debe verificarse:

0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ φ ≤ π2 o π ≤ θ ≤ 2π , π2 ≤ φ ≤ π √ De (2), ρ = 4 2 sen φ cos φ sen θ. De esta ecuaci´on ρ = 0 para φ = 0, o φ = π2 o θ = 0 o θ = π, y como la superficie es cerrada, entonces los l´ımites de ρ en la regi´on encerrada es: p 0 ≤ ρ ≤ 4 2 sen φ cos φ sen θ

Entonces el valor de I es: "Z Z π Z √ Z 4 2 sen φ cos φ sen θ π 2 I = 4 2ρ3 sen φdρdφdθ + 0

0

0

π

= 2

"Z

π

= 4

"Z

0

Z

0

π 2

π

Z √4 2 sen φ cos φ sen θ 4 ρ sen φdφdθ + 0

sen θdθ

Z

π 2

sen2 φ cos φdφ +

0

0

2π

2π π

Z

Z Z

2π

π π 2

Z

0

π π 2

√ 4

2 sen φ cos φ sen θ

2ρ3 sen φdρdφdθ

√4 2 sen φ cos φ sen θ 4 ρ sen φdφdθ 0

sen θdθ π

Z

# #

π

sen2 φ cos φdφ

π 2

 π π π  2π 2 4 3 3 = 3 (− cos θ) (sen φ) + (− cos θ) (sen φ) π = 43 [2 + 2] = 0

π

0

# 16 3

2

Ejemplo 3.1.13 Sea S el s´olido com´ un a las esferas

x2 + y 2 + z 2 = 8 y x2 + y 2 + z 2 = 4z RRR y sea la integral triple I = z dV . Expresar los l´ımites para I utilizando coordenadas S esf´ericas. Luego, calcular el valor de I. Soluci´ on: La ecuaci´on x2 + y 2 + z 2 = 4z es equivalente a x2 + y 2 + (z − 2)2 = 4. As´ı, esta esfera tiene su centro en el punto (0, 0, 2 y radio 2. La Figura 3.85(a) muestra al s´olido S (regi´on com´ un a las dos esferas). La intersecci´on de las esferas es la circunferencia definida z

z

√ ρ= 8

y2 + z 2 = 8 √ 8

ρ = 4 cos φ

z=y

2

2

y

y 2 + z 2 = 4z

x (a)

(b)

Fig. 3.85

y

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

32

por las ecuaciones: x2 + y 2 = 4 (r =√2) y z = 2. Pasando las ecuaciones a coordenadas esf´ericas estas se transforman en ρ = 8 y ρ = 4 cos φ, respectivamente. Notese que en los puntos de intersecci´on: φ = π4 . Si la regi´on sombreada que muestra la Figura 3.85(b) rota alrededor del eje z se genera el s´olido S. Como la rotaci´on de la recta z = y genera el cono φ = π4 , deducimos que este cono divide al s´olido en dos partes. Una regi´on interior al cono definida por las desigualdades: 0 ≤ θ ≤ 2π

0≤φ≤

,

π 4

,

0≤ρ≤

√

8

y otra regi´on exterior al cono definida por las desigualdades: 0 ≤ θ ≤ 2π

,

π π ≤φ≤ 4 2

0 ≤ ρ ≤ 4 cos φ

,

Entonces I en coordenadas esf´ericas est´a expresado por dos integrales triples, siendo los l´ımites: Z 2π Z π Z √8 Z 2π Z π Z 4 cos φ 4 2 3 I= ρ cos φ sen φdρdφdθ + ρ3 cos φ sen φdρdφdθ (1) 0

0

0

π 4

0

0

No resulta complicado el c´alculo de estas dos integrales triples. Sin embargo, el c´alculo de I es m´as inmediato utilizando coordenadas cil´ındricas. En coordenadas cil´ındricas S est´a definido por las desigualdades: √ √ 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 2 , 2 − 4 − r 2 ≤ z ≤ 8 − r 2 As´ı, escogiendo la forma m´as simple para calcular I, I = =

Z

2π

Z

2

Z

√

8−r 2

zrdzdrdθ

√ 2− 4−r 2 Z 2π Z 2 √8−r2 1 2 z rdrdθ 2 √ 2− 4−r 2 0 0 0

0

=

Z

2π

dθ 0

Z

2 0

√ 2 4 − r 2 rdr = (2π)

16 3




=

32π 3

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 33

3.2. 3.2.1.

Aplicaciones de las integrales dobles y triples a la F´ısica Centro de masa de un sistema de part´ıculas

Consideremos un cuerpo de peso w. Si g es la aceleraci´on de la gravedad, entonces la masa m de dicho cuerpo es: m=

w g

o bi´en,

w = mg

Si en el tama˜ no del espacio en que se encuentra el cuerpo, sus dimensiones resultan insignificantes, entonces a dicho cuerpo se le denomina part´ıcula. Haciendo una abstracci´on podemos considerar que la masa total de una part´ıcula se encuentra concentrado en un solo punto, y as´ı, representarlo por un solo punto y denominarlo masa puntual. Al punto en el cual se considera concentrado la masa del cuerpo se llama centro de masa del cuerpo. Consideremos etonces que una part´ıcula de masa m est´a situado en un punto P que se encuentra a una distancia dirigida r de un plano π. Se denomina momento de masa o primer momento de la part´ıcula de masa m, con respecto a dicho plano π, al producto rm. Si denotamos por Mπ a este momento de masa, entonces: Mπ = rm Como la distancia dirigida r puede ser positiva o negativa, de acuerdo al lado del plano en que se encuentra el punto P , entonce el momento Mπ puede ser positivo, negativo o cero. Ser´a cero si el punto est´a sobre el plano π. De lo anterior, deducimos que si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y, z), entonces los momentos de masa de la part´ıcula de masa m con respecto a los planos yz, zx y xy, son respectivamente: Myz = xm ,

Mzx = ym ,

Mxy = zm

Consideremos ahora que tenemos un sistema de n part´ıculas (masas puntuales) m1 , m2 , · · ·, mn , situados en los puntos P1 , P2 , · · ·, Pn cuyas distancias dirigidas a un plano π son r1 , r2 , · · ·, rn , respectivamente, entonces el momento de masa o primer momento Mπ de dicho sistema es: Mπ = r1 m1 + r2 m2 + · · · + rn mn =

n X

ri mi

i=1

An´alogamente, si las coordenadas rectangulares de dichos puntos son P1 = (x1 , y1 , z2 ) ,

P2 = (x2 , y2 , z2 ) ,

··· ,

Pn = (xn , yn , zn )

entonces los momentos de masa con respecto a los planos yz, zx y xy son: Myz = x1 m1 + x2 m2 + · · · + xn mn =

n X

xi mi

Mzx = y1 m1 + y2 m2 + · · · + yn mn =

n X

xi mi

i=1

i=1

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

34

Myz = x1 m1 + x2 m2 + · · · + xn mn = Si M es la masa total del sistema, entonces: M = m1 + m2 + · · · + mn =

n X

n X

yi mi

i=1

mi

i=1

El centro de masa del sistema de n part´ıculas es el punto en el cual debe colocarse una masa puntual igual a M para producir los mismos momentos de masa que producen las n part´ıculas. Si las coordenadas rectangulares de dicho centro de masa son (x, y, z), entonces: x=

Myz M

,

y=

Mzx M

,

z=

Mxy M

Ejemplo 3.2.1 Una part´ıcula se encuentra situada en el punto P1 = (1, 1, 3). Una segunda part´ıcula de masa doble que la primera esta situada en el punto P2 = (−2, 0, −1). Una tercera part´ıcula de masa 35 de la segunda esta situada en el punto P3 = (2, 3, 1). Hallar el centro de masa del sistema. Soluci´ on: Sea m la masa de la primera part´ıcula. Entonces las masas de la segunda y tercera part´ıculas ser´an 2m y 65 m, respectivamente. Entonces la masa total del sistema es m. Las coordenadas del centro de masas del sistema son: M = m + 2m + 65 m = 21 5 1(m) + (−2)(2m) + 2( 56 )(m) 1 =− 21 7 m 5 1(m) + (0)(2m) + 3( 56 )(m) Mzx 23 y= = = 21 M 21 m 5 6 3(m) + (−1)(2m) + 1( 5 )(m) Mxy 11 z= = = 21 M 21 m 5
23 11 , 21 . As´ı, el centro de masa del sistema es el punto − 71 , 21 x=

Myz M

=

El momento de peso de una part´ıcula de peso w = mg, que se encuentra a una distancia dirigida r de un plano π, se define como el producto wr. Igualmente, si se tiene un sistema de n part´ıculas de pesos w1 , w2 , · · ·, wn , cuyas distancias dirigidas al plano π son r1 , r2 , · · ·, rn , respectivamente, entonces el momento de peso Wπ se define como: Mπ = r1 w1 + r2 w2 + · · · + rn wn =

n X

ri w i

i=1

Si Wyz , Wzx y Wxy , representan los momentos de peso del sistema con respecto a los planos yz, zx yxy, respectivamente, entonces el punto de coordenadas (x, y, z) tal que: x=

Wyz w

,

y=

Wzx w

,

z=

Wxy w

donde w = w1 + w2 + · · +wn , se denomina centro de gravedad del sistema. Como wi = mi g, puede demostrarse que si los pesos est´an en un campo gravitacional uniforme (aceleraci´on de la gravedad constante), entonces el centro de gravedad coincide con el centro de masa del sistema.

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 35

3.2.2.

Centro de masa de un cuerpo continuo

Si se tiene un sistema conformado por un n´ umero grande de part´ıculas puede considerarse que dicho sistema est´a constituido no por part´ıculas individuales sino por un continuo de materia denominado cuerpo continuo. As´ı, diremos que un cuerpo continuo es aquel que ocupa toda una regi´on cerrada y acotada de R3 . Si S es el espacio ocupado por el cuerpo continuo, entonces podemos llamar como S tanto a dicho espacio como al cuerpo continuo que lo ocupa. Si la densidad es la misma en todos los puntos del cuerpo se dice que dicho cuerpo es homog´ eneo. Si dicha densidad constante es ρ, la masa m y el volumen V , entonces se verifica: m o m = ρV ρ= V Si la densidad de un cuerpo continuo no es el mismo en todos los puntos se dice que el cuerpo continuo es heterog´ eneo. Si la densidad en el punto P = (x, y, z) depende de x, y y z, entonces expresamos que la densidad es ρ(x, y, z). Denominemos por S al espacio ocupado por el cuerpo continuo heterog´eneo y consideremos que la densidad ρ(x, y, z) es continua en cada punto de S. Por medio de planos paralelos a los planos coordenados podemos obtener una partici´on del cuerpo S en paralelep´ıpedos rect´angulos. Sea n el n´ umero de paralelep´ıpedos en que se ha dividido S. En el i-´esimo paralelep´ıpedo de volumen ∆i V escojamos un punto cualquiera tal como (xi , yi , zi ) (ver Figura 3.91). Entonces un valor aproximado para la masa correspondiente a este i-´esimo paralelep´ıpedo es: z

∆i m = ρ(xi , yi , zi ) ∆i V Los momentos de masa producidos por esta masa ∆i m, con respecto a los planos yz, zx y xy son respectivamente, ∆i Myz = xi ρ(xi , yi , zi ) ∆i V ∆i Mzx = yi ρ(xi , yi , zi ) ∆i V ∆i Mxy = zi ρ(xi , yi , zi ) ∆i V

S

y

x

(xi , yi , zi )

Fig. 3.91 As´ı, para un valor de n relativamente grande, la sumatoria: n X

ρ(xi , yi , zi )∆i V

i=1

ser´a un valor aproximado para la masa total del cuerpo S. Igualmente, las sumatorias: n X i=1

xi ρ(xi , yi , zi )∆i V

,

n X i=1

yi ρ(xi , yi , zi )∆i V

,

n X

zi ρ(xi , yi , zi )∆i V

i=1

ser´an valores aproximados para los momentos de masa del cuerpo S respecto de los planos yz, zx y xy, respectivamente. Como la densidad es continua en S, entonces cada uno de estas sumatorias tendr´an l´ımite cuando n crece ilimitadamente, originando integrales triples. Esto permite establecer las siguientes definiciones: Definici´ on 3.2.1 Sea S el espacio ocupado por un cuerpo continuo cuya densidad en el punto (x, y, z) es ρ(x, y, z), continua en cada punto de S. La masa total M del cuerpo

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

36 continuo es: m=

ZZZ

ρ(x, y, z)dV

(3.23)

S

Los momentos de masa del cuerpo continuo con respecto a los planos yz, zx y xy, denotados por Myz , Mzx y Mxy respectivamente, es: ZZZ Myz = x ρ(x, y, z)dV (3.24) S

Mzx = Mxy =

ZZZ

y ρ(x, y, z)dV

(3.25)

z ρ(x, y, z)dV

(3.26)

S

ZZZ

S

El centro de masa del cuerpo continuo es el punto (x, y, z) tal que: ZZZ x ρ(x, y, z)dV Myz S Z Z Z = x= m ρ(x, y, z)dV

(3.27)

S

ZZZ

Mzx y= = Z Z ZS m

y ρ(x, y, z)dV (3.28) ρ(x, y, z)dV

S

ZZZ

Mxy z= = Z Z ZS m

z ρ(x, y, z)dV (3.29) ρ(x, y, z)dV

S

Si el cuerpo continuo es homog´eneo, y si la densidad constante es k, entonces de la ecuaci´on (3.23), encontramos que la masa del cuerpo es: ZZZ m=k dV = kV (3.30) S

donde V es el volumen del cuerpo. Igualmente, de las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), encontramos que el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que: ZZZ ZZZ ZZZ xdV ydV zdV S S S , y= , z= (3.31) x= V V V En este caso al centro de masas se le denomina centroide y depende solo de la figura geometr´ıca del cuerpo continuo homog´eneo. Ejemplo 3.2.2 Determinar el centro de masa de un cono s´olido de altura h y radio de su base a, si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia de ese punto a la base del cono.

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 37 Soluci´ on: Consideremos que el eje del cono es el eje z y que su base est´a en el plano xy. Podemos considerar que el cono s´olido se ha generado por la rotaci´on de la regi´on sombreada en el plano yz que muestra la Figura 3.92(a), alrededor del eje z. La ecuaci´on z

z

(0, h) (x, y, z)

z

y

y

(a, 0)

(a)

(b)

x

Fig. 3.92 del segmento de recta que une los puntos (0, h) y (a, 0) es z = ha (a − y). Cambiando en esta ecuaci´on y por r, encontramos que la ecuaci´on de la superficie lateral del cono en coordenadas cil´ındricas es: z = ha (a − r). As´ı, si S es el espacio ocupado por el cono s´olido, entonces S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las relaciones: 0 ≤ θ ≤ 2π

0≤r≤a ,

,

0≤z≤

h (a − r) a

Si (x, y, z) es un punto cualquiera en el cono s´olido, entonces su distancia a su base (plano xy) es z (ver Figura 3.92(b)). Entonces la densidad en dicho punto es ρ(x, y, z) = kz, donde k es la constante de proporcionalidad. As´ı, la masa total del cono s´olido es: ZZZ ZZZ ZZZ m= ρ(x, y, z)dV = kzdV = k zdV S

S

S

Utilizando coordenadas cil´ındricas, m = k

Z

2π

0

=

kh2 2a2

=

kh2

Z

a

0

Z

2π

Z

dθ

0

(2π) 2a2

h (a−r) a

zrdzdrdθ

0

Z

0

a

(a2 r − 2ar 2 + r 3 ) dr

 a 2 1 4 2 2 3 a r − ar + r = 2 3 4

1

0

1 kπa2 h2 12

De las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), los momentos de masa respecto de los planos yz, zx y xy son, respectivamente: ZZZ ZZZ ZZZ Myz = k xzdV , Mzx = k yzdV , Mxy = k z 2 dV S

S

S

Como el integrandoRRR xz es impar respecto de x y el cono tiene simetr´ıa respecto del plano yz, deducimos que S xzdV = 0. Igualmente, el integrando yz es impar respecto de y, y

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

38

RRR por la simetr´ıa respecto del plano xz, tambi´en S yzdV = 0. As´ı, Myz = 0 y Mzx = 0. En cambio, Z 2π Z a Z h (a−r) a Mxy = k z 2 rdzdrdθ 0

= =

kh3 3a3

0

Z

0

2π

dθ

0

Z

0

kh3 (2π) 3a3

a

(a3 r − 3a2 r 2 + 3ar 3 − r 4 ) dr

 a 3 1 5 3 2 2 3 4 a r − a r + ar − r = 2 4 5

1

0

1 kπa2 h3 30

Reemplazando los valores de los momentos de masa hallados, en las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que: x=0

y=0

,

,

2 z= h 5

Ejemplo 3.2.3 Un cuerpo ocupa la regi´on S limitada por las superficies: x+z =4

,

y+z =3

,

x=0 ,

y=0 ,

z=0

Si la densidad en el punto (x, y, z) es ρ(x, y, z) = kx, donde k es una constante positiva, hallar los momentos est´aticos respecto de los planos coordenados y el centro de masa de dicho cuerpo.

Soluci´ on: La Figura 3.93(a) muestra el s´olido S. De la figura deducimos que si el plano xz fuera horizontal, diriamos que el cuerpo est´a limitado lateralmente (verticalmente) por los planos z + x = 3, x = 0 y z = 0, inferiormente por el plano y = 0 y superiormente por el plano y = 3 − z. As´ı, la proyecci´on del cuerpo sobre el plano xz es la regi´on sombreada que muestra la Figura 3.93(b). z

z 3 z+y =3

z+x=3

z =3−x

3

y x (b)

(a)

Fig. 3.93

x

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 39 Los momentos est´aticos respecto de los planos yz, zx y xy son respectivamente: ZZZ Z 3 Z 3−x Z 3−z Myz = xρ(x, y, z)dV = kx2 dydzdx S

= k Mzx = = Mxy =

Z

3

−

0

ZZZ

= k

yρ(x, y, z)dV =

S

3

Z

Z

1 (3 3

0

1 5 x 5

3

0

Z

3

Z

3−x

k 6

2 5 x 5

0

S

3

0

0

3−x − 13 z 3 xdx =

La masa total del cuerpo es: ZZZ Z m = ρ(x, y, z)dV = Z

0

0

3 2 z 2

3−x

Z

3z −

1 2 z 2

Z

3 0

0

81k 5

kxydydzdx 0

Z

−

27 2 x 2

3−z


3 = 0

243k 20

kxzdydzdx

0

Z

− 49 x4 +

3−x

0


3−x xdx = 0


3 − 3x = 3

3−z

1 5 x 5

0

S

0

Z

3−x − z) xdx = − k6 3

zρ(x, y, z)dV =

3

= k

0

0

0

ZZZ k 2

0

3−x 1 2 − 2 (3 − z) x2 dx = − k2

k 2

Z

27 2 x 2


3 = 0

243k 40

3−z

kxdydzdx 0

9 2 x 2

−

1 4 x 4


3 = 0

81k 8

Reemplazando los valores de los momentos de masa hallados, en las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), encontramos que el centro de masa es el punto (x, y, z) tal que: x=

8 5

,

y=

6 5

,

z=

3 5

Ejemplo 3.2.4 Sea S la regi´on interior al paraboloide 4z = x2 + y 2, exterior al cono z 2 = 3x2 + 3y 2 y debajo del plano z = 4. Un cuerpo continuo ocupa la regi´on S de modo que la densidad en el punto (x, y, z) es ρ(x, y, z) = 10 + x + y + z. Halle la masa total y el centro de masa de dicho cuerpo. Soluci´ on: La Figura 3.94 muestra el s´olido S. Notamos que S es un s´olido de revoluci´on cuyo eje es el eje z. Notamos tambi´en que S tiene simetr´ıa respecto de los planos xz e yz. Para calcular el centro de masas debemos calcular previamente las RRR RRR integrales triples: yρ(x, y, z)dV y S RRRS xρ(x, y, z)dV , zρ(x, y, z)dV . Como S ρ(x, y, z) = 10 + x + y + z

estas integrales se pueden expresar de las siguientes formas:

z

z=4

√ r=2 z r=

y

√z 3

x

Fig. 3.94

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

40 ZZZ

x(10 + x + y + z)dV

ZZZ

=

S

ZZZ

S

y(10 + x + y + z)dV

ZZZ

=

S

ZZZ

x(10 + y + z)dV +

z(10 + x + y + z)dV

=

S

x2 dV

S

y(10 + x + z)dV +

S

ZZZ

ZZZ

ZZZ

y 2 dV

S

xzdV +

S

ZZZ

yzdV +

S

ZZZ

(10z + z 2 )dV

S

Los integrandos x(10 + y + z) y xz son impares respecto de x, y como S tiene simetr´ıa respecto del plano yz, sus integrales triples sobre S son iguales a 0. An´alogamente, los integrandos y(10 + x + z) e yz son impares respecto de y, y por la simetr´ıa de S respecto del plano xz, sus integrales triples sobre S son tambi´en iguales a 0. As´ı, las tres integrales son equivalentes a: ZZZ ZZZ xρ(x, y, z)dV = x2 dV S

ZZZ

S

=

yρ(x, y, z)dV

S

ZZZ

ZZZ

y 2 dV

S

=

zρ(x, y, z)dV S

ZZZ

(10z + z 2 )dV

S

√ La ecuaci´ y del cono en coordenadas cil´ındricas son 4z = r 2 (r = 2 z) √on del paraboloide y z = 3r (r = √z3 ), respectivamente. As´ı, la regi´on S est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las relaciones: 0 ≤ θ ≤ 2π La primera integral triple es: ZZZ Z 2 x dV = S

1 4

=

La segunda integral triple es: ZZZ S

0

ZZZ

2

Z

4

0

Z

1 8

= Entonces:

2π

√ z √ ≤r≤2 z 3

0≤z≤4 ,

,

2π

Z

1 (1 2

0

√ 2 z

r 3 cos2 θ drdzdθ z √ 3

+ cos 2θ)dθ

0

xρ(x, y, z)dV = S

x dV =

0

2π

4

0


2π θ + 12 sen 2θ

Z

Z

Z

0

4

Z

16 3 z 3


16z 2 − 19 z 4 dz

−

1 5 z 45

512(7π) 45


4 = 0

512(7π) 45

√ 2 z

r 3 sen2 θ drdzdθ z √ 3

El valor de esta integral triple coincide con la integral triple anterior. As´ı, ZZZ 512(7π) yρ(x, y, z)dV = 45 S

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 41 La tercera integral triple es: ZZZ

2

(10z + z )dV dV

=

S

= =

Z 1 2

2π 0

4

Z

0

Z

2π

dθ

0

π 3

As´ı, ZZZ

Z

√ 2 z

(10z + z 2 ) drdzdθ z √ 3

Z

0

4

(120z 2 + 2z 3 − z 4 ) dz


4 40z 3 + 21 z 4 − 15 z 5 = 0

zρ(x, y, z)dV =

S

128(97π) 15

128(97π) 15

La masa total del cuerpo es: ZZZ ZZZ m = ρ(x, y, z)dV = (10 + x + y + z)dV S

ZZZ

=

S

(10 + z)dV +

S

ZZZ

xdV +

S

ZZZ

ydV S

Las dos u ´ ltimas integrales triples valen 0. Por lo tanto, m = =

Z 1 6

2π 0

Z

Z

4

0

2π

dθ 0

Z

√ 2 z z √ 3

Z

(10 + z) rdrdzdθ

4 2

0

3

(120z + 2z − z )dz =

π 3

2

60z +

Evaluando, encontramos que la masa total del cuerpo es: m=

2 3 z 3

−

1 4 z 4


4 0

256(11π) 9

As´ı, el centro de masa del cuerpo es el punton (x, y, z) tal que: x = y = z =

RRR

S

RRR

S

RRR

S

xρ(x,y,z)dV m

=

yρ(x,y,z)dV m

=

zρ(x,y,z)dV m

=

512(7π) 45 256(11π) 9 512(7π) 45 256(11π) 9 128(97π) 15 256(11π) 9

=

14 55

=

14 55

=

291 110

Ejemplo 3.2.5 Calcular el centroide del cuerpo homog´eneo que ocupa la porci´on de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 en el primer octante. Soluci´ on: Como el cuerpo es homog´eneo, entonces la densidad es constate. Sea ρ(x, y, z) = k dicha densidad. Denominemos por S a la porci´on de la esfera en el primer octante. Por

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

42


f´ormula, el volumen de S es V = 18 34 πa3 = 16 πa3 . Para el c´alculo de los numeradores en la ecuaci´on (3.31) utilizaremos coordenadas esf´ericas. As´ı, ZZZ

xdV

=

Z

=

Z

S

π 2

0 π 2

Z

π 2

0

Z

0

1 4 a 8

An´alogamente, ydV

S

zdV

π 2

0

π 2

2

sen φdφ 0

1 (1 2

= =

Z

0 π 2

0

Z Z

π 2

0

ρ3 dρ #

1 πa4 16

a 1 4 ρ 4 0

a

ρ3 sen2 φ sen θdρdφdθ

0

π 2

0

Z

a

− cos 2φ)dφ 0

π 2

Z

0

  π2 φ − 21 sen 2φ =

Z

S

ZZZ

Z

cos θdθ

0

ZZZ

(ρ sen φ cos θ)ρ2 sen φdρdφdθ

0

" π Z 2 = sen θ =

a

Z

a

ρ3 sen φ cos φdρdφdθ

0

1 πa4 . Se deja al lector su verificaci´on. ReemplaAmbas integrales son tambi´en iguales a 16 zando estos valores en las f´ormulas de la ecuaci´on (3.31), el centroide del cuerpo es el punto de coordenadas:   3a 3a 3a (x, y, z) = , , 8 8 8

En el ejemplo anterior, que las 3 coordenadas del centroide resultaran iguales era previsible, pues la porci´on de la esfera en el primer octante tiene simetr´ıa respecto de la recta x = y = z. El siguiente teorema establece esta propiedad y otras dos adicionales. Teorema 3.2.1 Sea S el espacio ocupado por un cuerpo continuo homog´eneo. i) Si la regi´on S tiene simetr´ıa respecto de una recta L, entonces el centroide de S est´a situado sobre dicha recta. ii) Si la regi´on S tiene simetr´ıa respecto de un plano P, entonces el centroide de S est´a situado en dicho plano. ii) Si la regi´on S tiene un centro de simetr´ıa, entonces dicho centro de simetr´ıa es el centroide de S. En los dos cap´ıtulos siguientes definiremos el centroide de superficies y curvas. El teorema anterior es v´alido si S es una superficie o una curva que tiene las simetr´ıas mencionadas. Por aplicaci´on de dichas propiedades puede determinarse el centroide de muchas figuras geom´etricas conocidas. Ejemplo 3.2.6 Hallar el centroide del s´olido S limitado superiormente por la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 e inferiormente por el cono cuya ecuaci´on en coordenadas esf´ericas es φ = α.

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 43 Soluci´ on: La Figura 3.95 muestra el s´olido S. Observamos que el s´olido tiene simetr´ıa respecto del eje z. por lo tanto, el centroide estar´a situado en dicho eje. Es decir, si (x, y, z) es el centroide, entonces x =RRR 0 = y. En efecto, RRRal ser S sim´etrico respecto de los planos yz y xz, entonces se verifican: xdV = 0 = ydV , originando que dichas coordenadas S S sean 0. En cambio, ZZZ

zdV

=

S

2π

Z

0

= =

1 4 a 4

Z

Z

π 4 a 4

α 0

2π

Z

ρ cos φρ2 sen φdρdφdθ

z

0

dθ 0

a

Z

x2 + y 2 + z 2 = a2 (ρ = a)

α

sen φ cos φdφ

0

α sen2 φ = 0

π 4

sen2 α φ=α

El volumen del s´olido es: Z 2π Z α Z a V = ρ2 sen φdρdφdθ 0

=

1 3 a 3

0

Z

2π

dθ 0

x

0

Z

α

sen φdφ = 0

y

2π 3 a (1 3

Fig. 3.95

− cos α)

As´ı, el centroide de S es el punto (0, 0, z), donde

z=

RRR

zdV = V

S

π sen2 α 4 2π 3 a (1 − cos α) 3

=

3a (1 + cos α) 8

Ejemplo 3.2.7 Hallar el centro de gravedad del cuerpo homog´eneo limitado por el paraboloide 2az = x2 + y 2 y la esfera x2 + y 2 + z 2 = 3a2 (z ≥ 0, a > 0).

Soluci´ on: Considerando que el cuerpo se encuentra en un campo gravitacional uniforme (aceleraci´on de la gravedad constante), entonces el centro de gravedad coincide con el centro de masa del cuerpo. Como adem´as, el cuerpo es homog´eneo, entonces el centro de masa es el centroide del cuerpo. As´ı, el centro de gravedad coincide con el centroide. Denominemos por S al cuerpo. Las superficies que limitan a S se intersectan seg´ un la 2 2 2 circunferencia: x + y = 2a , z = a. La Figura 3.96 muestra el s´olido S y observamos que su proyecci´on en el plano xy es el c´ırculo x2 + y 2 ≤ 2a2 . Pasando las ecuaciones a coordenadas cil´ındricas, deducimos que el s´olido est´a definido en coordenadas cil´ındricas por las siguientes desigualdades:

0 ≤ θ ≤ 2π

,

0≤r≤a ,

√ r2 ≤ z ≤ 3a2 − r 2 2a

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

44

Por la simetr´ıa del s´olido con respecto al eje z, el centroide estar´a sobre dicho eje. Entonces calculamos: ZZZ Z 2π Z √2 Z √3a2 −r2 zdV = zrdzdrdθ 2 S

=

1 2

2π

Z

= π

dθ

Z

√

2

0

0



3a2 r 2 2

−

=

 3a2 − r 2 −

r4 4

0

Z

2π

Z

2π

√

Z

2

0

0

=

r4 4a2

 √2a r6 = − 24a2

El volumen del s´olido es:

V

z=

√

3a2 − r2

r 2a

0

0

z

dθ

Z

Z

√

√

0

0

q

rdr y z=

5π 4 a 3

3a2 −r 2

r2 2a

2



r2 2a

x

Fig. 3.96

rdzdrdθ

3a2 − r 2 −

h 3 = 2π − 31 (3a2 − r 2 ) 2 −

r4 8a

r2 2a



rdr

i √2a = 0

√ (6 3−5)π 3 a 3

La coordenada z del centro de gravedad es:

z=

ZZZ

zdV S

V

=

5π 4 a √3 (6 3−5)π 3 a 3

5a = √ 6 3−5

As´ı, el centro de gravedad es el punto

(x, y, z) =

3.2.3.



5a 0, 0, √ 6 3−5



Centro de masa de una l´ amina plana

Consideremos un cuerpo continuo que tiene la forma de un cilindro recto de altura h. Si la altura es peque˜ na en comparaci´on con sus bases, entonces al cuerpo se le denomina una l´amina plana de espesor o altura constante h. Consideremos tambi´en que una de las caras paralelas de la l´amina es una regi´on R del plano xy, tal como muestra la Figura 3.97.

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 45 z

y

R h

x

Fig. 3.97 Si la densidad es continua y como el espesor es peque˜ no, ocurrir´a que las variaciones de dicha densidad a lo largo de una l´ınea paralela al eje z ser´an tambi´en peque˜ nas y pr´acticamente nulas. Es decir, podemos considerar que la densidad en el punto (x, y, z) de la l´amina es funci´on solo de sus coordenadas x e y, o lo que es lo mismo, funci´on del punto (x, y) sobre el cual se proyecta en el plano xy. Notese que dicho punto (x, y) pertenece a la regi´on R. As´ı, puede considerarse como que la masa est´a distribuida sobre la superficie R y definir una funci´on densidad superficial ρ(x, y) (masa por unidad de ´area). Bajo estas condiciones, el a´rea de la regi´on R y el volumen de la l´amina ser´an: ZZ ZZ A= dA , V = hA = h dA R

R

La masa total de la l´amina ser´a: mT = h

ZZ

ρ(x, y)dA

R

Las f´ormulas dadas en las ecuaciones (3.24), (3.25) y (3.26), para los momentos de masa de la l´amina con respecto a los planos yz, zx y xy se transforman en: ZZ ZZ Myz = h xρ(x, y)dA , Mzx = h yρ(x, y)dA R

1 1 Mxy = h2 mT = h2 2 2

R

ZZ

ρ(x, y)dA R

Tambi´en, las f´ormulas dadas en las ecuaciones (3.27), (3.28) y (3.29), para las coordenadas del centro de masa se reducen a: ZZ ZZ xρ(x, y)dA yρ(x, y)dA h R R x = ZZ , y = ZZ , z= (3.32) 2 ρ(x, y)dA ρ(x, y)dA R

R

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

46

Notese que las coordenada z depende solo del espesor de la l´amina. Esto era de esperarse ya que la densidad a lo largo de una l´ınea perpendicular a las caras se ha considerado constante. Esto significa que el centro de masa de la l´amina estar´a completamente si se conoce el punto (x, y) sobre la regi´on R. As´ı, para una l´amina plana se establecen las siguientes definiciones: Definici´ on 3.2.2 sea R la regi´on del plano xy ocupada por una l´amina plana, y sea ρ(x, y) la densidad superficial de dicha l´amina en el punto (x, y) de R. i) Los momentos de masa de dicha l´amina respecto de los ejes x e y, denotados por Mx y My , respectivamente, son definidos como: ZZ ZZ Mx = yρ(x, y)dA , My = xρ(x, y)dA (3.33) R

R

ii) El centro de masa de la l´amina plana es el punto de coordenadas (x, y) tal que: ZZ ZZ xρ(x, y)dA yρ(x, y)dA My Mx R R x= y= = , = (3.34) m m m m ZZ donde m = ρ(x, y)dA es definida como la masa total superficial de la l´amina. R

Si en la definici´on anterior la densidad superficial es constante, entonces al centro de masa de la l´amina se denomina centroide de la regi´on R. Las coordenadas (x, y) del centroide quedan expresadas como: ZZ ZZ xdA ydA R R , (3.35) x= y= A A donde A es el ´area de la regi´on R.

Ejemplo 3.2.8 Una √ l´amina de espesor h tiene por base la regi´on R encerrada por la circunferencia y = 4 − x2 y el eje x. Si la densidad en el punto (x, y, z) es proporcional a la distancia del punto al eje z, encontrar el centro de masa de dicha l´amina. p Soluci´ on: La distancia del punto (x, y, z) al eje z es x2 + y 2 ; es decir, no depende z. Dicha distancia es tambi´en igual a la distancia del punto (x, y, 0) al mismo eje z. Deducimos que la densidad de un punto (x, y, z) de la l´amina es funci´on de su proyecci´on (x, y) sobre el plano xy. As´ı, consideramos que la densidad superficial en el punto (x, y) de R (ver Figura 3.98) p 2 es: ρ(x, y) = k x + y 2 , donde k es una constante de proporcionalidad. De las ecuaciones (3.33), los momentos de masa respecto de los ejes x e y son, respectivamente: Mx =

ZZ

yρ(x, y)dA =

R

=

Z

π

0

My =

Z

2

ZZ

ky R

kr 3 sen θdrdθ = 4k

0

ZZ

R

xρ(x, y)dA =

ZZ

R

p x2 + y 2dA Z

y r=2

π

sen θdθ = 8k 0

p kx x2 + y 2 dA

R

x

Fig. 3.98

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 47 p Puesto que el integrando kx x2 + y 2 es impar respecto de x, y siendo la regi´on R sim´etrica respecto del eje y, deducimos que: ZZ

My =

R

p kx x2 + y 2dA = 0

La masa superficial de la l´amina es: m =

ZZ

ρ(x, y)dA =

R

=

Z

π

Z

0

ZZ

k

R

2 2

kr drdθ =

0

8k 3

Z

p

x2 + y 2 dA

π

dθ = 0

8kπ 3

As´ı, por las f´ormulas de la ecuaci´on (3.34), el centro mde masa de la l´amina es el punto (x, y) tal que: 0 8k 3 My Mx = 8kπ = 0 , y = = 8kπ = x= m m π 3 3
Notese que en realidad, el centro de masa de la l´amina es el punto (x, y, z) = 0, π3 , h2 . Ejemplo 3.2.9 Determinar el centro de masa de la l´amina plana que ocupa la regi´ on limitada por las rectas y = 2x , y = x y x + y = 3, si la densidad en el punto (x, y) es igual a su distancia al eje y. Soluci´ on: Denotemos por R a la regi´on encerrada por dichas rectas (ver Figura 3.99). Como la distancia del punto (x, y) de R al eje y es igual a x, entonces la densidad en dicho punto es ρ(x, y) = x. Entonces los momentos est´aticos respecto de los ejes x e y y la masa de la l´amina ser´an:

Mx = My = m =

ZZ

ZZ

ZZ

yρ(x, y)dA = R

xydA

y = 2x

R

xρ(x, y)dA = R

ρ(x, y)dA = R

y

ZZ

ZZ

ZZ

y=x

x2 dA

R

R

x+y =3

xdA R

x

Como la regi´on R no es totalmente del Tipo I ni del Tipo II, entonces para simplificar los

Fig. 3.99

c´alculos, hacemos la siguiente transformaci´on: u = 2x + y

,

v =x+y

Despejando, x=

u+v 3

,

y=

2v − u 3

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

48

Entonces el Jacobiano de ci´on es: ∂x ∂x ∂u ∂v J(u, v) = ∂y ∂y ∂u ∂v

v

esta u ´ ltima transforma-

v = 2u v=3

1 3 = −1 3

1 3

1 = 3

2 3

T

u=0

u

Las im´agenes de las rectas y = 2x, y = x y x + y = 3 son las rectas u = 0, u = v2 y v = 3, respectivamente. As´ı, la imagen de la regi´on R es

Fig. 3.100

el tri´angulo T que muestra la Figura 3.100. Entonces, los momentos Mx y My son: ZZ

Mx = = =

My =

ZZ

=

Z

1 27

xydA = R

1 27

Z

1 27

Z

3

0

2

2v u + 0

x dA =

0

3

Z

ZZ

T

v 2

T

1 (u 27

v 2 u 2

1 (u 27

2

0

1 3 u 3

−

1 81

Z

0

La masa de la l´amina es:

= =

ZZ 1 9

Z

1 18

xdA = R

3

v 2

0

1 27

Z

3

0

13 3 v dv 12

13 16

=

ZZ

3

v (u + v) dv = 3 2 0

T

1 (u 9

23 (4)(81)

Z

3

v 3 dv = 0

23 16

+ v)dudv

(u + v)dudv

0

0

Z

Z


v2 dv =

+ v)2 dudv

(u + v) dudv =

m =

+ v)(2v − u)dudv

(2v 2 + uv − u2 ) dudv

0

3

2

R

v 2

Z

ZZ

3 0

v (u + v) dv = 2 2 0

5 72

Z

3

v 2 dv = 0

5 8

Si (x, y) es el centro de masa de la l´amina, entonces: My x= = m

23 16 5 8

23 = 10

,

Mx y= = m

13 16 5 8

=

13 10

Ejemplo 3.2.10 Hallar el centroide de la regi´on R acotada por la par´abola y = 6x − x2 y la recta 4x + y = 6. Soluci´ on: La Figura 3.101 muestra la regi´on R. De esta figura, se tiene:

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 49

ZZ ZZ

xdA = R

R

Z

1

6

Z

6x−x2

xdydx

y

6−x

6 = 37 x3 − 14 x4 − 3x2 = 1 Z 6 Z 6x−x2 ydA = ydydx 1

=

1 2

y = 6x − x2

875 12

6−x


6 1 5 35 3 4 2 x − 3x + 3 x + 6x − 36x = 5 1

R

5 625 6

El ´area de la regi´on R es: A =

ZZ

dA =

Z

1

R

y =6−x

6x−x2

6Z

1

dydx

6

x

6−x

6 1 3 7 2 = 2 x − 3 x − 6x =

Fig. 3.101

125 6

1

Reemplazando los valores hallados en la f´ormulas dadas en la ecuaci´on (3.35), encontramos que el centroide de la regi´on R es el punto de coordenadas (x, y) tales que: ZZ ZZ xdA ydA 875 625 7 12 6 R R = 125 = , = 125 x= y= =5 A 2 A 6 6 Ejemplo 3.2.11 Hallar el centroide de la regi´on encerrada por las par´abolas 4y = x2 y 4x = y 2 . Soluci´ on: Si en la ecuaci´on b4y = x2 se cambian x por y e y por x, dicha ecuaci´on se transforma en 4x = y 2. Es decir, las parabolas dadas son cada una la sim´etrica de la otra con respecto a la recta y = x. Por lo tanto, la regi´on R encerrada por dichas par´abolas tiene simetr´ıa respecto de la recta y = x, tal como se observa en la Figura 3.102. Deducimos que el centroide de esta regi´on estar´a sobre dicha recta de simetr´ıa. As´ı, bastar´a hallar solo una de las coordenadas. De la figura, y

ZZ

xdA =

R

=

Z Z

4 0 4 0

=

4 25 x 5

=

48 5

Z 

√ 2 x

y=x

xdydx

4

1 2 x 4 3 2

2x −

−

1 3 x 4

4 1 4 x 16 0



√ y=2 x

dx y = 41 x2 4

Fig. 3.102 Teniendo en cuenta la simetr´ıa, el ´area de R es: Z 4 Z 4Z x
dydx = 2 x − 14 x2 dx = 2 A = 2 0

1 2 x 4

0

1 2 x 2

−

1 3 x 12


4 = 0

16 3

x

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

50 As´ı, la coordenada x del centroide es: ZZ

xdA

R

x=

=

A

Concluimos que el centroide de R es el punto

3.2.4.

48 5 16 3

9 9 , 5 5




=

9 5

.

Momento de Inercia

Consideremos un sistema de n part´ıculas de masas m1 , m2 , · · ·, mn , situadas en los puntos P1 , P2 , ··, Pn cuyas distancias a una recta L son r1 , r2 , ··, rn , respectivamente. El momento de inercia o segundo momento del sistema con respecto a la recta L se define como: n X IL = ri2 mi i=1

An´alogamente, si las distancias de dichos puntos P1 , P2 , ··, Pn , a un plano Q son d1 , d2 , · · ·, dn , respectivamente, entonces el momento de inercia del sistema de n part´ıculas respecto al plano Q se define como: n X d2i mi IQ = i=1

Haciendo un an´alisis semejante al realizado para calcular los momentos de masa de un cuerpo continuo, puede establecerse la siguiente definici´on:

Definici´ on 3.2.3 Consideremos un cuerpo continuo heterog´eneo queocupa cierta regi´on S 3 de R . Si la densidad en el punto (x, y, z) es una funci´on continua ρ(x, y, z), entonces los segundos momentos o momentos de inercia de dicho cuerpo, respecto de los ejes x, y y z, se definen respectivamente como: ZZZ Ix = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV (3.36) S

Iy =

ZZZ

(x2 + z 2 )ρ(x, y, z)dV

(3.37)

ZZZ

(x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dV

(3.38)

S

Iz =

S

Igualmente, los momentos de inercia del cuerpo continuo, con respecto a los planos yz, zx e xy, se definen respectivamente como: ZZZ Iyz = x2 ρ(x, y, z)dV (3.39) S

Izx = Ixy =

ZZZ

y 2ρ(x, y, z)dV

(3.40)

z 2 ρ(x, y, z)dV

(3.41)

S

ZZZ

S

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 51 Por propiedades de aditividad de las integrales triples, pueden demostrarse las siguientes relaciones: Ix = Izx + Ixy , Iy = Ixy + Iyz , Iz = Iyz + Izx (3.42) Puede resultar mas sencillo utilizar estas u ´ ltimas ecuaciones para el c´alcuo de Ix , Iy e Iz . Ejemplo 3.2.12 Un cuerpo tiene la forma de un cilindro circular recto de altura h y radio de la base a. Calcular su momento de inercia con respecto al eje del cilindro, si su densidad en cada punto es directamente proporcional a la distancia a dicho eje. Soluci´ on: Si escogemos el eje del cilindro como el eje z y las bases una en el plano xy y la otra en el plano z = h (ver Figura 3.106), entonces el momento de inercia pedido ser´ıa Iz . La densidad p en el punto (x, y, z) es: ρ(x, y, z) = k x2 + y 2, donde k es una constante de proporcionalidad. Reemplazando valores en la ecuaci´on (3.38) y utilizando coordenadas cil´ındricas, ZZZ
3 Iz = k x2 + y 2 2 dV

z z=h

r=a

S

= k

Z

2π

0

Z = kh

Z

a

0

2π

dθ 0

Z

h

kr 3 (rdzdrdθ) 0

Z

y

a 0

r 4 dr = 52 πkha5

x

Fig. 3.106 Consideremos ahora una l´amina plana de espesor h, que ocupa cierta regi´on R del plano xy, cuya densidad en el punto (x, y, z) solo depende de x e y. Como vimos antes, equivale a considerar que la masa est´a distribuida sobre la superficie R y que la densidad superficial en el punto (x, y) es ρ(x, y). Para esta l´amina plana los momentos de inercia respecto de los planos yz y zx quedan expresadas por: ZZ ZZ 2 Iyz = h x ρ(x, y)dA , Izx = h y 2 ρ(x, y)dA (3.43) R

R

A su vez, el momento de inercia respecto del eje z queda expresada por: ZZ
Iz = h x2 + y 2 ρ(x, y)dA

(3.44)

R

Puesto que la densidad no depende de z, se definen los momentos de inercia de dicha l´amina con respecto a los ejes x e y y respecto del origen de coordenadas por las siguientes expresiones: ZZ ZZ ZZ
2 2 Ix = y ρ(x, y)dA , Iy = x ρ(x, y)dA , I0 = x2 + y 2 ρ(x, y)dA R

R

R

(3.45) respectivamente. I0 viene a ser en realidad Iz , sin tomar en cuenta el espesor de la l´amina. Por propiedad de aditividad de la integral doble, se verifica: I0 = Ix + Iy

(3.46)

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

52

Si en las ecuaciones (3.45) hacemos ρx, y) = 1, entonces Ix , Iy e I0 son denominados los momentos geom´ etricos de inercia de la regi´on plana R y est´an expresadas por: ZZ ZZ ZZ
2 2 Ix = y dA , Iy = x dA , I0 = Ix + Iy = x2 + y 2 dA (3.47) R

R

R

Ejemplo 3.2.13 Hallar los momentos√de inercia Ix , Iy e I0 de una l´amina delgada R del plano xy limitada por la par´abola y = 2x y las rectas y = 0 y x = 2, si la densidad en el punto (x, y) es ρ(x, y) = |x − y|.

Soluci´ on: La regi´on sombreada de la Figura 3.107 es la regi´on R. Por definici´on de valor y

absoluto, deducimos que:  x−y ; y≤x ρ(x, y) = −(x − y) ; y > x

y=

Observamos que la recta y = x divide a la regi´on R en dos partes: R1 donde ρ(x, y) = x − y, y R2 donde ρ(x, y) = y −x. As´ı, descomponiendo en dos integrales dobles,

Ix =

ZZ

= =

Z

2

Z

0 2

=

Z

2

Iy =

Z x 1 1 4 3 xy − 4 y dx + 3 +

24 . 35

ZZ

=

Z

=

Z

=

Z

x

Z

2

0

1 4 x 12

0

1 4 y 4

Z

0

2

2x

y 2(y − x)dydx

x

√2x

1 xy 3 3 x

−

dx

 √ 2 2 25 dx x 3

+ x2 −

x

x2 (x − y)dydx +

Z

2

2

1 4 x dx 2

+

Z

2

0



=

1 5 x 30

+ 31 x3 −

2 √ 4 2 72 x 21 0

x −

√

√ 2x

x2 (y − x)dydx

2

0

3

Z

x

0

Z x 1 2 2 − 2 (x − y) x dx + 0

0

148 . 45

√

R

2

0

Z

2

0



2

Z

x2 ρ(x, y)dA

0

Evaluando, Iy =

y 2(x − y)dydx +

1 4 x dx 12

0

Evaluando, Ix =

x 0

x=2 R2

Fig. 3.107

0

0

R1

y 2 ρ(x, y)dA

R

Z

y=x

√ 2x

7 2

1 (y 2

2x +

√2x − x) x2 dx

1 4 x 2

2

x



dx =

1 5 x 5

+

1 4 x 4

−

2 √ 2 2 92 x 9 0

As´ı, el momento de inercia respecto del origen ser´a: I0 = Ix + Iy =

1252 24 148 + = 35 45 315

3.2. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES A LA F´ISICA 53 Ejemplo 3.2.14 Hallar el momento de inercia de un anillo circular de radios a y b (a < b): i) con respecto a su centro

ii) con respecto a uno de sus di´ametros.

Soluci´ on: Los momentos de inercia pedidos son los momentos de inercia de la figura geom´etrica. Si tomamos el origen de coordenadas entonces el anillo es la regi´on R encerrada por las circunferencias x2 + y 2 = a2 y x2 + y 2 = b2 (ver Figura 3.108), entonces: i) El momento de inercia respecto al centro del anillo ser´ıa I0 , expresado en la ecuaci´on (3.47). Esto es: ZZ
x2 + y 2 dA

y

R

R

a

As´ı, utilizando coordenadas polares,   Z 2π Z b
π 4 1 4 b 3 I0 = dθ r dr = 2π b − a4 r = a 4 2 0 a

b x

Fig. 3.108

ii) Si consideremos que el di´ametro pedido es el que est´a sobre el eje x, entonces el momento de inercia sobre dicho di´ametro ser´ıa Ix , expresado tambi´en en la ecuaci´on (3.47). As´ı, Ix =

ZZ

2

y dA =

1 4

(a4 − b4 )

2π 2

sen θdθ

0

R

=

Z

Z

Evaluando, Ix = 14 (a4 − b4 ).

2π

0

1 (1 2

Z

b

r 3 dr a


2π − cos θ)dθ = 18 (a4 − b4 ) θ − 21 sen 2θ 0

54

´ MULTIPLE ´ CAP´ITULO 3. INTEGRACION

Bibliograf´ıa [1] Apostol

55