• Author / Uploaded
• HolaSoyBryanAlexZander

Citation preview

´ DE DIFUSION ´ LA ECUACION La ecuaci´on de difusi´on es una ecuaci´on en derivadas parciales que describe fluctuaciones de densidad en un material que se difunde. Tambi´en se usa para describir procesos que exhiben un comportamiento de difusi´on. Ecuaci´ on La forma m´as com´ un de la ecuaci´on es: d∅ − = D∇2 ∅(→ r , t), dt

(1)

Donde ∅ la concentraci´on del material que se difunde, t es tiempo, D es el coeficiente de difusi´on colectivo, r es la coordenada espacial y El s´ımbolo nabla (∇) representa el vector operador diferencial nabla. Ecuaci´ on Esta ecuaci´on es lineal. Cuando el coeficiente de difusi´on depende de la posici´on y de la densidad, la ecuaci´on pasa a ser d∅ − − = ∇. (D (∅, → r ) ∇(→ r , t)) , dt

(2)

Expresi´on que sigue siendo lineal si el coeficiente de difusi´on no depende de la densidad En t´erminos m´as generales, cuando D es una matriz sim´etrica definida positiva, la ecuaci´on describe una difusi´on anis´otropa. ´ DE LA ECUACION ´ DE DIFUSION ´ DEDUCCION Para obtener la ecuaci´on de la difusi´on se debe tener en cuenta las siguientes condiciones: - Se aplica sobre un cuerpo homogeneo - Se tiene una constante de difusi´on - Dentro del volumen del cuerpo la materia no puede crearse ni destruirse La ecuaci´on de difusi´on puede deducirse a partir de la ecuaci´on de continuidad.

La misma expresa que el cambio de densidad en un volumen s´olo puede deberse a flujo entrante y/o saliente de materia, puesto que dentro del volumen la materia no puede ni crearse ni destruirse. La ecuaci´on de continuidad se escribe as´ı: d∅ → − + ∇. j = 0...(3) dt Donde: -j es el flujo del material que difunde.

La ecuaci´on de difusi´on puede obtenerse f´acilmente de esta relaci´on cuando se la combina con la ley de Fick. La ley de Fick enuncia que, la experiencia nos demuestra que cuando abrimos un frasco de perfume o de cualquier otro l´ıquido vol´atil, podemos olerlo r´apidamente en un recinto cerrado. Decimos que las mol´eculas del l´ıquido despu´es de evaporarse se difunden por el aire, distribuy´endose en todo el espacio circundante. Lo mismo ocurre si colocamos un terr´on de az´ ucar en un vaso de agua, las mol´eculas de sacarosa se difunden por todo el agua. Estos y otros ejemplos nos muestran que para que tenga lugar el fen´omeno de la difusi´on, la distribuci´on espacial de mol´eculas no debe ser homog´enea, debe existir una diferencia, o gradiente de concentraci´on entre dos puntos del medio

Figura 3: Ley de Fick Supongamos que su concentraci´on var´ıa con la posici´on al lo largo del eje X. Llamemos J a la densidad de corriente de part´ıculas, es decir, al n´ umero efectivo de part´ıculas que atraviesan en la unidad de tiempo un a´rea unitaria perpendicular a la direcci´on en la que tiene lugar la difusi´on.

La ley de Fick afirma que la densidad de corriente de part´ıculas es proporcional al gradiente de concentraci´on J = −D

dn dx

La constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de difusi´on D y es caracter´ıstico tanto del soluto como del medio en el que se disuelve. Seg´ un la cual el flujo del materia que se difunde en cualquier parte del sistema es proporcional al gradiente local de densidad: → − → − − j = −D(∅)∇∅(→ r , t )....(4)

Reemplazando 4 en 3 obtenemos la ecuaci´on de difuci´on siguiente: d∅ − = D∇2 ∅(→ r , t), dt