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COORDENADAS ESFERICAS

( )

( )

( )

( )

( ) A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones: ̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂

̂ ̂

̂

E inversamente: ̂ ̂

̂

̂

̂ ̂

̂

̂

̂

̂

̂

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS

En el sistema referencial esférico, la posición de un punto viene dado por (r,, θ), siendo la partícula un sistema en movimiento, indicará que cada componente será función del parámetro tiempo: ( ) ( ) ( )

El conocimiento de estas tres ecuaciones determina la trayectoria del punto en la referencia esférica y en función del parámetro tiempo, siendo los vectores coordenados unitarios, . El vector es radial y positivo del origen hacia fuera; latitud.



es tangencial al círculo meridiano; y

De la figura se obtiene las componentes vectoriales de “r”:

es tangente al círculo de



Donde el punto ⃑ seria igual a la suma de las componentes vectoriales de “r” de tal manera que:

⃑

⃑

⃑⃑

⃑

Encontrando valores de los vectores unitarios usando la siguiente fórmula: ⃑ ⃑ |



|

Donde derivando ( ⃑) con respecto a “r” encontramos ⃑ y a la vez encontramos el modulo de dicha derivada y obtenemos : ⃑

⃑

⃑

√(

⃑

√

⃑

√



| |



| |



| |



| |

⃑⃑

⃑

)

(

(

)

(

)

)

⃑

 ⃑



⃑

⃑

⃑⃑

⃑

Encontrando el Valor para el vector unitario

⃑

con el procedimiento utilizado para

⃑ ⃑

⃑

 | |

⃑

√(

⃑⃑

⃑

)

(

)

(

)

⃑

√

⃑

√ (

⃑

√



| |



| |



| |

(

) )

⃑

 | | ⃑

 ⃑

 ⃑ 

⃑

(

 ⃑

⃑⃑

⃑

⃑⃑ )

⃑

⃑

⃑⃑

⃑

Encontrando el valor para el vector unitario ⃑ usando el mismo procedimiento usado para los anteriores.

⃑

⃑

√(

⃑

√

⃑

√

 | | 

| |



| |



| |

⃑

⃑

) (

⃑

(

) )

⃑

 ⃑

⃑

(

 ⃑ ⃑

⃑

⃑)

⃑

⃑

Proyectando el vector “r” en el plano “XY” obtenemos la formula de la posición siendo representado por ⃑ :

⃑

⃑

θ

θ⃑⃑

⃑

θ

⃑

⃑

⃑

Para encontrar la ecuación de la velocidad se procede a derivar con respecto al tiempo la ecuación de la posición y tenemos:

⃑̇

̇⃑

⃑̇

Debido que en la expresión anterior se tienen términos que no se conocen como

⃑̇ por lo tanto los obtenemos de la siguiente manera

⃑

⃑̇

⃑̇

⃑

̇

(

̇

(

̇

⃑

)⃑

⃑)

̇

(

̇(

⃑⃑

⃑

̇

⃑

)⃑

̇ ⃑⃑

⃑

⃑⃑

⃑⃑̇

̇ ⃑⃑θ

̇

θ ⃑⃑

Volviendo a la ecuación de la velocidad y reemplazando los términos desconocidos tenemos

⃑ ̇ ⃑̇

⃑⃑̇

(θ̇ ⃑⃑θ

θ ⃑⃑ )

̇

̇⃑

̇⃑

̇ ⃑

Para encontrar la ecuación de la aceleración derivamos la ecuación de la velocidad con respecto al tiempo y tenemos:

⃑̇ ⃑̈

̇ ⃑̇

̈⃑

̇ ̇⃑

̇ ⃑̇

̈⃑

̇

̇

̇⃑

̇⃑

̇ ̇

̈

⃑

⃑

⃑̇ ̇

̇⃑

⃑

Dado que en la expresión anterior encontramos términos no conocidos procedemos a encontrarlos de la siguiente manera: ⃑⃑̇

⃑⃑̇

̇

(

̇

(

̇

⃑)

⃑

⃑⃑̇

⃑⃑̇

)⃑

̇

̇

(

̇(

̇

⃑

⃑⃑

̇⃑

)⃑

⃑

̇ ⃑⃑

̇⃑

̇ ⃑⃑

⃑⃑

⃑⃑̇

o

̇(

⃑

⃑)

⃑

⃑

Luego

⃑⃑̇

⃑⃑ ⃑⃑̇

̇ (⃑⃑

⃑⃑̇

̇ ⃑⃑

)

⃑⃑ ̇ ⃑⃑

Entonces volviendo a la formula de la aceleración y reemplazando los valores ya encontrados tenemos:

⃑⃑̈

̇ ( ̇ ⃑⃑

̈ ⃑⃑

̇ ̈

⃑⃑̈

̇ ̇

̇ ⃑̈

̇

(̈

̇

̇ ⃑⃑

⃑⃑ ̇

⃑⃑

̈

̈

̇ ̇

⃑⃑

̇

̇ ̇

̇ ⃑⃑

̈ ⃑⃑

̇ ⃑⃑ ( ̈

) ⃑⃑

̇ ⃑⃑

(

̇ ̇

̇ ⃑⃑ )

⃑⃑

̇

̇ ⃑⃑

̇

̈ ⃑⃑

(̇ ̇

̈ ⃑⃑

̇

⃑⃑

̇ ̇ ⃑⃑

⃑⃑

̇ ̇ ⃑⃑

⃑⃑ )

⃑⃑ )

̇ ̇ ⃑⃑ ̇ ̇

̇

) ⃑⃑

( ̇ ̇

⃑⃑

)⃑⃑

El vector velocidad: para calcular el vector velocidad, derivamos en función del tiempo. ̅

̅ ̇

̇̅

̇ ̅ ̅

̇ ̅

( ̇ ̅

̇̅ ̇ ̅

̇ ̅

̅ )

El vector aceleración: para calcular la aceleración, derivamos en función del tiempo.

̅

̅

̇ ̇ ̅

̇ ̅̇

̈ ̅ ̇

̅

̈ ̅

̇ ̇

̇ ̅̇

̈ ̅

̅

̅̇

̇ ̇

( ̈

̇ ̇

(

( ̇ ̇

) ̅ ̈

̅

̅

̇ ̈

) ̅

̅

̅̅̅

Ejemplo: La partícula P se desliza alrededor del aro circular con una velocidad angular constante de ̇ , mientras que el arco gira alrededor del eje X con una rapidez constante ̇ , si en el instante indicado el aro esta en el plano (XY) y el ángulo , determine la velocidad y la aceleración de la partícula P en ese instante. Usando coordenadas esféricas.

Note: ̇ ̈ ̇ ̈

̇

̈

) ̅

̇ ̇ ̅

Calculamos la velocidad y aceleración de P en las formulas no consideramos los componentes nulos. ̇

̇ ̅

̅

̅

Remplazamos: ̅

(

) ̅ ̅

√

( ̅

) ̅

̅

|̅ |

Remplazamos en la formula de aceleración: ̅

̇

( ̇

) ̅ (

̅

̇ ̇

( ̇ ̇ ̈

(

) ̅ ( ̅

̅

̅

̇ ̈

) ̅

) ̅ ( ) ̅ ̅

|̅ |

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS

Se le denomina movimiento relativo al movimiento de una partícula en movimiento respecto a otra que también se encuentra en movimiento. Analicemos los movimientos de dos partículas A y B que se mueve en el espacio respecto del mismo referencial y sean sus vectores de posición respecto de su origen de coordenadas O.

) ̅

o entonces: un cuerpo puede estar en movimiento respecto de un referencial y al mismo tiempo en reposo respecto a otro. Las velocidades de A y B medidas en ese referencial serán:

Supongamos que deseamos saber cuál es la velocidad de la partícula B respecto de un observador situado sobre A, es decir la velocidad relativa de B respecto de A. para esto el vector posición (relativo) de la partícula B respecto de A esta definido por.

Derivando esta expresión respecto del tiempo tenemos:

o Según esto: la velocidad relativa respecto de otras es igual a la diferencia vectorial de sus velocidades con respecto a un mismo referencial.

Asumiendo que el observador situado sobre A solo se encuentra trasladándose ( no rota), derivando nuevamente la expresión de la velocidad relativa obtenemos la expresión de la aceleración relativa:

o Según esto: la aceleración relativa de una partícula respecto de otra que no tota es igual a la diferencia vectorial de sus aceleraciones con respecto a un mismo referencial

ANALISIS DEL MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS USANDO EJES EN TRASLACION

Hasta ahora se ha estudiado en movimiento absoluto de una partícula usando un marco de referencia fijo. Sin embargo, existen ejemplos en que la trayectoria del movimiento de una partícula es complicada, de modo que es más factible analizar el movimiento en partes usando dos o más marcos de referencia.

MOVIMIENTO RELATIVO: POSICION:  

Consideremos dos partículas A y B moviéndose en una trayectorias mostradas Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia O(x,y,z) serán: ⃗

⃑⃑⃑⃑⃑⃗

⃗

⃑⃑⃑⃑⃑⃗

El observador B solo experimenta translación y se encuentra unidos al sistema de referencia móvil O(x, y, z). La posición relativa de A con respecto al observador B, es:

⃗

⃗

⃗

⁄

Ejemplo: Un tren T, viaja a una velocidad constante de 90 km/h, cruza una carretera, como se muestra en la figura. Si el automóvil A esta viajando por la carretera con una velocidad de 67.5km/h. determine la magnitud y dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al auto.

Note: 



La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el auto al cual se le asocia al sistema de referencia O X,Y. Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad relativa se obtiene de:

⃗

⃗

⃗

⁄

Remplazamos: (

) ⃗

(

⁄

)

Entonces la magnitud de la velocidad relativa será: ⃗

⁄

√(

)

Entonces la dirección de la velocidad relativa es:

(⃗

⁄

)

(⃗

⁄

)

⃗

⁄

Ejemplo: Dos aviones están volando horizontalmente a la misma elevación, como se indica en la figura .el avión A esta volando en una trayectoria recta, y en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700km/h y una aceleración de . El avión B está volando en una trayectoria curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600km/h y está decreciendo a su rapidez a razón de 100km/h². Determine la velocidad y aceleración relativa de B medida por el piloto A.

Note:  

al avión A esta moviéndose rectilíneamente y se asocia a un marco de referencia móvil OX’Y’. La velocidad relativa de B respecto de A es : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄



El avión B tiene aceleración normal y tangencial pues se mueve en una curva. entonces la aceleración normal será: (



)

Aplicando la ecuación para determinar la aceleración relativa se tiene:

⁄ ⁄ ⁄

(

)

MOVIMIENTOS QUE PUEDEN PRESENTARSE EN UNA PARTICULA CON RESPECTO A UN SISTEMA DE COORDENADAS MOVIL

Traslación: Diremos que en un instante dado, un sistema indeformable está en traslación si su campo de velocidades es uniforme. Es decir, todos los puntos del sistema en un instante considerado tienen la misma velocidad. Recordemos que el concepto de velocidad es un vector que tiene modulo, dirección y sentido Rotación: Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo. Un movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular , que es un vector de carácter deslizante, situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo». HELICOIDAL: El movimiento helicoidal es un movimiento rototraslatorio. En estas condiciones, el eje citado recibe el nombre de eje instantáneo de rotación y deslizamiento del sólido rígido. VECTOR VELOCIDAD ANGULAR: Apunta en el mismo sentido del desplazamiento angular. En definitiva la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento circular.

MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA CON RESPECTO A UN SISTEMA COORDENADO MOVIL

Entonces deduciremos un conjunto de dos ecuaciones cinemáticas generales, una para la velocidad y otra para la aceleración, que describen el movimiento relativo de una partícula con respecto a un sistema de coordenadas móviles. En la Fig., tenemos:

(

) (

)

.

(

) (

)

La relación que liga la velocidad de un punto P perteneciente a un sistema sólido indeformable en rotación en torno a un eje fijo, con la velocidad angular de dicho sistema es:

 Para determinar la velocidad del punto P en la referencia fija calculamos:

 Con respecto a las coordenadas fijas. Expresemos el vector de posición como:

 La segunda derivación de r, con respecto a t, puede obtenerse de, una manera más conveniente, derivando r con respecto a t en la forma:

 para obtener la aceleración derivamos la velocidad con respecto al tiempo.

En donde:

= velocidad relativa (velocidad del punto P, con respecto al sistema móvil de coordenadas),

 Resumiendo, tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones cinemáticas generales para el vector de posición, la velocidad y la aceleración

COORDENADAS CILINDRICAS La barra AB gira en sentido contrario al de manecillas del reloj, con una velocidad angular constante de 2 rad/s. Usando coordenadas natural y/o polares, determine la velocidad del punto C localizado sobre el doble collarín, cuando . El collarín consiste de dos bloques deslizadores que están restringidos a moverse a lo largo de la flecha circular y de la barra AB. ̅

̇ ̅

̇ ̅

√

̅ √

̅

̅

√

̇

( ̅

̇) ̅

( ̇

( ̇

√

) ̅

( ̇

) ̅

√

̇

̅ ) √

̅ )

̇

(

√

( ̅ ̇) ̅

(

√

̇) ̅

(

̇) ̅

Aceleracion: 

Calculo de la velocidad de C, usando coordenadas natural: ̇ ̅

̅ 

̇ ̅

Igualando componentes y operando:

√

̇

√

( ̇ (

) ̇

̇

y ̅ ̅

̅ ̅ |̅ |

̇

)

̇ ̅ (

) ̅ (

)

Ejemplo 02: La leva cilíndrica C se mantiene fija mientras la barra AB y los apoyos E y F giran alrededor del eje Z de la leva con rapidez de ̇ = 4rad/s. Si la barra está libre para deslizarse a través de los apoyos, determine la magnitudes de la velocidad y la aceleración de la guía D sobre la barra como función de .La guía sigue la ranura de la leva, y la ranura está definida por las ecuaciones r = 0.25 pies y (pies).

Solución:

Calculo de la velocidad y aceleración de D: ̅

̇ ̅

̇ ̇ ̅

̇ ̅

̅ ̅

̅

√

̅

Entonces la aceleración:

̅ ̅

(

̇ ) ̅ ̅

(

̇ ̇) ̅

̈ ̅ ̅

̅ ̅

̅ √

̅