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ECUACION DE CONTINUIDAD EN COORDENADAS ESFERICAS

Para efectuar la derivación de la ecuación de continuidad en coordenadas esféricas, se partiría de un volumen de control como el que se muestra en la figura. Dicho volumen de control está definido por la expresión matemática: dV =r 2 sin θ drdθd ∅ r ,θ y ∅

Donde

representan el radio y los ángulos; polar y azimutal,

respectivamente. El diferencial de masa es: 2

dM =ρ r sin θ drdθd ∅ Se representará el campo de velocidades de la siguiente forma: u=u er +ϑ eθ +ω e∅ Donde

u,ϑ yω

son las velocidades del fluido en dirección radial,

polar y azimutal, respectivamente. Seguidamente se determinarán las expresiones de acumulación y flujo neto en cada una de las direcciones mencionadas.

 Acumulación. El término para la acumulación está dado por la tasa de cambio de la masa con respecto al tiempo. Por lo tanto, se tiene: ∂ρ 2 r senθdrdθd ∅ ∂t Como

2

dV =r senθdrdθd ∅

, entonces se obtiene: ∂ρ dV ∂t

 Flujo en dirección radial

(r) .

Para el flujo entrante: r ,∈¿=ρu A ¿ ´¿ m Donde el área del flujo entrante

( A¿ )

es un trapezoide cuya

superficie está dada por: 1 A= ( base mayor+ base menor ) × altura 2 Sustituyendo en la ecuación los términos correspondientes: A ¿=

1 [ rsenθd ∅+ rsen ( θ+dθ ) d ∅ ] rdθ 2

A ¿=

1 [ rsenθd ∅+ r ( senθcosdθ+ cosθ s enθ ) d ∅ ] rdθ 2

Dado que

dθ

es un ángulo infinitesimalmente pequeño, es posible

hacer las siguientes aproximaciones: cosdθ ≈ 1

;

sendθ ≈ dθ

Entonces: A ¿=

1 [ rsenθd ∅+ r ( senθ+ cosθdθ ) d ∅ ] rdθ 2

1 1 1 A ¿ = r 2 sen θ dθd ∅+ r 2 senθ dθ d ∅+ r 2 cosθd θ2 d ∅ 2 2 2 1 1 A ¿ = r 2 senθdθd ∅+ r 2 cosθd θ 2 d ∅ 2 2 Puesto que cualquier diferencial cuadrático puede despreciarse, A ¿ =r 2 senθdθd ∅ De acuerdo con esto tenemos que el flujo de entrada sea: r ,∈¿=ρu r 2 senθdθd ∅ m ´¿

Por su parte, el flujo radial de salida es:

(

m ´ r , out = ρu+

∂ ρu dr A out ∂r

)

Pero, el out se calcula de manera análoga al cálculo de A out =

1 [ ( r + dr ) senθd ∅+ ( r+ dr ) sen ( θ+ dθ ) d ∅ ] ( r +dr ) dθ 2

A out =

1 [ rsenθd ∅+ senθdrd ∅+( r +dr ) ( senθ +cosθdθ ) d ∅ ] ( r+ dr ) dθ 2

A¿

1 A out = [ rsenθd ∅+ senθdrd ∅+ rsend ∅+rcosθdθd ∅+senθdrd ∅+ cosθdrdθd ∅ ] (rdθ+ drdθ) 2 1 A out = [ 2 rsenθd ∅+ 2 senθdrd ∅+rcosθdθd ∅+cosθdrdθd ∅ ] (rdθ +drdθ ) 2 A out =r 2 senθdθd ∅+rsenθdrdθd ∅+rsenθdrdθd ∅+ senθd r 2 dθd ∅+

r2 r r cosθ d θ2 d ∅+ cosθd r d θ2 d ∅+ cos 2 2 2

A out =r 2 senθsenθdθd ∅+2 rsenθdrdθd ∅ Por lo que:

(

m ´ r , out = ρu+

∂ ρu dr ( r 2 senθ dθ d ∅+2 rsenθdrdθd ∅ ) ∂r

)

El flujo neto es: r ,∈¿=ρu r 2 senθd ∅+ 2 ρursenθdrdθd ∅+

¿ 2 ρursenθdrdθd ∅+

∂ ρu 2 r senθdrdθd ∅ ∂r

2 ∂ ρu r ,∈¿= ρudV + dV r ∂r ´ r ,out −m ´¿ m

∂ ρu 2 ∂ ρu r senθdrdθd ∅+ 2 rsenθd r 2 dθd ∅−ρ u r 2 senθdrdθd ∅ ∂r ∂r ´ r ,out −m ´¿ m

 Flujo polar ( θ ) . El área que atraviesa el flujo entrante es un trapezoide cuya superficie se determina como sigue: A ¿=

1 [ rsenθd ∅+ ( r+ dr ) senθd ∅ ] dr 2

1 ¿ [ rsenθd ∅+rsenθd ∅+ senθdrd ∅ ] dr 2 ¿

1 [ senθd r 2 d ∅+rsenθdrd ∅ ] 2

A ¿ =r senθdrd ∅ Es por esto que el flujo entrante se expresa como: θ ,∈¿=ρϑ A¿ =ρϑrsenθdrd ∅ ´¿ m Por su parte, el área que atraviesa el flujo saliente se calcula a continuación: A out =

1 [ rsen ( θ+dθ ) d ∅+ ( r +dr ) sen ( θ+ dθ ) d ∅ ] dr 2

A out =

1 [ r ( senθ+cosθdθ ) d ∅+ ( r + dr )( senθ+ cosθdθ ) d ∅ ] dr 2

1 A out = [ rsenθd ∅+rcosθdθd ∅+rsenθd ∅+rcosθdθd ∅+ senθdrd ∅+ cosθdrdθd ∅ ] dr 2 r r r r 1 1 2 2 A out = senθdrd ∅+ cosθdrdθd ∅+ senθdrd ∅+ cosθdrdθd ∅+ senθd r d ∅+ cosθd r dθd ∅ 2 2 2 2 2 2 A out =rsenθdrd ∅+rcosθdrdθd ∅ En consecuencia, el flujo saliente se expresa como:

(

m ´ θ ,out = ρϑ +

∂ ρϑ dθ ( rsenθdrd ∅+rcosθdrdθd ∅ ) ∂θ

)

Finalmente, el flujo neto polar es: θ ,∈¿=ρϑrsenθdrd ∅+ ρϑrcosθdrdθd ∅+

∂ ρϑ ∂ ρϑ rsenθdrdθd ∅+ rcosθdrd θ 2 d ∅−ρϑrsenθdrd ∅ ∂θ ∂θ ´ θ ,out ⁻ m ´¿ m

∂ ρϑ rsenθdrdθd ∅ ∂θ ´ θ ,out − m ´¿ m

θ ,∈¿=ρϑrcosθdrdθd ∅+

1 cosθ 1 ∂ ρϑ θ ,∈¿= ρϑ dV + dV r senθ r ∂θ ´ θ ,out −m ´¿ m

 Flujo azimutal

(∅)

En este caso, tanto el área de entrada como de salida son iguales y se calculan como sigue: A ∅=

1 [ rd ∅+ ( r + dr ) dθ ] dr 2

1 A ∅= [ rdθ +rdθ+drdθ ] dr 2 1 2 A ∅=rdrdθ + d r dθ 2 A ∅=rdrdθ Los flujos de entrada y salida se expresan seguidamente: ∅ ,∈¿=ρωrdrdθ ´¿ m

;

El flujo neto es: ∂ ρω rdrdθd ∅− ρωrdrdθ ∂∅ ´ ∅ , out −m ´¿ m

∅ ,∈¿=ρωrdrdθ+

¿

∂ ρω rdrdθd ∅ ∂∅

(

m ´ ∅ ,out = ρω+

∂ ρω d ∅ rdrdθ ∂∅

)

1 ∂ ρω ∙ dV rsenθ ∂ ∅ ´ ∅ , out −m ´¿ m

∅ ,∈¿=

Finalmente, agrupando los términos de la acumulación y los flujos netos en cada dirección, se deriva que: ∂ρ 2 ∂ ρu 1 cosθ 1 ∂ ρϑ 1 ∂ ρω dV + ρudV + dV + ρϑ dV + dV + dV =0 ∂t r ∂r r senθ r ∂θ rsenθ ∂ ∅ ∂ρ 2 ∂ ρu 1 cosθ 1 ∂ ρϑ 1 ∂ ρω + ρu+ + ρϑ + + =0 ∂t r ∂r r senθ r ∂ θ rsenθ ∂ ∅ ∂ρ 1 ∂ ρu 1 ∂ ρϑ 1 ∂ ρω + 2 2rρu+r 2 + ρϑcosθ + senθ + =0 ∂t r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂ ∅

(

)

(

)

∂ ρ 1 ∂ r2 ∂ ρu 1 ∂ senθ ∂ ρϑ 1 ∂ ρω + 2 ρu+r 2 + ρϑ + senθ + =0 ∂t r ∂r ∂r rsenθ ∂θ ∂θ rsenθ ∂ ∅

(

)

(

)

2 ∂ ρ 1 ∂ ( ρr u ) 1 ∂ ( ρϑsenθ ) 1 ∂ ρω + 2 + + =0 ∂t r ∂r rsenθ ∂θ rsenθ ∂ ∅

La cual es la expresión de la ecuación de continuidad en coordenadas esféricas. Bibliografía.

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Pleasemakeanote.blogspot.com/2009/02/8-derivative-ofcontinuity-equation-in-html