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• Max Gamarra

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU

FACULTAD DE INGENIERIA QUÍMICA

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA

DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD PARA LA ESPECIE “A” EN COORDENADAS ESFÉRICAS “TRABAJO DE CASA” Presentando al:

Ing. NESTARES GUERRA, Manuel. Facilitador del Curso 092B “Transferencia de masa”

Realizado por:

Alumno del IX Ciclo de Ingeniería Química. Huancayo, 19 de diciembre del 2013

PROBLEMA:

Demostrar

la ecuación de la continuidad para la especie A, que se encuentra en

coordenadas rectangulares

para una concentración de masa total y un coeficiente de

difusividad de A en B, constante y pasar a coordenadas esféricas.

Solución: I.

Demostración de la ecuación de la continuidad para la especie A

Balance de materia:

Ordenando:

Dividiendo entre

y multiplicando por (-1):

Simplificando obtenemos:

Tomando límite cuando cada variable tiende a cero:

La expresión se reduce a:

En función a la gradiente:

Siendo

rapidez neta de producción volumétrica de A (

Se sabe que:

):

Reemplazando en la ecuación (1):

Siendo:

Para la especie A:

Reemplazando en la ecuación ( ):

Realizando la multiplicación:

En función de la velocidad media molar:

Reemplazando

en la ecuación (3):

Siendo:

Donde:

Reemplazando

en la ecuación (4).

Siendo:

Reemplazando

en la ecuación (5).

Factorizando

y

por ser constantes (según condiciones del problema):

Simplificando los términos de

Siendo el operador nabla ( ):

y expresando para la especie A:

Reemplazando en la ecuación (6) en el segundo miembro:

Realizando las operaciones correspondientes para la operación gradiente:

Por otro lado:

Reemplazando en la ecuación (7):

Multiplicando los signos del miembro derecho de la ecuación anterior, queda demostrada la ecuación de la continuidad para la especie :

II.

Transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

Desarrollo: Se sabe que

De las graficas se tiene que

El vector , puede ser escrito en forma vectorial

En coordenadas esféricas:

Determinando los vectores unitarios a)

Así:

b)

Así:

de la ecuación (1), se tiene:

c)

Así:

Ahora relacionamos los vectores rectangulares en función de los vectores esféricos tal como sigue:

De la ecuaciones (3) y (4), e tiene

Se tiene las ecuaciones de las siguente manera.

sumando

De las ecuaciones (1) y (3) se obtiene:

Se tiene las ecuaciones de la siguiente manera. sumando

De las ecuaciones (5) y (6) se tiene:

Se tiene las ecuaciones de las siguente manera. sumando

De las ecuaciones (4) y (7), se tiene:

Sustituyendo el valor de (7), se tiene:

Sustituyendo los valores de (7) y (9) en la ecuación anterior, se tiene.

 Vector posición en coordenadas esféricas:

: Parámetros que permiten dar una posición en el espacio tal como lo hacían x, y, z. : Vector unitario direccional de

: Factor de escala.

.

Donde: : Define el desplazamiento elemental en este sistema de coordenadas; en la cual toman una función escalar:

Un incremento o variación elemental de su posición está dado por el diferencial:

Siendo el factor de escala:

Reemplazando en la ecuación (3):

La gradiente viene definida por:

Expresando en término de gradiente:

Luego el incremento vectorial es:

Reemplazando en (5)

Despejando la gradiente (

):

A partir del vector posición de la ecuación (1), hallamos esféricas: Derivando respecto a :

Derivando respecto a :

en coordenadas

Derivando respecto a

Realizando una comparación con el factor de escala:

Por tanto:

Reemplazando en la ecuación (6):

Se sabe que:

Expresamos en función a los parámetros de coordenadas esféricas:

Ordenando la ecuación anterior:

Tenemos la ecuación (8) la cual transformaremos:

a) Para el primer miembro:

En coordenadas esféricas:

b) Para el segundo miembro:

De la ecuación (16):

En términos de

:

Tomando segunda gradiente:

•

Reemplazando las ecuaciones (19) y (21) en la ecuación (8) obtenemos la ecuación de la continuidad para la especie A, transformada a coordenadas esféricas: