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• Lucy Lopez

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´ ALGUNAS EXPRESIONES EN COORDENADAS CIL´ INDRICAS Y ESFERICAS Consideremos un sistema de coordenadas cil´ındricas (r, θ, z), donde r es la coordenada radial, θ la angular y z la axial. Consideremos tambi´en un sistema de coordenadas esf´ericas (r, θ, ϕ), donde r es la coordenada radial, θ la polar y ϕ la azimutal. En esta nota se proporcionan algunas expresiones relevantes, utilizando estos dos sistemas de coordenadas. 1. L´ıneas de corriente En coordenadas cil´ındricas, las ecuaciones de una l´ınea de corriente son dvr dθ dz =r = , vr vθ vz

(1)

dθ dϕ dvr =r = r senθ . vr vθ vϕ

(2)

mientras que en coordenadas esf´ericas es

2. Derivada sustancial La derivada sustancial en coordenadas cil´ındricas es ∂ vθ ∂ d ∂ ∂ = + vr + + vz , dt ∂t ∂r r ∂θ ∂z

(3)

d ∂ ∂ vθ ∂ vϕ ∂ = + vr + + . dt ∂t ∂r r ∂θ r senθ ∂ϕ

(4)

mientras que en coordenadas esf´ericas es

3. Aceleraci´ on de una part´ıcula fluida En coordenadas cil´ındricas, la aceleraci´on de una part´ıcula fluida es ( ) ( ) dvr vθ2 dvθ vr vθ dvz a= − ur + + uθ + uz , dt r dt r dt donde la derivada sustancial viene dada por la relaci´on (3). En coordenadas esf´ericas, la aceleraci´on es ( ) ( ) ( ) vθ2 + vϕ2 vϕ2 cotθ dvr dvθ vr vθ dvϕ vr vϕ vθ vϕ cotθ a= − ur + + − uθ + + + uϕ , dt r dt r r dt r r

(5)

(6)

donde la derivada sustancial viene dada por la relaci´on (4). 4. Divergencia En coordenadas cil´ındricas, la divergencia es 1 ∂(rvr ) 1 ∂vθ ∂vz + + , r ∂r r ∂θ ∂z

(7)

1 ∂ 1 ∂vϕ 1 ∂(r2 vr ) + (vθ sen θ) + . 2 r ∂r r sen θ ∂θ r sen θ ∂ϕ

(8)

∇·v = mientras que en coordenadas esf´ericas es ∇·v = 5. Operador Laplaciano

En coordenadas cil´ındricas, el operador laplaciano es ( ) 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 2 ∇ = r + 2 2 + 2, r ∂r ∂r r ∂θ ∂z mientras que en coordenadas esf´ericas es ( ) ( ) 1 ∂ ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∇2 = 2 r2 + 2 sen θ + 2 . 2 r ∂r ∂r r sen θ ∂θ ∂θ r sen θ ∂ϕ2

(9)

(10)