1 Derivada parcial La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente resp
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Derivada parcial La derivada de una función de una variable mide la rapidez de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. Para funciones de dos variables podemos medir dos razones de cambio: una según cambia cambia
, dejando a
e
fija y otra según
, dejando a fija.
Suponga que dejamos variar sólo a
, dejando a
fija, digamos
, en donde
es una
constante. Entonces, en verdad estamos en presencia de una función de una sola variable a saber
. Si
parcial de y
con respecto a
tiene una derivada en en
,
entonces la llamamos la derivada
. De forma análoga podemos hacerlo para
variable
fija. Definición (derivada parcial)
Sea
una función de dos variables y sea
entonces la derivada parcial de
con respecto a en
,
es
siempre y cuando el límite exista. De forma similar definimos la derivada parcial de
con respecto a
en
por
Observación: los límites de la definición
son en una variable, por lo que podemos
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calcularlos usando las técnicas aprendidas en cursos anteriores: factorización, racionalización, regla de Hôspital, etc. Ejemplo 1 Usando la definición de derivada parcial calcule
para
Solución Usando la definición tenemos que:
Observación: existen varias notaciones para la derivada parcial:
Ejemplo 2 Imaginemos que una placa metálica de forma rectangular y delgada, se calienta irregularmente, de forma tal que la temperatura en el punto Además, suponga que
e
es
.
están medidas en metros y la temperatura
centígrados. ¿Cómo varía la temperatura
en el punto
cuando
en grados
permanece fijo en
?, ¿Qué significa esto ? Solución : Del ejemplo 1 tenemos que en el punto
con lo cual la rapidez de cambio de la temperatura
es de 8 grados centígrados por metro, cuando
esta fijo en . El hecho
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de que sea positiva nos indica que la temperatura avanzamos sobre la recta
hacia
de la placa aumenta a medida que
.
Puesto que la derivada parcial no es más que la derivada ordinaria de la función
de una
variable que obtenemos al fijar alguna de las variables o , su cálculo se realiza de la misma manera y usando las mismas reglas que las usadas para las funciones de una variable. Para calcular
, considere a como una constante y derive a
con respecto a .
Para calcular
, considere a como una constante y derive a
con respecto a
.
Ejemplo 3
Calcule la derivada parcial
para
y también calcule
Solución Usando la regla para la derivada del cociente
con lo cual
.
Ejemplo 4 Calcule y , si la siguiente ecuación
está definido implícitamente como una función de
e
, mediante
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Solución Usando la regla de la cadena en una variable, obtenemos, derivando respecto a
Y al despejar
, que:
, obtenemos que:
De una forma análoga, la derivación implícita con respecto a , obtenemos da
Ejemplo 5
Calcule
para la función
Solución Para calcular
debemos aplicar repetidamente la regla de la cadena
El siguiente ejemplo muestra que algunas veces no queda más que recurrir a la definición para calcular una derivada parcial. Ejemplo
5
Si
, calcule
.
Solución. Observe que si calculamos la derivada parcial usando las reglas de derivación usuales obtenemos que
y al evaluarla obtenemos una forma indeterminada conclusión errónea de que la derivada parcial no existe.
; esto nos puede llevar a la
Ahora usemos la definición
Por lo tanto la derivada parcial con respecto a
existe y es .