• Author / Uploaded
• karinjunets

Citation preview

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

Sesión Nº 2:

DERIVADAS PARCIALES Y DE ORDEN SUPERIOR Anteriormente hemos estudiado la derivadas de las funciones reales, es decir: f : R  R , ahora extenderemos la noción de derivada pues hallaremos derivadas de funciones multivariables, es decir f : R n  R

Definición: Sea i)

f : D  R n  R una función definida en el conjunto abierto D:

La Derivada Parcial de f con respecto a

x , es la función definida por:

 f f ( x  h, y )  f ( x, y )  lim , si el límite existe  x h 0 h

Notación:  f ( x, y ) , Dx ( x, y ), f x ( x, y ) x

La Derivada Parcial de f con respecto a y , es la función definida por:

ii)

 f f ( x, y  h )  f ( x, y )  lim , si el límite existe  y h 0 h

Notación:  f ( x, y ) , Dy ( x, y ), f y ( x, y ) y

Ejemplos: Hallar las derivadas parciales de: 1.- f ( x, y )  3 x 2 y 2  5 y 2.- f ( x, y )  xy 2  x 2 y  2 y  x 3.- f ( x, y )  2 y 2  6 x 2  2 yx  x  1 Observación: La definición de derivada parcial dad indica que si z  f ( x, y ) , entonces para calcular f ( x, y ) consideremos a y como una constante y trabajamos como si fuera una x derivada ordinaria, los mismo ocurre si deseamos hallar

f ( x, y ) y

Ejemplos Explicativos: Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones xy

2.- f ( x, y )  x 2  y 2

1.- f ( x, y )  2 x 2 y  xy 2  5 y  x 3.- z  ln(

x2  y 2 ) x2  y 2

4.- f ( x, y )  e

x2  y2

5.- f ( x, y )  ln( x 2  y 2  z 2 ) , en (x,y,z)=(1,2,0) Ejemplos de Aula: Hallar las derivadas parciales de las siguientes funciones 1.- f ( x, y )  x 3  3 x 2 y  y 2  2 x  7 3.- f ( x, y )  ( x  y ) 4 ( x  y )5 5.- f ( x, y )  sen 2 (ln xy 2 )

2.- f ( x, y )  x 2 cos y  y 2 senx 4.- f ( x, y )  x 2  y 2  z 2

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Al igual que en las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de segundo, tercer, cuarto orden, y ordenes superiores

Notación -

Derivada de segundo orden con respecto a

x

-

Derivada de segundo orden con respecto a

x

 2 f ( x, y ) , Dxx ( x, y ), f xx ( x, y )  x2

 f ( x, y ) , D yy ( x, y ), f yy ( x, y ) y 2 2

-

Derivar primero con respecto a x y luego con respectpo a y: f  f ( x, y )  2 f ( x, y ) ( ) , Dxy ( x, y ), f xy ( x, y ) y x yx

Ejemplos Explicativos 1.- Hallar las segundas derivadas parciales de z  sen( x 2  y 2 ) 2.- Hallar las segundas derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y, z )  e x  e y  e z 3.- Hallar las segundas derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y ) 

1 x  y2 2

Ejemplos de Aula 1.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de z  ln( x 2  y 2 ) 2.- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y, z )  xy  yz  xz 3.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  e xy x

4.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  x  y 5.- Hallar las derivadas parciales de cuarto orden de f ( x, y )  e  x seny Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil x y

6.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  x  y 7.- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  x 4  4 x 3 y  3x 2 y 2  6 xy 3  9 y 4

HOJA DE PRÁCTICA 7 I.- Hallar las primeras derivadas parciales de: 1.- f ( x, y )  xe x

2

 y2

5.- f ( x, y )  arctan(ln xy )

 5y

xyz

2.- f ( x, y )  x 2  y 2  z 2

6.- f ( x, y )  cos3 (e y  e x )

x 1

3.- f ( x, y )  ln( y  1) x

2 7.- f ( x, y )  ln( x  y )  arctan

y

4.- f ( x, y )  tan 3 (e y  e x )

8.- f ( x, y )  x 2 sen 2 y  xye x x

5.- f ( x, y )  arctan xy  arcsen (1  y )

10.- f ( x, y ) 

2

y x

 y2

cos x 2 x2  tan y y

II.- Hallar las siguientes derivadas de orden superior 1.- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  3 y  xy 3 y x

2.- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  arctan( ) 3.- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  e x seny  ln( x 2  y 2 )  x 3  3 xy 2

4.- .- Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f ( x, y )  ln x 2  y 2 5.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  e x ( x cos y  yseny ) 6.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  ( x  y ) ln( x  y ) 7.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y, z )  sen(

x y ) z

8.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  ln( x 

y ) 2x

9.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y )  x  y  x 2  y 2 Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil e xyz ex  e y  ez

10.- .- Hallar las derivadas parciales de tercer orden de f ( x, y ) 

Definición.- El plano tangente a la superficie z  f ( x, y ) en el punto P0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) está determinado por las rectas LT , LT ' , cuyo vector normal es: i

j

N  aLT ' x aLT  0

1

1

0

k f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) ( , ,1) y x y f ( x0 , y0 ) x

Luego la ecuación del plano tangente será: f ( x0 , y0 ) f ( x0 , y0 ) ( x  x0 )  ( y  y0 )  ( z  z 0 )  0 x y

Ejemplos Explicativos: Encontrar la ecuación de los planos tangentes a las superficies en los puntos dados 1.- z  3 x 2  y 2  2, en el punto (-1,2,9) xy

2.- f ( x, y )  x 2  y 2 3.- z  ln(

x2  y 2 ) x2  y 2 2

2

4.- f ( x, y )  e x  y 5.- f ( x, y )  ln( x 2  y 2  z 2 ) , en (x,y,z)=(1,2,0)

HOJA DE PRÁCTICA I.- Demostrar los siguientes límites: 1.-

2.-

lim

x 2  y 2  4 x  2 y  4

lim

xy 0 x  y

( x , y )  ( 3, 1)

( x , y )( 0 , 0 )

5.-

6.-

lim

lim

( x , y )( 0 , 0 )

( x , y )  ( 2 , 2 )

3x 2 y 0 x2  y2

3 x 2  4 y 2  4

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil 3.-

lim x 2  y 2  2 x  2 y  2

xy

7.- ( x , ylim )  (0,0)

( x , y ) (1,1)

x 2  y 2  2 x  4 y  10 4.- ( x , ylim )  ( 3,1)

x  y2 2

0

x2  y2  2 8.- ( x , ylim )  (1,1)

II.- Calcular los siguientes límites, si existen:: 1.-

2.3.4.5.-

lim

x2 y2 x2  y2

6.-

lim

4 xy 2  3 x 3 x2  y2

7.-

lim

x2 y2 x4  y4

8.-

lim

x2  y2 x2  y2

9.-

lim

x3  y3 x2  y2

( x , y ) ( 0 , 0 )

( x , y ) ( 0 , 0 )

( x , y ) ( 0 , 0 )

( x , y )( 0 , 0 )

( x , y )( 0, 0 )

x

Lim

( x , y )  ( 0,0) x 2  y 2

lim

x2 y2 x y  ( x  y) 2

lim

x2  y x2  y2

( x , y ) ( 0 , 0 )

( x , y ) ( 0 , 0 )

2

lim

( x , y ) ( 0 , 0 )

2

x2  y2 1 x2  y2

1

III.- Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

 x y  2 2, 1.- f ( x, y)   x  y 0   xy 2.-



f ( x, y)   x  y 0  2

2

(x, y)  (0,0)

Analizar la continuidad en (0,0)

(x, y)  (0,0) ,

(x, y)  (0,0) Analizar la continuidad en (0,0)

(x, y)  (0,0)

3.-

 4xy 4 , ( x, y)  (0,0)  f ( x, y )   ( x 2  y 2 ) 2 0 ( x, y)  (0,0) 

4.-

 x2  y  , f ( x, y )   x  y 0 

(x, y)  (0,0)

Analizar la continuidad en (0,0)

Analizar la continuidad en (0,0)

( x, y)  (0,0)

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

 y2  4 2, 5.- f ( x, y)   x  y 0 

( x, y)  (0,0)

Analizar la continuidad en (0,0)

( x, y)  (0,0)

Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz