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• Samuel Mollo Hilari

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CÁLCULO II

Capítulo V DERIVADAS PARCIALES Introducción: Para las funciones de una variable: 𝒇: ℝ → ℝ, definidas en el intervalo I de ℝ, se ha definido la derivada de f en 𝒙𝒐 𝝐 𝑰, denotada por 𝒇′(𝒙𝒐 ) como el valor del límite de la función incrementada menos la función propiamente dicha sobre el incremento cuando el incremento tiende a cero, es decir: 𝒇(𝒙𝒐 + 𝒉) − 𝒇(𝒙𝒐 ) 𝒉→𝟎 𝒉

𝒇′ (𝒙𝒐 ) = 𝐥𝐢𝐦

Si 𝒇′(𝒙𝒐 ) existe, su valor nos da la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙) en el punto (𝒙𝒐 , 𝒇(𝒙𝒐 )), el signo de la derivada nos habla del crecimiento y/o decrecimiento de la función alrededor de un punto, de la presencia de extremos, etc. De la misma forma para una función de varias variables se mantiene la definición pero ahora respecto a cada variable en este sentido se tendrá tantas primeras derivadas como variables tenga la función, debido a esto el nombre de parcial. Definición: Para una función de dos variables se definen y denotan las primeras derivadas de la siguiente forma: Sea: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) función de dos variables presentará dos primeras derivada: 𝒇𝒙 =

𝝏𝒇 𝝏 𝒇(𝒙 + ∆𝒙, 𝒚) − 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝝏𝒙 𝝏𝒙 ∆𝒙

Primera derivada parcial de la función respecto de “x” 𝒇𝒚 =

𝝏𝒇 𝝏 𝒇(𝒙, 𝒚 + ∆𝒚) − 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚→𝟎 𝝏𝒚 𝝏𝒚 ∆𝒚

Primera derivada parcial de la función respecto de “y” La definición de derivada parcial dada indica que si 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) entonces para calcular la primera derivada parcial de la función respecto de “x” consideramos Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza

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que “y” es constante y derivamos con respecto de “x” utilizando las mismas reglas y tablas de derivación de funciones de una sola variable, en forma similar calculamos la primera derivada parcial de la función respecto de “y” asumimos que “x” es constante y derivamos con respecto de “y”. Para una función de tres variables tendremos: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) tres primeras primeras derivadas: Primera derivada parcial de la función respecto de “x” 𝒇𝒙 =

𝝏𝒇 𝝏 𝒇(𝒙 + ∆𝒙, 𝒚, 𝒛) − 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝝏𝒙 𝝏𝒙 ∆𝒙

Primera derivada parcial de la función respecto de “y” 𝒇𝒚 =

𝝏𝒇 𝝏 𝒇(𝒙, 𝒚 + ∆𝒚, 𝒛) − 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚→𝟎 𝝏𝒚 𝝏𝒚 ∆𝒚

Primera derivada parcial de la función respecto de “z” 𝒇𝒛 =

𝝏𝒇 𝝏 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛 + ∆𝒚) − 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒛→𝟎 𝝏𝒛 𝝏𝒛 ∆𝒛

La definición de derivada parcial dada indica que si 𝒘 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) entonces para calcular la primera derivada parcial de la función respecto de “x” consideramos a “y” y “z” como constantes y derivamos con respecto de “x” utilizando las mismas reglas y tablas de derivación de funciones de una sola variable, en forma similar calculamos la primera derivada parcial de la función respecto de “y” asumimos que “x” y “z” son constantes y derivamos con respecto de “y” y lo propio para la primera derivada parcial respecto de “z” derivamos respecto de esta variable tomando a “x” y “y” como constantes. Derivadas de Orden Superior: En forma similar que las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de segundo, tercer orden y superiores, siempre y cuando tales derivadas existan. Al igual que en el cálculo diferencial de funciones de una sola variable las derivadas de orden superior son las derivadas de las derivadas pero esta vez de la variable en cuestión.

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Para una función de dos variables 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) tenemos: Segundas derivadas: Segundad derivada parcial de la función respecto de “x” dos veces: 𝒇𝒙𝒙 =

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝟐 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = ( )= ( 𝒇(𝒙, 𝒚)) 𝟐 𝟐 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙

Segunda derivada parcial de la función respecto de “x” primero y luego respecto “y”: 𝒇𝒙𝒚

𝝏𝟐 𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 = = ( )= ( 𝒇(𝒙, 𝒚)) 𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙

Segundad derivada parcial de la función respecto de “y” primero y luego respecto “x”: 𝒇𝒚𝒙

𝝏𝟐 𝒇 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 = = ( )= ( 𝒇(𝒙, 𝒚)) 𝝏𝒙𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚

Segundad derivada parcial de la función respecto de “y” dos veces: 𝒇𝒚𝒚 =

𝝏𝟐 𝒇 𝝏𝟐 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = ( )= ( 𝒇(𝒙, 𝒚)) 𝟐 𝟐 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚

Terceras Derivadas: En la notación simplificada tendremos:

𝒇𝒙𝒙𝒙 , 𝒇𝒙𝒙𝒚 , 𝒇𝒙𝒚𝒙 , 𝒇𝒙𝒚𝒚 , 𝒇𝒚𝒙𝒙 , 𝒇𝒚𝒙𝒚 , 𝒇𝒚𝒚𝒙 , 𝒇𝒚𝒚𝒚 En la notación tradicional algunas de las anteriores se denotan de la siguiente forma: Tercera derivada parcial de la función respecto de “x” tres veces: 𝒇𝒙𝒙𝒙 =

𝝏𝟑 𝒇 𝝏𝟑 𝝏 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 𝝏 = 𝒇(𝒙, 𝒚) = [ ( )] = [ ( 𝒇(𝒙, 𝒚))] 𝝏𝒙𝟑 𝝏𝒙𝟑 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙

Tercera derivada respecto de “x” dos veces y luego respecto de “y” 𝒇𝒙𝒙𝒚 =

𝝏𝟑 𝒇 𝝏 𝝏 𝝏𝒇 𝝏𝟑 𝒇 𝝏 𝝏 𝝏𝒚 = [ ( )] = 𝟐 = [ ( 𝒇(𝒙, 𝒚))] 𝝏𝒚𝝏𝒙𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙

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Tercera derivada parcial de la función respecto de “x” primero, luego respecto “y” y nuevamente respecto de “x” 𝒇𝒙𝒚𝒙

𝝏𝟑 𝒇 𝝏 𝝏 𝝏𝒇 𝝏 𝝏 𝝏𝒚 = = [ ( )] = [ ( 𝒇(𝒙, 𝒚))] 𝝏𝒙𝝏𝒚𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙

De la misma forma para una función de tres variables 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) tenemos: Segundas derivadas: En la notación simplificada 9 segundas derivadas y 27 terceras derivadas:

𝒇𝒙𝒙 , 𝒇𝒚𝒚 , 𝒇𝒛𝒛 , 𝒇𝒙𝒚 , 𝒇𝒚𝒙 , 𝒇𝒙𝒛 , 𝒇𝒛𝒙 , 𝒇𝒚𝒛 , 𝒇𝒛𝒚 Terceras Derivadas:

𝒇𝒙𝒙𝒙 , 𝒇𝒙𝒙𝒚 , 𝒇𝒙𝒙𝒛 , 𝒇𝒙𝒚𝒙 , 𝒇𝒙𝒛𝒙 , 𝒇𝒚𝒚𝒚 , 𝒇𝒚𝒚𝒙 , 𝒇𝒚𝒚𝒛 , 𝒇𝒚𝒙𝒚 , 𝒇𝒚𝒛𝒚 , 𝒇𝒛𝒛𝒛 , 𝒇𝒛𝒛𝒙 , 𝒇𝒛𝒙𝒛 , 𝒇𝒛𝒚𝒛 𝒇𝒙𝒚𝒛 , 𝒇𝒙𝒛𝒚 , 𝒇𝒛𝒙𝒚 , 𝒇𝒚𝒙𝒛 , 𝒇𝒚𝒛𝒙 , 𝒇𝒛𝒚𝒙 , 𝒇𝒚𝒚𝒙 , 𝒇𝒛𝒙𝒙 , 𝒇𝒙𝒚𝒚 , 𝒇𝒛𝒚𝒚 , 𝒇𝒙𝒛𝒛 , 𝒇𝒚𝒛𝒛 , 𝒇𝒛𝒛𝒚 Nota: Por lo escrito anteriormente se puede deducir que existen tantas derivadas de orden superior de acuerdo a la siguiente fórmula:

𝑵𝒏 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 Donde: N es el número de variables de la función y n el orden de la derivada Igualdad de las Derivadas Parciales Cruzadas: En una función de varias variables las derivadas cruzadas son siempre iguales, así por ejemplo para una función de dos variables, en las segundas derivadas: 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 , en una función de tres variables, para las terceras derivadas tenemos:

𝒇𝒙𝒚𝒛 = 𝒇𝒛𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒛𝒙

también 𝒇𝒙𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙𝒙 = 𝒇𝒙𝒚𝒙 y así para todos los rotes. Ejem. 1 Mediante tablas de derivación, hallar las primeras y segundas derivadas de las siguientes funciones: Diferencial Total: La diferencial total de una función de varias variables es reunir en una sola expresión todas las derivadas parciales, en este sentido tendremos diferenciales de primer orden y de orden superior. Las fórmulas son las siguientes:

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Para una función de dos variables: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) Diferencial de Primer Orden: 𝒅𝒇 = 𝒇𝒙 𝒅𝒙 + 𝒇𝒚 𝒅𝒚 Diferencial de Segundo Orden: 𝒅𝟐 𝒇 = 𝒇𝒙𝒙 𝒅𝒙𝟐 + 𝟐𝒇𝒙𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 + 𝒇𝒚𝒚 𝒅𝒚𝟐 Diferencial de Tercer Orden: 𝒅𝟑 𝒇 = 𝒇𝒙𝒙𝒙 𝒅𝒙𝟑 + 𝟑𝒇𝒙𝒙𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚 + 𝟑𝒇𝒙𝒚𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚𝟐 + 𝒇𝒚𝒚𝒚 𝒅𝒚𝟑 Para una función de tres variables: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) Diferencial de Primer Orden: 𝒅𝒇 = 𝒇𝒙 𝒅𝒙 + 𝒇𝒚 𝒅𝒚 + 𝒇𝒛 𝒅𝒛 Diferencial de Segundo Orden: 𝒅𝟐 𝒇 = 𝒇𝒙𝒙 𝒅𝒙𝟐 + 𝒇𝒚𝒚 𝒅𝒚𝟐 + 𝒇𝒛𝒛 𝒅𝒛𝟐 + 𝟐𝒇𝒙𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚 + +𝟐𝒇𝒙𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒛 + +𝟐𝒇𝒚𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒛 Diferencial de Tercer Orden: 𝒅𝟑 𝒇 = 𝒇𝒙𝒙𝒙 𝒅𝒙𝟑 + 𝒇𝒚𝒚𝒚 𝒅𝒚𝟑 + 𝒇𝒛𝒛𝒛 𝒅𝒛𝟑 + 𝟑𝒇𝒙𝒙𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒚 + 𝟑𝒇𝒙𝒚𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚𝟐 + 𝟑𝒇𝒙𝒙𝒛 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝒛 + 𝟑𝒇𝒚𝒚𝒛 𝒅𝒚𝟐 𝒅𝒛 + 𝟑𝒇𝒙𝒛𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒛𝟐 + 𝟑𝒇𝒚𝒛𝒛 𝒅𝒚𝒅𝒛𝟐 + 𝟔𝒇𝒙𝒚𝒛 Ejem. 2 Para las funciones dadas encontrar la diferencial pedida Diferencial Exacta: Se dice que una diferencial es exacta si se verifican las siguientes igualdades: Para una función de dos variables: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) su diferencial de primer orden está dada por: 𝒅𝒇 = 𝒇𝒙 𝒅𝒙 + 𝒇𝒚 𝒅𝒚 donde las primeras derivadas también son función de “x” y “y” es decir: 𝒅𝒇 = 𝑷(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑸(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 Se dice que está es una diferencial exacta si se verifica:

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𝝏𝑷 𝝏𝑸 = 𝝏𝒚 𝝏𝒙 Para una función de tres variables: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) su diferencial de primer orden está dada por: 𝒅𝒇 = 𝒇𝒙 𝒅𝒙 + 𝒇𝒚 𝒅𝒚 + 𝒇𝒛 𝒅𝒛 donde las primeras derivadas también son función de “x”, “y” y “z” es decir: 𝒅𝒇 = 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝒙 + 𝑸(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝒚 + 𝑹(𝒙, 𝒚, 𝒛)𝒅𝒛 Se dice que está es una diferencial exacta si se verifican: 𝝏𝑷 𝝏𝑸 𝝏𝑷 𝝏𝑹 𝝏𝑸 𝝏𝑹 = , = , = , 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒚 Ejem. 3 Verificar si las siguientes diferenciales son exactas de ser así encontrar la función original Derivación de una Función Compuesta: (Regla de la Cadena) En una función de varias variables se considera función compuesta cuando las variables de la función dependen de otras y esta a su vez de otras y así sucesivamente hasta llegar a la(s) variables independientes. Para derivar este tipo de funciones se puede deducir una fórmula o se puede encontrar la función solo en términos de variables independientes y derivar la misma de la forma ya aprendida. Para deducir las fórmulas en forma fácil se puede construir un ramaje de árbol con las variables de la siguiente forma: Sea: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) una función de dos variables con: 𝒙 = 𝒙(𝒕) 𝑦 𝒚 = 𝒚(𝒕), 𝒇𝒕 estará dado por la siguiente fórmula:

𝒇𝒕 = 𝒇𝒙 ∙ 𝒙𝒕 + 𝒇𝒚 ∙ 𝒚𝒕 La misma se deduce de: (Gráfico) Sea: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) una función de dos variables con: 𝒙 = 𝒙(𝒖, 𝒗) , 𝒚 = 𝒚(𝒖, 𝒗) 𝑦 𝒖 = 𝒖(𝒕) , 𝒗 = 𝒗(𝒕), 𝒇𝒕 estará dado por la siguiente fórmula:

𝒇𝒕 = 𝒇𝒙 ∙ 𝒙𝒖 ∙ 𝒖𝒕 + 𝒇𝒚 ∙ 𝒚𝒖 ∙ 𝒖𝒕 Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza

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La misma se deduce de: (Gráfico) Ejem. 4 Hallar las derivadas pedidas con y sin fórmula Derivación Implícita: Al igual que en funciones de una sola variable la derivación implícita se utiliza cuando la variable dependiente no está despejada, en el caso de una función de varias variables podemos decir que se usará esta forma de derivación cuando ninguna variable esta despejada o cuando una de las variables de la función depende de las otras que están en la misma función. Para derivar de esta forma se puede deducir una fórmula o encontrar la derivada utilizando la misma definición que para funciones escalares de variable escalar. Sea 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝟎 𝑐𝑜𝑛 𝒛 = 𝒛(𝒙, 𝒚) la diferencial de F está dada por: 𝒅𝑭 = 𝑭𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒚 𝒅𝒚 + 𝑭𝒛 𝒅𝒛 = 𝟎 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝒅𝒛 = 𝒛𝒙 𝒅𝒙 + 𝒛𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝑭 = 𝑭𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒚 𝒅𝒚 + 𝑭𝒛 (𝒛𝒙 𝒅𝒙 + 𝒛𝒚 𝒅𝒚) = 𝟎 𝑭𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒚 𝒅𝒚 + 𝑭𝒛 𝒛𝒙 𝒅𝒙 + 𝑭𝒛 𝒛𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 → (𝑭𝒙 + 𝒇𝒛 𝒛𝒙 )𝒅𝒙 + (𝑭𝒚 + 𝑭𝒛 𝒛𝒚 )𝒅𝒚 = 𝟎 Para que se cumpla la igualdad tendremos: (𝑭𝒙 + 𝒇𝒛 𝒛𝒙 ) = 𝟎 𝑦 (𝑭𝒚 + 𝑭𝒛 𝒛𝒚 ) = 𝟎 De donde obtenemos las derivadas pedidas: 𝒛𝑥 𝑦 𝒛𝒚 𝒛𝒙 = −

𝑭𝒚 𝑭𝒙 𝑦 𝒛𝒚 = − 𝑭𝒛 𝑭𝒛

Ejem. 5 Hallar las derivadas pedidas con y sin fórmula Jacobianos: Los Jacobianos son determinantes de derivadas que se utilizan para derivar varias funciones al mismo tiempo, estos permiten la simplificación en el cálculo de derivadas parciales de funciones implícitas y en la transformación de integrales múltiples. Notación y Definición: Sean: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒈 = 𝒈(𝒙, 𝒚)

funciones de dos variables que poseen

derivadas parciales, el Jacobiano se define y se denota como: Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza

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𝒇, 𝒈 𝝏(𝒇, 𝒈) 𝒇 𝑱( )= = |𝒈𝒙 𝒙, 𝒚 𝝏(𝒙, 𝒚) 𝒙 Sean:

𝒇𝒚 𝒈𝒚 | funciones

𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚, 𝒛) ; 𝒈 = 𝒈(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝑦 𝒉 = 𝒉(𝒙, 𝒚, 𝒛)

de

tres

variables que poseen derivadas parciales, el Jacobiano se define y se denota como: 𝒇𝒙 𝒇, 𝒈, 𝒉 𝝏(𝒇, 𝒈, 𝒉) 𝑱( )= = |𝒈𝒙 𝒙, 𝒚, 𝒛 𝝏(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒉 𝒙

𝒇𝒚 𝒈𝒚 𝒉𝒚

𝒇𝒛 𝒈𝒛 | 𝒉𝒛

Propiedades de los Jacobianos: 1. Sean 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒈 = 𝒈(𝒙, 𝒚) con: 𝒙 = 𝒙(𝒖, 𝒗) ; 𝒚 = 𝒚(𝒖, 𝒗) 𝒇, 𝒈 𝒇, 𝒈 𝒙, 𝒚 𝑱( ) = 𝑱( )∙ 𝑱( ) 𝒖, 𝒗 𝒙, 𝒚 𝒖, 𝒗 Regla de la cadena de los Jacobianos 2. Si: 𝒖 = 𝒖(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒗 = 𝒗(𝒙, 𝒚) entonces: 𝒖, 𝒗 𝟏 ) = 𝒙, 𝒚 𝒙, 𝒚 𝑱 (𝒖, 𝒗) Jacobiano de las funciones inversas 𝑱(

3. Si: 𝑭(𝒙, 𝒚, 𝒖, 𝒗) = 𝟎 𝑦 𝑮(𝒙, 𝒚, 𝒖, 𝒗) = 𝟎 𝑐𝑜𝑛 𝒖 = 𝒖(𝒙, 𝒚) 𝑦 𝒗 = 𝒗(𝒙, 𝒚)

𝒖𝒙 = −

𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒙, 𝒗 ) 𝑭, 𝑮 𝑱 (𝒖, 𝒗 )

; 𝒖𝒚 = −

𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒚, 𝒗 ) 𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒖, 𝒗 )

; 𝒗𝒙 = −

𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒖, 𝒙 ) 𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒖, 𝒗 )

; 𝒗𝒚 = −

𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒖, 𝒚 ) 𝑭, 𝑮 𝑱 ( 𝒖, 𝒗 )

Jacobiano de funciones implícitas Ejem. 6 Hallar las siguientes derivadas Función Homogénea: (Teorema de Euler) Una función escalar de variable ⃗ ) se denomina función homogénea de grado n, si se verifica: vectorial 𝒇(𝒓 Ing. DAEN. Rosio Carrasco Mendoza

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⃗ ) = 𝝀𝒏 𝒇(𝒓 ⃗) 𝒇(𝝀𝒓 Dónde: 𝝀 es un parámetro y n una constante que indica el grado de la función homogénea. El Teorema de Euler expresa que si: 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) es una función homogénea de grado n se verifica que: 𝒙𝒇𝒙 + 𝒚𝒇𝒚 = 𝒏𝒇

Este teorema se generaliza para una función de varias variables, de la siguiente forma: 𝒙𝟏 𝒇𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒇𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 𝒇𝒙𝟑 + ⋯ + 𝒙𝒏 𝒇𝒙𝒏 = 𝒏𝒇

Derivada Direccional: La derivada direccional de una función escalar de variable vectorial en la dirección de un vector se denota y define: ⃗ ) una función de varias variable y 𝒖 ⃗ un vector, la derivada direccional Sea 𝒇(𝒓 es la razón de cambio de la función en la dirección del vector; por lo tanto la derivada direccional (en el caso de una función de dos variables) es la pendiente de una curva que se encuentra sobre la superficie de 𝒇 = 𝒇(𝒙, 𝒚) en ⃗. la dirección de 𝒖 ⃗ + 𝒉𝒖 ⃗ ) − 𝒇(𝒓 ⃗) 𝒇(𝒓 𝒉→𝟎 𝒉

⃗ ) = 𝐥𝐢𝐦 𝒇′ (𝒖

Operadores Diferenciales: Uno de los más importantes para su estudio es el operador Nabla (operador de Hamilton), en dimensión dos y tres se define como: 𝛁=𝒊

𝝏 𝝏 +𝒋 𝝏𝒙 𝝏𝒚

𝑦 𝛁=𝒊

𝝏 𝝏 𝝏 +𝒋 +𝒌 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

Las operaciones diferenciales: gradiente, divergencia y rotor, se determinan por la aplicación del vector Nabla sobre funciones escalares o vectoriales de variable vectorial.

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Gradiente: Para una función escalar de variable vectorial de dos o tres variables que poseen derivadas parciales, el gradiente de la función se define y denota como: 𝑮𝒓𝒂𝒅 𝒇 = 𝛁𝒇 𝛁𝒇 = (𝒊

𝝏 𝝏 𝝏 𝝏 𝝏 + 𝒋 ) 𝒇 𝑦 𝛁𝒇 = (𝒊 +𝒋 + 𝒌 )𝒇 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒛

Nota: Una forma simple de sacar la derivada direccional es con la gradiente de la siguiente forma: ⃗ ) = 𝛁𝒇(𝒖 ⃗ )𝒐𝒖 ⃗ 𝒇′ (𝒖

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