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Analisis Matematico 11. Curso 2009/2010. Diplomatura en Estad"istica/1ng. T"ec. en 1nf. de Gestion. Universidad de Ja"en

TEMA 3. DIFERENCIACIO' N DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

1.

Derivadas parciales

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci'on de varias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza el proceso de derivaci'on parcial. DEFINICIO' N 1.1 (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIO' N DE DOS VARI- ABLES). Si z = f (x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables x e y son las funciones definidas como f (x + h, y ) − f ∂z ∂f = (x, y) = fx (x, y) := ∂x ∂x (x, y ) l'1m , h→O h ∂z ∂f = ∂y ∂y

(x, y) = fy (x, y) := l'1m

h→O

f (x, y + h) − f (x, y ) , h

siempre y cuando el l'1mite exista. ÜBSERVACIO' N 1.1. La definici'on indica que para calcular ax

se considera

a¡ a¡

y constante derivando con respecto a x y para calcular ay se considera x constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas usuales de derivaci'on. EJEMPLO 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y) = yx2 + 3x3 y 4 . 2. Dada f (x, y) = xex2 y hallar f , fy y evaluarlas en (1, ln(2)). x

1.1.

Interpretaci"on geom"etrica de las derivadas par- ciales

Si y = y entonces z = f (x, y ) representa la curva intersecci'on de la superficie z =O f (x, y) con el plano yO = yO . Por tanto fx (xO , yO ) = pendiente de la curva interseccion en (xO , yO , f (xO , yO )).

Analogamente, f (xO , y) es la curva intersecci'on de z = f (x, y) (superficie) x = xO (plano) y entonces fy (xO , yO ) = pendiente de la curva intersecci´on en (xO , yO , f (xO , yO )). Diremos que los valores 8f (xO , yO 8f (xO , yO ) denotan las pendientes de 8x 8y ), la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente. EJEMPLO 1.2. Hallar las 2pendientes en las direcciones de x e y de la superficie dada por f (x, y) = 1 - x y + xy 3 en el punto (1,2,7). Las derivadas parciales tambi'en se pueden interpretar como tasas, velocidades o ritmos de cambio. EJEMPLO 1.3. La temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero es T (x, y) = 500 - 0.6x2 - 1.5y 2 , donde x e y se miden en metros. En el punto (2, 3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia recorrida en las direcciones de los ejes X e Y . xy +y z +xz EJERCICIO 1.1. Calcular las derivadas parciales de f (x, y, z, w) = w .

1.2.

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, terceras... derivadas parciales de una funci'on de varias variables, siempre que tales derivadas existan. Por ejemplo la funcion z = f (x, y) tiene las siguientes derivadas parciales de segundo orden: 8 2f 8f fxx = 2 = 8 (Derivar dos veces respecto a x) 8x 8x 8x fxy

8 2f = = 8 8y8x 8y

8f 8x

(Derivar respecto a x, luego respecto a y)

8 2f = 8 8x8y 8x

8f 8y

(Derivar respecto a y, luego respecto a x)

fyx =

2

fyy =

8 2f = 8 2 8y 8y

8f 8y

(Derivar dos veces respecto a y)

EJEMPLO 1.4. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = 3x2 y + xy 3 - 2x. Determinar el valor de fx,y (1, 2). TEOREMA 1.1 (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS). Si f (x, y) es tal que fxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto D entonces fxy (x, y) = fyx (x, y) V(x, y) E D. EJEMPLO 1.5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = xey + sen(xy). Comprobar que las derivadas parciales mixtas coinciden.

2.

Diferenciaci"on de funciones de dos vari- ables Para una funci'on de una variable f (x) se define la derivada como f (a + h) - f (a) f t (a) := l'1m . h�0 h Esto quiere decir que para h pequen-o

f (a + h) - f (a) ⇐⇒ f (a + h) � f (a) + f (a)h t h y por tanto la recta tangente es una buena aproximaci'on de la funci'on f cerca del punto a. Llamando c(h) = f (a + h) - f (a) - f t (a)h se cumple que f t (a) �

f (a + h) - f (a) = f t (a)h + c(h) = O.

donde

l'1m h�0

l c(h)l

lhl

DEFINICIO' N 2.1. Supongamos ahora que f (x, y) es una funci'on de 2 vari- ables. De forma an'aloga a lo que hemos visto para una dimensi'on diremos que f es diferenciable en el punto (a, b) si 8f (a, 8f (a, f (a + hl , b + h2 ) - f (a, b) = b)hl + b)h2 + c(hl , h2 ) 8x 8y donde

lc(hl , h2 )l l'1m = O. (h1 ,h2 )�(0,0) l(hl , h2 )l 1 (Recuerda que l(hl , h2 )l = h2l + h22 es la longitud del vector (hl , h2 )).

DEFINICIO' N 2.2. Si f (x, y) es diferenciable en el punto (a, b) vamos a llamar dijerencial de f en (a, b), y se denota como Df (a, b), a la funci'on de dos variables 8f 8f (a, b)hl + (a, b)h2 . Df (a, b)(hl , h2 ) = 8x 8y ÜBSERVACIO' N 2.1. En una variable los conceptos de derivabilidad (=existen- cia de la derivada) y de dijerenciabilidad (=tener recta tangente) coinciden.8 f Sin embargo en dos variables la existencia de las dos derivadas parciales , 8f 8x no garantizan que la funci'on sea diferenciable (es decir, no garantiza que 8y tenga plano tangente). ( 2 x y , (x, y) = (O, O), EJEMPLO 2.1. Probar que la funci'on f (x, y) = x2 +y 2 O, (x, y) = (O, O), tiene derivadas parciales en (O, O) pero no es diferenciable en dicho punto. TEOREMA 2.1 (CONDICIO' N SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD). Si f (x, y) 8f 8f es una juncion continua de dos variables y las derivadas parciales y 8x 8y existen son continuas en todo ypunto (x, y) E D.en una region abierta D entonces f es dijerenciable Como ocurre con una funci'on de una variable, si una funci'on de dos o mas variables es diferenciable en un punto tambi'en es continua en ese punto. TEOREMA 2.2 (DIFERENCIABLE IMPLICA CONTINUA). Si f (x, y) es dijerenciable en (a, b) entonces tambi,en es continua en (a, b). (x, y) = (O, O), O, (x, y) = (O, O), tiene derivadas parciales en (O, O) pero no es continua en dicho punto. ¿Es diferenciable en (O, O)? EJEMPLO 2.2. Probar que la funcion f (x, y) =

− 3xy, x2 +y 2

Resumimos a continuaci'on la relacion que existe entre la continuidad, la existencia de las derivadas parciales y la diferenciabilidad. Deriv. parc. continuas

⇒ Dijerenciable ⇒ Existen las deriv. parc. ⇓ Continua

2.1.

La diferencial como aproximaci"on

Llamando x = a + hl , y = b + h2 si f (x, y) es diferenciable en (a, b) entonces 8f (a, 8f (a, f (x, y) � f (a, b) + b)(x - a) + b)(y 8x 8y b), para valores de (x, y) cercanos al punto (a, b). (La formula anterior es la ecuaci'on del plano tangente a la gr'afica de f en el punto (a, b, f (a, b))). EJEMPLO 2.3. Calcular la ecuaci'on del plano tangente a la gr'afica de z = 2 - x2 - y 2 en el punto (1, 1). Llamemos ahora �x = h = x - a al incremento en x, �y = h2 = y - b al incremento en y, �z = f (al + �x, b + �y) - f (a, b) al incremento en z. Si f (x, y) es diferenciable en (a, b) entonces �z = f (a + �x, b + �y) - f (a, b) 8f � dz,

8x

(a, b)�x8f +

8y

(a, b)�y =

y por tanto la diferencial dz ser'ia una buena aproximaci'on del incremento �z para valores pequen-os de los incrementos en las variables independientes �x, �y. , N). EJEMPLO 2.4 (USO DE LA DIFERENCIAL COMO APROXIMACIO 1 2 - y2 cuando (x, y) Utilizar la diferencial para aproximar el cambio en z = 4 x se desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar la aproximacion con el cambio exacto en z. EJEMPLO 2.5 (ANA,LISIS DE ERRORES). El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±0.1 mm. Las dimensiones son x = 50 cm., y = 20 cm., z = 15 cm. Estimar el error absoluto y relativo que se comete en el c'alculo del volumen.

3.

Regla de la cadena para funciones de varias variables

Estudiaremos dos casos: cuando solo hay una variable independiente y cuando hay dos.

3.1.

Regla de la cadena: una variable independiente

TEOREMA 3.1. Si w = f (x, y) es diferenciable y x = g(t) e y = h(t) son derivables entonces dw 8w dx 8w dy = . + dt 8x dt 8y dt EJEMPLO 3.1. Sea w = x2 y - y 2 , x = sen(t), y = et . Calcular dos formas siguientes:

dw lt=O de las dt

1. Sustituyendo y derivando como una funci'on de una variable. 2. Aplicando la regla de la cadena. EJEMPLO 3.2. Dos objetos recorren trayectorias el'ipticas dadas por las ecuaciones param'etricas xl = 4 cos(t), yl = 2 sen(t) (Objeto 1), x2 = 2 sen(2t), y2 = 3 cos(2t) (Objeto 2). ¿A qu'e velocidad cambia la distancia entre los dos objetos cuando t = π?

3.2.

Regla de la cadena: dos variables independientes

TEOREMA 3.2. Si w = f (x, y), x = g(s, t) e y = h(s, t) son diferenciables entonces 8w 8w 8x 8w 8y 8w 8w 8x 8w 8y = , . + = + 8s 8x 8s 8y 8s 8t 8x 8t 8y 8t 8w 8w EJEMPLO 3.3. Calcular y para w = 2xy, x = s2 + t2 , y = s/t de las 8s 8t dos formas siguientes: 1. Sustituyendo y calculando las derivadas parciales. 2. Aplicando la regla de la cadena.

4.

Derivadas direccionales y gradientes

Hemos visto que para una superficie z = f (x, y) la pendiente en la di8f 8f reccion de x est'a dada por y la pendiente en la direcci'on de y por . 8x 8y Ahora vamos a determinar como calcular la pendiente de una superficie en un punto a lo largo de cualquier direcci'on. Sea z = f (x, y) una funci'on de dos variables y v = (vl , v2 ) un vector de R2 . Las ecuaciones param'etricas de la recta que pasa por el punto (a, b) y tiene como vector director a v son x = a + tv , y = b + tv2l. DEFINICIO' N 4.1 (DERIVADA DIRECCIONAL). La derivada direccional de f en el punto (a, b) y en la direccion de v = (vl , v2 ) se define como f (a + tvl , b + tv2 ) - f (a, b) Dv f (a, b) := l'1m , + t�o t siempre que este l'1mite exista. 1 ÜBSERVACIO' N 4.1. Tenemos que especificar siempre una direcci'on l 2 = 1. mediante un vector unitario v = (v , v ), 2 es decir de longitud lvl = v2 + v2 l de 2 R entonces Si v = (vl , v2 ) es cualquier vector \ v vl v2 lvl = lvl, lvl , es un vector unitario con la misma direcci'on y sentido que v. Otra forma de determinar un vector unitario es considerar v = (cos(e), sen(e)), siendo e el 'angulo que forma la "direcci'on"elegida con la horizontal. TEOREMA 4.1 (CA'LCULO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL). Si f (x, y) es una funcion diferenciable en el punto (a, b) E int(D(f )) entonces la derivada direccional en el punto (a, b) segu,n la direccion del vector v = (vl , v2 ) es 8f (a, 8f (a, Dv f (a, b) = b) · vl + b) · v2 . 8x 8y EJEMPLO 4.1. Hallar la derivada direccional de f (x, y) = x2 sen(2y) en el punto (1, π/2) en la direcci'on que marca v = (3, -4).

ÜBSERVACIO' N 4.2. Si f es diferenciable entonces 8f (a, = b) D(l,O) f (a, b), 8x es la derivada direccional en la direcci'on del semieje x positivo y 8f (a, = b) D(O,l) f (a, b), 8y es la derivada direccional en la direcci'on del semieje y positivo.

4.1.

El gradiente de una funci"on de dos variables

DEFINICIO' N 4.2 (GRADIENTE). Si z = f (x, y) entonces el gradiente de f , ∇f (x, y), es el vector \ 8f 8f ∇f (x, y) (x, y), (x, y) E R 2 . 8x 8y = (Nota: el gradiente es un vector en el plano y no un nu'mero). EJEMPLO 4.2. Calcular el gradiente de f (x, y) = x2 y + sen(x + y) en el punto (O, í/2). ÜBSERVACIO' N 4.3. Si f es diferenciable en (a, b) entonces la derivada direc- cional de f en (a, b) en la direccion del vector v = (vl , v2 ) puede escribirse como

Dv f (a, b) = ∇f (a, b) ·

8f v=

8x

(a, b) vl8f +

8y

(a, b) v2

i P roducto

escalar

TEOREMA 4.2 (PROPIEDADES DEL GRADIENTE). Sea f diferenciable en (a, b). 1.

Si ∇f (a, b) = (O, O) entonces Dv f (a, b) = O para toda direccion v.

2.

La direccion de m,aximo incremento de f est,a dado por ∇f (a, b) y el valor maximo de Dv f (a, b) es l∇f (a, b)l.

3.

La direccion de m,unimo incremento de f es -∇f (a, b) y el valor maxi- mo de Dv f (a, b) es -l∇f (a, b)l.

EJEMPLO 4.3. La temperatura en la superficie de una placa met'alica es T (x, y) = 20 - 4x2 - y 2 con x e y medidas en cm. ¿En qu'e direcci'on a partir de (2, -3) aumenta mas rapido la temperatura? ¿Cu'al es la tasa o ritmo de crecimiento? TEOREMA 4.3 (EL GRADIENTE ES ORTOGONAL A LAS CURVAS DE NIVEL). Si f es diferenciable en (a, b) y \f (a, b) = (0, 0) entonces \f (a, b) es ortogonal a la curva de nivel que pasa por (a, b).

5.

Extremos de funciones de dos variables

DEFINICIO' N 5.1 (f : D e R2 � R). 1. f tiene un maximo absoluto en (a, b) si f (x, y) ≤ f (a, b) V(x, y) E D. 2. f tiene un maximo relativo en (a, b) si existe r > 0 tal que f (x, y) ≤ f (a, b) V(x, y) E B((a, b), r). 3. f tiene un m,unimo absoluto en (a, b) si f (x, y) ≥ f (a, b) V(x, y) E D. 4. f tiene un m,unimo relativo en (a, b) si existe r > 0 tal que f (x, y) ≥ f (a, b) V(x, y) E B((a, b), r). Hemos visto en el Tema 1 que si la regi'on D es compacta (cerrada y acotada) y f (x, y) es continua entonces f alcanza siempre un valor m ximo y m'1nimo absolutos en la region D. TEOREMA 5.1 (CONDICIO' N NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS). Sea f (x, y) definida en una region abierta D y diferenciable en (a, b). Si f tiene un extremo relativo en (a, b) entonces 8f  8x (a, b) = 0, \f (a, b) = (0, 0) ⇐⇒  88yf (a, b) = 0. (Nota: Si \f (a, b) = (0, 0) se dice que (a, b) es un punto cr,utico). EJEMPLO 5.1. Hallar los extremos relativos de f (x, y) = 2x2 + y 2 + 8x - 6y + 20.

En general los puntos cr'rticos de una funci'on de dos variables no siempre son maximos o m'rnimos relativos, algunos son puntos de silla, como por ejemplo el origen para la funcion f (x, y) = y 2 - x2 . Para clasificar los puntos cr'rticos disponemos de un criterio usando las derivadas parciales segundas. \ DEFINICIO' N 5.2 (HESSIANO). Se llama Hessiano de f en (a, b) al determi2 82 f (a, b)) nante  88xf2 (a, b)) 8y8x 1 . 1 82 f 2f 8  H (a, b) = det (a, b)) 8y2 (a, b)) 8x8y TEOREMA 5.2 (CRITERIO DEL HESSIANO). Sea (a, b) un punto cr'itico de la funci'on f [i.e., \f (a, b) = (0, 0)) y supongamos que existe un disco centrado en (a, b) donde las derivadas parciales segundas son continuas. Se cumple entonces que: 1. Si H (a, b) > 0 y 8 2 f (a, b)) > 0 =⇒ (a, b) es un m'inimo relativo. 8x2

2.

Si H (a, b) > 0 y

3. 4.

Si H (a, b) < 0 =⇒ (a, b) es un punto de silla. Si H (a, b) = 0 el criterio no lleva a ninguna conclusion. [en este caso tenemos que estudiar la funci'on directamente).

8 2f 8x2

(a, b)) < 0 =⇒ (a, b) es un maximo relativo.

EJEMPLO 5.2. Identificar los extremos relativos de la funci'on f (x, y) = -x3 + 4xy - 2y 2 + 1. EJEMPLO 5.3. Identificar los extremos relativos de la funci'on f (x, y) = x2 y 2 . EJEMPLO 5.4. Una caja rectangular descansa en el plano X Y con uno de sus v'ertices en el origen. El v'ertice opuesto est'a en el plano 6x + 4y + 3z = 24. Hallar el volumen m'aximo que puede tener la caja. EJEMPLO 5.5. Un fabricante de art'rculos electr'onicos determina que la ganancia en euros al producir x unidades de un reproductor de DVD e y unidades de un grabador de DVD se aproxima mediante la funci'on P (x, y) = 8x + 10y - 0.001(x2 + xy + y 2 ) - 10000. Hallar el nivel de producci'on qu proporciona una ganancia o beneficio m ximo. ¿Cual es esta ganancia maxima?

6.

Optimizacion con restricciones: multiplicadores de Lagrange

Muchos problemas de optimizaci'on estan sometidos a restricciones o ligaduras para los valores que pueden usarse de las variables. Por ejemplo supongamos que queremos calcular el rectangulo de area maxima que puede 2 y 2 = 1. inscribirse en la elipse x + 9 16 f (x, y) = 4xy [Funci n objetivo). x2 y 2 - 1 = O [Restriccion o ligadura). + g(x, y) = 9 16 Problema: Maximizar la funcion f (x, y) cuando las variables (x, y) est'an sometidas a la restricci'on g(x, y) = O. TEOREMA 6.1 (TEOREMA DE LAGRANGE). Sean f y g funciones con derivadas parciales continuas. Si f (x, y) sometida a la restriccion g(x, y) = O tiene un extremo relativo en un punto (a, b) y si \g(a, b) = (O, O) entonces existe un nu'mero λ tal que \f (a, b) = λ\g(a, b). [λ recibe el nombre de multiplicador de Lagrange). TEOREMA 6.2 (ME'TODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE). Sean f y g funciones con derivadas parciales continuas y \g(x, y) = (O, O) para todo (x, y) donde g(x, y) = O. Si f (x, y) sometida a la restriccion g(x, y) = O alcanza un extremo relativo en un punto (a, b) entonces (a, b) es soluci'on del sistema de ecuaciones  8f 8g  8x (x, y) = λ8x (x, y),  8f 8g \f (x, y ) = λ\g (x, y ),= (x, y) = λ 8y (x, y), 8y g(x, y) = O.   l g(x, y) = O. ÜBSERVACIO' N 6.1. Si sabemos que f (x, y) sometida a la restricci'on g(x, y) = O alcanza su m'aximo y su m'rnimo absolutos (por ejemplo, si g(x, y) = O es un conjunto compacto) entonces basta evaluar f en las soluciones del sistema anterior y quedarse con los valores m ximo y m'rnimo EJEMPLO 6.1. Encontrar dos nu'meros x e y en la circunferencia unidad (i.e., x2 + y 2 = 1) de forma que su producto sea maximo. EJEMPLO 6.2. Hallar los valores m ximo y m'rnimo de la funci'on f (x, y) = x2 + 2y 2 - 2x + 3 sujeta a la restricci'on x2 + y 2 ≤ 1O.

7.

Ap"endice

DEFINICIO' N 7.1. Si f : I e R � R, donde I es un intervalo abierto y xO E I , se define la derivada de f en el punto xO como el nu'mero real f (x + h) - f (xO ) f t (xO ) = l'1m O , h�O h siempre que dicho l'1mite exista y sea finito. TEOREMA 7.1 (DERIVABLE IMPLICA CONTINUA). Sea f : I e R � R, donde I es un intervalo abierto y xO E I . Si f es derivable en xO , entonces f es continua en xO . TEOREMA 7.2 (ECUACIO' N DE LA RECTA TANGENTE). Sea f : I e R � R, donde I es un intervalo abierto y xO E I . Si f es derivable en xO , entonces la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto xO viene dada por la ecuacion y - f (xO ) = f t (xO )(x xO ). TEOREMA 7.3 (REGLA DE LA CADENA). Supongamos que f es una funci,on derivable en xO y g una funcion derivable en f (xO ). Entonces g o f es una funcion derivable en xO y ademas (g o f )t (xO ) = g t (f (xO ))f t (xO ). TEOREMA 7.4 (TEOREMA DEL VALOR MEDIO). Supongamos que f : [a, b] � R es continua y derivable en (a,b). Entonces existe un nu,mero c E (a, b) tal que f t (c) = f (b) - f (a) . ba