• Author / Uploaded
• Alvaro MRojas

Citation preview

LOGROS DE SESIÓN

Derivadas Parciales

Al terminar la clase el alumno compara y resuelve aplicaciones de las derivadas parciales y direccionales en situaciones de contexto real con asertividad.

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES La derivada de una función de una variable y=f(x) está dada por el límite de un cociente de diferencia f  x + h  f ( x ) dy  lim h0 dx h

Ejemplo (4): La función S  0,1091w 0,425h0,725 relaciona el área superficial (en pies cuadrados) del cuerpo de una persona como una función del peso w (en libras) y la altura h (en pulgadas). Encuentre S/w cuando w=150 y h=72. Interprete.

3

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

De la misma forma podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z=f(x,y) como:

fx ( x, y ) 

f f(x  h,y)- f(x,y) (x,y)  lim h 0 x h

fy ( x, y ) 

f f(x,y  h)- f(x,y) (x,y)  lim h 0 y h

Siempre y cuando los límites existen.

Ejemplo (1): Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función: f(x,y)=3x - x2y2+2x3y f ( x, y)  5 y 2  6 xy 2  7

Para hallar fx(x,y) se considera y como constante y se f ( x, ycon , z )respecto  x y z ax.xy 2  yz 2  zx 2 deriva

Para hallar fy(x,y) se considera x como constante y se deriva con respecto a y.

1

Ejemplo (2): Recordemos que en una variable:

Recordemos que en una variable:

Recordemos que en una variable:

Símbolos alternos u otras notaciones Dado z = f(x,y), se tiene: f z   f1  D1f  D x f x x f z    f2  D2f  D y f y y

fx  fy

Símbolos como  / x o  / y se llaman operadores de diferenciación parcial, por ejemplo:

f ( x, y)  5 y 2  6 xy 2  7

f ( x, y, z )  x y z  xy 2  yz 2  zx 2

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto (a,b) se denotan por: z z  fx (a, b ) y  fy (a, b ) x ( a,b ) y ( a,b ) 2

Ejemplo (3): Dado f ( x, y )  xe x y halle fx y fy y evaluar cada una en el punto (1,ln2)

Solución: 2

Como f ( x, y )  xe x y se tiene: 2

fx ( x, y )  xe x y (2 xy )  e x

2

y

Derivada parcial respecto de x

Ahora la derivada fx evaluado en (1,ln2) resulta:

fx (1,ln2)  eln 2 (2ln2)  eln 2  4ln2  2

2

Como f ( x, y )  xe x y se tiene: 2

fy ( x, y )  xe x y ( x 2 )  x 3e x

2

y

Derivada parcial respecto de y

Ahora la derivada fy evaluado en (1,ln2) resulta:

fy (1,ln2)  eln 2

2 Si y=y0 entonces z=f(x, y0) representa la intersección de la superficie z=f(x,y) con el plano y=y0. . Por tanto fx(x0, y0) representa la pendiente de esta curva en el punto (x0,y0, f(x0, y0).

2

Ejemplo (4): La función S  0,1091w 0,425h0,725 relaciona el área superficial (en pies cuadrados) del cuerpo de una persona como una función del peso w (en libras) y la altura h (en pulgadas). Encuentre S/w cuando w=150 y h=72. Interprete.

  f   2f  2 z   x  x  x 2 x 2

2. Derivar dos veces respecto a y y

 fx  y

 (0,1091)(0,425)(150)0,575 (72)0,725 

 fxx  f11 

 fyy  f22 

  f   2f 2z    y  y  y 2 y 2

3. Derivar primero respecto a y, luego respecto a x

Evaluada en (150, 72) es:

0, 058

(150,72)

La derivada parcial S/w es la tasa a la cual el área superficial de una persona de altura fija h (como un adulto) cambia con respecto al peso w.

Ejemplo (5): Halle: fxx , fxy , fyx y fyy . Solución:

 fx  x

y

S  (0,1091)(0,425)w 0,575 h0,725 w

Si

1. Derivar dos veces respecto a x

f 

Solución: La derivada parcial de S respecto a w.

S w

Derivadas parciales de segundo orden

f ( x, y )  x 2 y  3 xy 3

fxx ( x, y )  2y

 fxy  f12 

  f   2f 2z   y  x  y x y x

4. Derivar primero respecto a x, luego respecto a y

f  y

x

 fyx  f21 

  f   2f 2z    x  y  xy xy

Ejemplo (6): Calcular las segundas derivadas parciales de: f(x;y)=x3+x2y2+y3 Solución: Las primeras derivadas parciales son:

fxy ( x, y )  2 x  9 y 2 fyx ( x, y )  2 x  9 y 2

De aquí se obtienen:

fyy ( x, y )  18 xy

Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

Ejemplo (7): Solución:

3

DERIVADAS DIRECCIONALES Para determinar la pendiente en un punto de una superficie se definirá un nuevo tipo de derivada llamada derivada direccional

De manera informal la pendiente de la curva C es similar a los usados en una variable. El plano vertical usado para formar C corta el plano xy en una recta L, cuyas ecuaciones paramétricas son:

x  x0  t cos  y  y 0  tsen

http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml

De manera que para todo valor de de t, el punto Q(x,y) se encuentra en la recta L. Se entiende que para cada uno de los puntos P y Q hay un punto correspondiente en la superficie.

Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u=(u1,u2) está dada por:

D f(x,y)  lím h 0

u

f ( x  hu1, y  hu2 ) - f(x,y) h

siempre que el límite exista. ( x0 , y 0 , f ( x0 , y 0 ))

Punto sobre P

( x, y , f ( x, y ))

Punto sobre Q

Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u=(u1,u2) y:

D f(x,y)  fx (x,y) u1  fy (x,y) u2 u

Ejemplo (1): Halle la derivada direccional de f(x,y)=x2-xy+y en la dirección del vector v=(1,2). Solución: Sabemos que:

D f(x,y)  fx (x,y) u1  fy (x,y) u2  (fx ,fy )  (u1, u2 ) u

vu 

v v



(1,2) 12  22



1 5

(1,2)

Df ( x, y )  (2 x  y ,  x  1)  u



Otra forma simple de calcular la Deriva Direccional haciendo uso de fx y fy es: Teorema: Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario u=cosθ i +senθ j es:

D f(x,y)  fx (x,y) cos  fy (x,y)sen

1 5

u

(1,2)

y  2 5

4

f ( x, y )  4  x 2 

Ejemplo (2): Halle la derivada direccional de 1 2 y en (1,2) en la dirección de 4  

Ejemplo (3): Halle la derivada direccional de f ( x, y )  x 2sen 2y en (1,π/2) en la dirección de

u  (cos )i  (sen ) j 3 3

Solución:

Solución: Como fx y fy son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema: Du f ( x, y )  fx ( x, y )cos   fy ( x, y )sen y  ( 2 x )cos   (  )sen 2 Evaluando en θ=π/3, x=1 y y=2 se obtiene: 1 3 Du f (1,2)  ( 2)( )  ( 1)( ) 2 2

v  3i  4 j

Como fx y fy son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema: u

Usando el vector unitario se tiene: Du f ( x, y )  (2 xsen 2y )(cos  )  (2 x 2 cos 2y )(sen )

 3 3 4 4 Du f (1, )  (2sen )( )  (2cos  )(  )  (0)( )  ( 2)(  ) 2 5 5 5 5



3  1,866 2

 1 

v 3 4  i  j  cos  i  sen j v 5 5

8 5

Ejemplo (4):

Gráfica de la función:

Determine la derivada direccional de f(x;y)=2x2y3+6xy en (1;1) en la dirección del vector unitario cuyo ángulo con el eje x positivo sea π/6.

Solución: Como fx y fy son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema y como θ=π/6 se tiene: u

v 3 1  cos  i  sen j  i j v 2 2

Usando el vector unitario se tiene: Du f ( x, y )  (4 xy 3  6 y )cos   (6 x 2 y 2  6 x )sen

Du f (1,1)  (10)

3 1  (12) 2 2

5 3 6

Ejemplo (5): Encuentre la derivada direccional de f(x;y;z)=xy2-4x2y+z2 en (1;-1;2) en la dirección de v=6i+2j+3k.

Solución: Como fx , fy y fz son continuas, f es diferenciable, y se puede aplicar el teorema: u

v  v

(6,2,3) 6 2  22  3 2



6 2 3 i j k 7 7 7

Usando el vector unitario se tiene:

MUCHAS GRACIAS POR TU ATENCIÓN…….

6 2 3 Du f ( x, y , z )  ( y 2  8 xy ;2 xy  4 x 2 ;2z )  ( , , ) 7 7 7 6 2 3 Du f (1, 1,2)  (9i  6 j  4k )  ( i  j  k ) 7 7 7



54 7

5